Distribuições Discretas

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FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial
Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos
4. DISTRIBUIÇOES 
DISCRETAS
É a distribuição discreta mais simples 
possível. Considera que todos os valores 
de X possuem a mesma probabilidade:
Exemplo 4.1 - No lançamento de um dado, 
a v.a. que representa a face voltada para 
cima segue distribuição uniforme discreta.
• Distribuição Uniforme Discreta
k. ..., 2, 1, x ,
k
1)xX(P ===
Experimento de Bernoulli é um 
experimento aleatório que possui 
apenas dois resultados possíveis.
Exemplos:
4.2 - Lançar uma moeda e 
observar a face voltada para cima.
4.3 - Observar se um atirador acerta o alvo. 
• Distribuição de Bernoulli
Um dos resultados é chamado 
“sucesso”, e o outro, “fracasso”.
A probabilidade de sucesso 
é designada por p. 
Como consequência, a 
probabilidade de fracasso é 1-p.
.
Seja agora uma v.a. X que assume valor 
0, se ocorre um fracasso, e 1, se ocorre 
um sucesso. A distribuição desta v.a. é:
x P(X=x)
0 1-p
1 p
A distribuição acima é chamada 
distribuição de Bernoulli.
P(X=x) = px(1-p)1-x, x = 0,1; 0<p<1. 
Fórmula da Distribuição de Bernoulli:
o “~” significa 
“segue distribuição”
Notação usual: X ~ Bernoulli(p).
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Sejam agora n realizações independentes
de experimentos de Bernoulli com a 
mesma probabilidade de sucesso p.
Considere que estejamos interessados 
no número de sucessos observados.
• Distribuição Binomial Exemplo 4.4 - Ao lançar 3 moedas, qual 
a probabilidade de obtermos 2 caras?
Façamos: 
{CA} = sucesso e {CO} = fracasso.
Neste problema, a v.a. X de interesse 
representa o número de sucessos (caras).
A distribuição da v.a. que representa o número 
de sucessos em n realizações independentes de 
experimentos de Bernoulli, todos com mesma 
probabilidade de sucesso p, chama-se binomial.
n (número de realizações) e p (probabilidade 
de sucesso) são os parâmetros da distribuição.
Fórmula da Distribuição Binomial:
== )xX(P
probabilidade de 
obter x sucessos 
em n realizações
independentes
xnx )p1(p −−






x
n
.1p0 ;n,...,1,0x , <<=
.)!xn(!x
!n
−
=
Notação usual: X ~ Bin(n,p).
Solução do Exemplo 4.4:
A v.a. de interesse é: X = número de caras. 
X ~ Bin(3,1/2). Pede-se P(X=2).
.
8
3
2
1
2
1
2
3)2X(P
12
=

















==
Exemplo 4.5 - Qual a probabilidade de 
que um atirador acerte o alvo 3 vezes em 5 
tentativas, se a probabilidade dele acertar 
um tiro em uma tentativa qualquer é 2/3?
3
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Solução:
A v.a. de interesse é: 
X = número de acertos. 
Se considerarmos que as tentativas são 
independentes, então: X ~ Bin(5,2/3).
.3292,0
3
1
3
2
3
5)3X(P
23
=

















==
Daí:
Valor Esperado e Variância da Binomial:
E(X) = np 
V(X) = np(1-p)
Exemplo 4.5 (cont.) - Calcule o valor 
esperado do número de acertos do atirador.
Exemplo 4.6 - Considere um exame com 
20 questões de múltipla escolha, cada uma 
com 5 alternativas. Se um aluno que não 
estudou nada resolve “chutar” todas as 
respostas, qual é a probabilidade de que 
acerte 30% da prova (isto é, 6 questões)?
Solução:
( ) ( ) .1091,08,02,0
6
20)6X(P 146 =





