Buscar

AP2 Cálculo II - CEDERJ/UFF 2016.2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ 
AP2- CÁLCULO II
���������������������������������������������������������������������������������������
��������	
��
���
���������������
�
3 2
2 2
6 5 14 15
( 3)
x x x dx
x
+ + +
+∫ ��
�������� 	
�� �� �
�����
��� �� 
���
�����
��������
�����������������������������������������
�
3 2
2 2 2 2 2
6 5 14 15
( 3) 3 ( 3)
x x x Ax B Cx D
x x x
+ + + + +
= +
+ + +
����� �������
��� ��� �������� ��� A B C
��
���
������
2 2( 3)x + ������
���
3 26 5 14 15 ( )( 3) ( )x x x Ax B x Cx D+ + + = + + + +
3 2 36 5 14 15 3 3x x x Ax Ax Bx B Cx D+ + + = + + + + +
3 2 3 26 5 14 15 (3 ) (3 )x x x Ax Bx A C x B D+ + + = + + + + +
 
���
���
��������������
�����������






�
�����
�
������� !"��� #"����������������
�
�����
�
������ $"��������������� A B C
3 2
2 2 2 2 2
6 5 14 15 6 5 4 0
( 3) 3 ( 3)
x x x x x
x x x
+ + + + − +
= +
+ + +
3 2
2 2 2 2 2 2
6 5 14 15 6 5 4
( 3) 3 3 ( 3)
x x x x xdx dx dx dx
x x x x
+ + +
= + −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫
%�����
3 2
2 2 2 2 2
6 5 14 15 2 1 2
( 3) 3 ( 3)
x x x x xdx dx dx dx
x x x
+ + +
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
3 2
2 2 2
6 5 14 15 5 2
( 3) 3
x x x xdx x C
x x
+ + +
+ +∫
�
�
________________________________________________________________________________
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
 
CÁLCULO II-2016/2GABARITO 
���������������������������������������������������������������������������������������
��������
� �
���� �����
��� ��&������ '�� ��
���
����
2x +
�����
��������
������������������������������������������
2 2 2 2 2( 3) 3 ( 3)
x x x Ax B Cx D
x x x
+ + + + +
= +
+ + +
� � � �
, ,A B C � D �
������������ ������ ��� ������ ��� �(�������� $"� � �����
26 5 14 15 ( )( 3) ( )x x x Ax B x Cx D+ + + = + + + + 
26 5 14 15 3 3x x x Ax Ax Bx B Cx D+ + + = + + + + + 
26 5 14 15 (3 ) (3 )x x x Ax Bx A C x B D+ + + = + + + + + 
6 (1)
5 (2)
3 14 (3)
3 15 (4)
A
B
A C
B D
=

=

+ =
 + =
�
"���������������� A ��� B ���)�������������� 4C = − ���� 0D =
, ,A B C ��� D ����)�������*+��
2 2 2 2 2
6 5 14 15 6 5 4 0
( 3) 3 ( 3)
x x x x x
x x x
+ + + + − +
= +
+ + +
��������
2 2 2 2 2 2
6 5 14 15 6 5 4
( 3) 3 3 ( 3)
x x x x xdx dx dx dx
x x x x
= + −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2 2 2 22 2
3 3
2 2
6 5 14 15 2 1 23 5 2( 3) 3 ( 3)( 3)
u x u x
du x dx du x dx
x x x x xdx dx dx dx
x x xx
= + = +
= =
= + −
+ + ++∫ ∫ ∫ ∫
14243 1442443
2
2 2 2
6 5 14 15 5 23ln( 3) arctg( 3) 33 3
x x x xdx x C
x x
 
= + + + + + + 
________________________________________________________________________________
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
����������������������������������������������������������������������������������������
3+ ��� �� ������ 	
���*�����
� � $"���
�
������������ ������ ��� ������ ��� �(�������� $"� � �����
0= ��
2 2 2 2 2 2( 3) 3 3 ( 3)
x x x x xdx dx dx dx �
2 2
2 2 2 2 2
3 3
2 2
6 5 14 15 2 1 23 5 2( 3) 3 ( 3)
u x u x
du x dx du x dx
x x x x xdx dx dx dx
x x x
= + = +
= =
= + −
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
14243 1442443
 
6 5 14 15 5 2
( 3) 3dx x C= + + + ++ + .�
________________________________________________________________________________ 
,*��
������ %�-�.�/�������� -0123- 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��������	
��
���
�����������������
3/2
3/2 3 1/2 2
3 3/2 3
11 1 1
3 1 3 3( ) ( 3 ) ( 2 )
2
lim lim lim
t
u
t t
t t t
x dx dx x x x x
x x x
− − − −
=
+∞
→+∞ →+∞ →+∞
+ 
+ = + = − − 
=∫ ∫ ∫ �
� 1/2 2
2 3 3 3 7( ) ( 2 ) 2
2 2 22
lim
t t t→+∞
 
