Análise de Decisão

Prévia do material em texto

Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 1
Análise de Decisão 
 
1. Introdução 
 
 A Análise de Decisão envolve o uso de processos racionais para selecionar a melhor 
alternativa dentre um conjunto de alternativas possíveis. 
Os processos de tomada de decisão podem ser divididos em duas principais 
categorias: 
 
1) Tomada de Decisão Sem Experimentação, e 
2) Tomada de Decisão Com Experimentação. 
 
Os problemas abaixo exemplificam algumas situações nas quais faz-se necessário 
tomar alguma decisão: 
 
? Uma industria lança um novo produto no mercado. Qual será a reação dos 
clientes potenciais ? Quanto deveria ser produzido ? A aceitação do produto 
por parte do mercado deveria ser testada em uma pequena região antes de 
decidir sobre a distribuição total do produto ? Quanto deve-se investir em 
publicidade para lançar o produto ? 
? Uma concorrência pública será aberta. Qual será o custo do projeto ? Quais 
as potencias companhias que poderiam concorrer ? 
? Uma firma agrícola necessita planejar para o próximo ano o uso de suas 
terras. Quantos hectares devem ser destinados a pastagens para criação de 
gado e quantos hectares devem ser destinados ao plantio de milho e soja ? 
 
Estes exemplos são tipos de processos de tomada de decisão nos quais existe uma 
grande incerteza envolvida. Análise de Decisão fornece uma metodologia para tomar tais 
decisões de maneira racional. 
O exemplo protótipo abaixo será utilizado para ilustrar a metodologia envolvida. 
 
Exemplo Protótipo: a companhia GoferBroke possui terras que podem ter petróleo. Um 
levantamento geofísico determinou que existe 1 chance em 4 de realmente existir petróleo 
nestas terras. Por causa desta informação, outra companhia petrolífera quer comprar estas 
terras por $90.000,00. Entretanto, a GoferBroke sabe que o custo para perfurar um poço 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 2
naquela região é $100.000,00. Se for encontrado petróleo, o retorno esperado deverá ser de 
$800.000,00. Descontando o custo da perfuração, o lucro então será de $700.000,00. 
 A tabela abaixo resume estas informações. 
 
Tabela 1 - Payoff para a companhia GoferBroke 
Payoff Estado 
Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco 
Perfurar $700.000,00 $-100.000,00 
Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 
Chance 1 em 4 3 em 4 
 
 Qual a decisão que a companhia GoferBroke deve tomar: 1) vender a terra e ganhar 
$90.000,00 sem riscos ou 2) perfurar o poço a um custo de $100.000,00 e obter um retorno 
de $800.000,00, resultando em lucro de $700.000,00 com um risco estimado em 75% (3 em 
4) ? 
 
2. Tomada de Decisão Sem Experimentação 
 
Como se percebe no exemplo protótipo, existe uma informação referente à chance 
que existe em achar petróleo ou não. Esta informação pode ser convertida em uma medida 
de probabilidade. Com isso, pode-se dizer que existe uma probabilidade de 0.25 de 
encontrar petróleo e conseqüentemente, uma probabilidade de 0.75 de não encontrar 
petróleo. A estas probabilidades dá-se o nome de Probabilidades a Priori. 
Na terminologia de Análise de Decisão, os valores $700.000,00, $-100.000,00, 
$90.000,00 e $90.000,00 da tabela 1 são denominados Estados da Natureza. 
Por Tomada de Decisão Sem Experimentação, entende-se que é de conhecimento 
apenas as Probabilidades a Priori e os Estados da Natureza. 
Neste tipo de tomada de decisão pode-se utilizar, entre outros, três critérios: 
1. Critério de Maximin Payoff, 
2. Critério de Máxima Verossimilhança, e 
3. Critério da Regra de Bayes. 
 
2.1 Critério de Maximin Payoff 
 
 Neste critério, o problema de tomar uma decisão é vista como um Jogo (Teoria dos 
Jogos) entre o Tomador de Decisão (jogador A) e a Natureza (jogador B). 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 3
 Como a matriz de Payoff é geralmente formada para o Tomador de Decisão (os 
valores da matriz são os payoff para o jogador A), a decisão pode ser tomada baseada no 
Critério de Maximin Payoff. 
 
Critério de Maximin Payoff: para cada ação (estratégia), encontrar o mínimo payoff entre 
todos os Estados da Natureza e então encontrar o máximo destes payoff mínimos. Escolher 
a ação cujo mínimo payoff resultou neste máximo. 
 
 No exemplo protótipo o Maximin é: 
 
Payoff Mínimo em 
Linha 
 Estado
 
Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco 
Perfurar $700.000,00 -$100.000,00 $-100.000,00 
Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 $90.000,00 Maximin 
 
 Com isso, a decisão a ser tomada é vender a terra. 
 
2.2 Critério de Máxima Verossimilhança 
 
 Este critério assume como decisão a ser tomada a que for mais provável. 
 
Critério de Máxima Verossimilhança: identificar o Estado da Natureza mais provável (o 
com maior probabilidade). Para este Estado da Natureza, encontrar a ação com máximo 
payoff. Escolher esta ação. 
 
 Aplicando este critério para o exemplo protótipo, indica que o Estado Poço Seco 
possui a maior probabilidade. Na coluna "Poço Seco", a alternativa "Vender a terra" possui 
o maior payoff. 
 
