Questões para treino de correlação, regressão linear simples e múltipla

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Trabalho
December 5, 2016
[1] Defina teste de hipo´teses e os principais conceitos relacionados, como:
tipos de erros, n´ıvel de significaˆncia e poder. Adicionalmente, comente a relac¸a˜o
entre intervalo e teste de hipo´teses e fac¸a um breve resumo sobre os teste estu-
dados e quais as suposic¸o˜es assumidas em cada um deles.
[2] O calor liberado, em calorias por grama, de uma mistura de cimento tem
distribuic¸a˜o aproximadamente Normal. A me´dia deve ser 100 e o desvio-padra˜o
2. Desejamos testar H0 : µ = 100 versus H1 : µ 6= 100, com uma amostra de
tamanho n = 9 espe´cimes.
(a) Se a regia˜o de aceitac¸a˜o for definida como 98, 5 ≤ x¯ ≤ 101, 5, encontre a
probabilidade do erro tipo I.
(b) Encontre β para o caso em que o verdadeiro calor me´dio liberado seja 103.
(c) Encontre β para o caso em que o verdadeiro calor me´dio liberado seja 105.
Esse valor de β e´ menor do que aquele encontrado no item (b). Por queˆ?
[3] Uma companhia de cigarro anunciou que o ı´ndice me´dio de nicotina dos
cigarros que fabrica e´ de 23 mg por cigarro. Um laborato´rio realiza 6 ana´lises
desse ı´ndice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o ı´ndice de nicotina
se distribui normalmente, com variaˆncia igual a 4.86 mg2.
(a) Pode-se aceitar, ao n´ıvel de 10%, a afirmac¸a˜o do fabricante? Justifique
todos os passos.
(b) Obtenha o poder do teste obtido no item (a) se o verdadeiro valor do
ı´ndice me´dio de nicotina fosse igual a 26 mg por cigarro. Justifique todos
os passos.
[4] Um teste de impacto Izod foi feito em 20 corpos-de-prova de tubo de
PVC. A me´dia da amostra e´ x¯ = 1, 25 e o desvio-padra˜o da amostra e´ s = 0.25.
(a) Teste a hipo´tese que σ = 0.10 contra uma alternativa especificando que
σ 6= 0.10, usando α = 0.01 e obtenha uma conclusa˜o. Estabelec¸a quaisquer
suposic¸o˜es necessa´rias acerca da distribuic¸a˜o em foco dos dados.
(b) Qual o menor valor de α que nos leva a rejeic¸a˜o da hipo´tese nula?
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[5] Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que fornece a uma
fa´brica esta˜o de acordo com as especificac¸o˜es exigidas. O exame de uma amostra
de 200 pec¸as desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do
fabricante, nos n´ıveis de 5% e 1%.
[6] Em uma amostra aleato´ria de 85 mancais de eixos de motores de au-
tomo´veis, 10 teˆm uma rugosidade no acabamento de superf´ıcie que excede as
especificac¸o˜es. Esses dados apresentam forte evideˆncia de que a proporc¸a˜o de
mancais que exibem rugosidade no acabamento de superf´ıcie excede 0.10? Es-
tabelec¸a e teste as hipo´teses apropriadas ao n´ıvel α = 0.05.
[7] Defina o modelo de regressa˜o linear simples e os principais conceitos
relacionados. Explique como se da o processo de estimac¸a˜o dos paraˆmetros
utilizando o me´todo de mı´nimos quadrados. Comente sobre as propriedades
dos estimadores obtidos por esse me´todo e como podemos testar hipo´teses e
construir intervalos de confianc¸a. Comente o que significa o coeficiente de de-
terminac¸a˜o, qual a importaˆncia do mesmo?
[8] Um laborato´rio esta´ interessado em medir o efeito da temperatura sobre
a poteˆncia de um antibio´tico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas
a diferentes temperaturas, e apo´s 15 dias, mediu-se a poteˆncia. Os resultados
esta˜o no quadro abaixo.
Temperatura 30◦ 50◦ 70◦ 90◦
Poteˆncia 38, 43 32, 26, 33 19, 27, 23 14, 21
(a) Fac¸a a representac¸a˜o gra´fica dos dados.
(b) Ajuste um modelo de regressa˜o linear simples para a poteˆncia em func¸a˜o
da temperatura.
(c) Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o do modelo. O que voceˆ conclui a
partir do ca´lculo desse coeficiente?
(d) A que temperatura a poteˆncia me´dia sera´ nula?
[9] Considere o modelo de regressa˜o linear simples Y = β0+β1x+e. Suponha
que o analista queira usar z = x− x¯ como regresor.
(a) Usando os dados do exerc´ıcio [8], construa um gra´fico de dispersa˜o dos
pontos (xi, yi) e enta˜o um outro dos pontos (z = xi − x¯, yi). Use os dois
gra´ficos para explicar intuitivamente como os dois modelos Y = β0+β1x+e
e Y = β∗0 + β
∗
1z esta˜o relacionados?
