Mecânica-Vetorial-Movimento-Absoluto-e-Relativo.pdf

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Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Cinemática de Corpos Rígidos ..................................................................................... 2 
Revisão de Vetores ................................................................................................... 2 
Cinemática de corpos rígidos .................................................................................. 11 
Análise do Movimento Absoluto .............................................................................. 24 
Análise do Movimento Relativo ............................................................................... 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Cinemática de Corpos Rı́gidos 
 
Revisão de Vetores 
O que é um vetor? Quando estudamos Física, precisamos representar as grandezas, pois 
as medidas são muito importantes, e só podemos fazer ciência e tecnologia com elementos e 
experimentos que podem ser medidos de alguma forma. Temos grandezas físicas que 
precisam apenas de uma unidade de grandeza para que sejam completamente descritas, como 
por exemplo, se no laboratório você pesa uma máquina, e precisa informar outra pessoa, você 
irá dizer algo como: “Esta componente pesa 100 kg”. Ou se você cronometrar o tempo que um 
carro leva para percorrer um trajeto vai falar o tempo em horas, minutos ou segundos. 
Entretanto, há também grandezas que precisam de um pouco mais de especificação, e nesta 
seção trataremos delas, são as grandezas vetoriais. Essas grandezas precisam de magnitude 
(ou módulo, ou comprimento), direção e sentido. Nesta seção iremos desenvolver a intuição 
geométrica e a álgebra de vetores, de forma sistemática, para que depois possamos aplicar 
esse conhecimento em seções futuras e em conceitos mais complexos. 
 
Fixando Conceitos 
Grandezas vetoriais precisam de três especificações para que sejam descritos completamente: 
comprimento, direção e sentido. Exemplos de grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, forças, etc. 
Grandezas escalares necessitam apenas de seu valor e a unidade da grandeza para que sejam 
completamente descritas. Exemplos são: temperatura, pressão, tempo. 
 
Figura 1.1: Regra do paralelogramo. 
 
 
Na figura 1.1 vemos dois exemplos de vetores, representados por flechas, ou de forma 
mais precisa, segmentos de reta orientados. Vemos, por exemplo, o deslocamento de uma 
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partícula que se move do ponto A até o ponto B, e temos a seguinte notação AB a
 
. Uma 
das propriedades dos vetores é que eles podem deslizar, ou seja, podemos ter o mesmo vetor 
se movendo do ponto C ao ponto D, CD a
 
. Podemos dizer que dois vetores são iguais se 
são lados opostos em um paralelogramo, como mostrado na figura 1.1, e se tiverem o mesmo 
sentido, direção e módulo. O comprimento do vetor a

é representado entre barras, a

 e 
indica o comprimento do vetor, sendo um número real. 
Uma das características práticas dos vetores, é que podemos realizar operações com 
eles, o que torna a descrição de grandezas físicas muito mais fácil. Os vetores são somados 
seguindo a regra do paralelogramo, que foi representada na figura 1.1. Por exemplo, se uma 
partícula se move 1 km para o norte, e 1 km para o leste, seu deslocamento total foi de 2 
km. Vamos supor que temos três vetores a

, b

 e c

, e verificar que tipos de propriedades a 
soma desses vetores possui. Na figura 1.2, vemos dois exemplos de somas de vetores, usando 
a propriedade de deslizamento dos vetores, conseguimos desenhar paralelogramos, e 
realizando as somas a b

 e a b c 
 
. Note, entretanto, que os vetores não 
necessariamente precisam se encontrar no mesmo plano, ou seja, a figura 1.2 não é uma regra 
geral, sendo apenas uma representação em duas dimensões, porém a regra para três 
dimensões é completamente análoga. 
 
Figura 1.2: Figura ilustrativa da regra do paralelogramo (soma de vetores) 
 
 
As regras de somas de vetores representadas na figura 1.2 são bem ilustrativas, mas não 
exploram por completo a linguagem de vetores. Um dos trunfos de usar vetores em teorias 
físicas é que podemos representar os mesmos por coordenadas, e realizar diversos tipos de 
operações com esses vetores, e em mais dimensões. Quando trabalhamos com física clássica 
não relativística, sempre pensamos em três dimensões, e o tempo como parâmetro, mas em 
outras teorias, como a Relatividade Especial de Einstein, pensamos em quatro dimensões, 
onde o tempo é considerado uma dimensão. 
 
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Curiosidade 
Relatividade Especial, ou também conhecida como Teoria da Relatividade Especial de Einstein, foi 
primeiramente descrita em 1905 por Albert Einstein, em seu artigo “On the Electrodynamics of moving 
bodies”. Nessa teoria Einstein explora a relação entre tempo e espaço, modificando as teorias 
anteriormente descritas por Galileu e Newton, considerando efeitos decorrentes do fato da velocidade 
da luz ser limitada, e possuir o mesmo valor para qualquer referencial. 
 
Representar vetores de forma algébrica tem suas vantagens quando queremos fazer 
descrições físicas em um grande número de dimensões, mas vamos nos ater a apenas três 
dimensões no máximo no curso de Dinâmica de Corpos Rígidos. Vetores obedecem as 
seguintes propriedades e operações: 
1) Comutatividade: a b b a  
  
 
2) Associatividade: ( ) ( )a b c a b c a b c       
       
 
3) Elemento neutro: 0 0a a a   
   
 
4) Inverso aditivo: ( ) ( ) 0a a a a     
   
 
As operações com vetores também possuem propriedades de multiplicação de vetores 
por constantes pertencentes aos conjuntos dos números reais: 
1) Distributividade na soma:  a b a b       
2) Distributividade na multiplicação:  a a a        
3) Associatividade: ( ) ( )a a    
4) Elemento neutro: 1 1a a a   
  
 
5) Inverso aditivo: ( ) ( ) 0a a a a     
   
 
Essas propriedades são chamadas de axiomas, e constituem a estrutura matemática na 
qual podemos nos basear para realizar todos os tipos de operações com vetores. Para 
concretizar todos esses conceitos abstratos, precisamos aprender a calcular com vetores, e 
para isso precisamos de coordenadas. Os vetores podem ser representados por valores de 
cada uma de suas componentes, assim, um vetor em n dimensões é representado por 
1 2( , ,..., )na x x x

, em nosso caso trabalharemos com dimensões igual a 2 e 3. Os valores 
dentro dos parênteses e separados por vírgulas são as componentes, os índices subscritos 
representam a posição da componente, 1x é a componente 1, 2x é a componente 2, e nx é a 
enésima componente do vetor a

. Podemos aplicar os axiomas das operações de vetores às 
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suas componentes. Sejam dois vetores e suas respectivas coordenadas 1 2( , ,..., )na x x x

e 
1 2( , ,..., )nb y y y

, podemos somar estes dois vetores da seguinte forma: 
1 2 1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )n n n na b x x x y y y x y x y x y      

. 
E também podemos multiplicar vetores por números reais (constantes) da seguinte 
forma: 
1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n na x x x x x x     

. 
Os outros axiomas são representados de forma análoga. 
 
Exemplo 
Sejam dois vetores e suas respectivas coordenadas (1,3,4)a 

e (2,5,6)b 

a soma desses 
dois vetores é igual à (1,3,4) (2,5,6) (3,8,10)a b   

. Se multiplicarmoso vetor (1,3,4)a 

 
pela constante 4, teremos o seguinte resultado: 
4 4(1,3,4) (4 1,4 3,4 4) (4,12,16)a      

. 
 
Na figura 1.3 a representação geométrica de vetores para a soma de vetores, e 
multiplicação por um escalar, exemplo de colinearidade, paralelismo e antiparalelismo. 
 
Figura 1.3: Soma de vetores e multiplicação por escalar.
 
 
Outra propriedade de vetores, é que a soma de vetores resulta em outro vetor, de 
forma que v a b  
 
, nesse caso, dizemos que o vetor v

é uma combinação linear dos 
vetores a

e b

. Na figura 1.4 vemos a representação por flechas dessa combinação linear 
resultando em outro vetor. 
Figura 1.4: Combinação linear dos vetores a

e b

: v a b  
 
. 
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Podemos definir o conceito de dependência linear, da seguinte forma: Os vetores 
1 2, ,..., na a a
  
 onde n é um número inteiro, são ditos linearmente independentes, se a seguinte 
equação 1 1 2 2 ... 0n na a a     
  
, onde n é um número inteiro, e 1 2, ,..., n   são 
constantes reais, for válida se e somente se 1 2 ... 0n      . Quando tivermos vetores 
linearmente independentes, podemos formar o que chamamos de base. 
No plano Euclidiano temos os versores, que nada mais são do que vetores que possuem 
comprimento igual à unidade, (1,0)i 

e (0,1)j 

. 
 
