Transformações Geométricas

Prévia do material em texto

Computação Gráfica 
 
Apresentação da Disciplina 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA 
Leandro C. Souza 
leandro.souza@ufersa.edu.br 
Geometria Afim 
• Usa como elementos básicos pontos, vetores e escalares. 
• Ponto: denota posição no espaço 
• Vetor: denota deslocamento no espaço. 
• Inclui as noções de direção e magnitude. 
• Ambos são normalmente expressos por pares de 
coordenadas (em 2D), mas não são a mesma coisa. 
 
 
Operações com Pontos e Vetores 
 Soma de vetores 
t = u + v 
 Multiplicação de vetor por escalar 
u = 2v 
 Subtração de pontos 
v = P - Q 
 Soma de ponto com vetor 
 Q = P + v 
 Subtração de ponto com vetor 
Q = P - v 
 
 
Transformação 
 Função que mapeia pontos de um espaço em outros pontos do mesmo espaço 
Transformações 
 Transformações Euclidianas / de 
Corpo Rígido. 
 Preservam ângulos 
 Preservam distâncias 
 
Transformações 
 Transformações Lineares. 
 
 
 
 
nvuvLuLvuL  ,),()()(
nuauaLauL  ,),()(
Transformações 
 Transformação mapeia origem na origem? 
 Sim: transformação linear 
 
 
 Não: transformação afim: translações são permitidas 





dycxy
byaxx
'
'





fdycxy
ebyaxx
'
'
Transformações 
 Transformações Afins. 
 Preservam linhas paralelas 
 
Transformações 
 Se uma transformação é linear, então 
– Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, depois 
de transformados eles continuarão contidos em uma reta. 
– Se um ponto P guarda uma relação de distância com dois 
outros pontos Q e R, então essa relação de distância é 
mantida pela transformação. 
Transformações 
 Usadas para... 
 Posicionar objetos em uma cena 
 Modificar a forma de objetos 
 Criar múltiplas cópias de objetos 
 Projeção para câmeras virtuais 
 Animações 
Transformações Geométricas 
 Translação 
 Escala 
 Rotação 
 Reflexão 
 Cisalhamento 
 
 
Translação 
• Seja o ponto (x, y). Uma translação sobre esse ponto o moverá para a 
posição (x', y'), calculada por: 
x' = x + dx 
y' = y + dy (5-1) 
 
• O par (dx, dy) é o vetor deslocamento. 
Translação: Representação Matricial 
• Sejam: 
 
 (5-2) 
 
• As equações (4-1) podem ser escritas na forma: 
P' = P + T (5-3) 
 
Escala 
• Esta operação é aplicada a um polígono por meio da multiplicação de seus 
vértices por fatores de escala, s
x
 e s
y
. 
 x' = x ٠ s
x 
 y' = y ٠ s
y
 (5-4) 
 
 
Escala: Forma Matricial 
 
 (5-5) 
 
ou, em uma forma mais sucinta: 
 P' = S ٠ P (4-6) 
Escala 
• Os fatores de escala podem assumir quaisquer valores positivos. 
• Fatores com valores < 1 reduzem os objetos e os movem para mais próximo à 
origem 
• Fatores > 1 aumentam o tamanho dos objetos e os movem para mais 
distante da origem 
• Se s
x
 = s
y
, a escala é dita uniforme e manterá as proporções do objeto 
• Quando s
x
 e s
y
 assumem valores distintos, a escala é dita diferencial e altera 
as proporções originais do objeto 
 
 
 
 
Rotação 
• Um ponto P é rotacionado no plano (x, y) pelo seu deslocamento em uma 
trajetória circular definida por um ângulo q e um ponto de rotação (x
r
, y
r
) 
y 
y
r 
x 
P' 
P 
x
r 
Rotação 
x' = r. cos (f  q) = r. cos f .cos q - r. sen f .senq 
y' = r. sen (f  q) = r. cos f. sen q + r. sen f. cosq 
 
 
 
 
 
(4-7) 
y 
x 
P' 
P 
r 
r 
Rotação 
• As coordenadas polares de P em sua posição original são: 
 x = r. cos f 
 y = r. sen f (5-8) 
 
• Substituindo-se (5-8) em (5-7), temos: 
 x' = x. cos q - y. sen q 
 y' = x. sen q + y. cos q (5-9) 
 
 
Rotação: Forma Matricial 
• Em torno do eixo z: 
 
 
 
ou, de uma forma mais sucinta: 
 P' = R ٠ P 
 











 






y
x
y
x
.
cossin
sincos
'
'
qq
qq
Rotação com Ponto de Rotação 
Diferente da Origem 
 
 
 
 
 
 
 
x' = x
r
 + (x – x
r
). cos q – (y – y
r
). sen q 
y' = y
r
 + (x – x
r
) . sen q + (y – y
r
). cos q 
Representações Matriciais e 
Coordenadas Homogêneas 
• Translação: P' = T + P 
• Escala: P' = S ٠ P 
• Rotação: P' = R ٠ P 
• Se expressarmos os pontos transformados usando Coordenadas 
Homogêneas, permitiremos que as três transformações sejam 
representadas somente como multiplicação de matrizes. 
Coordenadas Homogêneas 
 
