Notas de Aula Calculo II

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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Prof. Rodrigo dos Santos Veloso Martins
Departamento Acadeˆmico de Matema´tica
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
(Esta pa´gina e´ deixada em branco propositadamente.)
Suma´rio
1 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis 1
1.1 Func¸o˜es de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Func¸o˜es de Treˆs ou Mais Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Limites e Derivadas de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis 11
2.1 Limite de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Mais de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . 32
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Planos Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Aproximac¸o˜es Lineares e Diferenciabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicac¸o˜es 48
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Valores Ma´ximo e Mı´nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Integrais Mu´ltiplas 80
4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 Mudanc¸a de Coordenadas em Integrais Mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . 121
A Topologia de Rn 138
Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
1.1 Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Definic¸a˜o 1.1.1. Uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ uma regra que associa a cada par (x, y) ∈
D um u´nico valor real f(x, y), onde D e´ um conjunto de R2. Este valor f(x, y) e´ dito a
imagem do ponto (x, y) e o conjunto D e´ dito o domı´nio da func¸a˜o f .
Definic¸a˜o 1.1.2. Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis com domı´nio D. Definimos a imagem
de f como o conjunto de todos os valores reais que sa˜o de fato imagem de algum ponto
(x, y) ∈ D. Em outras palavras:
Im f = {z ∈ R : z = f(x, y) para algum (x, y) ∈ D}.
Escrevemos frequentemente
f : D −→ R
para indicar que f e´ uma func¸a˜o real com domı´nio D com imagem no conjunto dos nu´meros
reais.
.Obs: Quando definimos uma func¸a˜o f(x, y) de duas varia´veis atrave´s de uma equac¸a˜o, fica
1
2
entendido que o domı´nio de f e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais
a expressa˜o dada esta´ bem definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
Exemplo 1.1.3. Considere o mapa do Brasil e fixe como origem do sistema cartesiano a
cidade de Bras´ılia. A altitude z de um ponto (x, y) em relac¸a˜o ao n´ıvel do mar define uma
func¸a˜o de duas varia´veis z = f(x, y). O domı´nio D desta func¸a˜o na˜o consiste de todos os
pontos do plano, pois D esta´ restrito aos pontos (x, y) ∈ R2 que pertencem ao territo´rio
Brasileiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �
O exemplo acima ilustra o conceito de func¸a˜o de duas varia´veis, mas na˜o esperamos que
seja poss´ıvel encontrar uma expressa˜o envolvendo func¸o˜es elementares (func¸o˜es polinomiais,
exponenciais, trigonome´tricas, etc) que descreva todo o relevo brasileiro. Abaixo, no Exemplo
1.1.5, temos um exemplo de uma func¸a˜o definida atrave´s de uma expressa˜o.
Exemplo 1.1.4. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
1
xy
.
Podemos calcular o valor de f em algum ponto (x, y) qualquer de R2, como (x, y) = (−2, 3),
da seguinte forma:
f(x, y) =
1
(−2) · 3 = −
1
6
.
Devemos ter xy 6= 0 para que a expressa˜o acima esteja bem definida, logo
Dom f = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 e y 6= 0}.
A imagem de f e´ dada por Im f = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). De fato, para nenhum par (x, y)
temos f(x, y) = 0 e, para qualquer outro valor real z, podemos encontrar um par (x, y) tal
que f(x, y) = z. Por exemplo, o nu´mero z = 5 esta´ na imagem de f , pois z = 5 e´ a imagem
do ponto (x, y) = (1, 1/5):
f
(
1,
1
5
)
=
1
1 · 1
5
= 5.
O mesmo argumento mostra que qualquer nu´mero z1 6= 0 e´ imagem, por exemplo, do ponto
(x, y) = (1, 1/z1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �
3
Exemplo 1.1.5. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 − 2xy + 1. Enta˜o Dom f = R2. A
fim de determinar a imagem de f , observamos que
f(x, y) = x2 + y2 − 2xy + 1 = (x− y)2 + 1.
Segue que Im f = [1,+∞). De fato, para qualquer z1 ≥ 1, temos z1 = f(x, y) se e somente
se (x − y)2 = z1 − 1. O ponto (x, y) = (
√
z1 − 1, 0), e´ uma soluc¸a˜o para esta equac¸a˜o, ou
seja o ponto (x, y) = (
√
z1 − 1, 0) tem como imagem z1:
f(
√
z1 − 1, 0) = (
√
z1 − 1− 0)2 + 1 = z1 − 1 + 1 = z1.
