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Introduc¸a˜o Indutor Elementar Relac¸a˜o V − I Indutor Real Associac¸a˜o de Indutores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aula 09
Indutores
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Introduc¸a˜o Indutor Elementar Relac¸a˜o V − I Indutor Real Associac¸a˜o de Indutores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o
Ate´ agora, os circuitos ele´tricos que analisamos possu´ıam dois elementos
passivos: o resistor e o capacitor. Sabemos como a tensa˜o e a corrente
nestes elementos se relacionam;
O u´nico elemento passivo encontrado em circuitos ele´tricos ainda a ser
visto e´ o indutor;
O nosso objetivo enta˜o, nesta aula, e´ conhecer este elemento, atrave´s
da construc¸a˜o elementar, e as caracter´ısticas que relacionam tensa˜o e
corrente;
Diferentemente dos resistores, que dissipam energia, os indutores, as-
sim como os capacitores, sa˜o dispositivos feitos para armazenar ener-
gia, a qual pode ser posteriormente recuperada. Desta forma, dizemos
que capacitores e indutores sa˜o elementos armazenadores de energia.
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Introduc¸a˜o Indutor Elementar Relac¸a˜o V − I Indutor Real Associac¸a˜o de Indutores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Indutores
O indutor e´ um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu
campo magne´tico;
O indutor, como veremos, possui propriedades duais ao capacitor, podendo
ser considerado seu elemento dual;
O indutor elementar e´ constitu´ıdo de um fio enrolado N vezes num material
de certa propriedade (que veremos adiante) chamado de nu´cleo;
Cada volta que o fio da´ no nu´cleo e´ chamada de espira;
Para compreender melhor os conceitos de um indutor, precisamos conhecer os
fundamentos do magnetismo;
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Introduc¸a˜o Indutor Elementar Relac¸a˜o V − I Indutor Real Associac¸a˜o de Indutores Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Fundamentos de Eletromagnetismo
O campo magne´tico e´ formado pelas linhas que se formam atrave´s de um ı´ma˜
permamente, como mostrado na figura abaixo;
As linhas de campo magne´tico, ao contra´rio do campo ele´trico, na˜o tem in´ıcio
ou fim, sendo curvas fechadas, orientadas do po´lo norte para o po´lo sul;
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Fundamentos de Eletromagnetismo
Cada material tem uma certa propriedade de “concentrar” as linhas de campo
magne´tico. A esta propriedade damos o nome de permeabilidade magne´tica.
Materiais como ferro doce sao chamados de magne´ticos pois sa˜o grandes “con-
centradores” de linhas de campo, enquanto que materiais como vidro sa˜o cha-
mados de na˜o-magne´ticos pois na˜o sa˜o grandes concentradores de linhas de
campo. A capacidade de concentrar tais linhas nada mais e´ do que a facilidade
com que as linhas de campo se estabelecem no material;
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Fundamentos de Eletromagnetismo
O fluxo magne´tico Φ e´ o nu´mero de linhas de campo de um derterminado
campo magne´tico e e´ dado em Webbers [Wb]. Ja´ a densidade de fluxo
magne´tico B e´ o nu´mero de linhas de campo que atravessam uma determinada
a´rea A, e e´ dado em Teslas [T]. Logo, temos:
B =
Φ
A
1 [T] = 1 [Wb/m2] ;
Uma das grandes descobertas da humanidade foi a relac¸a˜o entre eletricidade
e magnetismo. Um fio percorrido por uma corrente I e´ capaz de gerar um
campo magne´tico cujas linhas de campo sa˜o circulares em torno do condutor
e o sentido e´ dado pela “regra da ma˜o direita”;
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Fundamentos de Eletromagnetismo
No entanto, se enrolarmos o condutor formando uma espira, as linhas de
campo resultantes tera˜o o mesmo sentido e direc¸a˜o no centro da espira, e
temos enta˜o um componente muito similar a um ı´ma˜ permanente, devido a`
distribuic¸a˜o resultante das linhas de campo. Damos a este dispositivo enta˜o
o nome de eletro´ıma˜;
A intensidade do campo magne´tico H, dada em [Ae/m] (Ampe´re-espira por
metro) no interior da bobina e´ dada por:
H =
NI
l
,
onde l e´ o comprimento me´dio do caminho magne´tico, N e´ o nu´mero de espiras
e I e´ a corrente na bobina. O produto NI, tambe´m por vezes denominado de
F, e´ chamado de forc¸a magnetomotriz, e e´ ana´logo a` tensa˜o em um circuito
ele´trico. 7 / 20
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Fundamentos de Eletromagnetismo
Para cada material existe uma relac¸a˜o entre a densidade de fluxo magne´tico
B e a intensidade do campo magne´tico H. Um gra´fico que mostra a relac¸a˜o
H ×B e´ chamada de curva de magnetizac¸a˜o do material;
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Fundamentos de Eletromagnetismo
De maneira geral, esta curva de magnetizac¸a˜o fora da regia˜o de saturac¸a˜o
pode ser aproximada por uma reta. Com isto, a relac¸a˜o entre H e B e´ dada
por:
µ =
B
H
,
onde µ e´ a permeabilidade magne´tica do material;
A permeabilidade magne´tica “padra˜o” e´ a do ar (espac¸o vazio), sendo cha-
mada de µ0. Materiais com permeabilidade magne´tica menor que a do ar
sa˜o chamados de diamagne´ticos e maior que o ar sa˜o chamados de ferro-
magne´ticos;
A indutaˆncia L esta´ relacionada com o fluxo magne´tico Φ que uma corrente
I em um condutor e´ capaz de gerar, ou seja:
Φ = LI
Para um solenoide com N espiras, cada uma delas ira´ produzir um fluxo Φ
devido a` corrente I, e diz-se que enta˜o que as espiras esta˜o concatenadas por
este fluxo Φ. Desta forma, a indutaˆncia e´:
L =
NΦ
I
,
onde NΦ e´ por vezes chamado de fluxo concatenado.
