Relatório de física 2 MHS

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Objetivos
Com este experimento a busca pela descrição de um movimento harmônico simples tornou possível calcular pelos métodos estático (Lei de Hook) e dinâmico (Oscilações) a constante elástica da mola. Assim como ao se determinar um período de um MHS pode-se verificar a dependência do período em relação a vários parâmetros.
Introdução
Este relatório visa descrever e analisar os processos realizados em laboratório associados ao conceito de Oscilações, aprofundando a concepção de Movimento Harmônico Simples.
Quando um corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio, pode-se dizer que este corpo efetua um movimento harmônico simples e este ocorre em razão da ação de uma força restauradora. A força restauradora atua na direção do movimento, porém no sentido contrário visto que o objetivo é levar o corpo para a posição de equilíbrio estável original. 
Para demonstrar o MHS utilizamos um oscilador massa-mola que é constituído de um corpo de massa m ligado a uma mola de constante elástica k, presa a um suporte. O corpo executa o movimento em uma superfície horizontal sem atrito. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo passa a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem, dirigido pela força restauradora exercida pela mola. Veja a figura (1).	 
 Figura 1
autor: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/massamola.php
No Movimento Harmônico Simples, a frequência f, ou número de oscilações dados por segundo, é dada como característica relevante no qual sua unidade no SI é dada por hertz (1 Hz = 1 oscilação por segundo). Para estabelecer uma relação entre o período T do movimento, tempo necessário para completar uma oscilação, e à frequência, sendo esta propriedade inversamente proporcional à outra, utiliza-se a equação :
T = 	Eq. 1 
Quando o movimento se repete em intervalos regulares, ele é classificado como movimento harmônico. É possível expressar o deslocamento da partícula no movimento expresso a seguir, e, a partir dele, obter a velocidade e aceleração por meio da aplicação de derivadas.
x(t) =(ɷt + φ) Eq. 2
Aplicando a segunda lei de Newton, e comparando com a aceleração obtida a partir da Eq. 2, encontramos:
 Eq.3
a’’= - .ɷ² Eq. 4
 Eq. 5
Para uma mola, objeto de estudo desta experiência, tal relação é semelhante à Lei de Hooke:
F = - k . x Eq.6
No qual a constante elástica k, expresso em N/m no Sistema Internacional, é equivalente a mɷ². Promovendo a relação também encontramos:
 Eq. 7
Visto que, e aplicando-o à Eq. 1, o período do Movimento Harmônico Simples pode, também, ser expresso:
 Eq. 8
Assim podemos definir o período de um sistema massa-mola como sendo:
.
Desse modo, o Movimento Harmônico Simples também pode ser definido como o movimento realizado por um dado corpo de massa m suscetível a uma força proporcional ao deslocamento do corpo , porém de sinal oposto. 
Materiais
Para a realização do mesmo foram utilizados os seguintes materiais:
1) Mola;
2) Suporte vertical e horizontal;
3) Suporte de 10g para as massas;
4) Conjunto de massas;
5) Régua milimetrada;
6) Cronômetro.
Montando o experimento da forma descrita na figura (2), ao lado:
 Figura 2
autor: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAe7TsAH/oscilador-massa-mola-pendulo-fisico
Procedimento Experimental
	Finalizada a montagem do experimento partimos pra primeira etapa do experimento, no qual são penduradas e acrescentadas em sequência, massas de valor crescente. O aumento na quantidade de massa suspensa pela mola acompanha o aumento do comprimento da mola. Podemos averiguar isso marcado a posição inicial e observando o quanto a mola se deforma com quantidade de massa colocada. Anotamos essa variação da posição de equilíbrio e com a coleta dos dados compilamos a tabela 1. 
	Continuando a experiência, com a mesma mola suspendemos massas de valores crescentes. Com esses diferentes sistemas massa-mola são postos a oscilar com pequenas amplitudes, a fim de observar como o período varia com a massa. Por isso manuseamos o sistema de forma a tirá-lo de sua posição de equilíbrio, com um certa deformação , assim no mesmo instante em que soltamos o sistema para comprir sua trajetória oscilatória ativamos, simultaneamente, o cronômetro. Ao se completar o ciclo de 10 oscilações completas paramos o cronômetro. Repetimos o feito 3 vezes para cada sequência de massa acrescentada e anotamos na Tabela 2.
	Na segunda etapa montamos os gráficos orientados pelas tabelas anteriormente compiladas. Verificando a constante elástica da mola através da correlação da 2ª lei de Newton, da Lei de Hook e da tangente do ângulo formado pela reta nos gráficos. Sendo os gráficos: . 
Resultados e Discussão
Escolhemos para este relatório seguir os passos do roteiro destinado a experiência, não alterando as perguntas e nem a forma como elas foram apresentadas. 
Prática 1 (tabela 1) – Determinação da constante elástica de uma mola – método estático
	
