Unidade-IV-Ondas-de-Som

Prévia do material em texto

43 
 
fig. IV.2 Ondas sonoras provocadas por um diapasão. 
Unidade IV - Ondas de Som 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 Nesta unidade temática daremos algumas ideias de fenômenos 
ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas 
e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. Em outro curso pode-se 
ver a propagação de ondas de luz em um meio transparente e no vácuo. 
Todas essas ondas podem ser descritas graficamente por suas frentes de 
onda, ou seja, os locais das cristas da onda em um dado instante de tempo. 
De todas as ondas mecânicas da natureza, em nosso cotidiano, as m 
ais importantes são as ondas longitudinais que se propagam em um meio, 
como por exemplo, as ondas sonoras percebidas pelo 
ouvido humano num certo limite de frequência. 
 Quando o tempo passa, as frentes de onda se 
dispersam para longe da fonte. Essa dispersão é uma 
característica da propagação das ondas em duas e três 
dimensões. Isto significa que a intensidade da onda 
decresce quando a frente de onda cresce em tamanho. 
Podemos tomar como exemplo as ondas sonoras 
provocadas por um diapasão. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Nesta unidade discutiremos as diversas propriedades das ondas 
sonoras, não apenas em termos de deslocamentos, mas sim em termos de 
flutuações de pressão de um meio. Estudaremos as relações entre 
deslocamento, flutuações de pressão e intensidade e ainda algumas 
propriedades como interferência entre dois sons. Estudaremos também um 
fenômeno ondulatório chamado efeito Doppler que trata do movimento da 
fonte, por exemplo, sonora ou de um ouvinte se movendo no ar. 
 Sem dúvida existe uma grande importância em estudarmos as ondas 
longitudinais, tais como a onda sonora, em instrumentos musicais, em 
aplicações tecnológicas voltadas para medicina, etc. 
 
fig. IV.1. Ondas sonoras recebidas pelo ouvido e cérebro humano. 
 44 
3. Elasticidade 
 
 Materiais reais não são perfeitamente rígidos, quando sujeitos a uma 
força eles deformam. Quando uma substância deforma, sujeita a uma força, 
mas retorna a sua forma inicial quando removemos a força, a substância é 
dita elástica. 
 Considere um cilindro de um material de tamanho L e seção 
transversal de área A. Se uma força F é aplicada alo longo do eixo do 
cilindro e isso causa uma mudança no comprimento L do cilindro, então 
nós definimos a tensão de dilatação e a deformação de dilatação como: 
 
A
Fdilataçãotensão  
L
Ldilataçãodeformação  
 
Quando a tensão e a deformação sobre um corpo são suficientemente 
pequenas, verificamos a relação: 
 
adeeslasticidmódulo
Deformação
TensãoY  
 
Este módulo é chamado também de módulo de Young. A tensão e o módulo 
são medidas em pascal, 1 pascal = 1 Pa = 1 N/ 2m . 
Se a tensão excede o limite de elasticidade, o material não retorna sua forma 
original quando a tensão é removida. 
 Podemos também definir o módulo de cisalhamento, quando ao 
corpo submetemos uma tensão de cisalhamento mudando sua forma, como 
acontece com uma superfície de um tecido ao ser cortado por uma tesoura. 
 
hx
AF
tocisalhamendeformação
tocisalhamentensãoS
/
/




 
 
Onde h é a altura do corpo, A é a área da superfície, F é a força tangente a 
superfície e x é o deslocamento linear que corresponde a um 
deslocamento angular de uma das arestas da superfície. 
 Quando um objeto é sujeito a uma força de todos os lados, ele é 
sujeito a uma pressão P. Se uma força F age perpendicular a uma área A, a 
pressão exercida é AFP / . Essa situação aparece quando um objeto é 
imerso em um fluído como o ar ou água. Quando pressionado de todos os 
lados, o volume V de um objeto será mudado para 'V . Medimos essa 
mudança pelo módulo de compressão: 
 
VV
P
VV
AFB
//
/



 
 
Onde VVV  ' . Quando B é ‘grande’ dizemos que o material é mais 
difícil de ser comprimido. Contrariamente, a compressibilidade do material é 
1/B. 
 
 45 
fig. IV.4 Movimento longitudinal em uma mola. 
4. Ondas Sonoras – Ondas Longitudinais 
 
 Longitudinal significa que as variações de pressão do meio são 
paralelas a direção de propagação da onda. Nós podemos visualizar essa 
situação na figura IV.4. 
 