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Fundamentos de Eletromagnetismo
Sabendo que µ = B/H, temos enta˜o:
µ =
Φ
A
l
NI
−→ Φ
I
=
µNA
l
;
Logo, a indutaˆncia de um solenoide (indutor elementar) e´ dada por:
L =
µN2A
l
;
A indutaˆncia e´ medida em Henry [H];
Os indutores podem ser classificados como fixos ou varia´veis, sendo que os
fixos podem ainda ser classificados como nu´cleo de ar e nu´cleo ferromagne´tico.
Ainda podemos ter os indutores fixos sem derivac¸a˜o e com derivac¸a˜o. Em
relac¸a˜o aos indutores varia´veis, a variac¸a˜o e´, em geral, conseguida mudando-
se a permeabilidade magne´tica do material;
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Indutor
Segundo a Lei de Faraday, ao se variar o fluxo magne´tico em um condutor
uma tensa˜o sera´ induzida em seus terminais e, caso seja um circuito fechado,
ira´ circular uma corrente por este condutor. A corrente no condutor circulara´
no sentido de criar um fluxo contra´rio (em oposic¸a˜o) ao fluxo perturbante,
segundo a Lei de Lenz;
Como vimos, uma solenoide de N espiras apresenta um fluxo concatenado, e
a Lei de Faraday e´ enta˜o:
e(t) = −N dΦ
dt
A indutaˆncia, conforme vimos, e´ a variac¸a˜o do fluxo magne´tico em relac¸a˜o a
corrente que o produziu, logo:
L = N
dΦ
di
Desprezando o sinal da Lei de Lenz, temos enta˜o que a Lei de Faraday pode
ser escrita da seguinte forma:
e(t) = N
dΦ
di
di
dt
Logo, temos que num indutor a tensa˜o se relaciona com a corrente da seguinte
forma:
v(t) = L
d
dt
i(t) .
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Desta forma, vemos que a relac¸a˜o entre tensa˜o e corrente em um indutor
tambe´m na˜o e´ mais “esta´tica” como em um resistor, e sim dinaˆmica, regida
por uma equac¸a˜o diferencial;
Uma propriedade importante dos indutores e´ que a corrente que por ele passa
na˜o pode variar abruptamente, uma vez que isto produziria uma tensa˜o in-
finita (fisicamente impossivel). Em outras palavras, o indutor resiste a uma
variac¸a˜o abrupta (instantaˆnea) na corrente;
A corrente no indutor pode ser determinada integrando-se a equac¸a˜o anterior,
resultanto em:
i(t) =
1
L
∫ t
t0
v(τ)dτ + i(t0) ,
onde i(t0) e´ a corrente total para −∞ < t < t0 e i(−∞) = 0;
Desta forma, vemos que a corrente no indutor depende do “histo´rico” da
tensa˜o, o que indica que o indutor possui memo´ria;
Embora a corrente no indutor na˜o possa variar abruptamente, a tensa˜o sim
pode variar;
A poteˆncia instantaˆnea liberada para o indutor e´:
p(t) = v(t)i(t) = Li(t)
d
dt
i(t) .