Payoff Estado 
Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco 
Perfurar $700.000,00 $-100.000,00 
Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 Máximo 
Probabilidade à Prior 0.25 0.75 
 Máximo 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 4
Com isso, a ação a ser tomada, segundo este critério é vender a terra. 
 O maior problema deste critério é que este ignora completamente muita informação 
relevante. Nenhum outro Estado da Natureza é considerado, a não ser o mais provável. 
 
2.3 Critério da Regra de Bayes 
 
 
Thomas Bayes (*1702, Londres, Inglaterra;  1761 em Tunbridge Wells, Inglaterra). 
 
Regra de Decisão de Bayes: usando a melhor estimativa das probabilidades dos 
respectivos Estados da Natureza (as Probabilidades à Priori), calcular o valor esperado de 
payoff para cada alternativa possível. Escolher a alternativa com máximo payoff esperado. 
 
 Para o exemplo protótipo, os payoff esperados E são calculados diretamente a partir 
da tabela 1 como: 
 
( )[ ] ( ) 00,000.10000,000.100*75.000,000.700*25.0PerfurarPayoffE =−+= (1)
( )[ ] ( ) 00,000.9000,000.90*75.000,000.90*25.0TerraVenderPayoffE =+= (2)
 
 Uma vez que $100.000,00 é maior que $90.000,00 a ação a ser tomada, segundo 
este critério é perfurar o poço. Percebe-se que este critério resultou em uma ação diferente 
das ações obtidas segundo os dois critérios anteriores. 
 A grande vantagem deste critério em relação aos demais é que este incorpora todas 
as informações disponíveis (Estados da Natureza e Probabilidades a Priori). 
 A fim de verificar o efeito de possíveis imprecisões nas Probabilidades a Priori, 
pode-se realizar uma Análise de Sensibilidade. 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 5
2.3.1 Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes 
 
 A Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes é facilmente 
implementado através da generalização das expressões (1) e (2). Denominando p como a 
Probabilidade a Priori para poço com petróleo, a Probabilidade a Priori para poço seco é 
dada por 1-p, uma vez que a soma das probabilidades a Priori resulta em 1. Os payoff 
esperados (em milhares de $, para simplificação da notação) ficam: 
 
( )[ ] ( ) 100p800p1100p700PerfurarPayoffE −=−−= (3)
( )[ ] ( ) 90p190p90TerraVenderPayoffE =−+= (4)
 
 A figura abaixo mostra em azul a reta dada pela expressão (3), em vermelho a reta 
dada pela expressão (4) e em verde a reta que divide a região onde adecisão deveria ser 
vender a terra (região à esquerda) da região onde a decisão deveria ser perfurar o poço 
(região à direita). 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
Analise de Sensibilidade para o exemplo GoferBroke
Probabilidade a Priori para Poço com Petroleo
P
ay
of
f E
sp
er
ad
o
Região onde
a decisão deveria
ser perfurar o poço 
Região onde
a decisão deveria
ser vender a terra 
Fig. 1 - Regiões de Decisão para o Critério da Regra de Bayes 
 
 Para encontrar a Probabilidade a Priori (ponto no eixo x do gráfico da figura 1) onde 
a decisão a ser tomada muda (Crossover Point) faz-se: 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 6
 
( )[ ] ( )[ ]
2375.0
800
190p
90100p800TerraVenderPayoffEPerfurarPayoffE
==
=−==
 
(5)
 
 Com isso, pode-se concluir que se p>0.2375, a decisão deveria ser perfurar o poço e 
se p<0.2375, a decisão deveria ser vender a terra. 
 Para outros problemas que possuem mais de que duas alternativas, o mesmo 
procedimento pode ser aplicado, a diferença é que vai haver mais retas (uma para cada 
alternativa). No entanto, a reta que estiver mais acima (no exemplo, reta azul acima da 
vermelha para a região onde p>0.2375 e reta vermelha acima da azul para a região onde 
p<023.75) dentre as demais em uma região indica a decisão a ser tomada. 
 Com mais que duas retas, poderá haver mais de um Crossover Point, onde a decisão 
muda de uma alternativa para outra. 
 Para problemas com mais de dois Estados da Natureza, a metodologia mais direta é 
realizar a Análise de Sensibilidade sobre somente dois Estados de cada vez. 
 
3. Tomada de Decisão Com Experimentação 
 
 Freqüentemente, testes adicionais (experimentações) podem ser realizadas para 
melhorar as estimativas preliminares dos respectivos Estados da Natureza fornecidos pelas 
Probabilidades a Priori. Estas estimativas melhoradas são denominadas Probabilidades a 
Posteriori. 
 
Exemplo Protótipo com Experimentação: a companhia GoferBroke pode realizar um 
levantamento geofísico mais detalhado das suas terras para obter uma melhor estimativa da 
probabilidade de encontrar petróleo. O custo deste levantamento é $30.000,00. 
 O levantamento geofísico obtém sondagens sísmicas que indicam se a estrutura 
geológica é favorável para a presença de petróleo. Assim, as possibilidades de encontrar 
petróleo podem ser divididas em duas categorias: 
 
USS: Sondagem Sísmica Desfavorável ⇒ presença de petróleo na região é pouco provável; 
FSS: Sondagem Sísmica Favorável ⇒ presença de petróleo na região é bastante provável. 
 