Fixando Conceitos 
Verifique que o conjunto formado pelos versores (1,0)i 

e (0,1)j 

 forma um conjunto de vetores 
linearmente independentes. Ou seja, resolva a equação vetorial: 
(1,0) (0,1) ( , ) (0,0)i j         
 
, 
e demonstre que essa igualdade é válida somente quando tivermos simultaneamente 0   . 
Provando dessa maneira que podemos descrever qualquer vetor do plano Euclidiano em função desses 
dois vetores. 
 
O conjunto formado por esses dois vetores é chamado de base canônica do Plano 
Euclidiano, ou simplesmente base canônica. Podemos descrever então qualquer vetor no 
plano em função dos vetores da base. Seja o vetor ( , )v x y

 onde x e y são as coordenadas 
do vetor na base canônica, e podemos representar esse vetor como combinação linear de 
(1,0)i 

 e (0,1)j 

 da seguinte forma: 
(1,0) (0,1) ( , )v xi y j x y x y    
  
. 
 
Fixando Conceitos 
É importante não confundir a representação em uma base com a simples soma de vetores. Por exemplo, 
se tivermos os seguintes vetores (1,3)a 

e (2,5)b 

 a soma desses dois vetores resulta em um vetor 
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(1,3) (2,5) (3,8)v a b    
 
, entretanto os vetores a

 e b

 não são linearmente independentes, 
portanto não formam uma base, ou seja, não podemos representar qualquer vetor pela combinação 
linear desses vetores. Entretanto, a soma desses vetores é um vetor, e pode ser representado na base 
canônica, pelos versores (1,0)i 

 e (0,1)j 

, da seguinte forma: 
(3,8) 3 8 3(1,0) 8(0,1)v i j    
  
. 
 
O plano Euclidiano é representado por dois segmentos de reta ortogonais entre si, ou 
seja, o ângulo entre os dois segmentos é de 90º, como pode ser visto na figura 1.5. 
 
Figura 1.5: Representação do plano Euclidiano na base canônica. 
 
Note na figura 1.5 que o vetor v

 é o resultado da combinação linear entre os vetores da 
base canônica de (1,0)i 

 e (0,1)j 

. Da mesma forma podemos estender esses resultados 
para maiores dimensões, entretanto, nós seres humanos só conseguimos perceber de forma 
concreta até três dimensões. Os versores da base canônica em três dimensões, ou Espaço 
Euclidiano Tridimensional são (1,0,0)i 

, (0,1,0)j 

 e (0,0,1)k 

. 
 
Figura 1.6: Espaço Euclidiano de três dimensões 
 
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Na figura 1.6 vemos que o vetor ( , , )OP x y z

pode ser representado na base canônica 
do Espaço Euclidiano da seguinte forma: 
( , , )OP x y z xi y j zk   
   
. 
Dissemos no início da seção que vetores precisam de comprimento, direção e sentido 
para que sejam completamente descritos, pois bem, construímos até agora esses três 
requisitos. Os vetores da base que o vetor está descrito dizem a direção e sentido. Vetores são 
ditos colineares, ou seja, possuem a mesma direção quando são linearmente dependentes, 
matematicamente isso quer dizer que dados dois vetores colineares a

e b

 temos a seguinte 
relação entre eles, b a
 
 onde  é uma constante real. Se 0  , então a e b

 além da 
mesma direção, possuem o mesmo sentido. Se 0  , então a e b

 possuem a mesma 
direção, mas sentidos diferentes. Se 0  então b

 é o vetor nulo, e a

 é qualquer vetor. Na 
figura 1.7 vemos um exemplo de vetores colineares ao vetor a

, possuem mesma direção. O 
vetor a

 possui sentido diferente e o vetor a

 possui sentido igual ao vetor a

. 
 
Figura 1.7: Vetores colineares, mesma direção e sentidos diferentes. 
 
 
O módulo de um vetor 1 2( , ,..., )nv x x x

 representado pela notação v

 sendo 
calculado da seguinte maneira: 
2 2 2
1 2 ... nv x x x   

. 
 
Exemplo 
Seja o vetor (1,2,3)v 

, seu módulo é 14v 

, pois: 
2 2 21 2 3 11 4 9 14v       

. 
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Na figura 1.8 vemos um exemplo de movimento retilíneo com velocidade constante, 
descrito vetorialmente. O corpo se encontra inicialmente no ponto ( , )p pP x y , no instante 
inicial e o vetor posição neste ponto é ( , )p pr x y

, o vetor ( , )m a b

 é o vetor direção da 
trajetória do corpo rígido. 
 
Figura 1.8: Representação vetorial do movimento de um corpo rígido. 
 
 
Fisicamente a interpretação desse vetor é a velocidade do corpo rígido. A posição do 
corpo em um tempo t qualquer é designada pelo vetor ( ) pr t r mt 
  
: 
( ) ( , ) ( , ) ( , )p p p pr t x y a b t x at y bt    

. 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Sejam os seguintes vetores no plano Euclidiano (em duas dimensões), (1,1)R 

, e (2,3)S 

. 
Ambos representados na mesma base. Determine a soma vetorial 2S R
 
, e marque a alternativa 
correta. 
Resposta: 
Para calcular a soma vetorial, basta aplicar os axiomas de vetores às suas componentes. 
2 (2,3) 2(1,1) (2 2 1,3 2 1) (4,5)S R        
 
 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Um corpo rígido possui sua posição descrita pelo seguinte vetor no plano Euclidiano, (1,2)R 

, sendo o 
sistema de unidades em quilômetros (km). Calcule o módulo do vetor e marque a alternativa correta. 
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Resposta: 
O módulo do vetor é calculado pela soma do quadrado de suas componentes, e tirando sua raiz 
quadrada. Dessa maneira calculamos: 
2 2(1,2) 1 2 1 4 5R R      
 
. 
Assim, o módulo do vetor é igual a 5 km. 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Descreva a trajetória de uma partícula realizando um movimento helicoidal. 
Resposta: 
Vimos que para trajetórias retilíneas, as componentes da velocidade são constantes no tempo, e o 
vetor posição é descrito por ( ) ( , )p pr t x at y bt  

 onde ( , )p px y é o ponto inicial no instante 0t  , 
e o vetor velocidade é ( , )v a b

. Para fazer a descrição da trajetória da curva helicoidal, precisaremos 
fazer essa descrição no espaço de três dimensões, e o vetor posição é parametrizado pelo parâmetrotempo (t), entretanto, as componentes são funções desse parâmetro ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k  
   
 e a 
parametrização do helicoide é dada por: 
( ) cos( ) ( )r t R t i R sen t j c tk      
   
. 
Onde c é uma constante real qualquer, e R é o raio da helicoide. Na figura 1.9 podemos ver a 
descrição da trajetória no espaço de três dimensões, com os valores das constantes dadas por 1R  , 
1  e 0,1c  . 
Figura 1.9: Gráfico da trajetória helicoidal 
 
 
 
 
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Cinemática de corpos rı́gidos 
Quando estudamos Física, precisamos representar as grandezas, pois as medidas são 
muito importantes, e só podemos fazer ciência e tecnologia com elementos e experimentos 
que podem ser medidos de alguma forma. Temos grandezas físicas que precisam apenas de 
uma unidade de grandeza para que sejam completamente descritas. São as grandezas 
escalares. Por exemplo, se no laboratório você verifica a massa uma componente em uma 
balança e precisa informar outra pessoa, irá dizer algo como: “Esta componente tem uma 
massa de 100kg”. Ou se você cronometrar o tempo que um carro leva para percorrer um 
trajeto vai falar o tempo em horas, minutos ou segundos. Como você já sabe, há também 
grandezas que precisam de um pouco mais de especificação, e nesta seção trataremos delas, 
são as grandezas vetoriais. Elas precisam de magnitude (ou módulo, ou comprimento), direção 
e sentido para serem completamente descritas. Nesta seção iremos utilizar esses conceitos no 
contexto dos corpos rígidos, desenvolvendo ainda mais nossa intuição geométrica, aplicando a 
álgebra dos vetores de forma sistemática. 
Um vetor v

 qualquer sobre o plano cartesiano pode ser representado através da 
combinação linear dos vetores da base canônica (1,0)i 

 e (0,1)j 

, que representam um 
deslocamento de módulo 1 na direção positiva dos eixos x e y, respectivamente. Os versores 
da base canônica em três dimensões, ou Espaço Euclidiano Tridimensional, são (1,0,0)i 

, 
(0,1,0)j 

 e (0,0,1)k 

. Como pode ser visto na figura 1.10, vemos que o vetor 
( , , )OP x y z

 pode ser representado na base canônica do Espaço Euclidiano da seguinte 
forma, . 
Figura 1.10: Espaço Euclidiano de três dimensões 
 
( , , )OP x y z xi y j zk   
   
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Além das já conhecidas operações com vetores que foram estudadas em outros cursos, 
como soma vetorial, combinação linear, podemos também aplicar operações do cálculo 
diferencial e integral, ou seja, as componentes dos vetores podem ser funções bem 
comportadas (contínuas e diferenciáveis). 
 
