GABARITO AD1 2015.1 ME 2

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Métodos Estatísticos IIAD1 – Critério de CorreçãoProfa. Ana Maria Farias - 2015-1
• Erros de conta não devem anular a questão, a menos que o resultado obtido seja absurdo.
• No cálculo da função de distribuição acumulada penalizar o aluno caso ele especifiqueF apenas no intervalo de probabilidade não nula. O aluno deve entender que a funçãode distribuição está definida para todo x ∈ R, que o limite de F (x) é 1 quando x →∞e é 0 quando x → −∞
• No cálculo de probabilidades da distribuição normal, penalizar o aluno caso ele nãoexplicite passo a passo a padronização da variável. É comum os alunos errarem a ques-tão na prova exatamente porque não explicitam a equivalência dos eventos. Costuma-secolocar apenas a expressão da padronização, sem especificar o evento (>, <, etc) e issoleva a erros no uso da tabela.
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Métodos Estatísticos IIGabarito da Avaliação a Distância I - AD1Profa. Ana Maria Farias - 2015-1
1. [2,0 pontos] Em uma grande loja de departamentos, o tempo de espera (em minutos) nasfilas dos caixas é uniformemente distribuído com uma média de 14 minutos e variânciade 27 minutos2. Preocupado com as reclamações dos clientes, um gerente prepara umtreinamento dos caixas e, confiante no sucesso desse treinamento, decide premiar osclientes, de acordo com as seguintes regras. Se o tempo de espera for maior que 21minutos, o cliente ganha um brinde de 50 reais e se o tempo de espera for menor que18 minutos, o cliente não ganha brinde. Os demais clientes ganham um brinde de 30reais.
(a) [0,5 ponto] Encontre a expressão da função de densidade da variável que representao tempo de espera dos clientes.(b) [0,5 ponto] Qual proporção de clientes não receberá qualquer prêmio?(c) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um cliente ganhar um brinde de 50 reais?(d) [0,5 ponto] João acaba de constatar que ele já tem direito a um brinde de 30 reais.Qual é a probabilidade de que ele ganhe um prêmio de 50 reais?
Solução
(a) Seja T o tempo de espera. É dado que T ∼ Unif (a, b) com a < b, E(T ) = 14 eVar(T ) = 27. Então 
a+ b2 = 14
(b− a)212 = 27Da segunda equação, resulta que (b− a)2 = 324 e, portanto, |b− a| = √324. Comoestamos supondo que a < b, resulta que b− a = 18, o que nos leva ao sistema{ a+ b = 28b− a = 18cuja solução é a = 5 e b = 23, ou seja, T ∼ Unif (5, 23).(b) A probabilidade de um cliente não ganhar prêmio é
P(T < 18) = 18− 523− 5 = 1318 = 0, 7222(c)
P(T > 21) = 23− 2123− 5 = 218 = 0, 1111
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Montagem desse sistema: 0,2
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resolução do sistema e especificação da distribuição: 0,3
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tirar 0,2 se o aluno não especificar o evento 
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tirar 0,2 se o aluno não especificar o evento 
(d)
P(T ≥ 21|T ≥ 18) = P(T ≥ 21)P(T ≥ 18) = 23− 2123− 18 = 25 = 0, 22. [2,0 pontos] Na Figura 1 é dado o gráfico da função de densidade fX de uma variávelaleatória contínua X.
Figura 1 – Função de densidade para a Questão 2
(a) [1,0 ponto] Determine o valor de k e a expressão matemática de fX .(b) [0,5 ponto] Determine a função de distribuição acumulada FX de X.(c) [0,5 ponto] Determine a mediana da distribuição da variável aleatória X.
Solução
(a) k ≥ 0; a área total tem que ser 1 e temos 2 trapézios:0, 2 + 0, 12 × 2 + k + 0, 22 × 2 = 1⇔ 0, 30 + k + 0, 2 = 1⇔ k = 0, 5• x ∈ [1, 3]f (x) é um segmento de reta que passa pelos pontos (1; 0, 1) e (3; 0, 2). Logo, aequação é do tipo f (x) = a+ bx em que{ a+ b = 0, 1a+ 3b = 0, 2Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = 0, 05; substituindo em umadas equações, obtemos a = 0, 05.• x ∈ (3, 5]f (x) é um segmento de reta que passa pelos pontos (3; 0, 2) e (5; 0, 5). Logo, aequação é do tipo f (x) = a+ bx em que{ a+ 3b = 0, 2a+ 5b = 0, 5Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = 0, 15; substituindo em umadas equações, obtemos a = −0, 25.
