Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundação CECIERJ AP2- CÁLCULO II ��������������������������������������������������������������������������������������� �������� �� ��� ��������������� � 3 2 2 2 6 5 14 15 ( 3) x x x dx x + + + +∫ �� �������� �� �� � ����� ��� �� ��� ����� �������� ����������������������������������������� � 3 2 2 2 2 2 2 6 5 14 15 ( 3) 3 ( 3) x x x Ax B Cx D x x x + + + + + = + + + + ����� ������� ��� ��� �������� ��� A B C �� ��� ������ 2 2( 3)x + ������ ��� 3 26 5 14 15 ( )( 3) ( )x x x Ax B x Cx D+ + + = + + + + 3 2 36 5 14 15 3 3x x x Ax Ax Bx B Cx D+ + + = + + + + + 3 2 3 26 5 14 15 (3 ) (3 )x x x Ax Bx A C x B D+ + + = + + + + + ��� ��� �������������� ����������� � ����� � ������� !"��� #"���������������� � ����� � ������ $"��������������� A B C 3 2 2 2 2 2 2 6 5 14 15 6 5 4 0 ( 3) 3 ( 3) x x x x x x x x + + + + − + = + + + + 3 2 2 2 2 2 2 2 6 5 14 15 6 5 4 ( 3) 3 3 ( 3) x x x x xdx dx dx dx x x x x + + + = + − + + + +∫ ∫ ∫ ∫ %����� 3 2 2 2 2 2 2 6 5 14 15 2 1 2 ( 3) 3 ( 3) x x x x xdx dx dx dx x x x + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 2 2 2 6 5 14 15 5 2 ( 3) 3 x x x xdx x C x x + + + + +∫ � � ________________________________________________________________________________ Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância CÁLCULO II-2016/2GABARITO ��������������������������������������������������������������������������������������� �������� � � ���� ����� ��� ��&������ '�� �� ��� ���� 2x + ����� �������� ������������������������������������������ 2 2 2 2 2( 3) 3 ( 3) x x x Ax B Cx D x x x + + + + + = + + + + � � � � , ,A B C � D � ������������ ������ ��� ������ ��� �(�������� $"� � ����� 26 5 14 15 ( )( 3) ( )x x x Ax B x Cx D+ + + = + + + + 26 5 14 15 3 3x x x Ax Ax Bx B Cx D+ + + = + + + + + 26 5 14 15 (3 ) (3 )x x x Ax Bx A C x B D+ + + = + + + + + 6 (1) 5 (2) 3 14 (3) 3 15 (4) A B A C B D = = + = + = � "���������������� A ��� B ���)�������������� 4C = − ���� 0D = , ,A B C ��� D ����)�������*+�� 2 2 2 2 2 6 5 14 15 6 5 4 0 ( 3) 3 ( 3) x x x x x x x x + + + + − + = + + + + �������� 2 2 2 2 2 2 6 5 14 15 6 5 4 ( 3) 3 3 ( 3) x x x x xdx dx dx dx x x x x = + − + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 2 2 6 5 14 15 2 1 23 5 2( 3) 3 ( 3)( 3) u x u x du x dx du x dx x x x x xdx dx dx dx x x xx = + = + = = = + − + + ++∫ ∫ ∫ ∫ 14243 1442443 2 2 2 2 6 5 14 15 5 23ln( 3) arctg( 3) 33 3 x x x xdx x C x x = + + + + + + ________________________________________________________________________________ Vice Presidência de Educação Superior a Distância ���������������������������������������������������������������������������������������� 3+ ��� �� ������ ���*����� � � $"��� � ������������ ������ ��� ������ ��� �(�������� $"� � ����� 0= �� 2 2 2 2 2 2( 3) 3 3 ( 3) x x x x xdx dx dx dx � 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 6 5 14 15 2 1 23 5 2( 3) 3 ( 3) u x u x du x dx du x dx x x x x xdx dx dx dx x x x = + = + = = = + − + + +∫ ∫ ∫ ∫ 14243 1442443 6 5 14 15 5 2 ( 3) 3dx x C= + + + ++ + .� ________________________________________________________________________________ ,*�� ������ %�-�.�/�������� -0123- Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � � �� � � � � �������� �� ��� ����������������� 3/2 3/2 3 1/2 2 3 3/2 3 11 1 1 3 1 3 3( ) ( 3 ) ( 2 ) 2 lim lim lim t u t t t t t x dx dx x x x x x x x − − − − = +∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + = + = − − =∫ ∫ ∫ � � 1/2 2 2 3 3 3 7( ) ( 2 ) 2 2 2 22 lim t t t→+∞ = − − − − − = + = �� 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444� � �������� �� �� �� ����������������� � �������5��� �� 2 1 3 2 1 1 y y dy y +∞ + +∫ ��� ���� �����������&�������������� �������� �����������[1, ).+∞ � ,� ������ 2 1 0 3 2 1 ( ) y y y f y > + + = �� � �� 22 1 1( ) 0 33 g y yy y = = > �� � ��� [1, ).+∞ '���5��� ����� 2 23 2 1 3y y y+ + > �� ��� 2 23 2 1 3y y y yy+ + > ���� [1, )y ∈ +∞ ���� 2 2 1 1 3 2 1 3y y y y y < + + , [1, )y ∈ +∞ .