Isto mostra que Im f = [1,+∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
E´ comum escrevermos z = f(x, y) para representar que os valores que uma func¸a˜o assume
atrave´s de uma nova varia´vel, que denotamos neste caso por z. Esta varia´vel e´ dita uma
varia´vel dependente: os valores que z assume esta˜o condicionados ao valores que escolhemos
para as varia´veis x e y. As varia´veis x e y esta˜o livres para assumir qualquer valor dentro do
domı´nio D da func¸a˜o. Por este motivo dizemos que x e y sa˜o varia´veis independentes. Se
escrevermos z = f(x, y) no Exemplo 1.1.5, enta˜o temos que z = 10 quando (x, y) = (−1, 2).
Exerc´ıcio 1.1.6. Determine e esboce o domı´nio das func¸o˜es abaixo.
(a) f1(x, y) =
√
x2 − y
(b) f2(x, y) =
1
4
√
x2 − y
(c) f3(x, y) =
1
3
√
x2 − y
(d) f4(x, y) = sen(xy)
(e) f5(x, y) = ln(xy)
4
Figura 1.1: Gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 1.1.7. Seja F uma func¸a˜o de duas varia´veis com domı´nio D. O gra´fico de F e´
definido como o conjunto de pontos (x, y, z) de R3 tais que (x, y) ∈ D e z = F (x, y).
Exemplo 1.1.8. Considere a func¸a˜o f(x, y) = 6−3x−2y. Note que Dom f = R2. O gra´fico
de f e´ definido por
z = f(x, y) ⇐⇒ z = 6− 3x− 2y ⇐⇒ 3x+ 2y + z = 6.
Segue que o gra´fico de f e´ um plano. Assim como dois pontos definem uma reta, treˆs pontos
(na˜o-colineares) definem um plano; escolhemos portanto treˆs pontos arbitra´rios do plano
acima para, a partir destes, trac¸ar o gra´fico da func¸a˜o f . Como
x = 0, y = 0 =⇒ z = 6,
x = 0, z = 0 =⇒ y = 3,
y = 0, z = 0 =⇒ x = 2,
o gra´fico de f pode ser esboc¸ado como na Figura 1.2. Temos ilustrado na Figura 1.2 que
f(1, 1) = 6− 3− 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
5
Figura 1.2: Gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = 6− 3x− 2y.
Exemplo 1.1.9. Considere a func¸a˜o f(x, y) =
√
9− x2 − y2. Note que o domı´nio de f e´
dado por
9− x2 − y2 ≥ 0 ⇐⇒ x2 + y2 ≤ 9.
Em outras palavras, o domı´nio de f e´ dado pelo c´ırculo do plano de raio 3 e centro na origem.
Ale´m disso, se z =
√
9− x2 − y2, enta˜o, elevando ambos os lados da equac¸a˜o ao quadrado,
obtemos
z2 = 9− x2 − y2 ⇐⇒ x2 + y2 + z2 = 9. (1.1)
Provamos acima que, se (x, y, z) e´ um ponto do gra´fico de f , enta˜o (x, y, z) e´ um ponto da
esfera descrita na Equac¸a˜o (1.1): aquela com centro na origem e raio 3.1 Entretanto,nem
todo ponto da esfera e´ ponto do gra´fico de f , pois se z =
√
9− x2 − y2 enta˜o z ≥ 0. Segue
que o gra´fico de f consiste do hemisfe´rio superior da esfera descrita na Equac¸a˜o (1.1). . .�
A seguir trataremos de curvas de n´ıvel. Este conceito nos ajuda a compreender o gra´fico
de func¸o˜es de duas varia´veis, ale´m de apresentar grande aplicabilidade em problemas pra´ticos.
1Para mais informac¸o˜es sobre a equac¸a˜o de superf´ıcies conhecidas como uma esfera, ver o Cap´ıtulo 9 do
livro Paulo Winterle, Geometria Anal´ıtica.
6
Figura 1.3: Gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Definic¸a˜o 1.1.10. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. Uma curva de n´ıvel de f e´
uma curva no plano x, y definida por uma equac¸a˜o da forma f(x, y) = k, para k um nu´mero
real qualquer.