 Baseado em experiências passadas, se existir petróleo, então a probabilidade de 
Sondagem Sísmica Desfavorável é: 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 7
( ) 4.0petróleoEstadoUSSP == , e (6)
( ) 6.04.01petróleoEstadoFSSP =−== (7)
 
 Similarmente, se não há petróleo (isto é, o Estado da Natureza é Poço Seco), então a 
probabilidade de Sondagem Sísmica Desfavorável é estimada para ser: 
 
( ) 8.0osecpoçoEstadoUSSP == , e (8)
( ) 2.08.01osecpoçoEstadoFSSP =−== (9)
 
 A estas probabilidades dadas em (6), (7), (8) e (9) dá-se o nome de Probabilidades 
Condicionais, a partir das quais pode-se encontrar as Probabilidades a Posteriori dos 
respectivos Estados da Natureza dada as Sondagens Sísmicas. 
 
3.1 Probabilidades a Posteriori 
 
 Em termos gerais, considerando que: 
 
 n = número de Estados da Natureza; 
 P(Estado = estado i) = Probabilidade a Priori que o Estado verdadeiro da Natureza é 
o estado i, para i = 1, 2, . . ., n; 
 Constatação = constatação a partir de uma experimentação (uma variável 
randômica); 
 Constatação j = um valor possível de constatação; 
 P(Estado = estado i | Constatação = constatação j) = Probabilidade a Posteriori que o 
Estado verdadeiro da Natureza é estado i, dado que Constatação = constatação j, para i = 1, 
2, . . ., n. 
 
 O objetivo é: 
 
 Dado P(Estado = estado i) e P(Constatação = constatação j | Estado = estado i), para 
i = 1, 2, . . . , . Qual é P(Estado = estado i | Constatação = constatação j)? 
 
 Esta questão é respondida por combinar as seguintes fórmulas da teoria de 
Probabilidade: 
 
( ) ( )( )joconstataçãoConstataçãP joconstataçãoConstataçã,iestadoEstadoPjoconstataçãoConstataçãiestadoEstadoP = ===== (10)
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 8
 
( ) ( )∑ ====
=
n
1k
joconstataçãoConstataçã,kestadoEstadoPjoconstataçãoConstataçãP (11)
 
( )
( ) ( )iestadoEstadoP.iestadoEstadojoconstataçãoConstataçãP
joconstataçãoConstataçã,iestadoEstadoP
===
===
 (12)
 
 A probabilidade em (12), dá-se o nome de Probabilidade Conjunta. 
Portanto, para cada i =1, 2,..., n, a fórmula desejada para a Probabilidade a 
Posteriori é: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )∑ ===
===
===
=
n
1k
kestadoEstadoP.kestadoEstadojoconstataçãoConstataçãP
iestadoEstadoP.iestadoEstadojoconstataçãoConstataçãP
joconstataçãoConstataçãiestadoEstadoP
 
(13)
 
A expressão 13 é denominada Teorema de Bayes. 
 Retomando o exemplo protótipo, se a constatação do levantamento sísmico é 
Sondagem Sísmica Desfavorável (USS), então as Probabilidades a Posteriori são: 
 
( )
7
1
)75.0(8.0)25.0(4.0
)25.0(4.0USSoConstataçãpetroleoEstadoP =+=== 
(14)
 
( )
7
6
7
11USSoConstataçãosecpoçoEstadoP =−=== (15)
 
 Similarmente, se o levantamento sísmico resulta em Sondagem Sísmica Favorável 
(FSS), então: 
 
( )
2
1
)75.0(2.0)25.0(6.0
)25.0(6.0FSSoConstataçãpetroleoEstadoP =+=== 
(16)
 
( )
2
1
2
11FSSoConstataçãosecpoçoEstadoP =−=== (17)
 
 Uma maneira interessante de organizar estes cálculos é utilizar um diagrama em 
árvore de probabilidade. 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 9
Fig. 2 - Diagrama em Árvore de Probabilidades. 
 
No diagrama da figura 2, as Probabilidades a Priori estão na primeira coluna e as 
Probabilidades Condicionais estão na segunda coluna. Estas probabilidades são as 
informações de entrada. Multiplicando cada Probabilidade na primeira coluna por uma 
probabilidade na segunda coluna resulta na Probabilidade Conjunta correspondente na 
terceira coluna. Cada Probabilidade Conjunta torna-se o numerador no cálculo das 
Probabilidades a Posteriori na quarta coluna. Acumulando as Probabilidades Conjuntas 
com mesma constatação, fornece o denominador para cada Probabilidade a Posteriori com 
esta constatação. 
 Depois que estes cálculos foram completados, a Regra de Decisão de Bayes pode 
ser aplicada simplesmente como em (1) e (2), com as Probabilidades a Posteriori no lugar 
das Probabilidades a Priori. De novo, usando os payoff dados e subtraindo os custo da 
experimentação, obtém-se o seguinte resultado: 
 
Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Desfavorável (USS): 
 
( )[ ] ( ) ( ) 7.1530100
7
6700
7
1USSoConstataçãPerfurarPayoffE −=−−+== (18)
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 10
( )[ ] ( ) ( ) 603090
7
690
7
1USSoConstataçãVenderPayoffE =−+== (19)
 
Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Favorável (FSS): 
 
( )[ ] ( ) ( ) 27030100
2
1700
2
1FSSoConstataçãPerfurarPayoffE =−−+== (20)
 
( )[ ] ( ) ( ) 603090
2
190
2
1FSSoConstataçãVenderPayoffE =−+== (21)
 
 Uma vez que o objetivo é maximizar o Payoff Esperado, estes resultados produzem 
a seguinte política ótima,como mostra a tabela 2. 
 
