Exercícios resolvidos Mecânica Geral

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UCDB – Eng. Sanitária e Ambiental Mecânica Aplicada – Prova P1 Modelo 
Sábado, 14 de agosto de 2010 1 willian@profwillian.com – www.profwillian.com 
1- Determine o módulo e represente 
graficamente a resultante das três forças vistas 
na figura abaixo. 
 
x 
y 
F2=60 N 
30
o
 
F3=40 N 
45
o
 
5 
12 
13 
F1=50 N 
 
Solução: 
 

5 
12 
13 
 
13
12
)cos(
13
5
)(sen


 
 
j)30(sen40i)30cos(40F
j)45cos(60i)45(sen60F
j)(sen50i)cos(50F
oo
3
oo
2
1






 

 
j000,20i641,34F
j4264,42i4264,42F
j2308,19i1538,46F
3
2
1






 
N1036,691956,439392,53F
j1956,43i9392,53F
j)000,204264,422308,19(i)641,344264,421538,46(F
22
R
R
R







 
x 
y 
F2=60 N 
F3=40 N 
F1=50 N 
53,9392 
43,1956 
FR=69,1036 N 
 
 
 
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2- Se as forças F1 e F2 são conhecidas, 
determine a orientação  e o módulo da força F 
de modo que o sistema de forças coplanares se 
encontre em equilíbrio estático. 
 
x 
y 
F2=50 N 
F1=75 N 
60
o
 
F 
 
 
Solução: 
 
N3709,40F
)738,21cos(
)60cos(75
F
738,21
398717,0
)60cos(75
)60(sen7550
)(tg
50)60(sen75)(sen
)cos(
)60cos(75
)2(em)1(
)2(050)60(sen75)(senF0F
)1(
)cos(
)60cos(75
F0)60cos(75)cos(F0F
o
o
o
o
o
o
o
o
y
o
o
x



















 
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3- Encontre o módulo e os ângulos 
diretores da força resultante entre F1 
e F2. 
Considere cada quadriculado 1 cm x 
1 cm 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
O 
F1=30 N 
F2=50 N 
 
Solução: 
As coordenadas dos pontos são: 
A(1, 0, 4) 
B(0, 6, 5) 
C(3, 8, 0) 
 
 
   
o
R
Rz
o
R
Ry
o
R
Rx
222
R
R
21R
CA22
BA11
222
CA
CA
CA
222
BA
BA
BA
9,76
0345,75
9551,16
cosarc
F
F
cosarc
1,166
0345,75
8434,72
cosarc
F
F
cosarc
6,94
0345,75
04425,6
cosarc
F
F
cosarc
N0345,759551,168434,7204425,6F
k9551,16j8434,72i04425,6F
k8218,21j6436,43i9109,10k86664,4j1999,29i86664,4FFF
k8218,21j6436,43i9109,10k436436,0j872872,0i218218,0.50u.FF
k86664,4j1999,29i86664,4k162221,0j973329,0i162221,0.30u.FF
k436436,0j872872,0i218218,0
482
k)04(j)80(i)31(
r
r
u
k162221,0j973329,0i162221,0
161
k)54(j)60(i)01(
r
r
u





















 















 











































 
 
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4- Encontre os 
ângulos internos do 
triângulo formado 
pelos pontos A, B e 
C vistos na figura 
ao lado. 
 
 
Solução: 
As coordenadas dos pontos são: 
A(1, 0, 4) 
B(0, 6, 5) 
C(3, 8, 0) 
o
CACB
CACB
CACB
CACA
CBCB
o
BCBA
BCBA
BCBA
BCBC
BABA
o
ACAB
ACAB
ACAB
ACAC
ABAB
98,41
rr
r.r
cosarc
42r.r
16515,9rk4j8i2r
16441,6rk5j2i3r
04,96
rr
r.r
cosarc
4r.r
16441,6rk5j2i3r
16441,6rkj6ir
98,41
16515,916441,6
42
cosarc
rr
r.r
cosarc
42)4(1862)1(r.r
16515,9rk4j8i2k)40(j)08(i)13(r
16441,6rkj6ik)45(j)06(i)10(r
































































 
 
 
 
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Sábado, 14 de agosto de 2010 5 willian@profwillian.com – www.profwillian.com 
5- Duas barras são usadas para suportar uma carga P=5 kN. O comprimento de AB é 75 cm, o de 
AC é 100 cm. Encontre os esforços normais nas barras AB e AC para o perfeito equilíbrio estático 
do nó A, ou seja, calcule os esforços nas barras AB e AC para que a resultante do sistema de forças 
ao redor de A seja igual a zero. 
 
40º 
 
Solução: 
 
40º 
CD BD 
AD 
 
FAC 
40º 
FAB 
 
Para encontrar o lado AD, temos que: 
cm2788,64)40(sen100AD
100
AD
)40(sen
o
o

 
o ângulo : 
rad541279,0013,31
75
2788,64
)cos(
75
AD
)cos(
o 
 
Equações de equilíbrio onde FAB e FAC são as forças nas hastes AB e AC, respectivamente. 
)2(0P)40(senF)cos(F0F
)1(0)40cos(F)(senF0F
o
ACABy
o
ACABx



 
Assim temos: 
kN60818,2
)40cos(
)(sen
87783,3FkN87783,3
)(sen)cos(
5
F
)2(5)40(sen
)40cos(
)(sen
F)cos(F
)1(
)40cos(
)(sen
FF
oACAB
o
oABAB
oABAC










 
 
Resposta: As forças nas barras AB e AC são: 3,878 kN e 2,608 kN, respectivamente. 
 
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Sábado, 14 de agosto de 2010 6 willian@profwillian.com – www.profwillian.com 
6- Determine a força em cada barra necessária para suportar a força F = 5 kN. O ponto A está a 4 m 
acima do plano xy. Considere cada quadriculado 1 m × 1 m. 
 
x 
y 
z 
A 
C 
B 
O 
F=5 kN 
D 
 
Solução: 
 
x 
y 
z 
A 
C 
B 
O 
F=5 kN 
D 
FAC 
FAD 
FAB 
 
As coordenadas dos pontos são: 
A(2, 4, 4) 
B(3, 8, 0) 
C(0, 3, 0) 
D(4, 1, 0) 
 
 
 
 
  AD
222
AD
AD
ADAD
AC
222
AC
AC
ACAC
AB
222
AB
AB
ABAB
Fk742781,0j557086,0i371391,0
432
k)40(j)41(i)24(
r
r
FF
Fk872872,0j218218,0i436436,0
412
k)40(j)43(i)20(
r
r
FF
Fk696311,0j696311,0i174078,0
441
k)40(j)48(i)23(
r
r
FF
























 
 
O equilíbrio é conseguido quando: 
05742781,0F872872,0F696311,0F0F
0557086,0F218218,0F696311,0F0F
0371391,0F436436,0F174078,0F0F
ADACABz
ADACABy
ADACABx






 

 
kN81232,1F
kN42348,2F
kN20945,2F
AD
AC
AB



 
 
Resposta: As forças FAB, FAC e FAD têm módulos 2,20945 kN, 2,42348 kN e 1,81232 kN, 
respectivamente.