Como o gra´fico de f(x, y) e´ definido pela equac¸a˜o z = f(x, y), uma curva de n´ıvel
f(x, y) = k corresponde a` restric¸a˜o z = k ao gra´fico de f , isto e´, corresponde a` intersec¸a˜o do
gra´fico de f com o plano z = k. Em outras palavras, a curva de n´ıvel f(x, y) = k representa
o conjunto de pontos do gra´fico que esta˜o a` mesma altura k.
Exemplo 1.1.11. Considere a func¸a˜o do Exemplo 1.1.9. Para cada nu´mero real k, temos
f(x, y) = k ⇐⇒
√
9− x2 − y2 = k. (1.2)
Vejamos abaixo algumas curvas de n´ıvel de f :
(i) k = 0:
√
9− x2 − y2 = 0 ⇐⇒ 9− x2 − y2 = 0 ⇐⇒ x2 + y2 = 9;
(ii) k = 1:
√
9− x2 − y2 = 1 ⇐⇒ 9− x2 − y2 = 1 ⇐⇒ x2 + y2 = 8;
7
(iii) k = 2:
√
9− x2 − y2 = 2 ⇐⇒ 9− x2 − y2 = 4 ⇐⇒ x2 + y2 = 5;
(iv) k = 3:
√
9− x2 − y2 = 3 ⇐⇒ 9− x2 − y2 = 9 ⇐⇒ x2 + y2 = 0;
(v) k = 4:
√
9− x2 − y2 = 4 ⇐⇒ 9− x2 − y2 = 16 ⇐⇒ x2 + y2 = −7;
(vi) k = −1: √9− x2 − y2 = −1.
Nas curvas de n´ıvel (i), (ii) e (iii) temos a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia; note que o raio
decresce a` medida que k cresce. A curva de n´ıvel (iv) apresenta uma equac¸a˜o cuja u´nica
soluc¸a˜o e´ o ponto (0, 0). Para valores de k maiores que 3 temos uma situac¸a˜o ilustrada na
curva de n´ıvel (v): na˜o ha´ soluc¸a˜o (x, y) para a respectiva equac¸a˜o. O mesmo ocorre para
valores negativos de k, como indicado no item (vi); como o lado esquerdo desta equac¸a˜o e´
sempre na˜o-negativo, na˜o ha´ soluc¸a˜o para esta equac¸a˜o.
A Figura 1.4 ilustra a intersec¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o com o plano z = 1, isto e´, a curva
de n´ıvel f(x, y) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Figura 1.4: Curva de n´ıvel f(x, y) = 1.
Curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o de duas varia´veis sa˜o frequentemente representadas no
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plano: consideramos a projec¸a˜o no plano xy da curva obtida pela intersec¸a˜o entre o gra´fico
z = f(x, y) de uma func¸a˜o e o plano z = k. Algumas dessas curvas sa˜o acompanhadas de
seu respectivo valor de z. Dessa maneira e´ poss´ıvel, atrave´s de uma figura bidimensional,
compreender as principais caracter´ısticas do gra´fico de uma func¸a˜o.
Ilustramos a representac¸a˜o do gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis atrave´s de curvas
de n´ıvel com as Figuras 1.5 e 1.6. Na Figura 1.5 temos algumas curvas de n´ıvel da func¸a˜o do
Exemplo 1.1.11 sobrepostas ao seu gra´fico. Na Figura 1.6, temos representadas a projec¸a˜o
destas curvas no plano xy. Note que a superf´ıcie z = f(x, y) e´ mais inclinada onde as curvas
de n´ıvel da Figura 1.6 esta˜o mais pro´ximas umas das outras: no caso da func¸a˜o do Exemplo
1.1.11, isto ocorre com as curvas de n´ıvel mais pro´ximas ao plano xy.
Figura 1.5: Curvas de n´ıvel de
f(x, y) =
√
9− x2 − y2 no espac¸o.
Figura 1.6: Projec¸o˜es das curvas de n´ıvel
de f(x, y) =
√
9− x2 − y2 no plano xy.
Exerc´ıcio 1.1.12. Represente no plano algumas curvas de n´ıvel do gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
x2 − y2, encontrado na Figura 2.5.
Exerc´ıcio 1.1.13. Represente no plano algumas curvas de n´ıvel do gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
senx+ cos y, encontrado na Figura 2.6.
9
Figura 1.7: Gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = x2 − y2.
Figura 1.8: Gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = senx+ cos y.