Exemplo 
Seja a seguinte função vetorial, ( ) (cos( ), ( ), ( ))r t t sen t tg t

 , que representa o vetor posição do 
centro de massa (CM) de um corpo rígido no espaço de três dimensões como função do tempo. A 
posição varia com o tempo, e para encontramos a velocidade desse corpo rígido, basta derivar o vetor 
posição em relação ao tempo: 
2( ) ( ) ( ( ),cos( ),sec ( ))drv t t sen t t t
dt
  

. 
Note que derivamos cada componente do vetor posição individualmente, compondo assim o novo vetor 
velocidade. 
 
Mas o plano e o espaço Euclidiano não servem apenas para representar vetores, em 
geral em Física eles são utilizados para descrever equações de movimento de corpos (rígidos 
ou não), e partículas, por meio dos chamados sistemas de referências, ou simplesmente 
referenciais, que podem ser ou referenciais inerciais ou referenciais não-inerciais. Os 
referenciais inerciais se comportam como corpos em equilíbrio estático, ou em equilíbrio 
cinético. Já os referenciais não-inerciais se movem com aceleração, constante ou não. Quando 
o referencial é inercial e se encontra em equilíbrio estático, o movimento dos corpos rígidos é 
chamado movimento absoluto, pois não há efeito de velocidade relativa entre observador e 
corpo rígido observado (cada um constituindo individualmente um referencial). 
Um exemplo prático de referencial inercial é um carro se movimentando com 
velocidade constante. Coloque-se dentro desse carro, se você não olhar para fora, não 
perceberá que está em movimento. Imagine agora que você olha pela janela, e vê postes de 
luz se movimentando em relação a você. Em um referencial inercial, não conseguimos 
distinguir se nós estamos nos movendo em relação ao que observamos, ou se o objeto que 
observamos está se movimentando em relação a nós. É claro que na vida real você sabe que 
quem está se movendo é o seu carro, mas em termos de teoria física, essa impossibilidade de 
distinção é muito importante. 
Figura 1.11: Referenciais inerciais. 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 
 
No caso do sistema referencial inercial em movimento relativo, as equações de 
movimento obedecem às chamadas transformações de Galileo. No exemplo da figura 1.11 
existe um movimento uniforme na direção do eixo x No referencial S , algum ponto de um 
corpo rígido possui coordenadas ( , , , )x y z t . Para o referencial 'S esse corpo rígido teria as 
coordenadas ( ', ', ', ') ( , , , )x y z t x vt y z t  , a relação entre as coordenadas dos dois 
referenciais são as chamadas transformações de Galileo. 
Compreenda: para o referencial S (por exemplo, uma pessoa em repouso na calçada) um 
determinado ponto do corpo rígido possui coordenadas ( , , , )x y z t , para uma pessoa no carro, 
o corpo rígido parece se afastar, com velocidade igual à do carro no sentido oposto (negativo, 
portanto -v ), e assim a coordenada do ponto é ( ', ', ', ') ( , , , )x y z t x vt y z t  . 
 Isso fica ainda mais evidente quando realizamos a derivada da coordenada em 
relação ao tempo, obtendo a chamada lei de composição de movimentos: 
'
'
S S
dx dx v V V v
dt dt
     . 
Note que estamos tratando de um caso bastante geral. O corpo rígido não precisa estar 
em repouso, portanto S
dx V
dt
 , que pode ou não ser zero, constante, ou mesmo uma função 
do tempo. Independentemente do estado do corpo rígido, a resposta fornecida pelo 
equacionamento apresentado estará correta. 
Além do movimento relativo de translação, podemos imaginar outro referencial 'S que 
gira com velocidade angular 
22 f
T
      , com f representando a frequência, e T o 
período da rotação. A unidade relevante é radianos por segundo. 
Seja R

 o vetor posição desse referencial em relação ao referencial S estático. Nesse 
caso, a posição de um objeto qualquer no referencial S está relacionada com a posição do 
objeto no referencial S’ pela equação a seguir: 
'x
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'S Sr r R 
 
. 
Note que basta somar a posição observada no referencial S’ com a posição da própria 
origem do referencial S’ com relação ao observador parado (referencial estático). 
Note que o referencial 'S está girando, de modo que o vetor R

 não é constante. Para 
um observador sobre esse referencial, o referencial S está em movimento circular (lembre-se 
se você começar a girar terá a impressão de que o ambiente a sua volta estará girando). Essa 
relação é bem descrita por senos e cossenos da seguinte maneira: 
   ( ) cosR t R t i R sen t j    
  
. 
Onde z   é o vetor constante velocidade angular. Como esse vetor varia com o 
tempo? Podemos descobrir realizando uma derivada: 
    cosdR R t i R sen t j Rdt          
   
. 
A interpretação física e geométrica desta fórmula é um conceito muito importante em 
Dinâmica. A relação nos diz que a velocidade linear é sempretangente à curva descrita pelo 
ponto de interesse. O produto vetorial resulta sempre em um vetor perpendicular aos dois 
vetores que estão sendo multiplicados vetorialmente, isso quer dizer que a velocidade 
tangencial não está na direção da velocidade angular, nem do vetor posição. 
 
Fixação de Conceitos 
Reflita sobre o que o produto vetorial representa geometricamente. Na fórmula 
dR R
dt
 
 
 o vetor 
resultante não aponta na direção de  nem de R

, mas em outra direção, perpendicular a essas duas 
direções. Tente, por meio de desenhos e utilizando a regra da mão direita, entender e encontrar essa 
direção perpendicular. 
 
Derivando 'S Sr r R 
 
 em relação ao tempo, chegamos no seguinte resultado: 
' 'S S Sdr dr drdR R
dt dt dt dt
    
   
. 
E como seria o caso mais geral possível, levando em consideração um referencial que 
realiza tanto uma translação quanto uma rotação, ao mesmo tempo? Descrever o movimento 
de um determinado ponto de um corpo rígido qualquer, levando em consideração tanto a 
translação quanto a rotação do referencial? 
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'S Sv v v R   
   
. 
Para descrever a Cinemática de um corpo rígido, precisamos também encontrar sua 
aceleração. Sabemos que a derivada segunda da posição resulta em uma aceleração. Se 
derivarmos duas vezes em relação ao tempo, a lei de composição de posição do movimento do 
corpo rígido tem-se a seguinte relação: 
 'S Sdv dvdv d Rdt dt dt dt    
  
. 
Aplicando a regra da cadeia na última derivada da relação anterior, temos que: 
 d d dRR Rdt dt dt
     
  
. 
Lembrando que 
dR R
dt
 
 
e que a aceleração angular é dada por d
dt
 

, tem-se: 
   d R R Rdt         
     
. 
Onde Ta R 
 
 é a chamada aceleração tangencial e  Na R       é a 
aceleração normal, ou mais conhecida como aceleração centrípeta. A soma vetorial das duas 
acelerações compõe a aceleração total de rotação. Na figura 1.12, podemos ver a 
decomposição da aceleração nas componentes tangencial e centrípeta. 
Figura 1.12: Componentes tangencial e centrípeta da aceleração total. 
 