Suspenda a mola no suporte e marque seu comprimento inicial;
Prenda na extremidade livre da mola o suporte de massas;
Registre a leitura inicial da escala quando somente o suporte (gancho) estiver pendurado. Adicione uma massa conhecida de cada vez, anotando após a colocação de cada uma, sua posição na escala;
		
Sobre o suporte de massas coloque as massas indicadas na Tabela 1 e meça as correspondentes deformações da mola, anotando-as até completar essa Tabela. Com estes dados, determine a constante elástica da mola.
Tabela 1 - força x deslocamento
	Massa (g)
	Massa (kg)
	F = P (N)
	X (mm)
	X – (mm)
	
	50
	0.05
	0,49
	99
	33
	0,033
	100
	0,10
	0,98
	128
	62
	0,062
	150
	0,15
	1,47
	155
	89
	0,089
	200
	0,20
	1,96
	185
	119
	0,119
Autor: autoria própria
O gráfico 1, em anexo, referente a tabela 1 descreve uma trajetória linear de forma crescente. Portanto, a função que o define é a função do 1º grau: y = ax + b. 
Para determinarmos a constante elástica comparamos a equação do 1ºgrau com a lei de Hook: 
 F = - k . x 		eq. 1
y = a . x + b		eq. 2
Com isso averiguamos que a constante elástica é igual a a . Sabemos também que é a inclinação da reta no gráfico, o coeficiente angular. Este é obtido através tg , por sua vez executamos os cálculos demonstrados a seguir. 
 tg = 
Assim a constante elástica é : k = 16,89 N/m
Prática 2 (tabela 2) – Determinação da constante elástica de uma mola – método dinâmico
Para realizar as medidas indicadas na Tabela 2, comece prendendo na mola o suporte de massas acrescido de uma massa de 10g. Puxe levemente o suporte de massas para baixo da posição de equilíbrio do sistema massa-mola e solte-o, no mesmo instante em que ativa o cronômetro. Aguarde o sistema executar 10 (dez) oscilações completas e, então, trave o cronômetro. Anote o tempo decorrido na Tabela 2. Divida esse tempo por 10 para obter o valor do período, e escreva o resultado na segunda coluna da tabela. Faça o mesmo procedimento mais duas vezes, anotando os valores obtidos nas colunas 3 e 4;
Sobre o suporte de massas adicione as massas indicadas na Tabela 2 e meça os tempos correspondentes para 10 (dez) oscilações completas, conforme explicado em (e), anotando-os até completar essa Tabela. Para cada valor de massa, calcule o período médio T;
Para cada valor de massa da tabela, calcule o desvio padrão dos períodos medidos.
Faça um gráfico em papel milimetrado colocando m no eixo x e T² no eixo y. Marque os pontos obtidos no experimento.
Determine a equação da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos do gráfico. 
Através do gráfico, determine a constante elástica da mola.
Tabela 2 : Dados das oscilações com os períodos já divididos por dez ( :10 )
	Massa (g)
	Período (s)
	Média (s)
	Desvio Padrão 
	
	
	
	
	
	
	
	
	50
	0,343
	0,355
	0,383
	0, 3603
	1,68 x 
	0,1298
	100
	0,4710,493
	0,477
	0,4803
	0,929 x 
	0,2307
	150
	0,577
	0,589
	0,596
	0,5873
	0,785 x 
	0,3449
	 -200
	0,668
	0,650
	0,666
	0,6613
	0,806 x 
	0,4373
autor: autoria própria
Cálculo do Desvio Padrão
Parte 1: 
	
	²
	0,0173
	0,00029929
	
	0,0053
	0,00002809
	
	- 0,0227
	0,00051529
	
Parte 2:
	
	²
	0,0093
	0,00008649
	
	- 0,0127
	0,00016129
	
	0,0033
	0,00001089
	
Parte 3:
	
	²
	0,0103
	0,00010609
	
	- 0,0017
	0,00000289
	
	- 0,0087
	0,00007569
	
Parte 4:
	