==
Qual o valor esperado do número 
de questões que o aluno acerta? 
A v.a. de interesse é: X = número de acertos. 
Logo: X ~ Bin(20;0,2). Daí:
Exemplo 4.7 (importante aplicação em 
finanças) - O preço de uma ação a cada 
dia é uma v.a., com probabilidade 0,4 de 
descer R$ 1,00 e probabilidade 0,6 de subir 
R$ 1,00. As variações de preço a cada dia 
são independentes, e as probabilidades de 
aumento ou queda de preço se mantém 
fixas. Se no primeiro dia o preço da ação 
é R$ 100,00, calcule o valor esperado 
do preço da ação no quinto dia.
Solução:
A trajetória da ação pode ser representada 
em uma árvore, chamada árvore binomial. 
A v.a. de interesse é: 
X = número de vezes que a ação sobe.
Qual a distribuição de X?
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x P(X=x)
0 0,0256
1 0,1536
2 0,3456
3 0,3456
4 0,1296
Seja agora Y uma outra v.a., 
representando o preço final da ação.
Note que, se a ação cair todos os dias 
(X=0), Y será igual a R$ 96,00. 
Por outro lado, se a ação subir todos os 
dias (X=4), Y será igual a R$ 104,00. 
E nos casos intermediários?
y P(Y=y)
96 0,0256
98 0,1536
100 0,3456
102 0,3456
104 0,1296
O valor esperado de Y pode ser 
calculado de 2 formas.
Forma 1 - diretamente da distribuição de Y, 
aplicando a definição de valor esperado: 
.8,1001296,0*1043456,0*1023456,0*100
1536,0*980256,0*96)yY(yP)Y(E
y
=++
++===∑
R: o valor esperado do preço (preço esperado) 
da ação no quinto dia é R$ 100,80.
Forma 2 - escrevendo Y como função de X:
Y = 2X+96,
e aplicando a fórmula do valor 
esperado de aX+b (capítulo 3):
E(aX+b) = aE(X) + b. 
No caso, a = 2, b = 96 e E(X) = np = 2,4. 
Assim:
E(Y) = 2*2,4+96 = 100,8.
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• Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 4.8 - Considere 4 extrações sem 
reposição de bolinhas, de uma urna que 
contém 8 bolinhas azuis e 5 vermelhas.
Calcule a probabilidade de que 3 sejam azuis.
Em princípio, poderíamos pensar na 
extração de cada bolinha como um 
experimento de Bernoulli, e a v.a. X de 
interesse (número de bolinhas azuis na 
amostra) seguindo distribuição binomial.
Pergunta: o que nos impede de fazer isto?
Resposta:
A amostragem é sem reposição, o que faz 
com que sucessivas extrações sejam 
dependentes e as probabilidades de 
sucesso mudem a cada extração.
De forma geral, considere uma população 
(no exemplo, urna) com N elementos 
(no exemplo, bolinhas), dentre os quais 
temos r sucessos (no exemplo, ser azul). 
Seja então uma amostra de 
tamanho n, obtida sem reposição. 
Qual é a probabilidade de que tenhamos 
exatamente x sucessos nesta amostra?
A distribuição da v.a. que representa o 
número de sucessos na amostra chama-
se hipergeométrica, c/ parâmetros N, r e n. 
Para obter a fórmula da distribuição 
hipergeométrica é só fazer: P(A) = #A/#S 
(casos favoráveis sobre casos possíveis).
O número de casos possíveis é o número 
total de amostras de tamanho n que 
podemos obter da população, ou seja: 
.
n
N






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O número de casos favoráveis é dado 
pelo número de formas de extrair x 
sucessos dentre os r possíveis e (n-x) 
fracassos dentre os N-r possíveis: 
.
xn
rN
x
r






−
−






Fórmula da Distribuição Hipergeométrica:
.
n
N
xn
rN
x
r
)xX(P












−
−






==
probabilidade de que ocorram x sucessos, em 
uma amostra sem reposição de tamanho n
Notação usual: X ~ Hiper(N,r,n).
Solução do exemplo 4.8: 
Seja X o número de bolinhas azuis 
na amostra de tamanho 4. Então:
.3916,0
4
13
1
5
3
8
4
13
34813
3
8
)3X(P =


















=












−
−






==
Exemplo 4.9
Considere um lote de 10 peças, das quais 
4 são defeituosas. Se extrairmos 5 peças, 
sem reposição, qual a probabilidade de 
que 2 sejam defeituosas?
Solução:
Seja X o número de peças defeituosas 
na amostra de tamanho 5. Então:
.4762,0
5
10
3
6
2
4
)2X(P =


















==
Exemplo 4.10 - Para tentar passar pela 
alfândega, um traficante esconde 5 pílulas 
de narcóticos em um vidro que contém 
10 pílulas de aspirina. O fiscal fica 
desconfiado, e decide tomar uma amostra 
de 4 pílulas, para inspeção. Qual a 
probabilidade do traficante ser preso?
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Solução: seja X = número de pílulas 
de narcóticos na amostra. Que valores X tem 
que assumir para que o traficante seja preso?
O traficante é preso se X≥1. Mas P(X≥1) = 
1-P(X=0), sendo P(X=0) calculada a seguir:
Logo: P(X≥1) = 1 – 0,1539 = 0,8461.
0,1539.
4
15
4
10
0
5
)0X(P =


















==
Valor Esperado e Variância 
da Hipergeométrica:






−
−






−





=
=
1N
nN
N
r1
N
r
nV(X)
N
r
nXE )(
• Aproximação da 
Hipergeométrica pela Binomial
Se N é muito maior do que n (N ≥ 20n), 
a distribuição hipergeométrica pode ser 
aproximada pela distribuição binomial 
(cujas probabilidades são mais simples 
de calcular), com parâmetros n e p = r/N.
Exemplo 4.11 - Em uma eleição, suponha 
que 300 dos 1000 habitantes de um 
município são eleitores de um candidato 
A. Toma-se uma amostra de 10 eleitores. 
Qual a probabilidade de que exatamente 5 
deles pretendam votar no candidato A?
Solução: A probabilidade exata seria 
calculada da seguinte forma: 
Note que as combinações envolvidas 
são bastante chatas de se calcular...
.
10
1000
5
700
5
300
)5X(P


















==
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A probabilidade aproximada pode ser 
calculada utilizando a distribuição 
binomial, com n = 10 e p = 300/1000 = 0,3.
Compare com o resultado exato 
(calculado no Excel: 0,1026)
.1029,0)7,0()3,0(
5
10)5X(P 55 =





≅=
• Distribuição Geométrica
Considere, como na definição da 
Binomial, realizações independentes
de experimentos de Bernoulli, todos 
com mesma probabilidade de sucesso p.
A distribuição da v.a. que representa 
o número de realizações necessárias
até que ocorra o primeiro sucesso
chama-se geométrica, com parâmetro p.
Fórmula da Distribuição Geométrica:
1.p0 ,...;2,1x ,p)p1()xX(P 1x <<=−== −
probabilidade de que o primeiro sucesso 
venha a ocorrer na x-ésima realização.
Notação: X ~ Geom(p).
Parâmetro: p.
.0082,0
3
2
3
21)5X(P
4
=











−==
Exemplo 4.12 - A probabilidade de um 
indivíduo acertar um alvo é 2/3. Se ele 
deve atirar até que acerte o alvo pela 
primeira vez, qual a probabilidade de 
que sejam necessários exatamente 5 tiros?
Solução: Seja X o número de tiros até o 
primeiro acerto. Então: X ~ Geom(2/3).
Valor Esperado e Variância da Geométrica:
E(X) = 1/p 
V(X) = (1-p)/p2
No exemplo 4.12, qual o número de tiros 
esperado até que ocorra o primeiro acerto?
Exercício (Resolvido) 4.1 - Um jogador 
converte 10% dos pênaltis que cobra.
a) Qual a probabilidade de que ele acerte 
apenas uma cobrança em 5 tentativas?
b) Qual a probabilidade de que ele precise 
bater 5 pênaltis até acertar o primeiro?
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Solução:
a) Seja X o número de pênaltis 
que o jogador acerta. Então: 
X ~ Bin(5;0,1). 
Pede-se P(X=1).
.32805,0)9,0()1,0(
1
5)1X(P 41 =





==
b) Seja X o número de cobranças até que 
o jogador acerte a primeira. Então: 
X ~ Geom(0,1). 
Pede-se:
.06561,0)1,0()9,0()5X(P 4 ===
• Relação entre a Geométrica e a Binomial
Se X ~ Geom(p) e Y ~ Bin(n.p), então: 
1) P(Y=1) = n*P(X=n)
2) P(X>n) = P(Y = 0)
Geométrica - Parametrização Alternativa:
,....1,0x ,)p1(p)xX(P x =−==
Uma parametrização alternativa - menos 
comum - para a distribuição geométrica é 
tal que X representa o número de fracasso 
antes do (e não até o) primeiro sucesso.
Exemplo motivador para a próxima 
distribuição a ser apresentada:
Exemplo 4.13 - Na situação do exemplo 
4.12, calcule a probabilidade de que o 
atirador precise de 4 tiros para acertar pela 
segunda vez o alvo (ou seja, de que o 
segundo acerto ocorra no quarto tiro).
• Distribuição Binomial Negativa
Considere novamente realizações 
independentes de experimentos de 
Bernoulli com probabilidade de sucesso p. 
A distribuição da v.a. que representa o número 
de realizações necessárias até que ocorra o 
r-ésimo sucesso (r = 1, 2, 3, ...) chama-se 
binomial negativa, com parâmetros r e p. 
Se r = 1, caímos na distribuição 
geométrica (caso particular).
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Fórmula da Distribuição Binomial Negativa:
.1p0 ,...;1r,rx ,p)p1(
1r
1x)xX(P rrx <<+=−





−
−
==
−
Notação usual: X ~ BNeg(r,p).
Parâmetros: r e p.
probabilidade de que o r-ésimo sucesso 
venha a ocorrer na x-ésima realização.
Solução do exemplo 4.13:
Seja X o número de tiros até o segundo acerto.
X ~ BNeg(2,2/3).
.1481,0
3
2
3
21
1
3)4X(P
22
=











