equações reciprocas

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Fonte: Professor Caju 
RAÍZES RECÍPROCAS Prof. Marcelo Renato 
Equação Polinomial Recíproca, ou simplesmente "Equação recíproca", é aquela que, se possui "x1" 
como raiz, então seu recíproco ("1/x1") também será raiz da equação. 
Exemplo: A equação polinomial que tem as raízes {2, 1/2, 2/3 e 3/2} é uma equação recíproca 
do 4º grau (4 raízes), pois o recíproco de 2 é 1/2 e o recíproco de 2/3 é 3/2. 
COMO RECONHECER UMA EQUAÇÃO RECÍPROCA? 
Chamamos uma equação de RECÍPROCA se e somente se os coeficientes das parcelas 
eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou opostos (sinais trocados), quando ordenados segundo 
as potências decrescentes da variável. 
Quando os coeficientes forem iguais, teremos uma equação polinomial recíproca de 1ª 
espécie (ou 1ª classe) e, quando opostos, teremos uma equação polinomial recíproca de 2ª 
espécie (ou 2ª classe). Veja os exemplos abaixo: 
12x4 - 56x3 + 89x2 - 56x + 12 = 0 
31x3 - 7x2 - 7x + 31 = 0 
Recíproca de 1ª espécie ou 1ª classe 
6x3 - 19x2 + 19x - 6 = 0 
- 2x5 - 5x4 - 11x3 + 11x2 + 5x + 2 = 0 
Recíproca de 2ª espécie ou 2ª classe 
EQUAÇÕES RECÍPROCAS QUE TÊM x1=1 ou x2=-1 COMO RAÍZES. 
É fácil constatar que o recíproco de 1 é o próprio 1 e de -1 é o próprio -1. Portanto, para uma 
equação, que tenha 1 ou -1 como raiz, ser recíproca não precisa ter, necessariamente, estas raízes 
duplas. 
Por exemplo, a equação que tem raízes {1, 3/4 e 4/3} é uma equação recíproca do terceiro grau, 
pois estão presentes todas as três raízes juntamente com suas recíprocas (no caso do 1 é ele 
mesmo). 
É o caso também da equação do quinto grau que tem as raízes {-1, 3, 1/3, -5/7 e -7/5}. 
OBSERVAÇÃO 1: EQUAÇÃO RECÍPROCA DE GRAU ÍMPAR TEM 1 ou – 1 como raiz. 
Como "1" e "-1" são as únicas raízes de uma equação recíproca que não precisam vir acompanhadas de outra 
("em pares"), podemos concluir que, se temos uma equação recíproca de grau ímpar, com certeza 1 ou -1 será 
raiz desta equação. Será “-1” se for de 1ª espécie e será “1” se for de 2ª espécie. 
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS RECÍPROCAS 
 GRAU ÍMPAR GRAU PAR 
de 1ª ESPÉCIE sempre terá o "-1" como raiz nada podemos afirmar 
de 2ª ESPÉCIE sempre terá o "1" como raiz sempre terá o "1" e o "-1" como raízes 
 
Fonte: Professor Caju 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
(1) (ITA - 1991) Considere as afirmações: 
 I - A equação 3x4 - 10x3 + 10x - 3 = 0 só admite raízes reais. 
 II - Toda equação recíproca admite um número par de raízes. 
 III - As raízes da equação x3 + 4x2 - 4x - 16 = 0 são exatamente o dobro das raízes de 
x3 + 2x2 - x - 2 = 0. 
Então 
 (A) Apenas I é verdadeira. 
 (B) Apenas II é falsa. 
 (C) Apenas III é verdadeira. 
 (D) Todas são verdadeiras. 
 (E) n.d.a. 
Resolução: 
I ) Por ser uma equação recíproca de segunda espécie com grau PAR, com certeza 1 e -1 serão 
raízes. Efetuando Briot-Ruffini para reduzir o grau, utilizando a raiz "1", teremos: 
 
Aplicando Briot-Ruffini novamente, no quociente, agora com a raiz -1, teremos: 
 
Portanto, as raízes do polinômio em questão são 1, -1 e as duas da equação 3x2 - 10x + 3 = 0 , 
que são reais, pois =(-10)2 - 4 . 3 . 3 = 64 > 0. VERDADEIRA 
II) FALSA, pois 6x3 - 11x2 - 11x + 6 = 0, por exemplo, é recíproca e, por ter grau ímpar, possui 
um número ímpar de raízes. 
III) VERDADEIRA, podemos provar isso vendo a soma e o produto das raízes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Professor Caju 
 (2) (ITA - 1997) 
Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 - 4x5 + 4x - 2 = 0. Sobre os elementos de S 
podemos afirmar que: 
 (A) Todos são números reais. 
 (B) 4 são números reais positivos. 
 (C) 4 são números reais. 
 (D) 3 são números reais positivos e 2 não são reais. 
 (E) 3 são números reais negativos. 
Resolução: 
Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. 
Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para diminuir o grau duas vezes, primeiramente 
com a raiz "1": 
 
Agora, pegamos o quociente acima e aplicamos novamente com a raiz "-1": 
 