Podemos mostrar, usando a segunda lei de Newton, 
que a velocidade de uma onda sonora é dada por 
 

Bv  eq. IV. 1 
 
 Onde B é o módulo de compressão e ρ é a densidade de massa do 
meio em que o som está viajando. Como para todas as ondas vf  , 
teremos, aproximadamente, a velocidade do som no ar como sendo 343 m/s 
a uma temperatura de 025 C, e 5130 m/s no ferro. 
 Quando nós escutamos um som nós detectamos seu nível (mais 
agudo ou menos agudo) e sua altura. O nível de um som é sua frequência e 
sua altura é proporcional a intensidade de potência da onda. Humanos 
podem tipicamente escutar numa faixa de frequência de 20 a 20.000 Hz. A 
potência média por unidade área perpendicular à direção de propagação da 
onda sonora é a intensidade. Humanos podem detectar intensidades de uma 
faixa de 0I
1210 W/m 2 a 1 W/m 2 . Definimos a quantidade em decibéis, 
0
10log10 I
I
 eq. IV. 2 
 
 Suponha que uma onda está se propagando ao longo do eixo x de um 
cilindro com densidade ρ e área da secção transversal A. Um elemento de 
massa dm ocupa um volume dV e segue um movimento harmônico ao longo 
do eixo x. A energia média dE dessa massa é igual à energia cinética 
máxima 2max)(2/1 vdm , onde maxv = maxx é a velocidade máxima da 
partícula, não a velocidade da onda sonora, e maxx é a amplitude máxima de 
vibração. Por outro lado, .AdxdVdm   Então, 
2
max
2 )(
2
1)(2/1 xAdxvdmdE  
A potência é a taxa de transporte de energia, 
dm
dEP  é, 
 
vxAP 2max
2
2
1
 eq. IV. 3 
 
A intensidade do som é definido como, 
 
vx
área
potênciaI 2max
2
2
1
 eq. IV. 4 
 
 46 
A variação maxP em uma amplitude de pressão pode ser colocada como, 
max maxP v x   , e v
P
I
2
)( 2max eq. IV. 5 
 
5. Ondas Sonoras Estacionárias 
 
 Ondas sonoras 
estacionárias podem ser 
montadas quando é refletida de 
volta e para frente em um recinto 
fechado. Em particular são 
montadas em uma coluna de ar, 
tal como em instrumento 
musical, composto de um tubo. 
 
 
 
 
Em geral podemos colocar para o tubo aberto nas extremidades: 
 
L
v
nf n 2
 , n = 1, 2, ... eq. IV. 6 
 
Em um tubo que apenas uma das extremidades é aberta somente os 
harmônicos impares estão presentes, 
 
L
v
nf n 4
 , n = 1, 3, ... eq. IV. 7 
 
6. Efeito Doppler 
 
 Quando escutamos um som de um objeto em movimento notamos 
que sua altura varia conforme o movimento desse objeto. Na verdade, tanto a 
fonte sonora como o ouvinte podem se mover relativamente um em relação 
ao outro. Este efeito é chamado de efeito Doppler. 
Vamos inicialmente supor um ouvinte A se movendo, com velocidade 0v se 
aproximando de uma fonte F. A frequência da onda sonora é Ff e 
comprimento de onda Ffv / . As cristas das ondas que se aproximam do 
ouvinte se movem com uma velocidade de propagação em relação ao 
ouvinte igual a 0vv  . Assim, 
0 0 0(1 )0 /
v v v v v
f fFv f vF
 
    eq. IV. 8 
 
Note que quando o ouvinte se aproxima da fonte, 00 v ele ouve um som 
com uma frequência mais elevada, isto é, uma altura mais elevada do que 
ouvida por um ouvinte em repouso. Contrariamente, quando o ouvinte se 
 
 
fig. IV.3 Na primeira parte mostra-se do primeiro ao terceiro harmônico para um 
tubo aberto nas extremidades, enquanto na segunda parte da figura mostra-se o 
mesmo para um tubo aberto em das extremidades. 
 47 
afastada fonte teremos 00 v e ele ouve o som mais baixo. 
 Se supusermos fonte e ouvinte em movimento teremos uma 
expressão geral incluindo todas as possibilidades do movimento da fonte e 
do ouvinte: 
0
0
v v
f fFv vF



 eq. IV. 9 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo IV. 1 
Seres humanos podem ouvir numa faixa de frequências de 20 a 20.000 Hz. Para qual 
faixa de comprimento de onda no ar corresponde esta faixa de frequências, 
considerando a velocidade do som é de 340 m/s. 
Solução: 
m
f
v 17
1
1  e mf
v 017,0
2
2  
 