	²
	- 0,0067
	0,00004489
	
	0,0113
	0,00012769
	
	- 0,0047
	0,00002209
	
O gráfico 2 - período x massa, segue no anexo B, a equação que determina este gráfico é:
	Como o período [T(s)] depende da massa do corpo colocado em oscilação [m(kg)] e da constante elástica da mola [k(N/m)] podemos determinar com isso que a equação apresentada é uma função elementar ,ou seja, um função raíz. Assim o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo.
	Nesse caso não se faz necessário calcular a constante elástica da mola uma vez que a mesma se encontra sobre a raíz.
	Esse gráfico se assemelha com o da função raiz : . Veja um esboço desse gráfico ao lado na figura (3).		 Figura 3
autor:http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao.htm
O gráfico 3 - (período)² x massa , no anexo c, neste caso se apresenta como função de 1ºgrau. Ele se correlaciona com a 2ªlei de Newton, desta forma obtemos como equação,que melhor representa o gráfico, da reta:
	
Assim continuamos os cálculos a fim de encontrar a constante elástica, já que sabemos que . Com isso determinamos o valor de a e relacionamos com a equação acima, visto que . Com isso, temos:
Relacionando os resultados, consideramos :
	 
	
	
	
	
	
Discussão dos Resultados
 Com base no experimento, o que podemos dizer sobre a relação entre a massa e o período do sistema massa-mola?
Um corpo ligado a extremidade de uma mola comprimida possui energia potencial elástica. De fato a mola comprimida (ou esticada) exerce uma força sobre o corpo, a qual realiza um trabalho sobre ele quando o abandonamos. Entretanto, ao tentarmos comprimir (ou esticar) uma mola, nota- se que a força produzida pela mola é diretamente proporcional ao seu deslocamento no estado de equilíbrio. O equilíbrio na mola ocorre quando ela está em seu estado natural.
Somatizando a força restauradora, que a mola exerce sobre o corpo, junto com a força peso, que desloca o corpo do seu estado de equilíbrio, podemos expor então que o período está diretamente ligado a essas duas forças. Pois, experimentalmente, quanto maior a massa e o deslocamento infligidos ao sistema maior era o tempo que o copo levava para voltar a sua posição original.
Concluímos, então, que o período de oscilação depende da massa do corpo suspenso e da constante elástica da mola que o sustenta. 
Comente as possíveis diferenças entre os valores encontrados para a constante elástica da mola.
Como já era esperado, notamos divergências entre os valores experimentais e teóricos, sendo a mesma, causada por erros de montagem e execução do experimento, esse erro é mostrado no cálculo do erro percentual também mostrado acima.
 
Conclusão
Através da realização dos experimentos, verificou-se a ação das leis do MHS e como fatores como a massa dos corpos acoplados a mola, a constante elástica e amplitude, por exemplo, influenciam no comportamento do sistema massa-mola. Com os resultados obtidos, percebeu-se que conforme o peso (F) aumenta, o comprimento da mola também aumenta, além disso, em nenhum dos experimentos a mola ultrapassou seu limite de elasticidade, já que assim que as massas foram retiradas, as molas voltaram ao seu comprimento inicial.
De acordo com os resultados, podemos observar que, à medida que aumenta o peso, o comprimento da mola aumenta proporcionalmente de acordo com a equação enunciada na lei de Hooke. 
Concluímos que o período de oscilação depende da massa do corpo suspenso e da constante elástica da mola. Experimentalmente quanto maior a massa do corpo suspenso, mais lentamente ela oscila.
Referências
	Livros: 
HALLYDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. Fundamentos de Física, Vol. 2: gravitação,
ondas e termodinâmica. 8° Edição. Rio de Janeiro, LTC, 2011.
	Links:
https://www.google.com.br/search?q=mhs+sistema+massa+mola&espv=2&biw=1366&bih=662&site=webhp&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiRova_3sbPAhULkpAKHbOGDfIQ_AUICCgD#tbm=isch&q=mhs+sistema+massa+mola+equipamentos&imgrc=uwI5KHuB-kMC6M%3A
http://www.showplastic.com.br/sistema/images/upload/reguaacrilica.gif
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao.htm
http://www.alfaconnection.pro.br/matematica/funcoes/funcoes/esboco-de-graficos-das-funcoes/
http://www.fisica.net/mecanicaclassica/mhs_movimento_harmonico_simples.pdf
https://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_harm%C3%B4nico_simples
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/massamola.php
http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/mhs-sistema-massa-mola/