Lista de Exercícios Limites - UFCG

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Cieˆncias e Tecnologia
Unidade Acadeˆmica de Matema´tica
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
1a¯ Lista de exerc´ıcios
1. Calcule, se existir, os limites abaixo:
a) lim
x→2
(x3 − 2x2 + x + 1) b) lim
x→2
x2 + 1
x3 + 4
c) lim
x→−1
x2 − 1
x + 1
d) lim
x→2
x2 − 4
x− 2 e) limx→8
x2 − 64
x− 8 f) limx→5
x2 − 25
5− x
g) lim
x→0
x2
2x4 + x2
h) lim
x→−3
x2 + 2x− 3
x2 + 7x + 12
i) lim
x→3
2x3 − 6x2 + x− 3
x− 3
j) lim
x→4
x2 − 16√
x− 2 k) limx→25
x− 25√
x− 5 l) limx→3
x3 − 27
x− 3
m) lim
x→−3
x3 + 27
x + 3
n) lim
x→1
x100 − x102
x101 − x100 o) limx→∞(2x
3 − 3x2 + 5)
p) lim
x→−∞
(x5 − 4x4 + 6) q) lim
x→∞
5− x + x4
4 + x5
r) lim
x→∞
2x2 + x + 3
3x2 + x + 1
s) lim
x→∞
2x3 − x + 3
x2 + x + 1
t) lim
x→−∞
3 + x− 4x5
x + 3x2
u) lim
x→∞
5x2 + 2x + 1
7x2 + 6x + 3
v) lim
x→−∞
2x + 5√
2x2 − 5 w) lims→∞
3
√
3s7 − 4s5
2s7 + 1
x) lim
x→∞
√
2x2 − 7
x + 3
2. Utilize o Teorema do Confronto (ou Sandu´ıche), para resolver os itens abaixo:
a) Se
1
2
− x
2
24
<
1− cosx
x2
<
1
2
vale para todo x pro´ximo de zero, calcule lim
x→0
1− cosx
x2
.
b) Se 1− x
2
4
≤ f(x) ≤ 1 + x
2
2
vale para todo x 6= 0, calcule lim
x→0
f(x).
c) Calcule lim
x→∞
cosx
x
.
d) Calcule lim
x→∞
sen 2x
x3
.
3. Utilize o limite fundamental lim
x→0
senx
x
= 1 para calcular os limites abaixo:
a) lim
x→0
sen9x
x
b) lim
x→0
sen4x
3x
c) lim
x→0
sen10x
sen7x
d) lim
x→0
tg2x
x
e) lim
x→0
senax
senbx
, a, b ∈ R∗ f) lim
x→0
tgax
x
, a ∈ R∗
4. Verifique se existe o limite da func¸a˜o f para x tendendo ao valor de a indicado:
a) f(x) =
 x2 − 25 se x ≥ 02x + 3 se x < 0 a = 0 b) f(x) =
 x2 − 2 se x ≤ 34x− 5 se x > 3 a = 3
c) f(x) =

x2 + 3 se x > 1
5 se x = 1
x + 3 se x < 1
a = 1 d) f(x) =

x− 2 se x < 5
3 se x = 5
x2 − 22 se x > 5
a = 5
5. Seja f(x) =
 mx + 3 se x ≥ 52x + 1 se x < 5 . Calcule m ∈ R para que exista limx→5 f(x).
6. Seja f(x) =
 x− 2 se x < 5mx + 2 se x ≥ 5 . Calcule m ∈ R para que exista limx→5 f(x).
7. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais, se existirem, da func¸a˜o f . Tente fazer um
esboc¸o do gra´fico de f .
a) f(x) =
4− x2
x + 1
b) f(x) =
x3 − x2 − 1
x2 − 1 c) f(x) = x
3 +
3
x
d) f(x) =
1
2 + (1/x)
e) f(x) =
3− (2/x)
4 + (
√
2/x)
f) f(x) =
3x2 − 6x
4x− 8
8. Verifique se a func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto a indicado e esboce seu gra´fico.
a) f(x) =
 5 + x se x ≤ 39− x se x > 3 a = 3 b) f(x) =
 3 + x se x ≤ 13− x se x > 1 a = 1
c) f(x) =

x2 + 1 se x < 1
1 se x = 1
x + 1 se x > 1
a = 1 d) f(x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
a = 0
e) f(x) =
 |x− 5| se x 6= 52 se x = 5 a = 5 f) f(x) =

x− 2
|x− 2| se x 6= 2
1 se x = 2
a = 2
g) f(x) =

1
x− 2 se x 6= 2
0 se x = 2
a = 2 h) f(x) =

x2 − 9
x− 3 se x 6= 3
2 se x = 3
a = 3
9. Seja g(x) = f(x) =

x3 − 1
x− 1 se x 6= 1
a se x = 1
. Calcule o valor de a para que g(x) seja cont´ınua
em x = 1.
10. Dada a func¸a˜o f(x) =

3x se x ≤ 2
Ax + B se 2 < x < 5
−6x se x ≥ 5
. Determine o valor das constantes A e
B para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em (−∞,∞) e trace o gra´fico de f para estes valores.
11. Determine o domı´nio da func¸a˜o f e em seguida determine todos os valores para os quais
ela e´ cont´ınua. Por fim, tente esboc¸ar o gra´fico de f .
a) f(x) =
x− 3
x− 5 b) f(x) =
5
x2 + x− 6 c) f(x) =
3x− 5
2x2 − x− 3
d) f(x) =
√
x− 2 +√x− 4 e) f(x) = 5
x3 − x2 f) f(x) =
4x− 7
(x + 3)(x2 − 5x)
g) f(x) =
x− 1√
x2 − 1 h) f(x) =
x + 2
x2 + 4
i) f(x) =
x
3
√
x− 2
j) f(x) =
√
x− 3√
x− 2 k) f(x) =
√
x− x2
x− 1 l) f(x) =
|x− 3|
x− 3
12. Explique porque a func¸a˜o f(x) =
|x|
x
na˜o e´ cont´ınua em x = 0. Esboce o gra´fico de f .
13. Determine o domı´nio da func¸a˜o f e em seguida encontre os valores de x para os quais ela
e´ descont´ınua. Por fim, tente esboc¸ar o gra´fico de f .
a) f(x) =
x
x2 − 5x b) f(x) =
x− 1
x2 − 5x + 6 c) f(x) =
x2 + 5
x4 − 5x3 + 6x2
d) f(x) =
x
senx
e) f(x) =
√
x− 3 f) f(x) =
√
x− 1√
x− 2
g) f(x) =
x− 5
x2 − 2x + 4 h) f(x) =
x + 3
x6 + 4x4 + x2 + 5
i) f(x) = x secx
14. Determine o domı´nio da func¸a˜o f e em seguida verifique em quais intervalos ela e´ cont´ınua
ou descont´ınua:
a) f(x) =
√
4− x2 [−2, 2], [−2, 3], (−2, 2), (−1, 5)
b) f(x) =
3
x + 1
(−∞, 1), (−3,−1), (−∞,−1), [−1,∞), [−2, 2]
c) f(x) =
x + 6
x2 − 36 (−∞, 6], (−∞,−4], (−6,∞), [−6, 9], [−7,∞)