Exemplo IV. 2 
A corda de um piano vibra a uma frequência de 261,6 Hz, quando excitada em seu 
modo fundamental. Qual são as frequências do primeiro, segundo e terceiro modo 
harmônico dessa corda? 
Solução: 
Usando a eq. IV.6, 
L
vnfn 2
 , 6,261
2
11  L
vf Hz, 12 2 ff  , 13 3 ff  e 
14 4 ff  . 
Exemplo IV. 3 
Um diapasão vibra a uma frequência de 462 Hz. Uma corda de um violino 
desafinado vibra a 457 Hz. Qual o lapso de tempo entre os dois batimentos? 
Solução: 
512  fffb Hz, logo .2,0/1 sfTb   
 
Exemplo IV. 4 
Um longo tubo é fechado em um dos extremos e aberto em outro. Se a frequência 
fundamental do som nesse tudo é de 240 Hz, qual é o comprimento do tudo? 
Assuma a velocidade do som no ar 340 m/s. 
Solução: 
Da eq. IV.7, 
L
vnfn 4
 , para n = 1, 
logo teremos, L 0,35 m. 
 
Exemplo IV. 5 
A uma distância de 5 m de uma fonte sonora, o nível de um som é de 90 dB. Qual a 
distância que a fonte tem de estar para que o nível do som caia para 50 dB ? 
Solução: 
Vamos imaginar uma onda esférica, 
 
 48 
2
1
1 4 r
P
área
potênciaI

 , analogamente, 2
2
2
1
1
2
r
r
I
I
 
2
1
1 log10 I
I
 = 90 dB  
0
1
I
I
10 9 e 
0
2
I
I
10 5 
 Logo teremos, 2r 500 m. 
 
Exemplo IV. 6 
Uma sirene do corpo de bombeiros soa a uma frequência de 300 Hz. Um bombeiro 
escuta e vai ao encontro dessa fonte sonora a uma velocidade de 20 m/s. Qual a 
frequência da onda sonora escutada pelo bombeiro? 
Solução: 
318300)
340
201()1(
/
000
0 



 F
F
f
v
v
fv
vvvv
f

Hz 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício IV. 1 
O módulo de compressão do cobre é 210 /1014 mN e densidade 3/8920 mkg . 
Qual a velocidade do som no cobre? 
Resposta: 3960 m/s 
 
Exercício IV. 2 
Suponha uma fonte sonora irradiando uniformemente em todas as direções. Por 
quanto decibeis o nível de som decresce quando a distância da fonte duplica? 
Resposta: Aproximadamente 6 dB. 
 
Exercício IV. 3 
Qual o nível de intensidade em decibéis de um som cuja intensidade é 
27 /104 mW ? Qual é a amplitude de pressão desta onda sonora? Assuma a 
velocidade do som no ar 340 m/s. 
 
Resposta: 44 dB. 
 
Exercício IV. 4 
Uma sirene de um carro de polícia emite um som em uma frequência de 1200 Hz. 
Sobre a condição da velocidade do som no ar ser de 340 m/s, que frequência você 
escutará se a sirene se aproxima a uma velocidade de 30 m/s? Que frequência você 
escutará quando a sirene se afasta a uma velocidade de 30 m/s? 
Resposta: 1316 Hz e 1103 Hz. 
 
Exercício IV. 5 
Um navio usa um sistema de sonar para detectar objetos submersos. O sistema emite 
ondas sonoras na água e mede o intervalo de tempo que a onda refletida (eco) leva 
para retornar ao detector. Determine a velocidade das ondas sonoras na água e ache 
o comprimento de onda de uma onda com frequência igual a 262 Hz. 
Resposta: 1480 m/s e 5,65 m. 
 49 
Exercício IV. 6 
Suponha que a buzina de um trem emite uma onda sonora de uma frequência de 440 
Hz quando o trem com uma velocidade de 30 m/s se aproxima de um observador 
parado. Em que frequência o observador escuta esta buzina. 
Resposta: 484 Hz.