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0,2 para identificação da probabilidade condicionalnull0,3 para cálculo da probabilidade
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0,2 para cálculo correto de k
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0,1 para montagem desse sistema
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0,2 para solução do sistema
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0,1 para montagem desse sistema
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0,2 para solução do sistema
Logo,
f (x) =
 0, 05 + 0, 05x 1 ≤ x < 3−0, 25 + 0, 15x 3 < x ≤ 50 x < 1 oux > 5(b) • x ∈ [1, 3)F (x) é a área do trapézio sombreado na Figura 2, que tem bases 0, 1 e f (x) ealtura x − 1. Logo,
F (x) = 0, 1 + f (x)2 · (x − 1) = 0, 1 + 0, 05 + 0, 05x2 · (x − 1)= (0, 075 + 0, 025x) · (x − 1) = 0, 025x2 + 0, 05x − 0, 075• x ∈ [3, 5] F (x) é a área do trapézio inferior sombreado de cinza claro, que é 0,3,mais a área sombreado em escuro na Figura 3, que é um trapézio de bases 0, 2e f (x) e altura x − 3. Logo,
F (x) = 0, 3 + 0, 2− 0, 25 + 0, 15x2 · (x − 3) = (x − 3)(0, 15x − 0, 05) + 0, 62= 0, 075x2 − 0, 25x + 0, 375
Figura 2 – Questão 2 - FX (x), 1 ≤ x ≤ 3 Figura 3 – Questão 2 - FX (x), 3 ≤ x ≤ 5Resumindo:
F (x) =

0 x < 1
0, 025x2 + 0, 05x − 0, 075 1 ≤ x < 3
0, 075x2 − 0, 25x + 0, 375 3 ≤ x < 5
1 x ≥ 5(c) Uma vez que foi calculada a função de distribuição acumulada, vamos usá-la paracalcular a mediana. A área do trapézio inferior é 0, 3; logo, a mediana é maior que3. F (Q2) = 0, 5⇒ 0, 075Q22 − 0, 25Q2 + 0, 0375 = 0, 5⇒0, 075Q22 − 0, 25Q2 − 0, 125 = 0⇒Q2 = 0, 25±√0, 252 + 4 · 0, 075 · 0, 1252 · 0, 15 = 0, 25±
√0, 100, 15
A solução no domínio de definição de FX é Q2 = 0, 25 +√0, 100, 15 = 3, 9274.
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0,2 para especificação completa da função
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0,2 para essa parte de F
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0,2 para essa parte de F
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0,1 para especificação completa de F
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0,2 para identificação da soluçãonull0,3 para cálculo efetivo de Q2
3. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(75; 92). Calcule:
(a) [0,4 ponto] P(X ≥ 85, 8)(b) [0,4 ponto] P(X < 57)(c) [0,4 ponto] P(60, 6 < X < 78, 6)(d) [0,4 ponto] P(57 < X < 66)(e) [0,4 ponto] P(X > 70, 5)
Solução
(a)
P(X ≥ 85, 8) = P(Z > 85, 8− 759
) = P(Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2)= 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b)
P(X < 57) = P(Z < 57− 759
) = P(Z < −2) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2)= 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
(c)
P(60, 6 < X < 78, 6) = P(60, 6− 759 < Z < 78, 6− 759
) = P(−1, 6 < Z < 0, 4)= tab(0, 4) + tab(1, 6) = 0, 1554 + 0, 4452 = 0, 6006
(d)
P(57 < X < 66) = P(57− 759 < Z < 66− 759
) = P(−2 < Z < −1)= P(1 < Z < 2) = tab(2)− tab(1) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
(e)
P(X > 70, 5) = P(Z > 70, 5− 759
) = P(Z > −0, 5) = 0, 5 + tab(0, 5)= 0, 5 + 0, 1915 = 0, 6915
4. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(µ; σ2).