Portanto, as raízes da equação da questão são 1, -1 e as quatro do quociente acima, 
2x4 - 4x3 + 2x2 - 4x + 2 = 0 
Dividindo toda equação 2x4 - 4x3 + 2x2 - 4x + 2 = 0 por x2: 
2x2 - 4x + 2 - 4/x + 2/x2 = 0, Arrumando as parcelas: 2x2 + 2/x2 - 4x - 4/x + 2 = 0 
Colocando em evidência: 2(x2 + 1/x2) - 4(x + 1/x) + 2 = 0 
Substituindo (1) x + 1/x = t, e conseqüentemente x2 + 1/x2 por t2 - 2, teremos: 
2(t2 - 2) - 4(t) + 2 = 0 ⇒ 2t2 - 4 - 4t + 2 = 0 ⇒ 2t2 - 4t - 2 = 0 
Aplicando Báscara, teremos: t' = 1 + e t'' = 1 - 
Desenvolvendo (1): (1) x + 1/x = t ⇒ x2 - tx + 1 = 0 
Esta equação só terá raízes reais se 0. Calculando delta, teremos: 
= t2 - 4 0 ⇒ (2) t -2 ou t 2 (3) 
Os valores encontrados são: t' = 1 + 2,4 e t'' = 1 - 0,6 
Ou seja, t' (por ser maior que 2, satisfazendo (3)) irá nos retornar duas raízes reais, e t'' (por não 
satisfazer nem (2) nem (3)) duas raízes não reais. Como já sabemos duas raízes reais (1 e -1), a 
resposta C fecha direitinho com a situação. 
 
Fonte: Professor Caju 
(3) (ITA - 1998) 
Seja a um número real tal que o polinômio p(x) = x6 + 2x5 + ax4 - ax2 - 2x - 1 admite apenas 
raízes reais. Então: 
 (A) a [2, [ 
 (B) a [-1, 1] 
 (C) a ]- , -7] 
 (D) a [-2, -1[ 
 (E) a ]1, 2 [ 
Resolução: 
Por ser uma equação recíproca de segunda espécie e de 
grau PAR, com certeza 1 e -1 serão raízes. Vamos aplicar o 
dispositivo prático de Briot-Ruffini e abaixar o grau duas 
vezes. Primeiramente com a raiz "1": 
 
Novamente, agora com a raiz "-1": 
 
Agora, as próximas raízes dependem do valor de "a". Serão as raízes da equação x4 + 2x3 + 
(1+a)x2 + 2x + 1 = 0. É uma equação recíproca do quarto grau, vamos resolvê-la utilizando o 
método usual. Dividindo por x2: x2 + 2x + (1+a) + 2/x + 1/x2 = 0 
Arrumando as parcelas: x2 + 1/x2 + 2x + 2/x + (1+a) = 0 
Colocando em evidência: x2 + 1/x2 + 2(x + 1/x) + (1+a) = 0 
Substituindo (1) x + 1/x = t, e conseqüentemente x2 + 1/x2 por t2 - 2, teremos: 
t2 - 2 + 2t + (1+a) = 0 ⇒ t2 + 2t - 1 + a = 0 (2) 
 
 
(3) 
Aplicando Báscara em (2), teremos: 
 (4) 
É óbvio que "t" deve ser um valor real, para que em (1) achemos valores de x reais. Portanto, (2-
a) 0 ou a 2 (5). Mas, de (1), tiramos que (6) t -2 ou t 2 (7) 
Para achar o intervalo verdadeiro para a resposta, devemos utilizar (3) com (6), (3) com (7), (4) 
com (6) e (4) com (7). Vamos ver (3) com (7): 
 
Como temos os dois lados da inequação, com certeza, positivos, podemos elevá-los ao quadrado: 
 
Eliminando todas alternativas, exceto a "C". 
 
 
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(4) (ITA - 1999) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2a 
espécie e admite i como raiz. 
 Se p(2) = -105/8 e p(-2)=255/8, então a soma de todas as raízes de p(x) é 
igual a: 
 (A) 10 
 (B) 8 
 (C) 6 
 (D) 2 
 (E) 1 
 
 
Resolução: 
Sendo uma equação recíproca de segunda espécie com grau par (6o grau) com certeza terá as raízes 
1 e -1. O exercício nos diz que "i" é uma raiz, portanto, seu conjugado "-i" também será raiz da 
equação. Por ser um polinômio recíproco, as duas raízes que falta descobrir são recíprocas, ou seja, 
uma será "r" e outra será "1/r". Fatorando o polinômio com as informações que temos, teremos: 
)
r
1x).(rx).(ix).(ix).(1x).(1x.(a)x(P −−+−+−= 
Conforme a fatoração acima, a soma de todas as raízes (pergunta da questão) será igual a ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
r
1r , 
portanto, precisamos encontrar, primeiramente,o valor de r. 
Arrumando, teremos: ]1x)
r
1r(x).[1x).(1x.(a)x(P 222 ++−+−= 
]1x)
r
1r(x).[1x.(a)x(P 24 ++−−= 
Substituindo as informações dadas, 8/255)2(Pe8/105)2(P =−−= , teremos: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+−−−−=
++−−=−
]1)2).(
r
1r()2].[(1)2.[(a
8
255
]12).
r
1r(2).[12.(a
8
105
24
24
 
Fazendo-se 
r
1rk += , arrumando as equações 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
−=−
)2(.....)k.25).(15.(a
8
255
)1(.....)k.25).(15.(a
8
105
 
Efetuando-se ( 2 ) : ( 1 ), teremos: 
321 6k120k20k1435k3485k25
k25
7
17 =⇒=⇒+=+−⇒−
+=− 
Assim, como 
r
1rk += , a soma de todas as raízes da equação dada é igual a 6. (alternativa C)