MÉTODOS QUANTITATIVOS

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ESTUDO DIRIGIDO PARA DISCIPLINA DE MÉTODOS QUANTITATIVOS 
 
Neste módulo você aprendeu noções básicas fundamentais para o 
desenvolvimento e aprendizagem da aplicação de Métodos Quantitativos. 
Agora, chegou a hora de demonstrar seu conhecimento realizando as 
avaliações (objetiva e discursiva) pertinentes ao conteúdo. Para ajudá-lo, 
elaboramos este Estudo Dirigido como uma ferramenta para auxiliar no seu 
processo de aprendizagem. Nele você poderá rever aspectos importantes que 
possibilitarão o entendimento do conteúdo. 
 
Como se trata de uso da matemática, muitos cálculos de índices são extensos 
e de difícil assimilação sem seu uso contínuo, pois são extraídos de fórmulas 
complexas, por isso a maioria dos cálculos, desde os básicos até o cálculos 
médios foram desenvolvidos com você nas duas aulas práticas, as quais estão 
ou estarão disponíveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA) no link 
aulas interativas. Esses cálculos básicos até médios, os quais foram parte 
integrante das atividades pedagógicas poderão ser cobrados em avaliações 
futuras, diferente dos cálculos dos exercícios do capítulo sobre Correlação e 
regressão linear múltipla, de onde serão cobrados os conceitos, ou seja, só 
teoria. 
 
Quando lidamos com grandezas simples (um único item ou variável), o índice é 
qualificado como índice elementar ou simples, por outro lado, quando lidamos 
com grandezas complexas (aquelas expressas por muitos valores), 
denominamos de “Índice sintético ou composto”. 
 
Os números índices, ou simplesmente índices, são medidas estatísticas 
frequentemente usadas para comparar grupos de variáveis relacionadas entre 
si e para obter um quadro simples e resumido das mudanças significativas 
ocorridas ao longo do tempo, por ser medida estatística, normalmente os 
índices são fornecidos em forma percentual (ou porcentual). 
É importante ressaltar que os números índices são destituídos de qualquer 
significado se não forem especificadas as datas a que se referem. 
Relativo é um número índice mias simples, relacionando o preço, a quantidade 
e o valor de um produto numa data considerada (dc) com uma data base (db). 
Para calcularmos o relativo de preço, devemos dividir o preço na época atual 
(preço considerado) pelo preço na época base (preço base) e multiplicar por 
100. O mesmo se faz ao se calcular o relativo de quantidade (usando a 
quantidade) e o relativo de valor também. Lembre que valor é o preço do 
produto vezes a sua quantidade. 
 
Vamos falar sobre índices agregativos simples, um dos índices mais utilizados 
é o índice de Dutot, esse índice foi estabelecido em 1738, e é definido como 
sendo a relação entre os somatórios dos valores de um conjunto de variáveis 
em duas datas diferentes – a data-base e a considerada. 
Esse índice é de fácil aplicação, porém apresenta as seguintes limitações: 
- Não leva em conta a importância relativa dos itens. 
- Não há homogeneidade entre as unidades dos diversos bens. 
 
Isso quer dizer que para calcular esse índice, não importa a diferença de 
preços entre itens bens distintos (preço do feijão contra preço da lagosta) e 
também não importa a unidade utilizada, ou seja, podemos ter quilos, litros, 
dúzia etc. 
 
Outro índice agregativo simples é o índice de Sauerbeck, o qual sugere que 
seja feito uma média dos respectivos relativos e com isso mudanças nas 
unidades não mais alterariam os índices. 
O índice de Sauerbeck tem três variações, a primeira é o índice aritmético de 
Sauerbeck, o qual é dado pela média aritmética dos relativos, sejam eles de 
preço, quantidade ou valor. O segundo é o índice geométrico de Sauerbeck, o 
qual é dado pela média geométrica dos relativos e o terceiro é índice 
harmônico de Sauerbeck, que é dado pela média harmônica dos relativos. 
Entendendo esse índice: o mesmo leva em conta a importância entre os 
produtos de uma cesta, ou seja, usa o método de ponderação para poder 
diferenciar importâncias distintas. Ao contrário do índice de Dutot, que utiliza a 
média dos respectivos relativos. 
 
