Lista de Exercícios - Taxas relacionadas

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- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios - Taxas Relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A a´gua esta´
fluindo dentro do tanque a uma vaza˜o de 2 m3/min. Qua˜o ra´pido se elevara´ o n´ıvel de a´gua quando a a´gua estiver
com 5 m de profundidade?
R: 32/(25pi)m/min
2. Um tanque de a´gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a´gua esta´
sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o n´ıvel de a´gua esta´ elevando
quando a a´gua esta´ a 3 m de profundidade.
R: 8/(9pi)m/min
3. Uma escada de 3 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede
a uma taxa de 1 m/s, qua˜o ra´pido o topo da escada escorrega para baixo quando a base esta´ a 1 m da parede?
R: −√2/4m/s
4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote esta´ girando quando
o homem esta´ a 15 m do ponto mais pro´ximo da luz?
R: 2/65rad/s
5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de ga´s esta´ a uma temperatura constante, a pressa˜o P e o volume
V satisfazem a equac¸a˜o PV = C, em que C e´ uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e´ 600 m3, a
pressa˜o e´ 150 kPa e a pressa˜o cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta´ decrescendo o volume nesse instante?
R: −80m3/min
6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia te´rmica), sua pressa˜o P e o volume V esta˜o relacionados
pela equac¸a˜o PV 1,4 = C, em que C e´ uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e´ 400 cm3, a pressa˜o
e´ 80 kPa e a pressa˜o cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa esta´ decrescendo o volume nesse instante?
R: −35, 7cm3/min
7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um c´ırculo. Se o raio da queimadura esta´ decrescendo a uma
taxa de 0,05 cm por dia quando ele e´ 1 cm, qual a taxa de decre´scimo da a´rea da queimadura nesse instante?
R: −pi/10cm2/dia
8. Suponha que numa farma´cia P seja o prec¸o da caixa de um determinado reme´dio, x o nu´mero de milhares de caixas
desse reme´dio ofertadas diariamente, sendo a equac¸a˜o de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta dia´ria esta´
decrescendo a uma taxa de 250 caixas do reme´dio por dia, em que taxa os prec¸os esta˜o variando quando a oferta dia´ria
e´ de 5000 caixas?
R: −0, 05reais/dia
9. O carro A esta´ indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B esta´ indo para norte a 60 Km/h. Ambos esta˜o dirigindo para
a intersec¸a˜o de duas ruas. A que taxa os carros esta˜o se aproximando um do outro quando o carro A esta´ a 0,3 Km e
o carro B esta´ a 0,4 Km da intersec¸a˜o?
R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h.
10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a` raza˜o de 6 cm/s. Determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do
quadrado no instante em o lado mec¸a 10 cm.
R: 120cm2/s
11. O raio de uma bola cresce a` raza˜o 3 cm/s. Determine a taxa de variac¸a˜o do volume da bola no instante em que o raio
e´ 8 cm.
R: 768picm3/s
12. Uma escada de 5 m de comprimento se apo´ia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta da
parede a uma raza˜o de 0,8 m/s. Qua˜o rapidamente esta´ descendo a extremidade superior da escada no instante em
que a extremidade inferior estiver a 3 m da parede?
R: -0,6 m/s
13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol girato´rio que esta´ a 6 m da
estrada focaliza o homem. A que taxa o farol esta´ girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais
pro´ximo do farol?
R: 3/13 rad/s
14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa
esta´ aumentando a distaˆncia entre os carros duas horas depois da partida?
R: 65m/s
15. O volume de um cubo esta´ aumentando a` taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estara´ variando a a´rea de uma
de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?
R: 15cm2/s
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