Lista de Exercícios 8 - Integrais

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 
Oitava lista de exercícios 
 
1. Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região 
limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: 
(a) .,02,0,1 2 xyxxxy eixodotornoeme ===+=
(b) .,0
2
,0, xyxxxseny eixodotornoeme =π=== 
(c) .2, === xxyxy detornoeme 
(d) . 2,2 === yxyxy detornoeme
(e) entre 
x
y
1= e o eixo x para 1≥x , em torno do eixo x . 
(f) ( método das cascas ) .,22 yxxyxxy eixodotornoeme −=−=
 
2. Calcule, usando integrais, o volume de um cone circular reto de raio da base r e 
altura h. 
 
3. Verifique, por derivação, as seguintes integrais: 
(a) ∫ += Cxdxxtg |sec|ln
(b) ∫ += Cxsendxx ||lncot
(c) ∫ ++= Cxtgxdxx |sec|lnsec
(d) ∫ ++−= Cxxdxx |cotseccos|lnseccos
 
4. Calcule as seguintes integrais trigonométricas: 
(a) (b) ∫ dxxxsen 23 cos dxxsenx∫ 45cos
(c) (d) ∫ ∫ dxx4cos dxxtgx2sec
(e) (f) ∫ ∫ dxxxtg sec3 dxxtgx 44sec
(g) (h) ∫ dxxtg2 ∫ dxxxsen cos3 
(i) (sugestão: use integração por partes) ∫ dxx3sec
 1
 2
 
5. Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais: 
(a) dx
x
x∫ + 92
3
 (b) ∫ − 25 xx
dx
 
(c) ∫ + 162x
dx
 (d) ∫ − 922 xx
dx
 
(e) dx
x
x∫ −42 25 (e) dxxx∫ − 22 4 
6. Calcule a área limitada pela hipérbole e a reta . 3649 22 =− yx 3=x
7. Um toro é gerado pela rotação do círculo ( ) 222 ryax =+− ao redor do eixo y 
( a)r <<0 . Calcule o volume limitado por esse toro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas:1) a) π
15
206
 b) π c) π
15
8
 d) π
15
8
 e) π f) 
3
π
 
4) a) C
xx +−
3
cos
5
cos 35
 b) C
xsenxsenxsen ++−
97
2
5
975
 
c) C
xsenxsenx +++
32
4
4
2
8
3
 d) C
x
ouC
xtg ++
2
sec
2
22
 
e) Cx
x +− sec
3
sec3
 f) C
x
xtgxtg ++
75
5
 g) Cxxtg +− 
h) C
xx
x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
3
cos
7
cos
cos2
3
 i) ( ) Cxtgxxtgx +++ |sec|lnsec
2
1
 
5) a) 
( )
C
xx ++−
3
918 22
 b) Cxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+− 255ln||ln
5
1
 
c) Cxx +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ 216ln d) C
x
x +−
9
92
 e) 
( )
C
x
x +−
3
32
75
25
 
f) ( ) Cxxxxarcsen +−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 22 424122 6) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−
2
53
ln6
2
59
 7) 222 arπ
 2
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