MEstII AD1 Gabarito

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CURSO DE ADMINISTRAC¸A˜O - CEDERJ
ME´TODOS ESTATI´STICOS II
1a Avaliac¸a˜o a` Distaˆncia (AD1) - 2o semestre de 2012 - Profa. Ana Maria Farias
Cada item vale 0,5 ponto.
1. Na figura 1 e´ dado o gra´fico da func¸a˜o de densidade fX de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X.
k
1 3 6
Figura 1: Func¸a˜o de densidade para a questa˜o 1
(a) Determine o valor de k e a expressa˜o matema´tica de fX .
(b) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX de X.
Soluc¸a˜o
Para x ∈ [1, 3), F (x) e´ a a´rea do triaˆngulo sombreado na Figura 2(a). Esse triaˆngulo
tem base (x− 1) e altura f(x). Logo
F (x) =
1
2
× (x− 1)×
(
x− 1
8
)
=
(x− 1)2
16
1 ≤ x < 3
Para x ∈ [3, 6], F (X) e´ a a´rea sombreada na Figura 2(b); essa e´ a a´rea de um triaˆngulo
de base 2 e altura 1/4 mais a a´rea de um retaˆngulo de base x− 3 e altura 1/4.
Logo
F (x) =
1
2
× 2× 1
4
+ (x− 3)× 1
4
=
1
4
× (1 + x− 3) = (x− 2)
4
Resumindo:
F (x) =

0 x < 1
1
16(x− 1)2 1 ≤ x < 3
(x−2)
4 3 ≤ x < 6
1 x ≥ 6
1
(a)
1/4
1 3 6x
(b)
1/4
1 3 6x
Figura 2: Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada - questa˜o 1
(c) Determine os treˆs quartis da distribuic¸a˜o da varia´vel aleato´ria X.
Soluc¸a˜o
A a´rea do triaˆngulo inferior e´ 0,25; logo, Q1 = 3 e os outros dois quartis sa˜o ambos
maiores que 3. Uma vez que foi calculada a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada, vamos
usa´-la para calcular os quartis.
F (Q2) = 0, 5 =⇒ (Q2 − 2)
4
=
1
2
=⇒ Q2 = 4
F (Q3) = 0, 75 =⇒ (Q3 − 2)
4
=
3
4
=⇒ Q3 = 5
Soluc¸a˜o
k ≥ 0;a a´rea total tem que ser 1:
1 =
1
2
× (3− 1)× k + (6− 3)× k ⇐⇒ 1 = 4k ⇐⇒ k = 1
4
Para x ∈ [1, 3], f(x) = a+ bx e´ um segmento de reta que passa pelos pontos (1, 0) e(
3, 14
) {
0 = a+ b× 1
1
4 = a+ b× 3
=⇒ 1
4
= 2b =⇒ b = 1
8
=⇒ a = −1
8
Logo,
f(x) =

x−1
8 1 ≤ x < 3
1
4 3 ≤ x ≤ 6
(d) O tempo de secagem (em minutos) da tinta utilizada na pintura dos bancos de parques
de uma cidade e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (120, 190).
Os bancos do Parque Nacional acabam de ser pintados.
i. Qual e´ a probabilidade de que a tinta seque entre 150 e 180 minutos?
Soluc¸a˜o
Seja T o tempo de secagem; enta˜o, T ∼ Unif(120, 190).
P (150 < T < 180) =
180− 150
190− 120 =
3
7
2
ii. Ache um valor t tal que a probabilidade de a tinta levar, pelo menos, t minutos para
secar seja 0,88.
Soluc¸a˜o
P (T ≥ t) = 0, 88⇐⇒ 190− t
190− 120 = 0, 88⇐⇒ t = 128, 4
iii. Se a equipe do Servic¸o de Parques e Jardins remove os avisos de “tinta fresca” 3
horas depois da pintura dos bancos, qual e´ a probabilidade de um visitante ter sua
roupa manchada por tinta ainda molhada?