 
Agora vamos falar sobre os índices agregativos ponderados, a diferença sobre 
o índice simples, é que para a ponderação é dado pesos a todos os produtos 
considerados. A necessidade desse peso é devido ao fato de termos em uma 
cesta de produtos itens com pouca influência e outros com grande influência no 
cálculo dos índices. 
 
Vários métodos são propostos para a determinação de um índice ponderado, 
nessa disciplina estudamos os índices de Laspeyres e Paasche. 
 
Em 1871, Ernst Louis Etiene Laspeyres propôs que fosse adotada, como data 
de referência, a data-base e por isso esse índice é também denominado de 
Método da Época Básica. 
Esse índice de Laspeyres pode, assim, ser definido como a média aritmética 
ponderada dos relativos, em que o fator de ponderação é igual à participação 
relativa de cada item diante do valor total dos itens adquiridos na data-base. 
 
O outro índice que falamos é o índice de Paasche, o qual propõe ao contrário 
de Laspeyres, que fosse adotada, como data de referência para as 
ponderações, a data atual (a data considerada), passando então a se calcular 
por média harmônica ponderada de relativos, em que pesos são determinados 
com base nos preços e nas quantidades dos itens na data atual. Por causa 
disso esse índice é denominado de Método da Época Atual. 
 
Segue algumas considerações e restrições aos índices de Laspeyres e de 
Paasche: 
Ambos os índices somente podem ser usados para datas próximas. 
As localidades sob análise devem ter características semelhantes, tendo em 
vista a importância relativa de alguns itens. 
Devido a base da média utilizada nos cálculos, vemos que o índice de 
Laspeyres tende a superestimar o índice de valor, enquanto o índice de 
Paasche tende a subestimá-lo. 
 
Os números índices vistos até o momento servem para comparar duas datas 
distintas (data 1 e data 2), ou seja, comparar a data presente (dc) a uma data-
base (db). Entretanto, as vezes, torna-se necessária a comparação de três ou 
mais variáveis ao longo do tempo e para isso são utilizados a série de números 
índices. Para a construção de uma série de números índices devemos 
considerar alguns parâmetros: 
- a seleção da data-base. 
- a periodicidade dos dados. 
- o método de construção das séries. 
 
A base móvel encadeada somente pode ser usada se o critério de cálculo 
satisfizer a propriedade cíclica (ou circular). Cabe ressaltar que os índices de 
Laspeyres e Paasche não atendem à propriedade cíclica, neste caso, se 
modificar o índice de Laspeyres, em que consiste em aplicar uma base fixa de 
ponderação aos relativos dos itens considerados no cálculo índice. 
A série de números índices deve ser construída com dados que se encontram 
no centro de um momento de grande estabilidade, porém algumas vezes é 
necessário que se mude a base, para que possamos dispor de dados 
atualizados e mais significativos. Na prática, a mudança de base de uma série 
de números índices é feita sendo dividido cada índice da série original pelo 
número índice correspondente à nova data-base (veja exemplo página 53 do 
livro edição 1 ou página 57 do livro edição 2). 
Temos ainda a união de duas séries de números índices, e isso ocorre, pois 
um número índice pode sofrer alterações ou pela mudança da data-base, ou 
pela introdução/exclusão de itens em determinada cesta de produtos. Para se 
fazer essa união, dividimos o novo número índice pelo número índice antigo 
nessa mesma data, assim achamos o fator de multiplicação, que aplicado 
sobre os índices anteriores farão acerto da união de séries (veja exemplo 
página 55 do livro edição 1 ou página 59 do livro edição 2). 
Falaremos agora sobre Deflacionamento: Deflacionar significa eliminar dos 
valores monetários nominais o efeito da inflação. 
Já Deflator é qualquer índicede preços utilizado para equiparar, por redução, 
valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma determinada 
época tomada como base. 
No Brasil os deflatores mais usados são: IGP, ICV, INPC, IPC, IPA e a TR. 
O Brasil é um país com uma quantidade enorme número de índices, isso é 
devido à desvalorização permanente de nossa moeda. Dentro dos diversos 
índices vamos destacar nesse estudo apenas seis deles, para os quais 
daremos as características principais: 
IPC – Índice de Preços ao Consumidor - é um índice particular que busca medir 
o movimento dos preços de um conjunto de bens e serviços nos seus 
segmentos finais de comercialização, em determinado intervalo de tempo. 
Nesse índice nacional é considerado perto de 400 produtos, 50.000 preços 
levantados por mês, para determinar a inflação mensal de famílias com renda 
até 33 salários mínimos. 
INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor - é um índice restrito, pois só 
considera os preços das 11 maiores regiões metropolitanas do país, em um 
total de 116 cidades. Só considera as famílias de assalariados com renda entre 
um e oito salários mínimos, o que representa mais de 90% da população 
brasileira, e leva em conta cerca de 350 produtos. 
IPCA – Índice de Preços ao Consumidor Amplo - é uma variante do INPC. O 
termo “amplo” significa a extensão de alguma condição anteriormente restrita. 
No caso, a extensão refere-se ao público-alvo. O IPCA mede a inflação de 
quem ganha de um até 40 salários mínimos. 
IPA – Índice de Preços no Atacado - esse índice considera pouco mais de 400 
produtos comercializados no mercado atacadista, sejam eles agrícolas ou 
industriais, produzidos no país ou importados. 
IBV - Índice da Bolsa de Valores - É o índice de lucratividade média das ações 
mais negociadas nos pregões da bolsa de valores. 
TR – Taxa Referencial de Juros – é uma taxa divulgada mensalmente pelo 
banco Central e é utilizada como indexador de débitos fiscais, contratos 
privados, entre outros. 
 
