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Introduc¸a˜o Capacitor Elementar Tipos de Capacitores Relac¸a˜o V -I em um Capacitor Associac¸a˜o de Capacitores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aula 08
Capacitores
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Introduc¸a˜o Capacitor Elementar Tipos de Capacitores Relac¸a˜o V -I em um Capacitor Associac¸a˜o de Capacitores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Ate´ agora, todos os circuitos que analisamos possu´ıam apenas um u´nico
elemento passivo: o resistor. Sabemos, atrave´s da Lei de Ohm, como a
tensa˜o e a corrente em um resistor se relacionam;
Os outros dois elementos passivos que sa˜o encontrados em circuitos
ele´tricos sa˜o o capacitor e o indutor;
O nosso objetivo enta˜o, nesta aula, e´ conhecer o capacitor, atrave´s
da construc¸a˜o elementar e conhecer as caracter´ısticas que relacionam
tensa˜o e corrente neste elemento;
Diferentemente dos resistores, que dissipam energia, capacitores e in-
dutores sa˜o dispositivos feitos para armazenar energia, a qual pode
ser posteriormente recuperada. Desta forma, dizemos que capacitores
e indutores sa˜o elementos armazenadores de energia.
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Capacitor Elementar
O capacitor e´ um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu
campo ele´trico;
Um capacitor elementar e´ formado por duas placas condutoras paralelas,
sendo uma carregada de carga +Q e a outra de carga −Q, separadas por
um diele´trico (isolante);
A quantidade de carga armazenada Q em cada placa e´ dada de acordo com a
seguinte equac¸a˜o
Q = CV ,
onde V e´ a tensa˜o (ou diferenc¸a de potencial) entre as duas placas e C e´ uma
quantidade denominada capacitaˆncia, cuja unidade no sistema internacional
e´ o farad [F];
Logo, por definic¸a˜o, temos que: 1 [F] = 1 [C/V].
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Capacitor Elementar
Embora a capacitaˆncia seja a raza˜o entre carga e tensa˜o, ela na˜o depende
diretamente de nenhuma delas. Na realidade, a capacitaˆncia depende da
geometria e do isolante. Para um capacitor elementar, o de placas paralelas,
temos que:
C = ε
A
r
,
onde A e´ a a´rea de uma das placas, r e´ a distaˆncia entre as duas placas e ε e´
a permissividade do diele´trico (isolante) entre as duas placas;
Embora nem todos os capacitores sejam de placas paralelas, a equac¸a˜o anterior
ajuda a compreender os efeitos de cada varia´vel na capacitaˆncia: enquanto
a permissividade e a a´rea sa˜o diretamente proporcionais a` capacitaˆncia, a
distaˆncia entre as superf´ıcies carregadas e´ inversamente proporcional;
Uma vez que temos placas carregadas eletricamente cujos sinais sa˜o opostos,
formam-se linhas de campo (ou linhas de forc¸a) entre as placas, direcionadas
da placa com carga positiva para a placa com carga negativa, estabelecendo
um campo ele´trico. A intensidade de campo ele´trico E formado entre as placas
e´ dada por
E =
V
r
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Capacitor Elementar
A permissividade de um material e´ definido como sendo a facilidade de se
estabelecer um campo ele´trico em seu interior. Sendo ε0 a permissividade do
va´cuo, temos que a permissividade de um material em relac¸a˜o a` permissivi-
dade do va´culo e´
ε = εrε0 ,
onde εr e´ conhecido como permissividade relativa;
A permissividade do ar e´ muito pro´xima da do va´cuo, sendo enta˜o εr do ar
muito pro´ximo de 1, e os outros materias tem suas permissividades compara-
das a´ do ar em vez do va´cuo;
Dado que a permissividade do ar e´ ε0 = 8, 85× 10−12 F/m, algumas permis-
sividades relativas sa˜o:
Papel Parafinado 2,5 O´xido de Alumı´nio 7,0
Borracha 3,0 Baquelite 7,0
O´leo 4,0 Vidro 7,5
Mica 5,0 Ceraˆmica 20 - 7500
Porcelana 6,0 Titanato de Ba´rio e Estroˆncio 7500
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Tipos de Capacitores
Os capacitores podem ser classificados de dois tipos: os de capacitaˆncia fixa
e os de capacitaˆncia varia´vel;
Comercialmente, os capacitores sa˜o encontrados de acordo com seu isolante,
sendo os mais comuns os de polie´ster, o ceraˆmico e o eletrol´ıtico. Deve-se
atentar para o fato que alguns capacitores, principalmente os eletrol´ıticos e
de taˆntalo, sa˜o dispositivos com polaridade fixa, e liga´-los com polaridade
oposta fatalmente ira´ destruir os componentes!