 
 
 
 
 
 
 Obtidas pela adição de uma coordenada 
 Um ponto (x, y) passa a ser representado por (x, y, W) 
 Duas triplas de ordenadas (x, y, W) e (x', y', W') representam o mesmo ponto 
se uma tripla for múltipla da outra 
 Resumindo, cada ponto no espaço 2D possui infinitas representações em 
coordenadas homogêneas 
 Se W for não nulo, podemos dividir x e y por W. x/W e y/W são as coordenadas 
cartesianas do ponto homogêneo 
 Pontos com W=0 são chamados pontos no infinito 
Coordenadas Homogêneas: 
Interpretação 
Coordenadas Homogêneas 
 Por conveniência, usaremos W = 1. Portanto, pontos anteriormente 
representados por (x, y) serão agora representados por (x, y, 1) 
 As transformações de translação, escala e rotação assumem, 
respectivamente, as seguintes representações matriciais: 
Translação 
Escala 
Rotação (em torno do eixo z) 
Reflexão 
• Produz um objeto espelhado ao longo de um dado eixo. 
 
 
 
 
 
 
• Forma matricial: seja M a matriz de reflexão. Então P' = M ٠ P 
Reflexão 
• Exemplo: Reflexão em torno do eixo x: 
 
 
• Em coordenadas homogêneas: 
 
 
 
 
 
 
 
M = [1 00 − 1]
Cisalhamento 
• Produz uma distorção no formato do objeto. A distorção se dá pelo 
deslocamento aos valores de uma coordenada, sendo proporcional ao valor 
das outras coordenadas de cada ponto transformado. 
 
 
 
 
• Forma matricial: seja S a matriz de cisalhamento. Então 
P' = S ٠ P 
Cisalhamento 
• Exemplo: Distorção na direção x, com um fator de distorção a: 
 
 
 
• Em coordenadas homogêneas: 
 
 
 
 
 
 
 
Composição de Transformações 
• Uma sequência de transformações pode ser expressa como uma 
multiplicação de matrizes 
 
• Cada matriz envolvida na multiplicação representa uma transformação 
particular 
 Matrizes são premultiplicadas 
 
• Essa combinação de matrizes é também conhecida como concatenação de 
matrizes 
Composições 
• No caso de composições de matrizes de mesma natureza, observamos as 
seguintes propriedades: 
1. A composição de Translações é aditiva: 
T(d
x2
, d
y2
) ٠ T(d
x1
, d
y1
) = T(d
x1
+d
x2
, d
y1
+d
y2
) 
 
2.A composição de Escalas é multiplicativa: 
S(s
x2
, s
y2
) ٠ S(s
x1
, s
y1
) = S(s
x1
 ٠ s
x2
, s
y1
 ٠ s
y2
) 
 
3. A composição de Rotações é aditiva: 
P' = R(q
1
 + q
2
) * ٠ P 
Composições 
• No caso de composições de matrizes de tipos distintos, a ordem altera 
o resultado final. 
 Exemplo: Composição de reflexão e rotação em ordens alternadas: 
Rotação seguida de reflexão Reflexão seguida de rotação 
Composições 
• Escala seguida de uma Translação. 
 
 
 
composição: P'=(T ٠ S) ٠ P 
 
 
 
Obs.: a multiplicação de matrizes não é comutativa. 
Composições 
• Escala seguida de uma Translação: 
 
 
 
• Translação seguida de uma Escala 
 
 
 
 
 
Composições 
• Escala seguida de uma Translação: P' = TS ٠ P 
 
 
 
 
• Translação seguida de uma Escala: P' = ST ٠ P 
 
 
 
 
 
Transformações em 3D 
Transformações em 3D 
• Translação: 
 
 





































1
*
10
1
00
00
0
0
10
01
1
'
'
'
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
Transformações em 3D 
Rotação (em torno do eixo z): 
 
 
























 













110
01
00
00
00
00
)cos()(
)()cos(
1
'
'
'
z
y
x
sen
sen
z
y
x
qq
qq
Transformações em 3D 
•Rotações em torno dos demais eixos: obtenção das matrizes se dá pela 
substituição cíclica 
x → y → z → x 
 
 














































































110
0)cos(
00
)(0
0)(
00
)cos(0
01
1
'
'
'
110
0)cos(
00
0)(
00
0)(
10
0)cos(
1
'
'
'
z
y
x
sen
sen
z
y
x
z
y
x
sen
sen
z
y
x
qq
qq
qq
qq
Transformações em 3D 
• Escala: 
 
 













10
0
00
00
00
00
0
0
z
y
x
s
s
s
S
Transformações em 3D 
• Reflexão (em torno do eixo z): 
 
 














10
01
00
00
00
00
10
01
zRF
Transformações em 3D 
•Cisalhamento 
– Em relação ao eixo z, com a=b=1. 
 
 













10
01
00
00
0
0
10
01
b
a
SH z