Tabela 2 - Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes. 
Constatação a 
partir do 
Levantamento 
Sísmico 
Ação Ótima Payoff Esperado 
excluindo custos de 
levantamento 
Payoff Esperado 
incluindo custos de 
levantamento 
USS vender a terra 90 60 
FSS perfurar 300 270 
 
 Entretanto, este resultado não responde se é válido gastar (ou não) $30.000,00 para 
realizar a experimentação. 
 
3.2 O Valor da Experimentação 
 
 Antes de realizar qualquer experimentação, deve-se estimar seu valor potencial. 
Para isto pode-se utilizar dois métodos. 
 O primeiro método assume que o experimento irá remover toda a incerteza sobre o 
verdadeiro Estado da Natureza e então calcula-se a melhora no Payoff Esperado ignorando 
o custo da experimentação. Esta quantidade, denominada Valor Esperado da Informação 
Perfeita (EVPI) fornece um limite superior para o valor potencial do experimento. 
Portanto, se este limite superior é menor que o custo da experimentação, a experimentação 
não deve ser realizada. 
 Entretanto, se este limite superior excede o custo da experimentação, então um 
segundo método deverá ser utilizado. Este segundo método calcula a melhora atual no 
Payoff Esperado (ignorando o custo da experimentação) que resultaria a partir de realizar a 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 11
experimentação. A comparação da melhora do Payoff Esperado com o custo indica se a 
experimentação deve ou não ser realizada. 
 
Valor Esperado da Informação Perfeita: admitindo que a experimentação permita 
identificar o verdadeiro Estado da Natureza (informação perfeita) e portanto, a ação a ser 
realizada é aquela que fornece o maior Payoff para aquele Estado. Uma vez que não se 
conhece qual o Estado da Natureza que será identificado como verdadeiro Estado da 
Natureza, o cálculo do Payoff Esperado com Informação Perfeita (ignorando os custos da 
experimentação) requer ponderar o máximo Payoff para cada Estado da Natureza pelas suas 
respectivas Probabilidades a Priori. A tabela 3 mostra os Payoff Máximos (em milhares de 
$) para os possíveis Estados da Natureza do exemplo protótipo. 
 
Tabela 3 - Payoff Máximos para os possíveis Estados da Natureza 
Payoff Estado 
Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco 
Perfurar $700 $-100 
Vender a terra $90 $90 
Probabilidade à Prior 0.25 0.75 
Máximo Payoff $700 $90 
 
 O Payoff Esperado com Informação Perfeita (EVWPI) para o exemplo protótipo é 
então: 
 
5.242)90(75.0)700(25.0EVWPI =+= (22)
 
 O Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI) é calculado como: 
 
EVWOEEVWPIEVPI −= (23)
 
onde: 
 EVWOE é o Valor Esperado Sem Experimentação. 
 
 Geralmente a experimentação não fornece Informação Perfeita, porém o EVPI 
fornece um limite superior do valor esperado da experimentação. 
 Para o exemplo protótipo, o Valor Esperado Sem Experimentação (seção 2.3) é 100. 
Portanto: 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 12
5.1421005.242EVPI =−= (24)
 
 Uma vez que 142.5 é maior que 30 (custo do levantamento geofísico), deve-se 
proceder com o levantamento geofísico. O segundo método citado abaixo avalia o potencial 
benefício da experimentação. 
 
Valor Esperado da Experimentação: para calcular esta quantidade requer primeiro 
computar o Payoff Esperado Com Experimentação (ignorando os custos da 
experimentação) (seção 3.1) e as probabilidades das Constatações P(Constatação = 
constatação j). Esta quantidade então fica: 
 
( ) [ ]joconstataçãoConstataçãpayoffE.joconstataçãoConstataçãP açaoExperimentComEsperadoPayoff
j
=∑ =
=
 
(25)
 
onde: 
 
( )
( ) ( )∑ ===
==
=
n
1k
kestadoEstadoP.kestadoEstadojoconstataçãoConstataçãP
joconstataçãoConstataçãP
 
(26)
 
 Para o exemplo protótipo, tem-se que: 
 
( ) ( ) ( ) 7.075.0*8.025.0*4.0)osecpoço(P.osecpoçoUSSP)petroleo(P.petroleoUSSPUSSP =+=+= (27)
( ) ( ) ( ) 3.075.0*2.025.0*6.0)osecpoço(P.osecpoçoFSSP)petroleo(P.petroleoFSSPFSSP =+=+= (28)
( ) 90USSoConstataçãPayoffE == (29)
( ) 300FSSoConstataçãPayoffE == (30)
 
 Com isso, o Payoff Esperado Com Experimentação é: 
 
153)300(3.0)90(7.0açaoExperimentComEsperadoPayoff =+= (31)
 
 O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado então por: 
 
açaoExperimentSemEsperadoPayoffaçaoExperimentComEsperadoPayoffEVE −= (32)
 
 Para o exemplo protótipo, fica: 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 13
53100153EVE =−= (33)
 
Uma vez que este valor excede 30 (o custo do levantamento geofísico), a 
experimentação deverá ser realizada. 
 