1.2 Func¸o˜es de Treˆs ou Mais Varia´veis
Definic¸a˜o 1.2.1. Uma func¸a˜o de n varia´veis e´ uma regra que associa a cada ponto (x1, x2, . . . , xn) ∈
D um u´nico valor real f(x1, x2, . . . , xn), ondeD e´ um conjunto de Rn. Este valor f(x1, x2, . . . , xn)
e´ dito a imagem do ponto (x1, x2, . . . , xn) e o conjunto D e´ dito o domı´nio da func¸a˜o f .
Definic¸a˜o 1.2.2. Seja f uma func¸a˜o de n varia´veis com domı´nio D. Definimos a imagem
de f como o conjunto de todos os valores reais que sa˜o de fato imagem de algum ponto
(x1, x2, . . . , xn) ∈ D. Em outras palavras:
Im f = {z ∈ R : z = f(x1, x2, . . . , xn) para algum (x1, x2, . . . , xn) ∈ D}.
E´ comum tambe´m neste caso escrevermos y = f(x1, . . . , xn) e para indicar que y e´ uma
varia´vel dependente de x1, . . . , xn; estas sa˜o ditas varia´veis independentes. No caso de uma
func¸a˜o f de treˆs varia´veis escrevemos frequentemente os pontos de seu domı´nio como (x, y, z).
Assim como na Sec¸a˜o 1.1, quando definimos uma func¸a˜o f(x1, x2, . . . , xn) de n varia´veis
atrave´s de uma equac¸a˜o, fica entendido que o domı´nio de f e´ o conjunto de todos os pontos
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn para os quais a expressa˜o dada esta´ bem definida.
Exerc´ıcio 1.2.3. Determine o domı´nio das func¸o˜es abaixo. Para as func¸o˜es dos itens (a) e
10
(b), esboce o domı´nio como um conjunto de R3.
(a) f(x, y, z) =
ln z√
x+ y − z
(b) g(x, y, z) = (x2 + y2 − z)−3/2
(c) h(x1, x2, x3, x4) = (x
2
1 − 3x4) tg(x2 + x3)
(d) ϕ(x1, . . . , x5) =
exp
(
x2/(x3 − 2)
)
3
√
x25 − x1
Definic¸a˜o 1.2.4. Seja f(x, y, z) uma func¸a˜o de treˆs varia´veis. Uma superf´ıcie de n´ıvel de
f e´ uma superf´ıcie em R3 definida por uma equac¸a˜o da forma f(x, y, z) = k, para k um
nu´mero real qualquer.
Uma superf´ıcie de n´ıvel de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis f(x, y, z) representa um conjunto
de pontos onde o valor da func¸a˜o permanece inalterado.
Exerc´ıcio 1.2.5. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, esboce o gra´fico das superf´ıcies de n´ıvel
f(x, y, z) = k para k = −2,−1, 0, 1, 2. A Sec¸a˜o 1.3 “Novas func¸o˜es a partir de antigas”do
livro Ca´lculo Vol. 1, James Stewart, pode ser de ajuda.
(a) f(x, y, z) = x+ y + z
(b) g(x, y, z) = x2 + y2 + z2
(c) h(x, y, z) = x2 − y2 + z2
Cap´ıtulo 2
Limites e Derivadas de Func¸o˜es de
Va´rias Varia´veis
Neste cap´ıtulo teremos como objetivo estender o conceito de derivada, que vimos no ca´lculo
de func¸o˜es de uma varia´vel, para func¸o˜es de va´rias varia´veis. Expressaremos matemati-
camente o conceito de taxas de variac¸a˜o neste contexto mais amplo atrave´s do conceito
de derivadas parciais, extensa˜o natural da derivada de func¸o˜es de uma varia´vel. A seguir
definiremos o que e´ a derivada total de uma func¸a˜o; ale´m de fornecer a aproximac¸a˜o do
comportamento de uma func¸a˜o em torno de um ponto, a derivada total representa um con-
ceito fundamental em estudos mais profundos de func¸o˜es de va´rias varia´veis. Munidos destas
ferramentas poderemos observar como o estudo de func¸o˜es de va´rias varia´veis, em particular
o conceito de derivada, nos ajuda na abordagem de problemas presentes na indu´stria ou
no nosso dia-a-dia. Estudaremos primeiramente, entretanto, o conceito limite de func¸o˜es de
va´rias varia´veis.
11
12
2.1 Limite de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Relembramos primeiramente o que significa a afirmac¸a˜o limx→x0 f(x) = L no caso de uma
func¸a˜o de uma varia´vel f(x). Em palavras, dizemos que
“o limite de f(x) quando x tende a x0 e´ L se f(x) assume valores arbitrariamente
pro´ximos de L desde que x esteja suficientemente pro´ximos de x0.”