−





==
Valor Esperado e Variância 
da Binomial Negativa:
E(X) = r/p 
V(X) = r(1-p)/p2
Exercício 4.2 - A probabilidade de que um 
tomador de empréstimo fique inadimplente 
é 0,05. Você é o gerente de uma financeira.
a) Qual a probabilidade de que você conceda 
8 empréstimos até tomar o primeiro calote?
b) Qual a probabilidade de que você conceda 
8 empréstimos até tomar o terceiro calote?
R: a) 0,0349 b) 0,00203. 
• Distribuição de Poisson
Seja λ a taxa de ocorrência de um evento 
por unidade de tempo ou de espaço. Por 
exemplo, acidentes/hora em uma estrada. 
A distribuição da v.a. que representa 
o número de ocorrências de um evento 
com taxa λ, no intervalo correspondente, 
chama-se Poisson, com parâmetro λ. 
Fórmula da Distribuição de Poisson:
.0 ,...;1,0x ,
!x
e)xX(P
x
>λ=λ==
λ−
probabilidade de que ocorram x eventos, em um 
intervalo no qual ocorrem, em média, λ eventos
Notação usual: X ~ Poi(λ).
Parâmetro: λ.
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Valor Esperado e Variância da Poisson:
E(X) = λλλλ
V(X) = λλλλ
A Poisson é a única distribuição na qual 
a média e a variância são sempre iguais!
Exemplo 4.14 - Em determinada rodovia, 
ocorrem, em média, 3 acidentes por hora. 
Supondo distribuição de Poisson, 
calcule as seguintes probabilidades:
a) De que ocorram 2 acidentes em uma hora.
b) De que ocorram pelo menos 2 acidentes 
em 20 minutos (20minutos = 1/3 de hora).
Solução: 
.e5,4
!2
e3)2X(P )a 3
32
−
−
===
.e21)]1X(P)0X(P[1)2X(P
:e 1, é minutos 20 para o Assim, minutos. 20 cada
a 1 média em ocorre então hora, uma em acidentes 3
média, em ocorrem, se hora) de 1/3 ( minutos 20
 de período o para oconverter se-deve Aqui )b
1−
−==+=−=≥
λ
⇒=
λ
• Aproximação da Binomial pela Poisson
Se n for grande e p for pequeno, o 
número de sucessos em n realizações 
independentes de experimentos de 
Bernoulli pode ser aproximado 
pela distribuição de Poisson, com λ=np.
Exemplo 4.15 - Uma companhia de 
seguros de automóveis descobriu que 
somente cerca de 0,005% da população 
está incluída em um certo tipo de sinistro 
cada ano. Se seus 20.000 segurados são 
escolhidos ao acaso na população, qual 
é a probabilidade aproximada de que 3 
clientes venham a ser incluídos nesta 
categoria de sinistro no próximo ano?
Solução: 
Pede-se P(X=3), sendo: 
X ~ Bin(20.000;0,00005).
A solução aproximada pode ser obtida de 
forma bem mais simples (verifique) pela 
Poisson, usando λ = 20.000*0,00005 = 1.
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Exercício (Resolvido) 4.3
(continuação do exercício 4.1)
c) Dado que são necessárias mais do que 
3 tentativas até o primeiro acerto, qual a 
probabilidade de que este acerto ocorra 
em no máximo 5 tentativas?
Solução:
Dado que são necessárias mais do que 3 
tentativas até o primeiro acerto, qual a 
probabilidade de que este acerto ocorra 
em no máximo 5 tentativas?
Um olhar desatento poderia nos 
levar a calcular P(X=4) + P(X=5).
O que é pedido é uma 
probabilidade condicional:
),3X|5X(P >≤
sendo X ~ Geom(0,1).
Esta probabilidade é 
calculada da seguinte forma: 
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
.19,0
729,0
1385,0
3XP2XP1XP1
5XP4XP
3XP
3X5XP)3X|5X(P
=
=
=+=+=−
=+=
=
>
>∩≤
=>≤
Observações:
1 - A probabilidade do denominador 
não exclui P(X = 0), porque uma v.a. 
Geométrica não pode assumir valor 0!
Note que a geométrica e a binomial 
negativa são as únicas distribuições 
discretas que não assumem valor 0.
2 - Esta probabilidade P(X > 3) pode ser 
obtida de forma direta pela distribuição 
binomial com n = 3 e p = 0,1, já que, se 
Y ~ Bin(3;0,1), então: P(X > 3) = P(Y = 0).
Assim:
( ) ( ) .729,09,01,0
0
3
)0Y(P)3X(P
30
=





===>