�������� ( ) ( )f y g y< , [1, )y ∈ +∞ � 6������������������������������������� ( )f y �� ( )g y ����������� ������ �7������������(������������ ����� � � ���� �*�� ��� ������� �������� �� 2 1 1 3 1 y dy +∞ ∫ �� ������� � ����� ��� 2 1 3 2 1 1 y y dy y +∞ + +∫ �������� �� ������� 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444�� � ��������� �� ��� ������������������ � � � � � � � 8�� ���1� �������� �����������R ��������� �������� �����������R 1 ���R 2 ���%��������&�����S �������������������� ���R������� �������(���9���������������� ���������&������S 1 ��S 2 ������������������������R 1 �� R 2 � �����"������� �������(���9. %�����V � S )= V � S 1 )+ V � S 2 ). ,*�� ������ %�-�.�/�������� -0123- Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � �� � � ����������������� ������� 1S �������������������������������� �������:������� �������&�� ��� 11 1 1 0 ( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S pi= ∫ � '����� ���1�������� ����� ���� 1 ( )r x x= �� 21 1 ( 1) 2 4 ( ) xh xx + −= ����� [0,1]x ∈ �� ���� � 1 ( ) 0r x > ������ ��� ���������; � ������ 1( ) 0h x > ������ [0,1]x ∈ ��%����������� ���� �������������� 1( )V S 12 4 2 3 2 3 0 1 1 0 0 1 1( 1) ) 2 4 2 2 4 8 4 12 2 (2 2x x x x x xx xx dx dx pipi pi + − + − + − == =∫ ∫ � � � � � 1 1 1 ) 8 4 12 12 72 ( pipi + −= = ������������� ���� � � % ������� ���������������������� ������ 2S �������������������������������� �������:������� ������ �&�� ��� 22 2 2 1 ( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S pi= ∫ '����� ���1�������� ����� ��� 2 ( )r x x= �� 2 1 4 ( ) xh x x −= ����� [1, 2]x ∈ �� ���� � 2 ( ) 0r x > ��������� ��� ������; � ������ 2 ( ) 0h x > ������ [1, 2]x ∈ ��%����������� ���� �������������� 2( )V S 22 3 1 2 2 1 1 1 1 ) 4 4 12 2 (2 2x x xx x x dx dx pipi pi − − − == =∫ ∫ � � � � � 8 1 2 1 1 1 52 ) (1 ) 2 2 1 2 12 12 3 12 3 12 6 2 ( pipi pipi − − − − − + = + = = = ������������� ���� � � � � �� � � %�����V � S )= 1( )V S + 2( )V S 7 5 1712 6 12 pi pi pi+ == ������������� ��� 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444� � �������� ������ ������������������ � 7��������� ����������� ���� 2 9dyx x dx = − � 3,x ≥ ���� ����� 2 9xdy dx x − = , 3,x ≥ ⇒ 2 9xy dx x − = ∫ �� ����� ��������� ����� � ������� �������� ���� �� � ����� ���������� �����������,� ������������; � ������ � ��+� � 8�� ���-� ,*�� ������ %�-�.�/�������� -0123- Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � �� � � 7������; � ������������������5��+ 3sec 3 sec sec3x dx tg dx θ θ θθ θ == ⇒ = ���� :������������� 2 9 tg 3 xθ −= , logo 2 9 3tgx θ− = ��%���� 2 2 2 29 3 tg 3sec tg 3 tg 3 (sec 1) 3(tg ) 9 3arcsec( ) 3sec 3 x xdx d d d C x C x θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = = = − = − + = − − +∫ ∫ ∫ ∫ � � 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444� � � �������� ������ ������������������ 7��� 0 1y x yy x y x x − ′ ′= > ⇒ − = − �� �� � � ����� ������ ����� �� ���� ��� ��������� ������ �� ������ �������� � ��� � 1( )p x x = − � ( ) 1q x = − ��� ��� p �� q � ����� �� �� ��� ����� 0x > �� � �������� ����<��� �� �&�� ������������� ����������� ���������������)���������������� ��� ����� �����*���������������&�� ����� '���� � ( ) ( )1 11( ) ln | | ln | | lnp x dx dx x x x x − − = − = − = =∫ ∫ ,���� 0x > �%������ �� ������ � ����� ��� ��� ( )1ln | |( ) 1( ) xp x dx e xx eµ − −∫ = == .=������ �������� ������ ����������� ���������������� ( )xµ ����� ���+� 2 1 1 1 1 d y dx x y y x x x ′ − = − 14243 1 1 1 1d y y dx dx x x x x ⇒ = − ⇒ = − ∫ 1 ln | |y x C x ⇒ = − + , ����� 0x > ( )ln ( ln )y x x C x C x⇒ = − + = − �� �� ��� ���� ������ ��� � ����� ������ ������� ����������� ���C ��� ����� ��� ���������*�����,����� 3(2) ln 2 ln 2 2ln 2 2 2 3ln 2 ln 2. 2 y C C C= ⇒ = − + ⇒ = ⇒ = � %����� 3 ln 2 ln , 0 2 y x x x = − > �������� �������������������������� ����������� � �
Compartilhar