Conve´m escrever este conceito em termos matema´ticosprecisos, pois nem sempre e´
poss´ıvel seguir nossa intuic¸a˜o: o gra´fico de uma func¸a˜o de 4 varia´veis, por exemplo, e´ um
conjunto de pontos de R5. Dizemos que limx→x0 f(x) = L se, dada uma margem de erro � > 0
em torno do valor L, basta escolhermos pontos suficientemente pro´ximos de x0 que teremos
f(x) dentro desta margem de erro. Ou seja, dada qualquer margem de erro � > 0, existe um
intervalo (x0 − δ, x0 + δ) tal que se x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), x 6= x0, enta˜o f(x) ∈ (L− �, L+ �).
Cabe ressaltar que exclu´ımos o valor de f(x) em x = x0 da ana´lise acima, pois a func¸a˜o
f por vezes sequer esta´ definida no ponto x0. Desejamos estudar o comportamento de f(x)
nas proximidades do ponto x0, na˜o exatamente no ponto x0. Na Figura 2.1 temos ilustrada
uma func¸a˜o que tal que limx→1 f(x) na˜o existe. Dada uma margem de erro � > 0 pequena,
na˜o e´ poss´ıvel escolher um intervalo (1 − δ, 1 + δ) tal que f(x) ∈ (L − �, L + �) para todo
x ∈ (1− δ, 1 + δ), x 6= 1.
O mesmo racioc´ınio se aplica a uma func¸a˜o f(x, y) de duas varia´veis. Considere um ponto
P = (a, b) que seja ponto de acumulac¸a˜o de seu domı´nio; veja a Definic¸a˜o A.10 e a discussa˜o
que segue. Dizemos que
“o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) e´ L se f(x, y) assume valores
arbitrariamente pro´ximos de L desde que (x, y) esteja suficientemente pro´ximos de (a, b).”
13
Figura 2.1: Func¸a˜o y = f(x) cujo limite quando x→ 1 na˜o existe.
Assim como e´ discutido no Apeˆndice A, para definir o limite de func¸o˜es de duas varia´veis
basta interpretar corretamente a noc¸a˜o de pontos pro´ximos um do outro, isto e´, pontos a
uma distaˆncia pequena um do outro. Ao inve´s de buscarmos um intervalo (x0 − δ, x0 + δ)
no domı´nio (conjunto da reta), buscamos um disco de centro P e raio δ onde tenhamos
f(x, y) ∈ (L− �, L+ �); tal disco e´ denotado por B(P, δ).
Definic¸a˜o 2.1.1. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e seja P = (a, b) um ponto de
acumulac¸a˜o de seu domı´nio D. Dizemos que o limite de f(x, y) e´ L quando (x, y) se aproxima
de (a, b) se, para todo � > 0, existe um disco B(P, δ) com δ > 0 tal que, se (x, y) ∈ B(P, δ)∩D
e (x, y) 6= (a, b), enta˜o f(x, y) ∈ (L− �, L+ �). Escrevemos nesse caso
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L.
Caso contra´rio, dizemos que o limite acima na˜o existe.
Se o limite de uma func¸a˜o de uma varia´vel g(x) quando x se aproxima de x0 e´ L enta˜o
g(x) deve se aproximar do valor L quando x se aproxima de x0, independente do caminho
escolhido. Como o domı´nio de uma func¸a˜o de uma varia´vel e´ um subconjunto da reta,
isto so´ pode ocorrer de duas formas: pela esquerda ou pela direita do ponto x0. Estes
limites laterais devem ser iguais para o limite limx→x0 g(x) exista. Analogamente, para que
14
Figura 2.2: Func¸a˜o z = f(x, y) cujo limite quando (x, y)→ (a, b) e´ L.
Figura 2.3: Func¸a˜o z = f(x, y) cujo limite quando (x, y)→ (a, b) e´ L.
o limite da Definic¸a˜o 2.1.1 exista, e´ necessa´rio que f(x, y) se aproxime de L quando (x, y)
se aproxima de (a, b), independente do caminho escolhido: se f(x, y) se aproxima de valores
distintos L1 6= L2 quando (x, y) se aproxima de (a, b) por caminhos distintos C1, C2, enta˜o
15
o limite lim(x,y)→(a,b) f(x, y) na˜o existe. Veja a Figura 2.4.
