prova 2 2016 Geometria Analítica

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2a Prova de Geometria Anal´ıtica
Profa. Claudia - 31/10/2016
Nome:
RA:
Questo˜es Valores Notas
1.a 2.0
2.a 5.0
3.a 3.0
Total 10.0
ATENC¸A˜O:
• Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
• A prova pode ser feita a la´pis.
• O aluno que estiver envolvido em esquema de cola tera´ a prova zerada.
• O aluno que for pego com celular tera´ a prova zerada.
• As questo˜es devem ser resolvidas apenas com as te´cnicas vistas sala em aula.
QUESTO˜ES:
(1) Considere o plano pi : x + 2y − z = 2, a reta r que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e e´
perpendicular ao plano pi e a reta s definida por s : x− 3 = −y+12 = z+12 .
(a) (1,0) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s.
(b) (1,0) Existem pontos na intersec¸a˜o entre as retas r e s? Se sim identifique-os, se
na˜o justifique.
(2) Considere os pontos A = (1, 1,−1), B = (2, 1, 0), C = (0, 1,−1) e D = (2, 3, 1).
(a) (1,0) Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos segmentos que ligam o
ponto A aos pontos B, C e D.
(b) (1,0) Encontre um vetor ~v que seja ortogonal aos vetores
−−→
AB e
−→
AC.
(c) (1,0) Projete o vetor
−−→
AD ortogonalmente sobre o vetor ~v obtido no item (b).
(d) (0,5) Calcule a altura do paralelep´ıpedo em relac¸a˜o a` base que conte´m os pontos A,
B e C.
(e) (1,5) Encontre a equac¸a˜o geral do plano que passa por A e que conte´m a reta que
passa por B e D.
(3) (a) (1,0) Mostre que ||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + 2~u.~v + ||~v||2.
(b) (0,5) Calcule ||3(~u + ~v)||2, sabendo que ~u e´ unita´rio, ||~v|| = 3 e a medida angular
entre ~u e ~v e´ 2pi/3 radianos.
(c) (1,5) Sejam A, B, C e D pontos. Mostre que se ABCD for um losango (isto e´,
um paralelogramo com lados de mesmo comprimento), enta˜o suas diagonais sa˜o
perpendiculares utilizando produto escalar.
Boa Prova!