Soluc¸a˜o
P (T > 180) =
190− 180
190− 120 =
1
7
(e) Seja X ∼ N(25; 62). Calcule:
i. P (X ≥ 32, 2)
Soluc¸a˜o
P (X ≥ 32, 2) = P
(
Z >
32.2− 25
6
)
= P (Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2)
= 0.5− 0.3849 = 0, 1151
ii. P (X < 13)
Soluc¸a˜o
P (X < 11) = P
(
Z <
13− 25
6
)
= P (Z < −2) = P (Z > 2) = 0, 5− tab(2)
= 0.5− 0.4772 = 0, 0228
iii. P (15, 4 < X < 27, 4)
Soluc¸a˜o
P (15, 4 < X < 27, 7) = P
(
15.4− 25
6
< Z <
27.4− 25
6
)
= P (−1, 6 < Z < 0, 4)
= tab(0, 4) + tab(1, 6) = 0.1554 + 0.4452 = 0, 6006
iv. P (13 < X < 19)
Soluc¸a˜o
P (13 < X < 19) = P
(
13− 25
6
< Z <
19− 25
6
)
= P (−2 < Z < −1)
= P (1 < Z < 2) = tab(2)− tab(1) = 0.4772− 0.3413 = 0, 1359
v. P [(X > 10) ∪ (X < 29)]
Soluc¸a˜o
P [(X > 10) ∪ (X < 29)] = P (−∞ < X <∞) = 1
(f) Seja X ∼ N(µ;σ2).
i. Calcule P (|X − µ| > kσ) para k = 1, 2, 3.
3
Soluc¸a˜o
P (|X − µ| > 1σ) = P (X − µ < −σ) + P (X − µ > σ)
= P
(
X − µ
σ
< −1
)
+ P
(
X − µ
σ
> 1
)
= P (Z < −1) + P (Z > 1)
= 2× P (Z > 1) = 2× [0, 5− P (0 ≤ Z ≤ 1)]
= 2× [0, 5− tab(1, 0] = 2× (0, 5− 0.34134) = 0, 31732 ≈ 0, 32
P (|X − µ| > 2σ) = P (X − µ < −2σ) + P (X − µ > 2σ)
= P
(
X − µ
σ
< −2
)
+ P
(
X − µ
σ
> 2
)
= P (Z < −2) + P (Z > 2) = 2× P (Z > 2) = 2× [0, 5− P (0 ≤ Z ≤ 2)]
= 2× [0, 5− tab(2, 0] = 2× (0, 5− 0.47725) = 0, 0455 ≈ 0, 05
P (|X − µ| > 3σ) = P (X − µ < −3σ) + P (X − µ > 3σ)
= P
(
X − µ
σ
< −3
)
+ P
(
X − µ
σ
> 3
)
= P (Z < −3) + P (Z > 3) = 2× P (Z > 3) = 2× [0, 5− P (0 ≤ Z ≤ 3)]
= 2× [0, 5− tab(3, 0] = 2× (0, 5− 0.49865) = 0, 0027 ≈ 0, 003
ii. Calcule o valor de k tal que P (|X − µ| < kσ) = 0, 95
Soluc¸a˜o
P (|X − µ| < kσ) = 0, 95⇐⇒ P (−kσ < X − µ < −kσ) = 0, 95⇐⇒
P
(
−k < X − µ
σ
< k
)
= 0, 95⇐⇒ P (−k < Z < k) = 0, 95⇐⇒
2× P (0 < Z < k) = 0, 95⇐⇒ P (0 < Z < k) = 0, 475⇐⇒
tab (k) = 0, 475⇐⇒ Φ(k) = 0, 975⇐⇒ k = 1, 96
iii. Calcule o valor de k tal que P (X − µ > kσ) = 0, 05
Soluc¸a˜o
P (X − µ > kσ) = 0, 05⇐⇒ P (Z > k) = 0, 05
Note que k tem que ser positivo, pois a` direita dele tem 5% de a´rea e a` esquerda,
95%. Assim, k tem que estar do lado positivo do eixo!
P (Z > k) = 0, 05⇐⇒ 0, 5− P (0 ≤ Z ≤ k) = 0, 05⇐⇒
0, 5− tab(k) = 0, 05⇐⇒ tab(k) = 0, 45⇐⇒ k = 1, 64
iv. Calcule o valor de k tal que P (X − µ < kσ) = 0, 10
Soluc¸a˜o
P (X − µ < kσ) = 0, 10⇐⇒ P (Z < k) = 0, 10
4
Note que k tem que ser negativo, pois a` esquerda dele tem 10% de a´rea e a` direita,
90%. Assim, k tem que estar do lado negativo do eixo e seu sime´trico −k tem que
estar do lado positivo!