Em períodos de inflação, todo cuidado é pouco quando se fala em taxa de 
juros. É comum ouvirmos falar em taxa aparente, taxa real e como distingui-
las? 
A taxa aparente é a taxa utilizada sem levar em conta a inflação do período, 
enquanto que na taxa real leva-se em consideração os efeitos inflacionário do 
período. Com isso entendemos que a taxa aparente, pode, até mesmo ser 
negativa (Castanheira;Serenato, 2005). 
 
Passamos agora a falar sobre Correlação e regressão linear simples: 
É normal estudarmos duas variáveis aleatórias, uma independente e outra 
dependente, na tentativa de saber se existe entre elas uma relação. Entretanto, 
algumas vezes, mais de duas variáveis aleatórias estão envolvidas no mesmo 
problema, e interessa saber como elas estão inter-relacionadas, e a essa grau 
de relacionamento dá-se o nome de Correlação. 
A correlação entre variáveis pode ser classificada segundo o número de 
variáveis envolvidas e segundo a complexidade das funções ajustantes. Em 
termos de número de variáveis envolvidas, a correlação é dita “simples” 
quando for considerada uma única variável independente e dita “múltipla” 
quando considerada mais de uma variável independente. Já em termos de 
complexidade das funções, a correlação é dita “linear”, quando o ajustamento é 
feito por uma função do primeiro grau e “não linear”, quando o ajustamento é 
feito por uma função de grau maior que um. 
O método de análise da relação entre duas variáveis, uma dependente e outra 
independente é chamado de REGRESSÃO, a regressão é linear quando 
estamos lidando com função de primeiro grau, e chamada de simples, pois 
temos apenas uma variável independente. 
Quando investigamos duas variáveis, usualmente começamos com uma 
tentativa de descobrir a forma aproximada dessa relação, que representada 
graficamente nos planos x,y, obtemos um gráfico, o qual é o chamado de 
Diagrama de Dispersão. 
Antes de montarmos um Diagrama de Dispersão devemos primeiro encontrar a 
variável independente (x) e a variável dependente (y), após isso plota-se esse 
pontos num gráfico e se analisa seu resultado. Como se trata de uma 
regressão linear simples, a tendência é de os pontos estarem próximos uns aos 
outros, na tendência de uma reta (reta de regressão). Se observamos um 
diagrama de dispersão, vamos encontrar pontos perto da reta imaginária, veja 
gráfico (página 85 do livro edição 1 ou página 91 do livro edição 2), e observe 
que nem todos os pontos estão exatamente sobre essa reta, o nome dado a 
esse diferença entre o ponto real e a reta imaginária é ERRO ou RESÍDUO, e o 
ajustamento desses pontos é feito por meio de cálculos estatísticos que não 
vem ao caso nesse momento. 
Três pontos importantes devem ser considerados na análise de um Diagrama 
de Dispersão: O primeiro é o cálculo do coeficiente angular M, o segundo é a 
determinação do valor do intercepto y (chamado ponto B) e por último o cálculo 
do coeficiente de correlação de Pearson. O coeficiente de correlação de 
Pearson é dado pela letra “r” e os seu valor sempre estará entre +1 e -1 e com 
esse resultado podemos saber que tipo de relação temos, veja a tabela a 
seguir e observe que tipo de correlação se tem dependo do valor “r”: 
Valor de “r” Tipo de correlação: 
r = 1 Correlação linear perfeita (positiva). 
r > 0 (próximo a 1) Forte correlação positiva. 
r > 0 Fraca correlação positiva. 
r < 0 (próximo a -1) Forte correlação negativa. 
r < 0 Fraca correlação negativa. 
r = -1 Correlação linear perfeita (negativa) 
r = 0 Ausência de correlação linear – existe sim uma 
correlação, porém NÃO linear. 
 