Em geral, para capacitores polarizados a polaridade devera´ estar indicada no
corpo do capacitor ou enta˜o nos seus terminais, sendo o mais longo o terminal
positivo e o mais curto o negativo. O terminal positivo devera´ ser ligado em
um no´ de maior tensa˜o que o terminal negativo;
Comercialmente, os capacitores esta˜o dispon´ıveis na faixa de pF ate´ µF. Um
capacitor de 1 F pode apresentar tamanho gigantesco, devido a` necessidade
de isolar as placas!
Deve-se observar que o capacitor possui uma rigidez de acordo com seu diele´trico
e, portanto, na˜o devera´ estar conectado a uma tensa˜o capaz de estabelecer
um campo ele´trico ta˜o grande que “rompa” o diele´trico do material;
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Capacitores
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Capacitor
Vamos investigar agora como a relac¸a˜o tensa˜o-corrente se configura no capaci-
tor. Considere, sem perda de generalidade, que um capacitor cuja capacitaˆncia
e´ C, esta´ submetido a uma tensa˜o v(t) e possui carga q(t) em suas placas:
q(t) = Cv(t) ;
Uma definic¸a˜o um pouco mais “formal” de corrente ele´trica diz que a corrente
e´ a derivada da carga em relac¸a˜o ao tempo, ou seja:
i(t) =
dq(t)
dt
;
Derivando a equac¸a˜o do capacitor em relac¸a˜o ao tempo, e considerando a
capacitaˆncia constante uma vez que depende apenas da geometria do elemento
e do material isolante, temos que:
dq(t)
dt
= C
dv(t)
dt
;
Substituindo pela corrente, finalmente temos que:
i(t) = C
dv(t)
dt
.
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Capacitor
Desta forma, vemos que a relac¸a˜o entre tensa˜o e corrente em um capacitor
na˜o e´ mais “esta´tica” como em um resistor, e sim dinaˆmica, regida por uma
equac¸a˜o diferencial;
Uma propriedade importante dos capacitores e´ que a tensa˜o em seus terminais
na˜o pode variar abruptamente, uma vez que isto produziria uma corrente
infinita (fisicamente imposs´ıvel). Em outras palavras, o capacitor resiste a`
variac¸o˜es abruptas (instantaˆneas) de tensa˜o;
A tensa˜o no capacitor pode ser determinada integrando-se a equac¸a˜o anterior,
resultando em:
v(t) =
1
C
∫ t
t0
i(τ)dτ + v(t0) ,
onde v(t0) = q(t0)/C e´ a tensa˜o existente nos terminais do capacitor no
instante t = t0;
Desta forma, vemos que a tensa˜o no capacitor depende do “histo´rico” da
corrente, o que indica que o capacitor possui memo´ria;
Embora a tensa˜o no capacitor na˜o possa variar abruptamente, a corrente sim
pode variar instantaneamente;
A poteˆncia instantaˆnea liberada para o capacitor e´p(t) = v(t)i(t) = Cv(t)
dv(t)
dt
.
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Capacitor
Ja´ a energia armazenada no campo ele´trico de um capacitor e´
w(t) =
∫ t
−∞
p(t)dt = C
∫ t
−∞
v(t)dv =
1
2
Cv(t)2 ;
Equivalentemente
w(t) =
1
2
C
q(t)2
C2
=
1
2C
q(t)2 ;
Observe que quando a tensa˜o em um capacitor na˜o esta´ variando com o tempo
a corrente que passa pelo capacitor e´ nula. Desta forma, um capacitor visto
por uma fonte cont´ınua (CC) e´ um circuito aberto. No entanto, como a tensa˜o
em seus terminais na˜o pode variar instantaneamente, no exato momento da
variac¸a˜o de tensa˜o o capacitor e´ um curto-circuito;
A fase de carga e descarga de um capacitor para fontes cont´ınuas (ou seja,
o momento nos quais ocorre uma variac¸a˜o de tensa˜o no capacitor) depende
do circuito no qual o capacitor esta´ inserido. Na˜o entraremos em detalhes
aqui da matema´tica envolvida na modelagem, mas pode-se considerar que um
capacitor esta´ carregado (ou descarregado) apo´s 5RthC segundos decorridos
da mudanc¸a no valor da tensa˜o, sendo Rth a resisteˆncia The´venin vista nos
terminais do capacitor;
A curva na qual o capacitor se carrega (ou descarrega) e´ uma exponencial:
carga: v(t) = Eth
(
1− �−
1
RthC
t
)
descarga: v(t) = Eth�
− 1
RthC
t
.