= − − − − − = + =  
��
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444�
�
��������	
��
��
��
�����������������
�
�������5���	
��
2
1 3 2 1
1
y y
dy
y
+∞
+ +∫
���
����
�����������&��������������
��������
�����������[1, ).+∞ �
,�
������
2
1 0
3 2 1
( )
y y y
f y >
+ +
= �� � ��
22
1 1( ) 0
33
g y
yy y
= = > �� � ��� [1, ).+∞ '���5��� 	
�����
2 23 2 1 3y y y+ + > ��
��� 2 23 2 1 3y y y yy+ + > ���� [1, )y ∈ +∞ ����
2 2
1 1
3 2 1 3y y y y y
<
+ +
, [1, )y ∈ +∞ .�������� ( ) ( )f y g y< , [1, )y ∈ +∞
�
6������������������������������������� ( )f y �� ( )g y �����������
������ �7������������(������������
�����
�
� ���� �*��
��� ������� �������� 	
�� 2
1
1
3
1
y
dy
+∞
∫ ��
������� � �����
��� 2
1 3 2 1
1
y y
dy
y
+∞
+ +∫
��������
��
�������
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444��
�
���������	
��
���
������������������
�
�
� � � � � 8��
���1�
��������	
�����������R ���������
��������
�����������R
1
���R
2
���%��������&�����S ��������������������
���R�������
�������(���9����������������
���������&������S
1 
��S
2 
������������������������R
1 
��
R
2
� �����"�������
�������(���9. %�����V � S )= V � S
1
 )+ V � S
2
 ). 
 
,*��
������ %�-�.�/�������� -0123- 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
�
�
�
��
�
	
�
�����������������
������� 1S 
��������������������������������
�������:�������
�������&��
���
11 1
1
0
( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S pi= ∫ �
'�����
���1��������	
�����
���� 1 ( )r x x= �� 21
1 ( 1)
2 4
( ) xh xx + −= ����� [0,1]x ∈ ��
����	
� 1 ( ) 0r x > ������
���
���������;
�
������ 1( ) 0h x > ������ [0,1]x ∈ ��%�����������
����
��������������
1( )V S
12 4 2 3
2 3
0
1 1
0 0
1 1( 1) )
2 4 2 2 4 8 4 12
2 (2 2x x x x x xx xx dx dx pipi pi    + − + − + −   
    
== =∫ ∫ � �
� � �
1 1 1 )
8 4 12 12
72 ( pipi + −= =
 
�������������
����
�
�
%
�������
����������������������
������ 2S 
��������������������������������
�������:�������
������
�&��
���
22 2
2
1
( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S pi= ∫ 
'�����
���1��������	
�����
��� 2 ( )r x x= �� 2
1
4
( ) xh
x
x −= ����� [1, 2]x ∈ ��
����	
� 2 ( ) 0r x > ���������
���
������;
�
������ 2 ( ) 0h x > ������ [1, 2]x ∈ ��%�����������
����
��������������
2( )V S
22 3
1
2 2
1 1
1 1 )
4 4 12
2 (2 2x x xx
x
x dx dx pipi pi    − − −   
    
== =∫ ∫ � � � �
�
8 1 2 1 1 1 52 ) (1 ) 2 2 1 2
12 12 3 12 3 12 6
2 ( pipi pipi      − − − − − + = + =          = =
 
�������������
����
� � � � ��
�
�
%�����V � S )= 1( )V S + 2( )V S 7 5 1712 6 12
pi
pi pi+ == 
�������������
��� 
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444�
�
��������	
������
������������������
�
7���������	
�����������
����
2 9dyx x
dx
= − � 3,x ≥ ����
�����
2 9xdy dx
x
−
= , 3,x ≥ ⇒
2 9xy dx
x
−
= ∫ �� ����� ��������� ����� �
������� �������� 
���� ��
�
�����
����������
�����������,�
������������;
�
������
�
��+�
�
8��
���-�
,*��
������ %�-�.�/�������� -0123- 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
7������;
�
������������������5��+ 3sec
3
sec sec3x dx tg dx θ θ θθ θ == ⇒ = ����
:�������������
2 9
tg
3
xθ −= , logo 2 9 3tgx θ− = ��%���� 
2
2 2 29 3 tg 3sec tg 3 tg 3 (sec 1) 3(tg ) 9 3arcsec( )
3sec 3
x xdx d d d C x C
x
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
−
= = = − = − + = − − +∫ ∫ ∫ ∫ �
�
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444�
�
�
��������	
������
������������������
7���
 0 1y x yy x y
x x
−
′ ′= > ⇒ − = − �� �� � �	
����� ������
����� ��
���� ��� ��������� ������ 
�� ������
�������� �
��� �
1( )p x
x
= − � ( ) 1q x = − ���
��� p �� q �
����� ��
��
��� ����� 0x > �� � �������� 
����<��� ��
�&��
�������������
�����������
���������������)����������������
���
�����
�����*���������������&��
�����
'���� 	
� ( ) ( )1 11( ) ln | | ln | | lnp x dx dx x x x
x
− −
= − = − = =∫ ∫ ,���� 0x > �%������ �� ������ �
�����
��� ���
( )1ln | |( ) 1( ) xp x dx e xx eµ − −∫ = == .=������
��������
������	
�����������
���������������� ( )xµ �����
���+�
2
1
1 1 1
d y
dx x
y y
x x x
 
 
 
′
− = −
14243
1 1 1 1d y y dx
dx x x x x
 
⇒ = − ⇒ = − 
  ∫ 
1 ln | |y x C
x
⇒ = − + , ����� 0x > ( )ln ( ln )y x x C x C x⇒ = − + = − �� �� ���
���� ������ ��� �	
�����
������
�������
�����������
���C ���
�����
���
���������*�����,�����
3(2) ln 2 ln 2 2ln 2 2 2 3ln 2 ln 2.
2
y C C C= ⇒ = − + ⇒ = ⇒ = �
%�����
3 ln 2 ln , 0
2
y x x x = − > 
 
��������
��������������������������
�����������
�
�

Outros materiais