 
Dessa forma, a lei de composição de acelerações tem sua forma geral dada por: 
 'S Sa a a R R               . 
A equação acima descreve a aceleração do corpo em uma situação muito geral. Embora 
estejamos falando de Cinemática, não custa notar que se multiplicarmos os dois lados da 
relação anterior pela massa do corpo rígido, temos a seguinte relação: 
'S NI S T CF F F F F   
    
. 
Onde: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 CF

 é a força centrípeta, sempre radial ao corpo rígido; 
 TF

 é a força tangencial à trajetória; 
 NIF

 é uma força chamada fictícia (Ou não Newtoniana), pois é uma força que 
surge pelo simples fato do referencial 'S estar acelerando; 
 'SF

 é a força que um observador no referencial 'S iria medir; 
 SF

 é a força que um observador no referencial calcularia. 
Note que a força SF

não pode ser medida experimentalmente por um observador no 
referencial S , pois há componentes que surgem do simples fato do referencial 'S estar em 
movimento relativo (acelerando e girando). Note que a relação 'S NI S T CF F F F F   
    
 não 
é a Segunda Lei de Newton! Pois não estamos lidando com forças Newtonianas apenas. As Leis 
de Newton só são válidas para referenciais ditos inerciais, que estejam em equilíbrio. 
Figura 1.13: Ilustração das componentes de movimento de rotação de um corpo rígido 
 
 
Na figura 1.13 vemos um movimento de rotação de um determinado ponto do corpo 
rígido: a velocidade tangencial  R   , velocidade angular   , vetor posição  R , e a 
aceleração normal  R     . 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
A figura 1.14 mostra um disco A que gira com velocidade angular constante. Não há deslizamento entre 
o disco A, o anel C e o disco B. Como mostra na figura, os discos A e B possuem o mesmo raio A BR R , 
e o disco C possui raio da abertura cR e uma pequena espessura e. Determine a relação entre as três 
S
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
velocidades angulares A , B , e C . 
Figura 1.14: Mecanismo composto de dois discos circulares e um anel 
 
Resposta: 
Sabemos que quando discos e anéis estão girando em contato, neste ponto a velocidade tangencial dos 
corpos rígidos são iguais. Como temos a relação v r  , se igualarmos essa relação para os dois 
corpos rígidos em contato. Para o disco A e para o anel C, temos: 
( )A A C CR R e     . 
Onde e é a espessura do anel C (que precisamos somar ao raio da abertura interna do anel), e os índices 
representam os corpos. A partir dessa relação, podemos afirmar que A C  , pois A CR R e  . 
Da mesma forma, temos a seguinte relação, se analisarmos o disco B, e o anel C: 
B B C CR R    . 
Repare que como o disco B se encontra dentro do anel, devemos descontar a espessura do raio. 
Podemos afirmar que B C  , pois B CR R . 
Dividindo a relação ( )A A C CR R e     por B B C CR R    : 
( )C CA A
B B C C
R eR
R R

 
  
 
. 
Simplificando a relação anterior, lembrando que A BR R , temos que: 
1A B
C
e
R
     
 
. 
Como o fator entre parênteses é maior do que 1, então A B  . Assim, temos a seguinte relação entre 
as velocidades angulares: 
A B C    . 
 
Já aprendemos o que são referenciais, como o movimento entre eles afetam as 
equações de movimento, a representar trajetórias de corpos rígidos nesses sistemas de 
referência, e fizemos tudo isso utilizando coordenadas cartesianas. Agora vamos aprender 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
como utilizar coordenadas curvilíneas. Vimos que para vetores ( , , )x y z , cada coordenada é 
representada por um versor, ou seja, ˆ ˆ ˆ( , , )x y z xi yj zk   , onde ˆ (1,0,0)i  , ˆ (0,1,0)j  , 
e ˆ (0,0,1)k  . Em breve, vamos utilizar novos sistemas de coordenadas e aprender como 
fazer mudanças de um sistema para outro. Então aproveitamos o momento para lembrar 
brevemente alguns sistemas de coordenadas importantes. Em duas dimensões, temos as 
coordenadas polares ( , )r  , que se correlacionam com as cartesianas da seguinte maneira 
cosx r   e y r sen  . Em três dimensões, podemos estender as coordenadas polares 
para as cilíndricas: 
( , , ) ( cos , , )x y z r r sen z    . 
E temos também as coordenadas esféricas: 
( , , ) ( cos , , cos )x y z sen sen sen             . 
Onde representamos o raio da esfera como  . Na figura 1.15 é possível ver a 
representação geométrica entre os sistemas de coordenadas cartesiano e esférico. 
Figura 1.15: coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas. 
 
 
Exercício Sugerido 
Sabemos que ( , ) ( cos , )x y r r sen    para as coordenadas polares no plano. Mostre que a relação 
inversa, polares cartesianas, é dada por: 
2 2r x y  , arctan y
x
     
. 
 
 
 
 

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Exercício Proposto 
Enunciado: 
Na figura 1.16 você pode ver a figura que ilustra um sistema corda + roldana. Uma corda é 
amarrada ao redor de uma roldana, de raio igual a 0,2m , que se encontra inicialmente em repouso. 
Uma força F

 foi aplicada na corda, dando a ela uma aceleração linear, cuja lei obedece a seguinte 
relação ( ) 4a t t , onde o tempo é medido em segundos.Encontre a velocidade e aceleração angular da 
roldana em função do tempo no instante 3t s . 
Figura 1.16: Ilustração de um sistema corda + roldana. 
 
 
Resposta: 
O enunciado nos disse que após a força ser aplicada, a aceleração linear da extremidade da 
roldana obedece a seguinte relação: ( ) 4a t t . Sabemos que a R  , onde  é a aceleração 
angular, e R é o raio do corpo rígido circular. O raio da roldana possui 0,2m, dessa maneira, podemos 
encontrar a lei da aceleração angular: 
( ) 4( ) 20
0,2
a t tt t
R
     . 
 Para encontrarmos a função que descreve a velocidade angular, devemos integrar a relação que 
encontramos anteriormente para a aceleração angular: 
2
2( ) ( ) 20 10
2
tt t dt C t C        . 
A roldana parte do repouso, de modo que 0C  . Assim: 2( ) 10t t   . 
No instante 3s, teremos:  210 3 90rad/s    . 
 
 
 
 
 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
O corpo rígido possui um ponto A e um ponto B, e o vetor posição que liga os dois pontos é 
/ (1,0,1)A BR 

 e sua velocidade angular descrita pelo vetor (1,0,0)  . Onde as unidades de grandeza 
se encontram no Sistema Internacional (SI). 
Resposta: 
Como sabemos da teoria, o vetor velocidade tangencial da trajetória de um corpo rígido que possui vetor 
posição , e para frequência angular ( , , )x y z   

, é calculado da seguinte 
maneira: 
v R 
 
. 
Para deduzir a relação anterior, basta realizar o produto vetorial R 

. Uma maneira simples de 
visualizar o cálculo de um produto vetorial, é utilizando o cálculo de determinantes: 
( , , )
x y z
x y z y z z y z x x y x y y x
x y z
e e e
R R R R R R R
R R R
              

. 
No caso do problema em questão, temos que: 
/ 1 0 0 (0, 1,0)
1 0 1
x y z
A B
e e e
R   

. 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Uma haste rígida tem dois pontos marcados A e B, e o vetor posição que liga A e B é dado por 
/ ( 1,1,2)A BR  

 e a haste gira com velocidade angular descrita pelo vetor (3,4,0)  . Onde os 
sistemas de unidade se encontram no SI. 
Resposta: 
Para calcular a aceleração normal de um corpo rígido, devemos utilizar a seguinte relação, 
( )na R   
  
, e como sabemos, o produto vetorial é associativo, ou seja, devemos respeitar a 
ordem da multiplicação. Para isso, precisamos primeiro calcular o produto vetorial que se encontra entre 
parênteses: 
( , , )x y zR R R R

Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
( , , )
x y z
x y z y z z y z x x y x y y x
x y z
e e e
R R R R R R R
R R R
              
  

. 
Substituindo os valores das componentes dos dois vetores, encontramos que: 
/ 3 4 0 (8, 6,7)
1 1 2
x y z
A B
e e e
R   

  

. 
Agora podemos calcular o segundo produto vetorial 
/( ) 3 4 0 (28, 21, 50)
8 6 7
x y z
n A B
e e e
a R       

  
  
 . 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Uma haste rígida tem a posição de um ponto A em seu comprimento descrita pelo vetor 
( 1,1, 2)AR   