4. Árvores de Decisão 
 
 Árvores de Decisão fornecem uma maneira útil de visualmente mostrar o problema 
e então organizar o trabalho computacional descrito nas seções anteriores. Tais árvores são 
úteis quando uma seqüência de decisões precisa ser realizada. 
 O exemplo protótipo envolve uma seqüência de duas decisões: 
 
1. O levantamento geofísico deverá ser realizado ? 
2. Qual ação (perfurar ou vender a terra) deverá ser realizada ? 
 
Nestas árvores, os nós são denominados bifurcações (forks) e os arcos são 
denominados galhos (branches). Uma bifurcação de decisão (decision fork), representada 
aqui por um quadrado, indica que uma decisão precisa ser feita naquele ponto do processo. 
Uma bifurcação de chance (chance fork), representada por um círculo, indica que um 
evento randômico ocorre naquele ponto. 
A árvore da figura 3 mostra a árvore para o exemplo protótipo. 
 
 
Fig. 3 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo. 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 14
 Na árvore da figura 3, a primeira decisão é representada pela bifurcação a. A 
bifurcação b é a bifurcação de chance representando o evento randômico do resultado do 
levantamento geofísico. Os dois galhos provenientes da bifurcação b representam os dois 
resultados possíveis do levantamento. Após, vem a segunda decisão (bifurcações c,d e e) 
com duas escolhas possíveis. Se a decisão é perfurar, então resultará em outras bifurcações 
de chance (f, g e h), que se conectam a dois galhos que representam os dois Estados da 
Natureza. 
 O próximo passo na construção da árvore de decisão é inserir o fluxo de dinheiro e 
as probabilidades referentes a cada galho (arco). Na figura 4, as probabilidades estão em 
azul dentro de parênteses e o fluxo de dinheiro (em milhares de $) em vermelho e em verde, 
no canto direito da figura encontra-se os valores de Payoff para cada ação. 
 
Fig. 4 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com fluxo de dinheiro e probabilidades. 
 
 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 15
4.1 Realizando a Análise 
 
 De posse da Árvore de Decisão (como na figura 4), pode-se realizar a análise, de 
acordo com os seguintes passos: 
 
1. Começar no lado direito da Árvore e mover para a esquerda uma coluna de cada 
vez. Para cada coluna, utilizar o passo 2 ou passo 3, dependendo se a bifurcação na 
coluna é uma bifurcação de chance ou uma bifurcação de decisão. 
 
2. Para cada bifurcação de chance calcular seu Payoff Esperado multiplicando o Payoff 
Esperado de cada galho (em verde, na figura 4) pela probabilidade de cada galho e 
então somar estes produtos. Armazenar este Payoff Esperado para cada bifurcação 
de decisão (também em verde na figura 5) e designar esta quantidade como sendo o 
Payoff Esperado para o galho oriundo desta bifurcação. 
 
3.Para cada bifurcação de decisão comparar o Payoff Esperado de seus galhos e 
escolher a alternativa cujo galho tem maior Payoff Esperado. Em cada caso, 
armazenar a escolha na Árvore de Decisão inserindo barras duplas (representando 
uma barreira) em cada galho rejeitado (ver figura 5). 
 
Para começar o procedimento, considere a coluna mais à direita cujos galhos originam-
se das bifurcações f, g e h. Aplicando o passo 2, seus Payoff Esperados (EP) são 
calculados como: 
 
7.15)130(
7
6)670(
7
1EP −=−+= para bifurcação f (34)
270)130(
2
1)670(
2
1EP =−+= para bifurcação g (35)
100)100(
4
3)700(
4
1EP =−+= para bifurcação h (36)
 
 Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações (ver figura 5). 
 Dando seqüência, move-se uma coluna para a esquerda, o que consiste em alcançar 
as bifurcações de decisão c,d e e. Através do passo 3 obtém-se: 
 
Bifurcação c: perfurar com EP = -15.7 
vender com EP = 60 
60>-15.7, portanto escolher vender 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 16
Bifurcação d: perfurar com EP = 270 
vender com EP = 60 
270>60, portanto escolher perfurar 
Bifurcação e: perfurar com EP = 100 
vender com EP = 90 
100>90, portanto escolher perfurar 
 
 Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações de decisão (ver 
figura 5). A alternativa escolhida também está indicando para inserir barras duplas nos 
galhos rejeitados. 
 Movendo mais uma coluna a esquerda alcança-se a bifurcação de chance b. 
Aplicando o passo 2, os Payoff Esperados de seus galhos encontram-se armazenados 
sobre as seguintes bifurcações de decisão (c e d). Portanto, o Payoff Esperado é: 
 
123)270(3.0)60(7.0EP =+= para bifurcação b (37)
 
 Finalmente, alcança-se a bifurcação de decisão a. Aplicando o passo 3, resulta em: 
 
Bifurcação a: fazer levantamento geofísico com EP = 123 
não fazer levantamento geofísico com EP = 100 
123>100, portanto escolher fazer levantamento 
 
 O Payoff Esperado de 123 deve ser colocado sobre a bifurcação a e uma barra dupla 
indicando o galho rejeitado. 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 17
Fig. 5 - Árvore de Decisão final para o exemplo protótipo. 
 
 Uma vez concluída a Árvore, move-se da esquerda para a direita através apenas dos 
caminhos abertos (sem barras duplas), o que resulta na seguinte política ótima: 
 
Política Ótima: 
Fazer levantamento geofísico, 
Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar. 
O Payoff Esperado (incluindo os custos do levantamento) é 123 ($123.000,00). 
 
 Esta solução ótima (única) é a mesma que pode ser obtida sem o beneficio da 
Árvore de Decisão aplicando a expressão 37 para os valores da tabela 2. 
 