(b) Encontre as estimativas de minimos quadrados de β∗0 e β
∗
1 do modelo
Y = β∗0 + β
∗
1z. Como elas esta˜o relacionadas a`s estimativas de mı´nimos
quadrados βˆ0 + βˆ1?
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[10] Considere os dados do exerc´ıcio [8].
(a) Obtenha o coeficiente de determinac¸a˜o do modelo ajustado.
(b) Teste as hipo´teses H0 : β0 = 50 contra H1 : β1 6= 50 ao n´ıvel de 5% de
significaˆncia.
(c) Teste a hipo´tese de que o coeficiente da regressa˜o e´ 0.3 contra a hipo´tese
de que e´ diferente ao n´ıvel de 5% de significaˆncia
(d) Obtenha a correlac¸a˜o dos dados.
[11] Considere o exerc´ıcio [9]. Compare os dois modelos ajustados atrave´s
do coeficiente de determinac¸a˜o. Qual dos dois seria prefer´ıvel? Justifique todos
os passos.
[12] Me´todos de regressa˜o foram usados para analisar dados provenientes de
um estudo de investigac¸a˜o da relac¸a˜o entre a temperatura (x) da superf´ıcie da
estrada e a deflexa˜o (y) do pavimento. Um resumo das grandezas e´ n = 20,∑
yi = 12, 75,
∑
y2i = 8, 86,
∑
xi = 1478,
∑
x2i = 143.215, 8 e
∑
xi.yi =
1083, 67.
(a) Calcule as estimativas de mı´nimos quadrados da inclinac¸a˜o e da inter-
secc¸a˜o. Fac¸a um gra´fico da linha de regressa˜o e estime σ2.
(b) Use a equac¸a˜o da linha ajustada para prever que valor da deflexa˜o do
pavimento seria observado quando a temperatura fosse x = 85◦F .
(c) Qual sera´ a deflexa˜o me´dia do pavimento quando a temperatura da su-
perficie for x = 90◦F ?
[13] Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina
(y) em func¸a˜o da adic¸a˜o de um novo aditivo. Para isso, foram realizados ensaios
com os percentuais de 1%, 2%, 3%, 4%, 5% e 6% de aditivo. Os resultados sa˜o
mostrados na tabela a seguir seguir:
x 1 2 3 4 5 6
y 80.5 81.6 82.1 83.7 83.9 85.0
Isto e´,
∑6
i=1 xi = 21,
∑10
i=1 x
2
i = 91,
∑10
i=1 yi = 496, 8 e
∑10
i=1 xiy1 = 1754, 3.
(a) Calcule a correlac¸a˜o entre os dados. Interprete o resultado obtido.
(b) Determine os coeficientes da regressa˜o pelo me´todo dos mı´nimos quadra-
dos e fornec¸a a reta de regressa˜o estimada.
(c) Obtenha o coeficiente de determinac¸a˜o da reta obtida no item anterior.
Interprete o resultado obtido.
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(d) Teste ao n´ıvel de 5%, a hipo´tese de que o coeficiente da regressa˜o (β1) e´
igual a 1. Justifique todos os detalhes.
[14] Em um artigo na revista IEEE Transactions on Instrumentation and
Measurement (2001, Vol. 50, pp. 986-990), pesquisadores estudaram os efeitos
de reduzir, por meios eletroˆnicos, a perda de corrente em um nu´cleo
magne´tico. Realizando um experimento emparelhado, eles mediram a corrente
em um enrolamento magne´tico com e sem a eletroˆnica, sendo os dados para o
caso sem eletroˆnica apresentados na tabela a seguir:
Suprimento de Tensa˜o Corrente sem eletroˆnica
0.66 7.32
1,32 12.22
1,98 16.34
2,64 23.66
3,3 28.06
3, 96 33.39
4.62 34.12
3.28 39.21
5.94 44.21
6.6 47.48
(a) Fac¸a um gra´fico e ajuste uma linha de regressa˜o para prever a corrente
sem eletroˆnica em func¸a˜o do suprimento de voltagem.
(b) Estime o coeficiente de correlac¸a˜o.
(c) Teste a hipo´tese de que a correlac¸a˜o e´ igual a zero contra a hipo´tese de
que e´ diferente de zero ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
(d) A que temperatura a poteˆncia me´dia sera´ nula?
[15]Um artigo em Optical Engineering, (”Operating curve extraction of a
correlator’s filter”, Vol. 43, pp.2775-2779, 2004) reportou o uso de um
correlator o´ptico para fazer um experimento, variando o brilho e o contraste.
A modulac¸a˜o resultante e´ caracterizada pela faixa u´til de n´ıveis de cinza. Os
dados sa˜o mostrados a seguir.
Brilho % 54 61 65 100 100 100 50 57 54
Contraste % 56 80 70 50 65 80 25 35 26
Faixa u´til 96 50 50 112 96 80 155 144 255
(a) Ajuste um modelo de regressa˜olinear mu´ltipla a esses dados.
(b) Preveja a faixa u´til, quando o brilho for 80 e o contraste for 75.
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