, e um vetor posição de um ponto B dado por ( 2,3,1)BR  

 em relação a um 
referencial fixo. A haste gira ao redor do ponto A com velocidade angular descrita por (1,0,4)  . O 
raio é dado em metros, e a velocidade angular em 1rad s . Calcule o módulo da velocidade tangencial 
do corpo rígido, e selecione a alternativa correta. 
Resposta: 
Como sabemos da teoria, o vetor velocidade tangencial da trajetória de um corpo rígido que possui vetor 
posição ( , , )x y zR R R R

, e velocidade angular ( , , )x y z   

 é calculado da seguinte maneira: 
( , , )
x y z
x y z y z z y z x x y x y y x
x y z
e e e
v R R R R R R R
R R R
               
  
 
 
Antes precisamos calcular o vetor posição de A em relação a B: 
/ ( 2,3,1) ( 1,1, 2) ( 1,2,3)A B B AR R R        
  
. 
Calculando a velocidade: 
 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
/ / 1 0 4 ( 8, 7,2)
1 2 3
x y z
A B A B
e e e
v R     

  
 
 
Dessa forma, a velocidade do corpo rígido é representada pelo vetor / ( 8, 7,2)A Bv   

. E seu módulo é 
   2 2 2/ 8 7 2 64 49 4 117 10,817 /A Bv m s         

. 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Descreva como a aceleração da gravidade varia de acordo com a latitude. 
Resposta: 
A equação de movimento em sua superfície é dada por: 
( )a g R     
   
. 
Onde g

 é a aceleração da gravidade devido à massa da Terra, dada por: 
2
ˆTGMg r
r
 

. 
Onde G é a constante de Gravitação Universal, devido a Newton, TM é a massa da Terra, r é o módulo 
do vetor posição, ou seja, a distância do centro da Terra até a posição descrita pelo vetor, e rˆ é um 
versor, cuja direção é radial à Terra. Colocando em notação de componentes, a aceleração tem a 
seguinte forma: 
   2 2 2 ˆˆ cosT Ta g R sen r sen             . 
 Onde  é o ângulo entre o vetor posição (na direção radial) e o vetor frequência angular. Na superfície 
da Terra, temos que 22 9,8TT
T
GMg m s
R
    , é a aceleração local da gravidade. O ponto 
fundamental deste exercício reside na correção devido à rotação da Terra, e na linha do Equador, temos 
que 1sen  , ou seja, a correção é dada por 2 20,0339TR m s    , isso quer dizer que na linha do 
Equador, devido à rotação a aceleração da gravidade é menor. 
Figura 1.17: Terra girando com frequência angular . 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Descrever a trajetória de um elétron se movendo em um campo magnético. 
Resposta: 
Um elétron entra em um campo magnético (0,0, )B B

, com uma velocidade ( , , )x y zv v v v

. 
Sabemos do eletromagnetismo que a força que esse elétron sente é dada pela Força de Lorentz 
( )F q v B  
 
, onde q é a carga do elétron. Calculando essa força, encontramos que 
( , ,0)y xF q B v q B v     

. Para encontrar a equação de movimento, devemos aplicar a Segunda Lei 
de Newton (Forças Resultantes), e resolver a seguinte equação diferencial: 
, , , ,0yx z y x
dvdv dvdv q B q Bm F m m m v v
dt dt dt dt m m
                  
 
 
Essa equação diferencial possui a seguinte possível solução: 
0 0 0( ) ( ( ), cos( ), )v t v sen t v t v     

 
Onde 0( 0)v t v 
 
é a velocidade no instante inicial, e 
q B
m
  é a frequência angular do 
movimento, também conhecida pelo nome de frequência cíclotron. Integrando a relação da velocidade, 
temos a seguinte função posição do elétron. 
0 0
0( ) cos( ), ( ),
v vr t t sen t v t 
 
        

 
Figura 1.18: Trajetória helicoidal de elétron em campo eletromagnético 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 
 
 
 
Análise do Movimento Absoluto 
Em um corpo rígido, a distância entre quaisquer dois pontos sempre permanecerá 
inalterada, independente de que tipo de movimento, ou força estiver atuando no corpo. 
 Estudaremos referenciais absolutos, analisando apenas os movimentos de translação 
em relação a um observador fixo, ou de rotação em torno de um ponto fixo, o que resulta no 
movimento geral do corpo rígido para referenciais absolutos, como pode ser visto na figura 
1.9: 
Figura 1.19: Exemplos de movimentos de corpos rígidos no plano 
 
Translação: Essetipo de movimento ocorre quando uma linha traçada entre dois pontos 
do corpo permanece paralela durante o movimento, ou seja, o movimento para os dois pontos 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
são sempre paralelos. A translação pode ser retilínea como mostra o item (a) da figura 1.8, ou 
curvilínea como mostra o item (b) da figura 1.19. 
Rotação em eixo fixo: Quando um corpo rígido rotaciona em torno de um eixo fixo, 
todos os pontos do corpo percorrem um movimento circular, exceto aquele que se encontra 
preso ao eixo fixo do sistema, como mostra o item (c) da figura 1.19. 
Movimento geral no plano: É o movimento resultante da combinação entre os 
movimentos de translação que acontece em relação a um sistema fixo de coordenadas, e 
rotação que acontece em torno de um eixo fixo no próprio corpo rígido, como mostra o item 
(d) da figura 1.19. 
Por sinal, agora é um excelente momento para introduzir uma nova notação para 
versores. Faremos isso porque pode ser necessário trabalhar com diversos sistemas de 
coordenadas, e não somente com as coordenadas cartesianas. Uma notação mais geral é 
utilizar eˆ , seguido de um subscrito que representa a coordenada à qual ele se refere. 
Por exemplo, utilizaremos ˆxe ao invés de iˆ , onde e

 representará o vetor direção, o 
subscrito representará a coordenada ao qual se refere (no caso a direção x), e o chapéu 
representa que o vetor é unitário (módulo igual a 1). 
Quando falamos de translações, em relação a um referencial fixo, temos que, para um 
vetor posição ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zr t x t e y t e z t e  

 do centro de massa ou de qualquer outro ponto 
de interesse de um corpo rígido. No caso  ˆ ˆ ˆ, ,x y ze e e são os versores que formam a base do 
espaço Euclidiano, ou seja, são três vetores que, combinados, permitem a construção de 
qualquer outro vetor tridimensional. A velocidade é dada pela derivada da função posição em 
relação ao tempo: 
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y z
dr dx dy dzv t t e t e t e
dt dt dt dt
   

. 
A aceleração de um ponto do corpo rígido é dada pela segunda derivada da função 
posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada da velocidade em função do tempo: 
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y z
dv d r d x d y d za t t e t e t e
dt dt dt dt dt
    

. 
A seguir, veja um exemplo de movimento absoluto no plano. 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Lançamento Oblíquo de corpo rígido 
Resposta: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Na figura 1.20 podemos ver um corpo rígido no contexto de um lançamento oblíquo, onde o centro de 
massa percorre a trajetória parabólica. O corpo rígido pode realizar movimentos mais complexos, como 
por exemplo, girar, mas isso não afeta a trajetória do seu centro de massa. 
Figura 1.20: Trajetória de um lançamento oblíquo representado no plano 
 
O sistema de referências escolhido é gerado pelos versores  ,x ye e  . A origem (0,0) se encontra em 
repouso em relação à Terra. O corpo rígido, que pode ser uma bala de canhão, por exemplo, que foi 
disparado em um teste, com uma velocidade v , em uma direção que faz um ângulo  , em relação à 
horizontal. As coordenadas são dadas pelas funções: 
0 0( ) ( cos )x t x v t    20 0
1( ) ( )
2
y t y v sen t gt     . 
As velocidades são dadas por: 
0
( ) cosx
dx tv v
dt
   0
( )
y
dy tv v sen gt
dt
    . 
E as acelerações são dadas por: 
2
2
( ) 0xx
dv d x ta
dt dt
   
2
2
( )y
y
dv d y ta g
dt dt
    . 
 
 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
A haste OA (de comprimento r) gira com velocidade angular constante  , de modo que o ponto A gira 
sobre o círculo, formando um ângulo  com a horizontal, que inicialmente é zero. O segmento AB (de 
comprimento l) acompanha o movimento do ponto A, onde o ponto B está sobre o centro de um 
deslizador, que só pode se mover sobre o eixo x. Descreva os movimentos dos pontos A e B, ou seja, 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
determinar os vetores posição e velocidade no caso mais geral, como funções do tempo, e também sua 
condição no instante inicial, no caso específico onde 5l m , 1r m , e que 0,2 /rad s  . 
Figura 1.21: Manivela que gira com velocidade angular constante presa a um deslizador. 
 