P (Z < k) = 0, 10⇐⇒ P (Z > −k) = 0, 10⇐⇒ 0, 5− P (0 ≤ Z ≤ −k) = 0, 10⇐⇒
0, 5− tab(−k) = 0, 10⇐⇒ tab(−k) = 0, 40⇐⇒ −k = 1, 28⇐⇒ k = −1, 28
v. Interprete os resultados obtidos.
Soluc¸a˜o
O importante a notar neste exerc´ıcio e´ que os resultados valem para qualquer dis-
tribuic¸a˜o normal. Por exemplo, do item (a), resulta que, para qualquer distribuic¸a˜o
normal,
o intervalo [µ− σ;µ+ σ] tem 68% de probabilidade
o intervalo [µ− 2σ;µ+ 2σ] tem 95% de probabilidade
o intervalo [µ− 3σ;µ+ 3σ] tem 99,7% de probabilidade
Assim, o desvio padra˜o funciona como uma medida de escala, ou seja, podemos falar
em termos de nu´mero de desvios-padra˜o. Por exemplo, do item (c), conclui-se que
acima de 1,64 desvios-padra˜o da me´dia temos sempre 5% de probabilidade.
(g) A qualidade de uma faca de cozinha e´, em geral, medida pela afiac¸a˜o e vida total da
laˆmina. Um teste de afiac¸a˜o envolve colocar-se a faca com a laˆmina na vertical e baixar-
se sobre ela um mac¸o de papel especialmente produzido para esse fim. A afiac¸a˜o e´
medida pela profundidade do corte. Um corte mais profundo indica uma faca mais
afiada. Suponha que a profundidade do corte para uma faca selecionada aleatoriamente
tenha uma distribuic¸a˜o normal, com me´dia 92 mm e desvio padra˜o 21 mm.
i. Qual e´ a probabilidade de que uma faca de cozinha selecionada aleatoriamente tenha
uma medida de afiac¸a˜o menor do que 55 mm?
Soluc¸a˜o
Seja M a medida de afiac¸a˜o (profundidade do corte). Enta˜o M ∼ N(92; 21)
P (M < 55) = P
(
Z <
55− 92
21
)
= P (Z < −1, 76) = P (Z > 1, 76)
= 0, 5− tab(1, 76) = 0.5− 0.4608 = 0, 0392
ii. Uma faca de cozinha com medida de afiac¸a˜o de, pelo menos, 99 mm e´ qualificada
para faca de churrasco. Qual proporc¸a˜o das facas de cozinha e´ de facas de churrasco?
Soluc¸a˜o
P (M > 99) = P
(
Z >
99− 92
21
)
= P (Z > 0, 33) = 0, 5− tab(0, 33)
= 0.5− 0.1293 = 0, 3707
iii. A Associac¸a˜o de Utens´ılios de Cozinha gostaria de fixar uma afiac¸a˜o ma´xima para
as facas de manteiga.Ache um valor c tal que 10% de todas as facas tenham afiac¸a˜o
abaixo de c.
Soluc¸a˜o
5
Note que c tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter c < 92.Em termos
da distribuic¸a˜o normal padra˜o, o escore z correspondente tem que ser negativo.
P (M < c) = 0, 10⇐⇒ P
(
Z <
c− 92
21
)
= 0, 10
⇐⇒ P
(
Z >
92− c
21
)
= 0, 10⇐⇒ tab
(
92− c
21
)
= 0, 40⇐⇒
92− c
21
= 1, 28⇐⇒ c = 92− 21× 1.28 = 65, 12
iv. Suponhaque uma faca de cozinha selecionada aleatoriamente tenha afiac¸a˜o superior
a 95 mm. Qual e´ a probabilidade de que tenha afiac¸a˜o superior a 105 mm?
Soluc¸a˜o
P (M > 105 |M > 95) = P [(M > 105) ∩ (M > 95)]
P (M > 95)
=
P (M > 105)
P (M > 95)
=
P
(
Z >
105− 92
21
)
P
(
Z >
95− 92
21
) = P (Z > 0, 62)
P (Z > 0, 14)
=
0, 5− tab(0, 62)
0, 5− tab(0, 14)
=
0.5− 0.2324
0.5− 0.0557 = 0, 6023
6