Figura 2.4: Func¸a˜o z = f(x, y) cujos limites por caminhos C1 e C2 sa˜o distintos.
.Obs: Um caminho passando por um ponto (a, b), como citado acima, e´ um conjunto de
pontos do plano que possui (a, b) como ponto de acumulac¸a˜o. Se o limite de f(x, y) quando
(x, y) se aproxima de (a, b) por um caminho C e´ L, escrevemos
lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C
f(x, y) = L.
Se escolhemos a reta y = x como um caminho para analisar o limite de uma func¸a˜o f(x, y)
quando (x, y) se aproxima de zero, podemos escrever tambe´m
lim
(x,y)→(a,b)
y=x
f(x, y) = L.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
Teorema 2.1.2. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis, (a, b) um ponto de acumulac¸a˜o
de seu domı´nio e C1, C2 caminhos do plano contendo o ponto (a, b). Se
lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C1
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(a,b)
(x,y)∈C2
f(x, y) = L2
onde L1 6= L2, enta˜o o limite lim(x,y)→(a,b) f(x, y) na˜o existe.
16
Exemplo 2.1.3. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
xy
x2 + y2
.
O domı´nio de f consiste de todos os pontos do plano exceto a origem. Veremos agora que o
limite de f quando (x, y) se aproxima deste ponto na˜o existe. Considere os caminhos C1 e
C2 dados por C1 = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} e C2 = {(x, y) ∈ R2 : y = x}. Enta˜o
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈C1
f(x, y) = lim
y→0
0 · y
02 + y2
= 0.
Por outro lado,
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈C2
f(x, y) = lim
x→0
x · x
x2 + x2
= lim
x→0
x2
2x2
=
1
2
.
Como os limites de f quando (x, y) → (0, 0) por C1 e C2 sa˜o distintos, segue do Teorema
2.1.2 que o limite lim(x,y)→(0,0) f(x, y) na˜o existe.
Veja a Figura ??. O caminho C1 fornece os pontos em tom esverdeado na figura, enquanto
os pontos no caminho C2 fornecem os pontos em tom vermelho-escuro. Apesar do argumento
acima ser suficiente para provar que o limite em questa˜o na˜o existe, voceˆ pode calcular o
identificar os caminhos C3 = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} e C4 = {(x, y) ∈ R2 : y = −x} na figura e
calcular o limite de f(x, y) quando (x, y)→ (0, 0) por estes caminhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
.Obs: O Teorema 2.1.2 nos permite provar apenas que um limite na˜o existe. Caso encon-
tremos dois (ou mais) caminhos que resultem no mesmo limite, nada podemos afirmar sobre
o limite global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
Exerc´ıcio 2.1.4. Mostre que os limite abaixo na˜o existem.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y2
x4 + y2
17
Figura 2.5: Gra´fico da func¸a˜o
z = xy/(x2 + y2).
Figura 2.6: Perspectiva de cima do gra´fico
da func¸a˜o z = xy/(x2 + y2).
(c) lim
(x,y)→(0,0)
− x√
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
|xy|
O limite de func¸o˜es de duas varia´veis satisfaz propriedades semelhantes a`quelas vistas no
estudo de func¸o˜es de uma varia´vel. Estas propriedades nos da˜o suporte para o ca´lculo de
limites de func¸o˜es simples.
Teorema 2.1.5. Sejam f(x, y) e g(x, y) func¸o˜es de duas varia´veis cujos domı´nios possuem
(a, b) como ponto de acumulac¸a˜o. Suponha que
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y) = L2.
Enta˜o:
(i) lim
(x,y)→(a,b)
(
f(x, y) + g(x, y)
)
= L1 + L2;
(ii) lim
(x,y)→(a,b)
(
f(x, y)− g(x, y)) = L1 − L2;
(iii) lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) · g(x, y) = L1 · L2;
18
(iv) se k e´ um nu´mero real, lim
(x,y)→(a,b)
k · f(x, y) = k · L1;
(v) se L2 6= 0, lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
g(x, y)
=
L1
L2
;
Exemplo 2.1.6. Considere o limite da func¸a˜o
f(x, y) =
x− xy + 3
x2y + 5xy − y3
quando (x, y)→ (0, 1). Segue dos itens (i) e (iii) do Teorema 2.1.5 que
lim
(x,y)→(0,1)
(x− xy + 3) = 0− 0 · 1 + 3 = 3
e
lim
(x,y)→(0,1)
(x2y + 5xy − y3) = 02 · 1 + 5 · 0 · y − 13 = −1.
