Função Quadrática ou Função do 2º Grau

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1. Função Quadrática ou Função do 2º Grau 
1.1 Introdução 
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de 
segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3m de largura. Qual é a área 
do terreno limitado pela cerca? 
 
A área da região cercada é: 
(100 + 2 . 3) . (70 +2 . 3)= 106 . 76= 8.056m2. 
Se a largura da pista for representada por 
x
então a área 
)(xA
da região cercada, será representada por: 
.70003404)(
41402007000)(
)270(.)2100()(
2
2



xxxA
xxxxA
xxxA
 
Este é um caso particular de função polinomial do 2º grau, ou função quadrática. 
1.2 Definição: Uma função quadrática,ou função polinomial do 2º grau, é qualquer 
f
de ℝ em ℝ definida 
pela lei 
cbxaxxf  2)(
, 
Onde 
ceba,
são números reais e 
.0a
 
Exemplos: 
1.
532)( 2  xxxf
 
53,2  ceba
 
2.
143)( 2  xxxf
 
14,3  ceba
 
3.
13)( 2  xxf
 
10,3  ceba
 
1.3 Gráfico 
O gráfico de uma função do 2º grau, 
cbxaxy  2
, com 
0a
, é uma curva chamada parábola. 
Exemplo 1: Construir o gráfico da função 
.2 xxy  
 
Exemplo 2: Construir o gráfico da função 
.12  xy 
 
 
 
Observação: 
Ao construir o gráfico da função quadrática 
cbxaxy  2
, observa-se que: 
 Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para baixo; 
 Se 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para cima. 
1.4 Exercícios 
1. Identifique os coeficientes a, b e c das seguintes funções de 2º grau: 
a) 
22 )3()12()(  xxxf
 
b) 
2)1()5)(3()( xxxxf 
 
c) 
2)13()(  xxf
 
2. Determine 
m
 para que a parábola representativa da função 
35)2( 2  xxmy
 tenha concavidade 
voltada para baixo. 
1.5 Zeros e Equação do 2º Grau 
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 
cbxaxxf  2)(
, 
0a
, os números reias 
tais que 
.0)( xf
 
Então as raízes da função 
)(xf
são as soluções da equação do 2º grau 
02  cbxax
, 
que são dadas pela fórmula de Bhaskara 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Exemplo 1: Obter os zeros da função 
65)( 2  xxxf
. 
Temos que 
65,1  ceba
 
Então: 
23
2
15
2
24255
2
42






 xoux
a
acbb
x
 
e as raízes são 2 e 3. 
Exemplo 2: Calcular os zeros da função 
.144)( 2  xxxf
 
Temos que 
14,4  ceba
 
Então: 
2
1
8
4
8
16164
2
42





a
acbb
x
 
Exemplo 3: Calcular os zeros da função 
.432)( 2  xxxf
 
Temos que 
43,2  ceba
 
Então: 
R
a
acbb
x 






4
233
4
3293
2
42 
A função não possui zeros reais. 
Observação: 
A quantidade de raízes reais se uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando 
acb 42 
, chamado discriminante, a saber: 
 Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
 Quando ∆ é zero, há só uma raiz real. 
 Quando ∆ é negativo, não há raiz real. 
Exemplo 4: Quais são as condições sobre 
m
na função 
)1(23 2  mxxy
a fim de que: 
a) Não existam raízes reais; 
b) Haja uma raiz dupla, 
c) Existam duas raízes reais e distintas. 
Calculando o discriminante (∆) temos: 
mm 1216)1(3.4)2( 2 
 
Assim, 
a) ∆< 0 ⇒ 16 − 12𝑚 < 0 ⇒ 𝑚 >
4
3
 
b) ∆= 0 ⇒ 16 − 12𝑚 = 0 ⇒ 𝑚 =
4
3
 
c) ∆> 0 ⇒ 16 − 12𝑚 > 0 ⇒ 𝑚 <
4
3
 
Exemplo 5: A função quadrática 
cbxaxy  2
tem zeros 
21 xex
. Então sua forma fatorada será: 
))(( 21 xxxxay 
. 
No exemplo 1, 
)3)(2(1652  xxxx
 
No exemplo 2, 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 4(𝑥 −
1
2
) (𝑥 −
1
2
) 
Exemplo 6: Determinar o valor de 
k
a fim de que uma das raízes da equação 
0)3(52  kxx
 seja o 
quádruplo da outra. 
Os zeros (raízes) de uma função quadrática são os valores de 
x
(abscissa) para os quais 
02  cbxaxy
, ou seja, são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo dos 
x
. 
Voltando aos exemplos 1, 2 e 3, temos: 
1. O gráfico de 
65)( 2  xxxf
 corta o eixo 
x
nos pontos (3,0) e (2,0). 
2. O gráfico de 
144)( 2  xxxf
toca o eixo 
x
no ponto (
1
2
, 0). 
3. O gráfico de 
432)( 2  xxxf
 não intercepta o eixo dos 
x
. 
A seguir é feito um esboço dos gráficos: 
 
1.6 Coordenadas do vértice da parábola 
Quando 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto mínimo 
V
. 
Quando 
0a
, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto máximo 
V
. 
Em qualquer caso, as coordenadas de 
V
são (−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
). 
 
 
Exemplo: Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo (como mostra a figura) e descreve uma parábola 
de equação 
xxy 603 2 
(onde 
x
e 
y
são medidos em metros). 
 