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Capacitor
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Capacitor Real
Um capacitor real e´ aquele no qual aparece uma resisteˆncia em paralelo Rp,
conhecida como resisteˆncia de fuga, com a capacitaˆncia C e uma resisteˆncia
em se´rie Rs com a capacitaˆncia e a resisteˆncia de fuga
A resisteˆncia de fuga em geral e´ muito grande, podendo ser desprezada, exceto
para alguns capacitores eletrol´ıticos, que possuem resisteˆncia de fuga em torno
de 500 kΩ;
A resisteˆncia de fuga pode ser cr´ıtica para capacitores eletrol´ıticos uma vez
que podem descarregar o capacitor rapidamente dependendo da aplicac¸a˜o e
do tempo que o capacitor deve ficar carregado;
Ja´ a resisteˆncia se´rie em geral e´ muito pequena, tambe´m podendo ser comu-
mente desprezada, exceto tambe´m para alguns capacitores eletrol´ıticos;
A resisteˆncia se´rie pode ser um problema, principalmente em aplicac¸o˜es no
projeto de fontes de poteˆncia, uma vez que parte da tensa˜o aplicada no capa-
citor real e´ “perdida” (queda de tensa˜o) na resisteˆncia se´rie;
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Associac¸a˜o Se´rie de Capacitores
Considere um circuito com va´rios capacitores em se´rie, como na figura abaixo:
De acordo com a LKT, temos:
E = V1 + V2 + . . .+ VN =
Q1
C1
+
Q2
C2
+ . . .+
QN
CN
;
Uma vez que todos os capacitores sa˜o percorridos pela mesma corrente, tambe´m
possuem a mesma carga QT , logo:
QT
Ceq
=
QT
C1
+
QT
C2
+ . . .+
QT
CN
;
Finalmente, temos que:
1
Ceq
=
N∑
n=1
1
Cn
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Associac¸a˜o Paralela de Capacitores
Considere um circuito com va´rios capacitores em paralelo, como na figura
abaixo:
De acordo com a LKC, temos:
QT = Q1 +Q2 + . . .+QN = C1V1 + C2V2 + . . .+ CNVN ;
Uma vez que todos os capacitores esta˜o submetidos a` mesma tensa˜o:
CeqE = C1E + C2E + . . .+ CNE ;
Finalmente, temos que:
Ceq =
N∑
n=1
Cn
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Introduc¸a˜o Capacitor Elementar Tipos de Capacitores Relac¸a˜o V -I em um Capacitor Associac¸a˜o de Capacitores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Exerc´ıcios
Exemplo 8.1
Dado o capacitor de placas paralelas abaixo:
a Determine o valor da capacitaˆncia se o diele´trico e´ mica;
b Dado que a tensa˜o no capacitor e´ 24 V, calcule a quantidade de carga
armazenada neste capacitor;
c Calcule a intensidade do campo ele´trico entre as placas se a tensa˜o no
capacitor for 100 V;
d Sabendo que a rigidez diele´trica da mica e´ igual a 600 kV/cm, calcule o
ma´ximo de carga que este capacitor pode armazenar.
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Exerc´ıcios
Exemplo 8.2
Determine a corrente em um capacitor de 200 µF se a tensa˜o no capacitor possui o
perfil dado pela figura a seguir.
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Exerc´ıcios
Exemplo 8.3
Um capacitor inicialmente descarregado encontra-se situado no circuito da figura a
seguir.
a Sabendo que a chave e´ ligada na posic¸a˜o 1 em t = 0 s, determine o tempo
necessario para que o capacitor se carregue e o valor da tensa˜o do capacitor
plenamente carregado. Considere que a resisteˆncia de fuga e´ infinita;
b Apo´s o capacitor estar plenamente carregado, muda-se a chave da posic¸a˜o 1
para posic¸a˜o 2. Calcule o tempo para o capacitor se descarregar
completamente, considerando que a resisteˆncia de fuga e´ infinita;
c Repita o item (b) se a resisteˆncia de fuga fosse igual a 100 kΩ.
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Exerc´ıcios
Exemplo 8.4
Determine todas as tenso˜es no circuito abaixo. Dados C1 = C4 = 20 mF, C2 = 30
mF e C3 = 40 mF.
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Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 10: 5, 7, 10, 13, 19, 23, 25, 29, 35, 40, 46, 47, 48 e
51;
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	Relação V-I em um Capacitor
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