lista 7 conicasQuadricas

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Lista 8 - Geometria Anal´ıtica
Coˆnicas, qua´dricas e superf´ıcies esfe´ricas
Profa. Cla´udia Mesquita
1. Dadas as equac¸o˜es, pede-se para:
• Identifique a coˆnica;
• Ache o centro ou ve´rtice;
• Encontre a equac¸a˜o reduzida no sistema de coordenadas apropriado;
• Encontre os elementos da coˆnica no sistema de coordenadas xOy.
(a) x2 + 3xy + y2 − 10x− 10y + 5 = 0
(b) 5x2 + 9y2 = 45.
(c) 3x2 − 3y2 = 0
(d) x2 + 4y2 − 2x− 16y + 13 = 0
(e) 3x2 + 6xy + 3y2 = 0.
(f) x2 − 2y2 = 2.
(g) x2 − 8x = 0.
(h) 2y2 − 3 = 0.
2. Encontre em E2 a equac¸a˜o da reta tangente a` para´bola y2 − 16x = 0 e paralela a reta
2x− y + 6 = 0.
3. Encontre em E2 as equac¸o˜es das retas tangentes a circunfereˆncia x2+y2−4x+2y−20 = 0
e paralelas a reta 3x− 4y = 0.
4. Determine a equac¸a˜o da elipse com centro na origem e eixo focal sobre o eixo Ox, tal que
o eixo maior mede 4 e tangencie a reta y = x− 1.
5. Reduzir cada uma das equac¸o˜es de forma a identificar a qua´drica que ela representa e
esboc¸ar o gra´fico.
(a) 3x2 + 4y2 + z2 − 12x− 8y − 2z + 16 = 0.
(b) x2 + y + z2 = 0.
(c) x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y + 2z − 16 = 0.
(d) 4x2 − 2y2 − z2 − 3 = 0.
1
(e) x+ y2 + 2y + z2 − 3z − 3 = 0.
(f) x2 − y + z2 = 9.
6. (a) Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos que equidistam do plano pi : x = 2
e do ponto P = (−2, 0, 0). Que conjunto e´ este?
(b) Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos que equidistam das retas r : y =
z = 0 e l : x = y − 1 = 0. Que conjunto e´ este?
(c) Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma
das distaˆncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) e´ igual a 6. Que lugar
geome´trico e´ este?
7. (IMPORTANTE) Estude a intersecc¸aˆo dos elipso´ides, parabolo´ides (el´ıpticos ou hiperbo´licos),
hiperbolo´ides (de uma ou duas folhas) com planos do tipo x = k, y = k e z = k, k ∈ R.
8. Sendo Ω : −2x2 − 5y2 + 9z2 = 2, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de Ω e determine os todos os
planos paralelos aos planos coordenados que interceptam Ω em uma elipse de distaˆncia
focal 2.
9. Seja Θ o lugar geome´trico dos pontos (x, y, z) ∈ R3 que satisfazem −2x2− 3y2 + 4z2 = 4.
(a) Encontre a intersecc¸a˜o de Θ com os planos x = k, k ∈ R, y = m, m ∈ R e z = n,
n ∈ R.
(b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de Θ.
(c) Determine, caso existam, todos os planos paralelos ao plano z = pi que interceptam
Θ em uma elipse de distaˆncia focal 2
√
2.
10. Encontre em coordenadas cartesianas, a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o S obtida
quando a curva c : x2 − 2z2 + 4z = 0, y = 0 gira em torno do eixo Ox.
11. Seja D o lugar geome´trico dos pontos (x, y, z) ∈ E3 que satisfazem x2 − 2y2 + 3z2 = 1.
Determine, caso exista, todos os planos paralelos ao plano y = pi que interceptam D em
uma elipse de distaˆncia focal igual a 2.
12. Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos em E3 que esta˜o a uma distaˆncia 1
da reta l : x = 2, y = 4. Que tipo de qua´drica e´? (observe o conjunto onde a qua´drica
esta´)
13. Determine a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia que passa pelos pontos A = (3,−1,−2),
B = (1, 2,−2) e C = (−1, 3, 0).
14. Seja a superf´ıcie esfe´rica S : x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y − z − 1 = 0.
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(a) Determine o centro e o raio de S.
(b) Ache a posic¸a˜o relativa do ponto P = (1, 2, 1) em relac¸a˜o a` S.
(c) Ache as superf´ıcies esfe´ricas de centro P = (1, 2, 1) que sejam tangentes a` S.
15. Considere a superf´ıcie esfe´rica S : x2 + y2 + z2− 2x− 2y− z+ 1. Determine se existirem,
os planos paralelos ao plano tangente a` superf´ıcie no ponto (2, 0, 1) que distam o valor
relativo a um diaˆmetro de S de tal plano.
16. Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica que tem centro na reta t =
{
x = 2z − 3
2y = 2z − 2
e que passa pelos pontos A = (6,−1, 3) e B = (0, 7, 5).( DICA: Use distaˆncia de pontos)
17. Determine o diaˆmetro da superf´ıcie esfe´rica x2+y2+z2+2x−2y = 0 que e´ perpendicular
ao plano x − y − 2 = 0, isto e´, os dois pontos da superf´ıcie esfe´rica que definem tal
diaˆmetro.
18. Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie esfe´rica x2+y2+z2−2x−4z−95 = 0
no ponto P = (0,
√
95, 0).
19. Determine os planos tangentes a` superf´ıcie esfe´rica (x− 1)2 + (y − 2)2 = z2 = 1 que sa˜o
paralelos ao plano 2x+ y − z − 5 = 0.
20. Ache uma equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica de centro O = (3, 2 − 2) tangente ao plano
x+ 3y − 2z + 1 = 0.
21. Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie esfe´rica que passa pelo ponto P = (−1, 6,−3) e tan-
gencia o plano 4x+ 4y + 7z − 96 = 0 no ponto Q = (7, 3, 8).
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