Portanto,
lim
(x,y)→(0,1)
f(x, y) =
3
−1 = −3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Exemplo 2.1.7. Considere o limite da func¸a˜o
f(x, y) =
x3 − xy2
x− y
quando (x, y)→ (0, 0). Note que
lim
(x,y)→(0,0)
(x3 − xy2) = 0
e
lim
(x,y)→(0,0)
(x− y) = 0.
Ale´m disso, a func¸a˜o f na˜o esta´ definida para y = x. Devemos enta˜o considerar o limite de
f(x, y) quando (x, y)→ (0, 0) para x 6= y:
lim
(x,y)→(0,0)x 6=y
x3 − xy2
x− y = lim(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x2 − y2)
x− y = lim(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x− y)(x+ y)
x− y
= lim
(x,y)→(0,0)
x 6=y
x(x+ y) = 0.
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Assim como no estudo de func¸o˜es de uma varia´vel, a definic¸a˜o de continuidade de uma
func¸a˜o de duas varia´veis e´ compreendida de imediato a partir do conceito de limite.
Definic¸a˜o 2.1.8. Uma func¸a˜o f(x, y) de duas varia´veis e´ dita cont´ınua em um ponto (a, b)
de seu domı´nio se o limite lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) existe e
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b).
Caso contra´rio dizemos que f e´ descont´ınua em (a, b). Se f e´ cont´ınua em todo ponto de seu
domı´nio dizemos simplesmente que f e´ cont´ınua.
.Obs: Note que o conceito de limite de uma func¸a˜o f(x, y) se estende a pontos (a, b) que na˜o
pertencem ao domı´nio de f , enquanto a continuidade de uma func¸a˜o esta´ definida apenas
para pontos de seu domı´nio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
Usando as propriedades de limite enunciadas no Teorema 2.1.5 podemos ver que a soma,
diferenc¸a, produto e quociente de func¸o˜es cont´ınuas resultam tambe´m em func¸o˜es cont´ınuas;
no u´ltimo caso, como anteriormente, exigimos que a func¸a˜o no denominador na˜o se anule no
ponto em questa˜o. Outros exemplos de func¸o˜es cont´ınuas sa˜o obtidos atrave´s da composic¸a˜o
de func¸o˜es, como enunciado abaixo.
Teorema 2.1.9. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis cont´ınua, (a, b) um ponto do
domı´nio de f e H(z) uma func¸a˜o de uma varia´vel. Se f(x, y) e´ cont´ınua em (a, b) e H(z)
e´ cont´ınua em f(a, b), enta˜o a func¸a˜o composta (H ◦ f)(x, y) = H(f(x, y)) e´ cont´ınua em
(a, b).
Exemplo 2.1.10. As func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas em seus respectivos domı´nios:
(i) func¸o˜es polinomiais em duas varia´veis, como f(x, y) = x4y2 − 2xy3 + 3x2;
(ii) func¸o˜es racionais (quociente de polinoˆmios), como g(x, y) =
5x2y − 3x4y2
xy + 1
;
20
(iii) h(x, y) = ex−x
2y2+1;
(iv) ϕ(x, y) = sen
(
x2 − xy
x+ y − xy
)
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Note que afirmas que as func¸o˜es do Exemplo 2.1.10 sa˜o cont´ınuas em seus respectivos
domı´nios, o que na˜o significa que estas func¸o˜es possuam todo o plano como domı´nio. Por
exemplo a func¸a˜o do item (ii) na˜o esta´ definida no ponto (x, y) = (1,−1), ja´ que este ponto
anula o seu denominador; logo, a func¸a˜o g na˜o e´ cont´ınua em (1,−1), mas e´ cont´ınua em
todo ponto (x, y) em que ela esta´ bem definida.
Os conceitos de limite e continuidade vistos acima podem ser estendidos diretamente
para func¸o˜es de mais de duas varia´veis. Por vezes representaremos um ponto de Rn como
uma n-upla (x1, . . . , xn), mas tambe´m usaremos a notac¸a˜o x para um ponto deste espac¸o;
tome cuidado com a notac¸a˜o para na˜o confundir um nu´mero real com um ponto de Rn, pois
estes diferem na notac¸a˜o muitas vezes no uso de fonte em negrito.