 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 18
5. Teoria da Utilidade 
 
 Nas seções anteriores, considerou-se que o Payoff Esperado em termos monetários é 
uma medida apropriada das conseqüências de tomar uma ação. Entretanto, em muitas 
situações esta consideração não reflete o "verdadeiro" Payoff Esperado que o tomador de 
decisões deseja. O parágrafo abaixo explica o porque disto. 
 Supondo que seja oferecido a um indivíduo um investimento (jogo, negócio,...) no 
qual há (1) uma chance de 50% de ganhar $100.000,00 ou (2) receber $40.000,00 com 
garantia (chance de 100%). Muitas pessoas devem preferir a opção 2 (receber $40.000,00 
com garantia), mesmo embora o Payoff Esperado de ganhar $100.000,00 em uma chance de 
50% é $50.000,00. 
 Este exemplo não invalida a Regra de Decisão de Bayes porque existe uma maneira 
de transformar os valores monetários para uma escala apropriada que reflete as preferências 
do tomador de decisão. Esta escala é denominada Função de Utilidade para o Dinheiro. 
 A figura 6 mostra um exemplo desta função para um indivíduo (organização) que 
tem "aversão ao risco" (verde), "indiferente ao risco" (azul), "atração ao risco" (vermelho). 
 As funções na figura 6 indicam que o valor do dinheiro M possui uma utilidade 
u(M). De maneira textual, para a curva "aversão ao risco" por exemplo, um ganho de 600 
(M = 600) possui uma utilidade de apenas algo em torno de 300 (u(M) = 300), enquanto um 
prejuízo de 600 (M = -600) possui uma utilidade em torno de -2500 (u(M) = - 2500). Para 
as demais curvas o raciocínio é análogo. 
 Um modelo bastante comum utilizado para a Função de Utilidade u(M) é dado 
abaixo: 
 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= − R
M
e1RMu 
(38)
 
onde: 
 M é o valor do dinheiro; 
 R é a tolerância ao risco do indivíduo. 
 
 Assim, uma grande aversão ao risco corresponde para um pequeno valor de R, 
enquanto uma atração ao risco corresponde para um alto valor de R. 
 Neste contexto é comum apresentar as curvas da figura 6 como na figura 7. 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 19
 
-600 -400 -200 0 200 400 600 
-3000 
-2000 
-1000 
0 
1000 
2000 
3000 
M
u(M) 
Função de Utilidade
aversão 
ao risco 
atração 
ao risco 
indiferença 
ao risco 
Fig. 6 - Exemplo de Função de Utilidade para o Dinheiro. 
 
 
atração 
ao risco 
indiferença
ao risco 
aversão 
ao risco 
 
Fig. 7 - Função de Utilidade tipicamente apresentada. 
 
 Como exemplo desta teoria, tem-se a Função de Utilidade do Dinheiro para o 
exemplo protótipo da companhia GoferBroke de acordo com a figura 8. A companhia 
GoferBroke possui aversão ao risco (curva verde). 
 O procedimento para utilizar a árvore de decisão para analisar o problema de 
tomada de decisão é idêntico ao descrito na seção 4, exceto que os Payoff monetários são 
substituídos pelos valores de utilidade u(M). 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 20
 
 
-600 -400 -200 0 200 400 600 
-800 
-600 
-400 
-200 
0 
200 
400 
600 
800 
M
u(
M) 
Funçao de Utilidade para o dinheiro da GoferBroke
aversão
ao risco 
indiferença 
ao risco 
Fig. 8 - Função de Utilidade para o Dinheiro da companhia GoferBroke. 
 
 A tabela abaixo mostra os valores dos Payoff monetários e seus respectivos valores 
de utilidade. 
 
Tabela 4 - Utilidade para a companhia GoferBroke 
Payoff Monetário Utilidade 
-130 -150 
-100 -105 
60 60 
90 90 
670 580 
700 600 
 
 A Árvore de Decisão agora fica: 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 21
Fig. 9 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com valores de utilidade. 
 
A Política Ótima obtida com os valores de utilidade neste exemplo é a mesma obtida 
com os Payoff monetários, apenas com a diferença no valor da Utilidade Esperada (que 
corresponde ao Payoff Esperado no caso de utilizar Payoff monetário). 
 
Política Ótima (utilidade): 
Fazer levantamento geofísico, 
Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar. 
A Utilidade Esperada (incluindo os custos do levantamento) é 106.5 ($106.500,00). 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: Hiller & Lieberman, CAP. 15 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 22
Exercícios - Análise de Decisão 
qualquer erro, favor enviar e-mail para fernog@engprod.ufjf.br 
 
1) Uma companhia desenvolveu um novo chip de computador que a habilita a produzir 
computadores. Alternativamente, está firma pode vender os direitos do chip por 
$15.000.000,00.Se a companhia escolhe produzir os computadores, a lucratividade 
dependerá da habilidade da companhia para vender os computadores. Devido a 
informações dos distribuidores, a companhia irá vender com certeza 10.000 
computadores, porém se o produto "emplacar", a companhia poderá vender 100.000 
computadores. Para propósitos de análise, estes dois níveis de vendas são dois 
resultados possíveis, porém, suas probabilidades a priori não são conhecidas. O 
custo de instalação da linha de produção é de $6.000.000,00. O lucro sobre cada 
computador vendido é $600,00. 
a) Identifique as ações (alternativas), os estados da natureza e a tabela de 
Payoff. 
b) Desenvolva um gráfico dos Payoff Esperados para cada ação alternativa 
versus a probabilidade a priori de vender 10.000. 
c) Determine o ponto de Crossover para o gráfico acima. Qual o significado 
deste ponto ? 
d) Assumindo que as probabilidades a priori dos dois níveis de venda são 
ambos iguais a 0.5, qual ação deveria ser tomada ? 
 