Resposta: 
Primeiramente, o engenheiro selecionou um sistema de referências fixo, com origem no centro da 
manivela circular, com versores ˆ ˆ{ , }x ye e , que dão as direções dos eixos. 
O vetor posição do ponto A é pode ser encontrado através de relações geométricas, no círculo 
trigonométrico. Na seção anterior revisamos como escrever um movimento circular com senos e 
cossenos: 
ˆ ˆ( ) cos( ) ( )A x yr t r t e r sen t e      

 . 
Note que no eixo x temos o comprimento de cos( )OC r t   e no eixo y temos o comprimento de 
( )CA r sen t   . 
Para determinar velocidades e acelerações do ponto A na manivela, e do deslizador em B, basta derivar 
em relação ao tempo, os vetores posição: 
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) cos( ) .AA x y
drv t t r sen t e t e
dt
           

 
Agora precisamos determinar o vetor posição do deslizador B, e o engenheiro vai utilizar outras relações 
geométricas, pois deve determinar a distância entre a origem e o deslizador B, portanto OB OC CB  . 
Vimos que cos( )OC r t   . 
O comprimento CB pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras. Observe novamente o desenho 
1.12. Podemos desenhar um triângulo formado pela haste AB (hipotenusa), e os catetos CB e CA . 
Portanto, o teorema mostra que 
2 2 2
AB CB CA  . 
Sabemos que ( )CA r sen t   e que AB l , então: 
22 2 2( )l CB r sen t    , de onde tiramos que: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
2 2 2( )CB l r sen t    . 
E agora temos em mãos todas as informações necessárias para descrever o vetor posição para o 
deslizador B: 
2 2 2 ˆ( ) cos( ) ( )B xr t OC CB r t l r sen t e           

. 
Derivando a relação acima, encontramos que: 
2
2 2 2
1 (2 ) ˆ( ) ( ) ( )
2 ( )
B
B x
dr r sen tv t t r sen t e
dt L r sen t
  

           
    

. 
 
Quando pensamos em rotações, utilizamos as já conhecidas equações de movimento 
circular. Na figura 1.11, podemos ver um corpo rígido em formato de disco, girando no plano. 
Tomamos um ponto em sua borda, e vamos escrever as equações de movimento para o ponto. 
A posição angular é definida pelo ângulo formado pelo vetor posição 
( ) ( ) ( )x yr t x t e y t e 
  
 com o eixo horizontal, e para descrever movimento circular, utilizou o 
conceito de deslocamento angular ( )t , e definimos a velocidade angular ( )t como a taxa 
de variação do deslocamento angular em relação ao tempo, dado pela seguinte relação: 
( ) ( )dt t
dt
  . 
Lembrando que podemos representar a derivada temporal por um ponto, ou seja, 
podemos representar a velocidade angular por ( ) ( ) ( )dt t t
dt
    . Da mesma forma, 
podemos definir a aceleração angular ( )t , em relação à segunda derivada do deslocamento 
angular, em relação ao tempo da seguinte forma (usando também notação de ponto para 
derivada temporal): 
2
2( ) ( ) ( )
d dt t t
dt dt
      . 
Figura 1.21: Movimento circular de corpo rígido 
 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Na figura 1.11 vemos o vetor posição ( )r t

, a velocidade tangencial ( )v t

, a aceleração 
centrípeta (ou radial) ( )a t

, e o deslocamento circular ( )st . 
Da mesma forma que descrevemos os movimentos de um ponto em relação a um 
referencial fixo, podemos descrever os movimentos de um referencial que se move em relação 
a um referencial fixo! Supondo um raio vetor ˆ ˆcos x yr r e r sen e    

 qualquer, onde 
 ˆ ˆ,x ye e são os versores de nosso referencial fixo, e esse raio vetor parametriza um 
movimento circular, exatamente como é mostrado na figura 1.10. Podemos definir um 
referencial móvel  ˆ ˆ,re e a partir do vetor posição, da seguinte forma: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos , cosr x y x y
r re e sen e e r sen e r e
r 
   

         
 
 
. 
A seguir veja outro exemplo de aplicação dos conceitos que apresentamos até então: 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Na figura 1.22 vemos duas engrenagens, que se encontram encaixadas, e fazem parte de um mecanismo. 
As duas engrenagens se movem juntas, pois quando uma gira transfere seu movimento para a outra. 
Figura 1.22: Duas engrenagens girando. 
 
Chamaremos as duas engrenagens de A e B, sendo que elas possuem raios distintos AR e BR , iremos 
determinar a relação entre as frequências angulares A e B . Verificando as especificações do 
mecanismo, você verificou que a engrenagem A possui um raio de 0,25AR m e que a engrenagem B 
possui um raio 0,5BR m . 
Resposta: 
Como as engrenagens estão em contato, e supondo que giram sem deslizar, então a velocidade 
tangencial na extremidade é igual para as duas, ou seja, temos que A Bv v
 
, utilizando a relação da 
velocidade tangencial, Rev   , onde e é o versor que dá a direção da velocidade, temos que 
A A A B B BR e R e 
 
, e temos a seguinte relação entre os versores direção A Be e 
 
, isso quer dizer que 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
uma engrenagem se move no sentido horário, e a outra se move no sentido anti-horário, daí o sinal 
negativo, para indicar sentidos diferentes. Temos a seguinte relação entre as frequências angulares: 
A B
B A
R
R


  . 
Ou seja, se a engrenagem B se move no sentido horário com uma velocidade angular  , então a 
engrenagem A se move no sentido contrário (anti-horário), com velocidade angular que obedece a razão 
entre seus raios. Dessa forma, o engenheiro calcula a relação entre as frequências angulares das duas 
engrenagens: 
0,5 2
0,25
A B
B A
R
R


      . 
 
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Na figura 1.23, vemos um sistema de deslizadores (A e B), conectados por uma barra rígida de 
comprimento L AB

. O deslizador B se move em uma cunha com angulação  , enquanto que o 
deslizador A se move horizontalmente. Determine a velocidade angular da barra, em função da posição 
linear Ax do deslizador A. 
 
Figura 1.23: Sistema de deslizadores 
 
Resposta: 
Vamos analisar o problema de forma geométrica. Note que o deslizador B se move sobre a cunha, 
com um ângulo  com a horizontal. E o deslizador A se move horizontalmente. Dessa forma, podemos 
enxergar um triângulo, considerando o comprimento da barra, o deslocamento do deslizador A, e o 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
deslocamento do deslizador B, ou seja, existe um vínculo entre os movimentos dos deslizadores, e da 
barra. Podemos obter a relação entre esses movimentos, a partir de semelhança de triângulos, utilizando 
a lei dos senos, podemos encontrar que: 
 A A
x L Lx sen
sen sen sen

  
      
 . 
 Onde o ângulo  é aquele considerado entre a barra e o deslocamento do deslizador B, ou seja, 
a função de posição angular da barra, que queremos determinar. A partir da relação anterior, temos o 
deslocamento de A em função da posição angular da barra. Note que a posição Ax do deslizador A varia 
com o tempo, ou seja, é uma função do tempo, ( )A Ax x t . Como mencionamos anteriormente, os 
movimentos da barra e dos dois deslizadores possui um vínculo, que acabamos de encontrar, ou seja, 
podemos descrever o movimento da barra em relação a algo que conhecemos, e conseguimos medir 
facilmente, a posição do deslizador A, através da função ( )A Ax x t . Podemos inverter a relação 
encontrada, e definir a posição angular  como uma função dos dados do problema: 
( ) ( )A
sent arcsen x t
L
     
. 
Note que encontramos uma fórmula para a posição angular em função do tempo, ( )t  . Para 
encontrar a velocidade, devemos derivar a função  , mas uma maneira mais fácil de calcular, é 
simplesmente derivar  ( ) ( )A Lx t sen tsen 
    
, em relação ao tempo, em ambos os lados da 
igualdade. Assim, temos que: 
cosA
Lv x
sen
 

      
 . 
 Lembrando-se da primeira relação, temos que 
2 2
2
2cos 1 1
Ax sensen
L
      . 
 E inserindo na fórmula que derivamos em relação ao tempo, temos que: 
2 2
21
A
A
x senLv x
sen L
 

       
 
 Dessa forma, finalmente chegamos a velocidade angular  da barra, em função da posição linear 
Ax do deslizador A: 
2 2 2
( )A
A
v senx
L x sen



 
 . 
 