Determinar: 
a) a altura máxima atingida pela bala; 
3a
, a parábola tem ponto de máximo 
V
e suas coordenadas são 
),( vv yx
. 
Logo, 
300
12
3600
4
10
6
60
2






a
y
a
b
x
v
v
 
Altura máxima atingida 300m. 
b) o alcance do disparo. 
A bala toca o solo quando 
0y
, isto é, 
2000603 2  xouxxx
 
0x
(ponto inicial do disparo) 
20x
(alcance do disparo) 
1.7 Imagem 
O conjunto-imagem 
Im
da função 
0,2  acbxaxy
, é o conjunto dos valores que 
y
pode assumir. 
Há duas possibilidades: 
1º- Quando 
0a
 
 
2º- Quando 
0a 
 
1.8 Construção da parábola 
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares 
),( yx
, mas seguindo 
apenas o roteiro de observações seguinte: 
1º O valor do coeficiente 
a
define a concavidade da parábola; 
2º Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos 
x
; 
3º O vértice 𝑉 (− 𝑏
2𝑎
, − ∆
4𝑎
) indica o ponto de mínimo (se 
0a
), ou de máximo (se 
0a
); 
4º A reta que passa por 
V
e é paralela ao eixo dos 
y
é o eixo de simetria da parábola; 
5º Para 
0x
, temos 
ccbay  0.0. 2
; então 
),0( c
é o ponto em que a parábola corta o eixo dos 
y
. 
Exemplo 1: Façamos o esboço do gráfico da função 
252 2  xxy
 : 
Características: 
 Concavidade voltada para cima, pois 
02 a
 
 Zeros: 
2
2
1
0252 2  xouxxx
 
 Vértices: 𝑉 = (− 𝑏
2𝑎
, − ∆
4𝑎
) = (
5
4
, −
9
8
) 
 Intersecção com o eixo 
y
: 
)2,0(),0( c
 
 
Exemplo 2: Vamos construir o gráfico da função 
122  xxy
: 
Características: 
 Concavidade voltada para cima, pois 
01a
. 
 Zeros: 
10122  xxx
(raiz dupla). 
 Vértices: 𝑉 = (− 𝑏
2𝑎
, − ∆
4𝑎
) = (1,0) 
 Intersecção com o eixo 
y
: 
)1,0(),0( c
 
 
Note que 
}0|{Im  yRy
 
Exemplo 3: Vamos construir o gráfico da função 
32  xxy
: 
Características: 
 Concavidade voltada para baixo, pois 
01a
. 
 Zeros: 
 032 xx
∄
x
real, pois ∆< 0 
 Vértice: 𝑉 = (− 𝑏
2𝑎
, − ∆
4𝑎
) = (− 1
2
, − 11
4
) 
 Intersecção com o eixo 
y
: 
)3,0(),0( c
 
Como temos apenas dois pontos, podemos opcionalmente calcular mais alguns, como por exemplo: 
31;51  yxyx
, etc. 
 
Note que 







4
11
|Im yRy
 
 
1.9 Sinal 
Consideremos uma função quadrática 
cbxaxxfy  2)(
e determinemos os valores de 
x
para os 
quais 
y
é negativo e os valores de 
x
para os quais 
y
é positivo. 
Conforme o sinal do discriminante 
acb 42 
, podemocorrer os seguintes casos: 
 
0
 
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos 
)( 21 xx 
. A parábola intercepta o eixo 
x0
em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
 
0
 
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais iguais 
)( 21 xx 
. A parábola tangencia o eixo 
x0
e o 
sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
 
0
 
Nesse caso a função quadrática não admite zeros reais. A parábola não intercepta o eixo 
x0
e o sinal da 
função é o indicado nos gráficos abaixo: 
 
xy  ,0
 
∄
x
tal que 
0y
 
Exemplo 1: Vamos estudar o sinal de 
652  xxy
: 
Temos: 
 01a
parábola com concavidade voltada para cima 
 01242542 acb
dois zeros reais distintos 
32
2
15
2
21 



 xex
a
b
x
 
 
Resposta: 
)32(0  xouxy
 
320  xy
 
Exemplo 2: Vamos estudar o sinal de 
16 2  xxy
: 
Temos: 
 06a
parábola com concavidade voltada para baixo 
 02524142 acb
dois zeros reais distintos 
2
1
3
1
12
51
2
21 




 xex
a
b
x
 
 
Resposta: 
2
1
3
1
0  xy
 







2
1
3
1
0 xouxy
 
Exemplo 3: Vamos estudar o sinal de 
9124 2  xxy
: 
Temos: 
 04a
parábola com concavidade voltada para cima 
 014414442 acb
dois zeros reais iguais 
2
3
8
012
2





a
b
x
 
 
Resposta: 
2
3
,0  xy
 
∄
x
tal que 
0y
 
Exemplo 4: Vamos estudar o sinal de 
962  xxy
: 
Temos: 
 01a
parábola com concavidade voltada para baixo 
 0363642 acb
dois zeros reais iguais 
3
2
06
2






a
b
x
 
 
Resposta: 
3,0  xy
 
∄
x
tal que 
0y
 
Exemplo 5: Vamos estudar o sinal de 
523 2  xxy
: 
Temos: 
 03a
parábola com concavidade voltada para cima 
 05660442 acb
não há zeros reais 
 
Resposta: 
xy  ,0
 
∄
x
tal que 
0y
 
Exemplo 6: Vamos estuda o sinal 
1172 2  xxy
: 
Temos: 
 02a
parábola com concavidade voltada para baixo 
 0398849
não há zeros reais 
 
Resposta: 
xy  ,0
 
∄
x
tal que 
0y