(a) [0,4 ponto] Calcule P(X < µ − 1, 2σ ) .(b) [0,4 ponto] Calcule P(X > µ + 2, 0σ ) .(c) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(|X − µ| < kσ ) = 0, 99.(d) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(X > µ + kσ ) = 0, 05.(e) [0,4 ponto] Calcule o valor de k tal que P(X < µ + kσ ) = 0, 05.
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Dar 0 no item caso o aluno obtenha probabilidade maior que 1 ou menor que 0.
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0,2 para essa equivalência
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0,1 aqui
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0,1 aqui
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0,2 para essa equivalência
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0,2 para essa equivalência
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0,2 para essa equivalência
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0,2 para essa equivalência
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0,1 aqui
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0,1 aqui
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Solução
(a)
P(X <µ − 1, 2σ ) = P(X − µσ < µ − 1, 2σ − µσ
) = P(Z < −1, 2) = P(Z > 1, 2)= 0, 5− tab(1, 2) = 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b)
P(X > µ + 2, 0σ ) = P(X − µσ > µ + 2, 0σ − µσ
) = P(Z > 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0)= 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
(c)
P(|X − µ| < kσ ) = 0, 99⇔ P(−kσ < X − µ < kσ ) = 0, 99⇔
P(−kσσ < X − µσ < kσσ
) = 0, 99⇔ P(−k < Z < k) = 0, 99⇔2× P(0 < Z < k) = 0, 99⇔ P(0 < Z < k) = 0, 495⇔ tab(k) = 0, 495⇔ k = 2, 58
(d) P(X > µ + kσ ) = 0, 05⇔ P(Z > k) = 0, 05⇔ tab(k) = 0, 45⇔ k = 1, 64(e) P(X < µ + kσ ) = 0, 05⇔ P (Z < k) = 0, 05Note que estamos calculando o percentil de ordem 5 da distribuição e k tem queser negativo, pois à esquerda dele tem 5% da área e à direita, 95%. Assim, k temque estar do lado negativo do eixo!
P (Z < k) = 0, 05 ⇔ P (Z > −k) = 0, 05⇔ tab(−k) = 0, 5− 0, 05 = 0, 45⇔ −k = 1, 64⇔ k = −1, 64
5. [2,0 pontos] Em um processo de seleção para um programa de pós-graduação, os can-didatos devem realizar um teste sobre conhecimentos gerais. A aprovação nesse testeé condição necessária para o candidato continuar no processo de seleção. Os escoresnesse tese têm distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Para passar noteste, o candidato deve ter escore maior que 730. No caso de não serem preenchidastodas as vagas disponíveis nessa primeira etapa, um candidato não aprovado poderárepetir o teste, desde que o seu escore não tenha sido inferior a a 650.
(a) [0,5 ponto] Se 200 candidatos se submeteram ao teste, quantos devem ser repro-vados, sem qualquer chance de ir para a segunda etapa?(b) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um candidato ser aprovado?(c) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um candidato não ser aprovado e poderrepetir o teste, caso haja vagas sobrando?(d) [0,5 ponto] João não foi aprovado, mas as vagas não foram totalmente preenchidas.Qual é a probabilidade de que ele possa repetir o teste?
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Correção análoga à da questão anterior
Solução
Seja X o escore no teste. Então, X ∼ N(500; 1002).
(a)
P(X ≤ 650) = P(Z ≤ 650− 500100
) = P(Z ≤ 1, 5) = 0, 5 + tab(1, 5) = 0, 9332
93,32% dos 200 candidatos deverão ser reprovados, ou seja, aproximadamente 187candidatos.(b)
P(X > 730) = P(Z > 730− 500100
) = P(Z > 2, 3) = 0, 5− tab(2, 3) = 0, 0107
(c)
P(650 < X < 730) = P(650− 500100 < Z < 730− 500100
) = P(1, 5 < Z < 2, 3)= tab(2, 3)− tab(1, 5) = 0, 0561
(d)
P(X > 650|X < 730) = P(650 < X < 730P(X < 730)
) = ( 0, 05611− 0, 0107
) = 0, 0567
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