2) Dada a seguinte tabela de investimentos: 
 Economia 
Crescente 
Economia 
Estável 
Economia 
Decrescente 
Investimento 
Conservador 
$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 
Investimento 
Especulativo 
$40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 
Investimento Cíclico $-10.000,00 $0,00 $15.000,00 
Probabilidade a Priori 0.1 0.5 0.4 
Qual investimento deve ser escolhido segundo cada um dos critérios abaixo: 
a) Maximin Payoff 
b) Máxima Verossimilhança 
c) Decisão de Bayes 
 
3) Reconsidere o problema 1 agora considerando que uma pesquisa de mercado ao 
custo de $1.000.000,00 pode ser realizada para prever qual dos dois níveis de 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 23
demanda é mais provável ocorrer. Experiências prévias indicam que tais pesquisas 
são corretas em dois terços das vezes em que são realizadas. 
a) Encontre o EVPI para este problema. Considere a probabilidade a priori de 
vender 10.000 igual a probabilidade a priori de 100.000 igual a 0.5. 
b) A resposta em a) indica que compensa realizar a pesquisa de mercado ? 
c) Desenvolva um diagrama em árvore de probabilidade para obter as 
probabilidades a posteriori dos dois níveis de demanda para cada dos dois 
resultados possíveis da pesquisa de mercado. 
d) Encontre EVE. 
 
4) José toma decisões de acordo com a regra de decisão de Bayes. José construiu a 
seguinte tabela de Payoff : 
 Estado da Natureza 
Alternativa S1 S2 S3 
A1 50 100 -100 
A2 0 10 -10 
A3 20 40 -40 
Probabilidade a Priori 0.5 0.3 0.2 
a) Qual alternativa José deve escolher ? 
b) Encontre EVPI 
c) Qual é o máximo que José deve pagar para obter maiores informações sobre qual 
estado da natureza irá ocorrer ? 
 
5) Suponha que você more em uma região sujeita a terremotos, assim você está 
considerando comprar um seguro para sua casa ao custo anual de $180,00. A 
probabilidade de um terremoto danificar sua casa durante um ano é 0.001. Se isto 
acontece, você estima que o custo dos danos (totalmente cobertos pelo seguro) é 
$160.000,00. Seus bens (incluindo a sua casa) totalizam $250.000,00. 
a) Aplique a regra de decisão de Bayes para determinar qual alternativa 
(comprar ou não o seguro) maximiza seus bens esperados após 1 ano. 
b) Você agora tem construído uma função de utilidade que mede o valor dos 
seus bens (x) em $. Está função é dada por ( ) xxu = . Compare a utilidade 
de reduzir seus bens totais no próximo ano pelo custo do seguro contra 
terremotos com a utilidade esperada no próximo ano de não comprar o 
seguro contra terremoto. Você deveria comprar o seguro ? 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 24
6) Faça um programa que calcule, dado uma matriz de Payoff para n estados da 
natureza e m alternativas, os payoff´s seguindo os critérios de Maximin, 
Maxima Verossimilhança e Bayes. 
 
7) Faça um programa que gere, a cada iteração, uma matriz de Payoff com valores 
aleatórios para os intervalos dado na tabela abaixo: 
 
Payoff Estado 
Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco 
Perfurar M11 M12 
Vender a terra M21 M22 
Probabilidade à 
Prior 
p1 p2 
 
onde: 
 M11 = [300,1000] 
 M12 = [-300,-50] 
 M21 = M22 = [50,120] 
 p1 = [0.05,0.40] 
 p2 = 1- p1 
 
A cada iteração o programa deverá determinar os Payoff´s seguindo os critérios de 
Maximin, Maxima Verossimilhança e Bayes. Após várias iterações, verificar qual 
dos critérios resultou em melhor payoff a cada iteração e os payoff´s médios para 
cada critério. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 25
Respostas 
1.a) 
 
 
 
 
 
 
1.b) 
( )[ ] ( ) 54p54p154p0esComputadoroduzirPrPayoffE +−=−+= 
( )[ ] ( ) 15p115p15DireitosVenderPayoffE =−+= 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
Analise de Sensibilidade 
Probabilidade a Priori para Vender 10.000
P
ay
of
f E
sp
er
ad
o
 
 
1.c) 
( )[ ] ( )[ ] 7222.0
54
39p1554p54DireitosVenderPayoffEesComputadoroduzirPrPayoffE ==⇒=+−⇒= 
O significado do ponto de crossover é que se a probabilidade a priori de vender 10.000 
computadores for menor que 0.7222, a decisão a ser tomada, segundo o critério de Bayes é 
Produzir Computadores, caso contrário, é Vender Direitos. 
1.d) Obviamente, Produzir Computadores. 
 