Trabalharemos agora com Correlação e regressão linear múltipla: 
Existem fenômenos que somente são razoavelmente bem explicados por mais 
de uma variável independente e nesses casos usamos a Regressão e 
Correlação Múltiplas. Se a equação de primeiro grau explica bem o fenômeno, 
dizemos que é uma regressão linear, mas se necessitar de uma equação de 
grau maior que um, teremos uma Regressão e a Correlação, Não Lineares. 
Nesse tipo de Correlação e regressão linear múltipla, o coeficiente de Pearson 
também varia entre + 1 e -1, com os extremos indicando um ajuste perfeito dos 
dados e o centro, r = 0 ,mostrando que a função é incompatível com os dados. 
 
Séries Temporais, como o nome já diz, se refere ao tempo. Logo uma série 
temporal é um conjunto de valores observados em momentos distintos e 
sequencialmente ordenados no tempo, ou seja, um conjunto cronológico de 
observações. 
Podemos classificar as Séries Temporais em quatro tipos: 
Tendência secular (T) - é o componente que indica a tendência do movimento 
dos dados em um grande período de tempo e tem como característica ser um 
movimento regular e suave ao longo do tempo. Podem estar influenciadas por 
fatores como crescimento populacional, taxa de desemprego, comportamento 
na conservação de recursos hídricos etc. 
Flutuações cíclicas (C) – é a parte da série temporal que apresenta certo grau 
de regularidade nas variações ao longo do tempo, para períodos maiores que 
um ano. Encontramos esses padrões cíclicos em diversos casos, tais como: 
períodos de chuva, demanda de certos produtos agrícolas, fenômenos 
associados a estações do ano etc. 
Variações sazonais (S) - se assemelham aos fenômenos cíclicos, porém 
somente nos casos em que os dados são registrados em curto prazo: 
diariamente, semanalmente, quinzenalmente, mensalmente etc., para intervalo 
de tempo de, no máximo, um ano. São encontrados em ocasiões distintas, tais 
como Natal, Páscoa, Produtos consumidos no frio etc. 
Variações aleatórias ou irregulares (I) - acontecem quando alguns fenômenos 
socioeconômicosvariam de forma aleatória e referem-se aos efeitos causados 
por greves, guerras, enchentes, secas e demais fatorem que ocorrem com 
regularidade. Referem-se a efeitos causados por greves, enchentes, secas etc. 
 
 
Pessoal tudo o que foi visto nesse Estudo Dirigido é o resumo do que foi 
passado a vocês de teoria ao longo de seis aulas, onde aborda termos, 
conceitos e situações de aplicação etc. O conteúdo desse Estudo Dirigido mais 
os exercícios desenvolvidos nas duas aulas práticas abrangem mais de 90% 
do que será cobrado nas avaliações, porém a leitura do livro e a revisão das 
aulas dadas são indispensáveis, pois com certeza o professor regente 
esclarece por meio de exemplos práticos cada ponto aqui mencionado. 
 
Bom estudo e boa prova. 
 
Prof. Douglas Agostinho