 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Análise do Movimento Relativo 
Vimos na seção anterior como trabalhar com referenciais fixos em relação à Terra, e 
como descrever movimentos de corpos rígidos nesses referenciais. Nesta seção vamos 
trabalhar com referenciais que se movem de forma acelerada, ou transladando, ou 
rotacionando. 
Figura 1.24: O sistema ( , , )S x y z    é fixo, e o sistema ( , , )S x y z gira. 
 
Na figura 1.24, vemos um exemplo de movimento relativo, onde um sistema está fixo no 
espaço, e o outro gira em torno de um eixo. O vetor R

 é o vetor posição da origem do sistema 
girante em relação ao sistema fixo. O vetor 'r

 descreve o movimento de um corpo rígido que 
se move no sistema S , mas sob a visão de um observador no sistema S . O vetor r

 descreve 
o movimento do mesmo corpo, mas sob o ponto de vista de um observador no sistema S . 
Em seções anteriores era comum utilizarmos a notação ( , , )x y z para representarmos 
vetores em três dimensões, mas vamos introduzir uma nova notação para simplificar cálculos 
com vetores. Vamos utilizar a notação de índices. Dessa forma ( , , )x y z se torna 1 2 3( , , )x x x . 
Essa notação apesar de não parecer tão clara a princípio, ajuda muito a denotar somatórios, 
que serão muito utilizados daqui pra frente, por exemplo: 
3
1 1 2 2 3 3
1
i i
i
r x e x e x e x e

        . 
Equação geral de movimento 
Vamos deduzir a equação de movimento para um corpo rígido que se encontra em um 
referencial que rotaciona, e descrever seu movimento para um referencial fixo. Vamos usar o 
índice f o referencial fixo (referencial S ), e R o referencial que rotaciona (referencial S ). 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 Da figura 1.24, temos 'r r R 
  
 (observe que aqui o 'r

 não significa a derivada do 
vetor, mas outro sistema de coordenadas), derivando estes vetores em relação ao tempo, 
encontramos que: 
'
f f f
dr dr dR
dt dt dt
     
                
  
. 
Note que estamos derivando o vetor r

 pertencente ao referencial S , mas em relação 
ao referencial S . Precisamos representar 
f
dr
dt
 
   

 em relação ao referencial ao índice R. O 
corpo rígido tem velocidade 
R
dr
dt
 
  

, em relação ao sistema S . 
f R
dr dr r
dt dt
           
  
. 
Onde  é a velocidade angular, e r

 o vetor posiçãoque vai da origem do referencial S 
até o corpo rígido. Dessa forma, temos que: 
'
Rf f
dr dR dr r
dt dt dt

                     
   
. 
Que podemos escrever da seguinte forma: 
f Rv V v r   
   
. 
Que tal refletirmos um pouco sobre esses resultados que obtivemos até agora? Vamos 
assimilar algumas definições. 
 
 
Assimilando Conceitos 
Temos as seguintes definições: 
'
f
f
drv
dt
 
    


 , é a velocidade relativa em relação ao sistema fixo. 
R
R
drv
dt
    

, é a velocidade relativa em relação ao sistema girante. 
f
f
dRV R
dt
 
    
 
, é a velocidade linear relativa, em relação à origem que se move. 
 r  , é a velocidade devido à rotação do sistema girante, que gira com velocidade angular  . 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Derivando f Rv V v r   
   
 em relação ao tempo, temos: 
 f f R
f ff
dv dV dv d r
dt dt dt dt

                
  
. 
Vamos analisar a derivada  d rdt  

 com cuidado. 
 
Assimilando Conceitos 
O movimento de rotação do referencial S possui a mesma velocidade angular  no referencial 'S . 
Dessa forma, temos: 
f R
d d d
dt dt dt
            
  
. 
Utilizando a regra da cadeia em  d rdt  

, temos que: 
 
f
d d drr r
dt dt dt
          
  
. 
Podemos definir que 
d
dt
 
 , e lembrando que R
f
dr v r
dt
      
  
, temos: 
   Rd r r v rdt          
      . 
Aplicando a propriedade distributiva em vetores, temos finalmente: 
   Rd r r v rdt            
       . 
Temos então: 
 .f R R
f ff
dv dvdV r v r
dt dt dt
   
                     
       
Agora temos que escrever R
f
dv
dt
 
  

 no referencial S 
R R
R
f R
dv dv v
dt dt
           
  
. 
Temos então: 
 f R R R
f Rf
dv dvdV v r v r
dt dt dt
    
                       
         . 
Que pode ser escrita na seguinte forma: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 2f f R Ra R a v r r           
        . 
Chegamos finalmente ao resultado mais importante dessa seção. Obtivemos a equação 
geral de movimento para um corpo rígido em um referencial acelerado S , em relação a um 
referencial fixo 'S . Vamos refletir um pouco sobre as novas definições que fizemos: 
Assimilando Conceitos 
R
R
R
dva
dt
    

 é a aceleração medida no referencial S (girante). 
f
f
f
dva
dt
    

, é a aceleração medida no sistema de referências 'S (fixo). 
f
f
dVR
dt
 
    

, é a aceleração linear da origem do referencial S em relação ao referencial 'S . 
Forças Newtonianas e Forças não inerciais: 
Podemos multiplicar dos dois lados da equação de movimento, pela massa do corpo 
rígido, e definir fF m a 
 
, e efetiva RF m a 
 
. De forma que: 
 2efetiva f RF F m R m v m r m r                
         . 
As leis de Newton são válidas somente em referenciais inerciais, que estejam fixos, ou se 
movendo com velocidade constante em relação à Terra. Em referenciais inerciais, as forças são 
ditas Newtonianas, e F

 representa todas as forças Newtonianas atuando no corpo rígido. 
Quando o referencial se move de forma acelerada, ou transladando, ou girando, ou a 
composição desses dois movimentos, temos a presença de forças chamadas Não Newtonianas: 
( ) ( )efetivaF Forças Newtonianas Forças não Newtonianas 

 
Vamos analisar as forças não Newtonianas uma a uma: 
 fm R 

: É uma força que um observador no referencial 'S descreve no corpo 
rígido, tendo como causa o movimento de translação acelerado do referencial 
S . Que tal analisarmos um exemplo a seguir? 
 m r    : É uma força que um observador no referencial 'S descreve no 
corpo rígido, tendo como causa o movimento de rotação do referencial S . 
  m r       : É uma força que um observador no referencial 'S descreve 
no corpo rígido, tendo como causa o movimento de rotação do referencial S . É 
conhecida como força centrífuga. Essa força possui módulo igual a 2m r  , 
sendo que  é perpendicular ao raio vetor r . O sinal negativo da força 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
centrífuga significa que a força está no sentido para fora do movimento de 
rotação, no sentido contrário da força centrípeta. 
 2 Rm v   

: É conhecida como força de Coriolis. 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Na figura 1.25 temos um carrinho, e em seu interior tem um pêndulo, formado por uma esfera de massa 
m, presa por um fio inextensível ao teto do carrinho. Quando o carrinho está parado, o fio fica na 
vertical, e a força peso é igual à força de tração no fio, mas quando o carrinho se move horizontalmente 
com aceleração constante ca

, o pêndulo oscila no sentido contrário à aceleração! Temos então uma 
força não inercial cm a 

 atuando no pêndulo, fazendo com que o fio do pêndulo faça um ângulo  
com a vertical. 
Figura 1.25: Ilustração de um carrinho que se move horizontalmente com aceleração constante. 
 
