2016.1 AULA 1 RevisãoVetores

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio 
		Curso: Engenharia - Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Ano 2016.1
	Profª Gilselene Guimarães
Revisão: VETORES
As quantidades físicas podem ser de dois tipos: escalares ou vetoriais. 
As escalares podem ser descritas por um valor numérico; já os vetoriais requerem também, além do valor numérico, uma direção e um sentido, correspondendo assim a uma velocidade, força e deslocamento. Portanto, um vetor no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Pode ser assim representado graficamente:
 
Esta convenção nos permite fazer uma conexão entre uma classe de vetores e os pontos do plano. Se o vetor  está representado na sua posição canônica (com extremidade inicial na origem do sistema de coordenadas considerado) e tem extremidade final no ponto de coordenadas ( a , b ), então o vetor  pode ser representado pelo par ordenado < a , b >. Os números a e b são chamados as componentes do vetor. 
Dessa maneira, existe uma correspondência biunívoca entre os vetores < a , b > e os pontos (a , b ) do plano. Por exemplo, o vetor < 2, 3> tem extremidade inicial em (0,0) e extremidade final em (2,3). A representação do vetor < 2, 3> com ponto inicial em (2, -1) tem seu ponto final em (4, 2), como mostra a figura acima.
Outra característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:
v = (7,12)-(1,2) = (6,10)
Dois segmentos orientados de reta que têm a mesma direção, sentido e comprimento são ditos equivalentes. Dois vetores serão ditos iguais se tiverem o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Na figura seguinte, os segmentos RS e OP são equivalentes.
 
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Para comprovar esta afirmação, podemos usar também a fórmula de distância entre dois pontos para calcular os comprimentos destes dois segmentos e comprovar que eles têm o mesmo módulo e, desse modo, mesmo comprimento. De fato,
|| RS || =  =  5 e
|| OP || =  = 5
Além disso, o cálculo da direção se dará através da declividade da reta que passa pelos pontos (-4,2) e (-1,6) que é igual a   e é igual a declividade da reta que passa pelos pontos (0,0) e (3,4). A declividade das retas é calculada através do coeficiente angular da reta normal, conforme a fórmula = y2 - y1 / x2 - x1 . Portanto, com o valor do mn (coeficiente angular da reta normal) igual paras as dois vetores indica que os segmentos são paralelas, o que confirma que estes vetores(segmentos) têm a mesma direção.
O cálculo do sentido será determinado pelo lado que aponta a seta que indica o vetor. Pode ser da direita para a esquerda ou de baixo para cima. 
Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.
Observações:
Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por: i= (1,0)→(x)   e   j= (0,1)→(y)
Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é: 
Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor ai e uma projeção vertical bj (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções: v = ai + bj 
 				↓ ↓
								x y 
Essa é a modo de escrever dois vetores unitários na forma de combinação linear. 
OBS.: Coeficiente angular da reta normal (Mn) = ∆y / ∆x = b / a = j / i
	Coeficiente angular da reta tangente (Mt) = -1 /Mn
Produto escalar
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:
v.w = a.c + b.d
Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por: v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é: v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0
Ângulo entre dois vetores
Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(𝛉) 
onde θ é o ângulo formado entre v e w.
Com ela, podemos obter o ângulo θ entre dois vetores quaisquer v e w, pois:
θ = arc cos u . v / ou cos 𝛉= u . v / 
Exercício: Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). 
Vetores ortogonais ou perpendiculares
Dois vetores v e w são ortogonais se: v.w = 0
Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v.
Vetor Nulo
O vetor < 0,0 >, chamado vetor zero ou vetor nulo e representado por O, tem comprimento zero e não tem direção. Qualquer ponto pode ser usado como uma representação deste vetor.
Exercício: Ache as componentes e o comprimento do vetor  = PQ, onde P(-3,4) e Q(-5,2).
Solução
As componentes do vetor  são dadas por  = < -5 -(-3), 2-4> = < -2,-2 > e, consequentemente, seu comprimento é ||  || =  . 
Vetores tangentes e normais à curva
Considere a equação y = x3 / 2 + 1/2
Determine o vetor unitário normal e o vetor unitário tangente à curva no ponto R(1,1)
SOLUÇÃO
Vetor Unitário: u = v / |v|
1º) Derivando a função: y’ = 3x2 / 2 → no ponto R(1,1) : 3.(1)2 / 2 = 3/2 ( coeficiente angular da reta tangente) → j = 3 e i = 2
2º) Logo vetor da reta tangente é v = 2i + 3j
3º) Cálculo do comprimento → |v| = + 32 
				 |v| = 
				 | v| = 
4º) vetor unitário tangente = com mesma direção e sentido
 	u = v / |v|
	u = 2i + 3j / ou 
	u = 2i / + 3j / e
	-u = -2i / - 3j /	(tem sentidos opostos mas ambos são tangentes à curva)
5º) vetor da reta normal: Mn = - 2/3 → b = j= -2 e a = i = 3
	Logo, o vetor é: v = 3i – 2j
6º) vetor unitário normal = com mesma direção e sentido 
	u = v / |v|
	u = 3i - 2j / ou 
	u = 3i / + 2j / e
	-u = -3i / - 2j /	(tem sentidos opostos mas ambos são normais à curva)
EXERCÍCIOS
Sejam u = <3, -2 > e v = <-2 , 5 > , encontre as componentes do vetor e a norma do vetor, conforme as determinações abaixo:
3u
– 2v
u + v
u – v
2u – 3v
-2u + 5v