 
 
Estado da Natureza 
Alternativas Vender 10.000 Vender 100.000 
Produzir Computadores 0 54 
Vender Direitos 15 15 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 26
2.a) 
 Economia 
Crescente 
Economia 
Estável 
Economia 
Decrescente 
Mínimo 
em Linha 
 
Investimento 
Conservador 
$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 -10.000,00 Maximin
Investimento 
Especulativo 
$40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 -30.000,00 
Investimento 
Cíclico 
$-10.000,00 $0,00 $15.000,00 -10.000,00 Maximin
Investimento Conservador ou Investimento Cíclico. 
2.b) 
 Economia 
Crescente 
Economia 
Estável 
Economia 
Decrescente 
 
Investimento 
Conservador 
$30.000,00 $5.000,00 $-10.000,00 
Investimento 
Especulativo 
$40.000,00 $10.000,00 $-30.000,00 Máximo
Investimento Cíclico $-10.000,00 $0,00 $15.000,00 
Probabilidade a 
Priori 
0.1 0.5 0.4 
 Máximo 
Investimento Especulativo. 
2.c) 
( )[ ] ( ) 00,500.100,000.10*4.000,000.5*5.000,000.30*1.0rConservadoPayoffE =−++= 
( )[ ] ( ) 00,000.300,000.30*4.000,000.10*5.000,000.40*1.0voEspeculatiPayoffE −=−++= 
( )[ ] ( ) 00,000.500,000.15*4.000,0*5.000,000.10*1.0CíclicoPayoffE =++−= Máximo 
Investimento Cíclico. 
 
 
 
 
 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 27
3.a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.34)54(5.0)15(5.0EVWPI =+= 
 
Estado da Natureza 
Alternativas Vender 
10.000 
Vender 
100.000 
Payoff Esperado 
Produzir 
Computadores 
0 54 0*0.5 + 54*0.5 = 27 Máximo
Vender Direitos 15 15 15*0.5 + 15*0.5 = 
15 
 
Probabilidade a Priori 0.5 0.5 
 
27EVWOE = 
 
5.7275.34EVWOEEVWPIEVPI =−=−= 
 
3.b) Uma vez que 7.500.000,00 é maior que 1.000.000,00, a pesquisa deve ser realizada 
segundo este critério. 
3.c) 
Estado da Natureza 
Alternativas Vender 10.000 Vender 100.000 
Produzir Computadores 0 54 
Vender Direitos 15 15 
Probabilidade a Priori 0.5 0.5 
Máximo Payoff 15 54 
 Modelagem e Simulação- Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 28
 
( ) ( ) ( ) 5.05.0*
3
15.0*
3
2)100V(P.100V10PesqP)10V(P.10V10PesqP10PesqP =+=+= 
( ) ( ) ( ) 5.05.0*
3
25.0*
3
1)100V(P.100V100PesqP)10V(P.10V100PesqP100PesqP =+=+= 
 
3.d) 
Regra de Bayes com probabilidade a posteriori. 
Payoff Esperado se constatação é Pesq10: 
( )[ ] ( ) ( ) 17154
3
10
3
210PesqoConstataçãoduzirPrPayoffE =−+== 
( )[ ] ( ) ( ) 14115
3
115
3
210PesqoConstataçãVenderPayoffE =−+== 
 
Payoff Esperado se constatação é Pesq100: 
( )[ ] ( ) ( ) 35154
3
20
3
1100PesqoConstataçãoduzirPrPayoffE =−+== 
( )[ ] ( ) ( ) 14115
3
215
3
1100PesqoConstataçãVenderPayoffE =−+== 
 
 
 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 29
Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes. 
Constatação a 
partir da Pesquisa 
Ação Ótima Payoff Esperado 
excluindo custos de 
levantamento 
Payoff Esperado 
incluindo custos de 
levantamento 
Pesq10 produzir 18 17 
Pesq100 produzir 36 35 
 
2736*5.018*5.0)36(*)100pesq(P)18(*)10pesq(PaçaoExperimentComEsperadoPayoff =+=+= 
 
 O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado por: 
02727EVE
açaoExperimentSemEsperadoPayoffaçaoExperimentComEsperadoPayoffEVE
=−=
−= 
Uma vez que 0 é menor que 1.000.000,00, a pesquisa não deve ser realizada segundo este 
critério. 
4.a) 
( )[ ] ( ) 35100*2.0100*3.050*5.01APayoffE =−++= Máximo 
( )[ ] ( ) 110*2.010*3.00*5.02APayoffE =−++= 
( )[ ] 14)40(*2.040*3.020*5.03APayoffE =−++= 
 
 
4.b) 
 Estado da Natureza 
Alternativa S1 S2 S3 
A1 50 100 -100 
A2 0 10 -10 
A3 20 40 -40 
Probabilidade a Priori 0.5 0.3 0.2 
Máximo Payoff 50 100 -10 
 
53)10(*2.0100*3.050*5.0EVWPI =−++= 
35EVWOE = 
183553EVWOEEVWPIEVPI =−=−= 
 Modelagem e Simulação - Análise de Decisão 
Notas de Aula - Fernando Nogueira 30
 
4.c) José deverá gastar no máximo 18. 
5.a) 
Portanto, não comprar seguro. 
 
5.b) 
Portanto, comprar seguro. 
 
 
 
Estado da Natureza Payoff Esperado 
Alternativas Haver 
terremoto 
Não haver 
terremoto 
 
Comprar 
Seguro 
249820,00 249820,00 249820,00 
Não Comprar 
Seguro 
90.000,00 250.000,00 249840,00 Máximo 
Probabilidade 
a Priori 
0.001 0.999 
Estado da Natureza Payoff Esperado 
Alternativas Haver 
terremoto 
Não haver 
terremoto 
 
Comprar 
Seguro 
499.82 499.82 499.82 Máximo 
Não Comprar 
Seguro 
300 500 499.80 
Probabilidade 
a Priori 
0.001 0.999