Resposta: 
Podemos encontrar o ângulo  o pêndulo faz com a vertical, em função dos dados do problema. 
Podemos escolher um referencial fixo em relação à Terra, e tratar o carrinho como o referencial 
acelerado. Como o carrinho não gira, temos que 0  , e a equação geral de movimento: 
efetiva fF F m R  
   . 
As forças Newtonianas atuando no pêndulo são apenas a força peso mg

 e a tração T

. Em termos do 
referencial fixo formado pelos versores ,x ye e  , a força peso é vertical ymg mg e   . Através de 
considerações geométricas, podemos decompor a tração, em função do ângulo  que faz com a vertical: 
cosx yT T sen e T e    
  
. 
Onde T é o módulo da tração. A força não inercial que surge pela aceleração do carrinho em um 
movimento retilíneo, é dada por f c xm R m a e   
 
. Como supomos que o pêndulo fica parado 
fazendo ângulo com a vertical, isso significa que a força efetiva precisa ser nula: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
0efetiva fF F m R   
   . 
Dessa forma, encontra-se que: 
 cos .
f f
x y y c x
F m R T m g m R
T sen e T e m g e m a e 
      
       
    
    
Agrupando os termos nas devidas direções (versores): 
   cos 0c x ym a T sen e T m g e        
 
. 
De onde tiramos duas relações cm a T sen    e cosm g T     , e dividindo uma pela outra, 
encontramos que: 
cos
cm a T sen
m g T


  
  
. 
Simplificando a relação anterior, chegamos ao resultado: 
catg
g
  . 
 
Vamos mostrar agora um exemplo de aplicação da força centrípeta: 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Em um laboratório de física experimental, para a graduação em engenharia, o professor está realizando 
um experimento, para ilustrar o que são referenciais não inerciais. O experimento consiste em colocar 
um pequeno disco circular, na superfície de um carrossel, a uma distância r do centro do carrossel. E 
descrever o movimento do disco no referencial não inercial, girante (carrossel). 
Considere o atrito entre a superfície do carrossel e odisco como sendo 0,5  , e que o carrossel gira 
com velocidade angular constante de módulo 12 /rad s  . Calcule a máxima distância r que o disco 
pode ser colocado, sem que deslize, devido à rotação do carrossel. (Considere 20 10 /g m s ). 
Resposta: 
Sabemos da teoria de dinâmica de corpos rígidos, que a equação da força efetiva é dada pela seguinte 
relação: 
 2efetiva f RF F m R m v m r m r                
         . 
Considerando o referencial fixo como o solo, e o referencial não inercial como sendo o carrossel, o 
centro seria a origem do sistema, que permanece fixa, sem transladar. Como a velocidade angular é 
constante, isso significa que 0 0m r        . Como o centro do carrossel está fixo, isso significa 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
que 0 0f fR m R   
  
, e temos que 0 2 0R Rv m v      
 
. Dessa forma, as únicas forças 
atuando no disco são força de atrito, e força centrífuga. A força de atrito é dada pela relação 
0 rF m g e  
 
, re

 é um versor que tem a direção radial, a partir do centro do carrossel. O raio vetor 
direção do disco é dado por rr r e
 
 , e a velocidade angular é dada por ze 

, onde ze

 é um 
versor que tem a direção perpendicular à superfície do carrossel, a partir de seu centro. Assim, temos 
que a força centrífuga é dada por: 
   
 
 
2
2
2 .
z z r
z z r
z
r
r e e r e
re e e
r e e
r e

   



     
    
   
 
    
  
 

 
 E a equação da força efetiva toma a seguinte forma: 
 
 
2
0
2
0 .
efetiva
r r
r
F F m r
m g e m r e
m g r e
 
 
 
     
      
    
   
 

. 
O problema nos pergunta a distância máxima, do centro do carrossel, para que o disco permaneça 
parado, devido ao atrito, assim devemos impor que 0efetivaF 

, que nos dá a seguinte condição, para 
que o disco fique parado: 
 20
0
2
0
.
efetiva rF m g r e
gr
 


     
 
 
 
Agora, vamos finalmente calcula o valor do raio: 
0
2 2
0,5 10 1,25
2
gr m

    . 
 
Centro instantâneo de velocidade nula 
O centro instantâneo de velocidade nula, ou centro instantâneo de rotação é definido 
como um ponto fixo (ou referencial) em um corpo rígido, em movimento planar, que possui 
velocidade nula em um determinado instante de tempo. Neste instante, os vetores 
velocidades de outros pontos do corpo rígido geram um campo de força circular em torno 
desse centro instantâneo que é idêntico ao que seria gerado por um movimento de pura 
rotação. 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
Um exemplo na figura 1.26, vemos a ilustração de uma roda de um carro, que se move 
para a direita com velocidade constante V. A roda possui raio de comprimento R, e o ponto A é 
seu centro. O ponto C na roda pode ser escolhido como o centro instantâneo de rotação. No 
instante em que a figura mostra a roda, as velocidades tangenciais dos pontos B, D, E é como 
se estivessem percorrendo uma trajetória circular, independentemente de a roda estar 
girando ou não. 
Figura 1.26: Ilustração de uma roda de um carro, com cinco pontos distintos.
 
 
Exercício Proposto 
Enunciado: 
Na figura 1.27, vemos a ilustração de uma haste de comprimento L BA . No ponto A, a haste está 
conectada a um deslizador, que se move sem atrito. No ponto D, a haste está conectada a outra haste 
fixa, de comprimento 120ED mm . Sabendo que neste instante, a velocidade do deslizador A tem 
módulo igual a 900 /Av mm s

. 
(a) Calcule a velocidade angular que a haste ADB, no instante mostrado na figura. 
(b) Analisando os dados do problema, encontre a razão entre os módulos dos vetores posição /D Ar

, 
o segmento que liga o ponto D ao ponto A, e /B Ar

, ou seja, o segmento que liga o ponto B ao 
ponto A. 
Figura 1.27: Sistema haste + deslizador. 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 
Resposta: 
(a) Resposta comentada: Primeiramente, vamos definir um referencial fixo, que se encontra parado em 
relação ao chão. A direção horizontal e a vertical são respectivamente denotadas pelos versores 
 ,x ye e  . Dessa forma, a velocidade do ponto A, é denotada por  900 /A xv mm s e   . O outro 
referencial que escolheremos, será móvel, tendo sua origem localizada no ponto D, notando que este 
referencial se move, em relação ao ponto A, e ao referencial fixo. Vamos determinar o vetor posição 
/D Ar

, que liga o ponto D ao ponto A. Pela figura 1.27, podemos ver que a distância horizontal é dada por 
80mm , enquanto que a distância vertical é dada por 150mm , ou seja, é o segmento: 
/ (0,0) (80,150) 80 150D A x yr DA e e     
  
. 
Segundo a teoria, a equação de velocidade para a haste ABD é dada pela relação: 
/ / /D A D A A D A D Av v v v r    
    
. 
Primeiramente, vamos calcular / /D A D Ar 

, onde a incógnita de nosso problema é a velocidade 
angular de D em relação a A, ou seja, / / /(0,0, )D A D A D A ze   

, lembrando que a velocidade angular 
é um vetor sempre apontando para fora, ou para dentro da folha de papel (ou tela do computador), 
dependendo da orientação do giro do corpo rígido. Aponta para fora, quando o giro é no sentido horário, 
e para dentro, quando o giro é no sentido anti-horário: 
 / / / /0 0 150 80
80 150 0
x y z
D A D A D A D A x y
e e e
r e e       
 
  
  
. 
O ponto D se movimenta apenas na vertical, já que está conectado à outra haste rígida e fixa. 
Dessa maneira, temos que a velocidade em D é dada por D D yv v e

. Inserindo as relações encontradas 
na equação geral da velocidade para o ponto D, temos que: 
Autor: Osvaldo Luiz dos Santos Pereira (osvald23@gmail.com) 
 
 
/ /
/ /
/ /
,
0 900 150 80 ,
0 900 150 80 .
D A D A D A
x D y x D A x D A y
x D y D A x D A y
v v r
e v e e e e
e v e e e

 
 
  
      
      
  
    
   
 
Para que a igualdade seja verdadeira, devemos igualar as componentes: 
/
/
900 150 0
80
D A
D A Dv


   
   
. 
Da primeira relação, encontramos que / 900 / 150 6 /D A rad s     . 
(b) do item (a), encontramos que: 
/ (0,0) (80,150) 80 150D A x yr DA e e     
  
. 
Da mesma forma, vamos proceder para encontrar o vetor /B Ar BA

. Agora vamos utilizar um 
pouco de geometria, mais precisamente semelhança de triângulos. Note que temos um triângulo 
retângulo de hipotenusa AD, altura 150mm , e base 80mm . E temos também um triângulo de 
hipotenusa BA, e altura (60 150) 210mm mm  , por semelhança de triângulos: 
/ /
/ /
210
150 210 150
D A B A
B A D A
r r r r  
   
. 
Dessa forma, tirando o módulo, encontramos que: 
/
/
210 1,40
150
B A
D A
r
r
 

 .