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Relac¸a˜o entre Tensa˜o e Corrente em um Indutor
Ja´ a energia armazenada no campo magne´tico de um indutor e´:
w(t) =
∫ t
−∞
p(τ)dτ = L
∫ t
−∞
i(τ)dτ =
1
2
Li(t)2 ;
Observe que quando a corrente que passa por um indutor na˜o esta´ variando
com o tempo a tensa˜o nos seus terminais e´ nula. Desta forma, um indutor
visto por uma fonte cont´ınua (CC) e´ um curto-circuito. No entanto, no exato
momento da variac¸a˜o da corrente em seus terminais o indutor funciona como
um circuito-aberto (ou como uma fonte independente de corrente cujo valor e´
o valor da corrente no indutor no instante imediatamente anterior a` variac¸a˜o
no circuito);
A fase de armazenamento e decaimento de um indutor (ou seja, nos momentos
nos quais ocorre uma variac¸a˜o de corrente no indutor) depende do circuito
no qual o indutor esta´ inserido. Na˜o entraremos em detalhes da matema´tica
envolvida na modelagem, mas pode-se considerar que um indutor possui ar-
mazenamento pleno (ou armazenamento nulo, na fase de decaimento) apo´s
5L/RN (5τ) segundos decorridos da mudanc¸a no valor da corrente, sendo RN
a resisteˆncia Norton vista nos terminais do indutor;
A curva de armazenamento e decaimento de um indutor e´ uma exponencial:
armazenamento: i(t) = IN
(
1− e− tτ
)
decaimento: i(t) = INe
− t
τ .
Observac¸a˜o: τ =
L
RN
.
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Indutor Real
Um indutor real e´ aquele no qual aparece uma resisteˆncia em se´rie Rl, conhe-
cida como resisteˆncia de enrolamento, com a indutaˆncia L e uma capacitaˆncia
C, conhecida como capacitaˆncia de enrolamento, em paralelo com a indutaˆncia
e resisteˆncia de enrolamento;
A resisteˆncia de enrolamento e´ em geral muito pequena, podendo ser des-
prezada na maioria dos casos, exceto nos casos em que o fio e´ feito de algum
material que na˜o seja bom condutor, ou que o comprimento dos fios da bobina
seja extremamente longo;
A capacitaˆncia aparece uma vez que ha´ duas superf´ıcies condutoras (espiras)
separadas por um diele´trico (no caso, ar). Na grande maioria dos casos pode
ser desprezada, exceto quando estamos lidando com alta frequeˆncia;
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Associac¸a˜o Se´rie
Considere um circuito com va´rios indutores em se´rie, como na figura abaixo:
De acordo com a LKT, temos:
E = V1 + V2 + . . .+ VN = L1
di
dt
+ L2
di
dt
+ . . .+ LN
di
dt
E = (L1 + L2 + . . .+ LN )
di
dt
=
N∑
n=1
Ln
di
dt
Logo, a indutaˆncia equivalente e´:
Leq =
N∑
n=1
Ln
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Associac¸a˜o Paralelo
Considere um circuito com va´rios indutores em paralelo, como na figura
abaixo:
De acordo com a LKC, temos:
i(t) = i1(t) + i2(t) + . . .+ iN (t)
1
Leq
∫ t
t0
vdτ+it0 =
1
L1
∫ t
t0
vdτ+i1t0 +
1
L2
∫ t
t0
vdτ+i2t0 +. . .+
1
LN
∫ t
t0
vdτ+iNt0
Logo, a indutaˆncia equivalente e´:
1
Leq
=
N∑
n=1
1
Ln
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Indutores
Exemplo 9.1
Considere o indutor tipo solenoide da figura abaixo:
a Determine o valor da indutaˆncia;
b Recalcule o valor da indutaˆncia se o nu´cleo de ar for substitu´ıdo por um
material ferromagne´tico com permeabilidade 5000 vezes maior que a do ar.
Dado: permeabilidade do ar µ0 = 4pi × 10−7 [Wb/(A.m)].
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Indutores
Exemplo 9.2
Para o circuito abaixo:
(a) Considerando que a chave e´ fechada em t = 0 [s], determine as tenso˜es indi-
cadas no circuito;
(b) Determine o tempo necessa´rio, a partir do momento em que a chave e´ fechada,
para que o indutor possua pleno armazenamento de energia;
(c) Com o indutor em pleno armazenamento, determine as tenso˜es indicadas no
circuito;
(d) Com o indutor em pleno armazenamento, a chave e´ novamente aberta. De-
termine todas as tenso˜es no circuito;
(e) A partir do momento em que a chave e´ novamente aberta, determine o tempo
necessa´rio para que o indutor fornec¸a toda a energia armazenada.
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Indutores
Exemplo 9.3
Para o circuito abaixo, se i1(t) = 0, 6e−2t [A] e i(0) = 1, 4 [A], calcule:
(a) i2(0);
(b) i2(t) e i(t);
(c) v1(t);
(d) v2(t) e v(t).
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Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 11: 2, 3, 11, 12, 16, 18, 21, 22, 25, 35, 37;
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	Introdução
	Indutor Elementar
	Relação V-I
	Indutor Real
	Associação de Indutores
	Exercícios