Definic¸a˜o 2.1.11. Seja f(x1, . . . , xn) uma func¸a˜o real de n varia´veis com domı´nio D ⊆ Rn e
seja a um ponto de Rn que e´ ponto de acumulac¸a˜o de D. Dizemos que o limite de f quando
x → a e´ L se, para todo � > 0, existe δ > 0 tal que, se x ∈ B(a, δ), x ∈ D e x 6= a, enta˜o
f(x) ∈ (L− �, L+ �).
Definic¸a˜o 2.1.12. Seam f(x1, . . . , xn) uma func¸a˜o de n varia´veis e a ∈ Rn um ponto de seu
domı´nio. Dizemos que f e´ cont´ınua em a se o limite lim
x→a
f(x) existe e
lim
x→a
f(x) = f(a).
21
Figura 2.7: Func¸a˜o w = f(x, y, z) cujo limite quando (x, y, z)→ (a, b, c) e´ L.
2.2 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Duas Varia´veis
Considere a Figura 2.8, onde encontramos uma tabela indicando a sensac¸a˜o te´rmica de acordo
com as condic¸o˜es do vento e a temperatura registrada. A sensac¸a˜o te´rmica, que denotaremos
por S, depende de ambos valores T da temperatura e da velocidade V do vento registrada.
Em outras palavras, S e´ uma grandeza que representa uma func¸a˜o de T e V : S = f(T, V ).
Temos destacada a coluna referente a ventos de 65 km/h (V = 65). Uma vez que fixamos
o valor V = 65 para a velocidade do vento, a sensac¸a˜o te´rmica passa a depender apenas da
temperatura registrada. Em outras palavras, fixando V = 65 temos que S = f(T, 65) e´ uma
func¸a˜o de apenas uma varia´vel, que denotamos por g(T ):
g(T ) = f(T, 65).
Podemos ver atrave´s da coluna destacada como a sensac¸a˜o te´rmica aumenta conforme a
temperatura aumenta; esta taxa de variac¸a˜o e´ representada pela derivada da func¸a˜o g. Por
exemplo, a taxa de variac¸a˜o da sensac¸a˜o te´rmica S em relac¸a˜o a` temperatura quando T = 12
22
e´ representada pela derivada da func¸a˜o g em T = 12:
g′(12) = lim
T→12
g(T )− g(12)
T − 12 = limh→0
g(12 + h)− g(12)
h
.
Como g(T ) = f(T, 65), podemos escrever a derivada de g em T = 12 como
g′(12) = lim
T→12
f(T, 65)− f(12, 65)
T − 12 = limh→0
f(12 + h, 65)− f(12, 65)
h
.
Podemos aproximar o valor de g′(12) atrave´s de alguns valores da tabela:
g′(12) ≈ g(13)− g(12)
13− 12 =
1− 0
1
= 1,
g′(12) ≈ g(11)− g(12)
11− 12 =
−2− 0
−1 = 2.
Tirando a me´dia dos valores acima, temos a aproximac¸a˜o de que, quando a temperatura e´
12oC e o vento tem velocidade de 65 km/h, a sensac¸a˜o te´rmica S aumenta 1, 5oC para cada
aumento de 1oC da temperatura real.
Podemos tambe´m observar a variac¸a˜o da sensac¸a˜o te´rmica mantendo fixo um valor para
a temperatura. A linha destacada na Figura 2.8 corresponde aos valores de S para T = 12.
Analogamente, se mantivermos a temperatura fixa em 12o C, a sensac¸a˜o te´rmica passa a ser
uma func¸a˜o de apenas uma varia´vel: S depende apenas da velocidade V do vento. Denotamos
esta func¸a˜o por G(V ):
G(V ) = f(12, V ).
A variac¸a˜o da sensac¸a˜o te´rmica em func¸a˜o da velocidade do vento nesta situac¸a˜o e´ represen-
tada pela derivada da func¸a˜o G(V ). Por exemplo, para V = 65,
G′(65) = lim
h→0
G(65 + h)−G(65)
h
= lim
h→0
f(12, 65 + h)− f(12, 65)
h
.
Analogamente, obtemos uma aproximac¸a˜o para G′(65) usando os valores V = 61 e V = 68:
G′(65) ≈ G(68)−G(65)
68− 65 =
−1− 0
3
= −1
3
,
23
Figura 2.8: Sensac¸a˜o te´rmica de acordo com a condic¸a˜o do vento e
temperatura registrada. Fonte: Inmetro.
G′(65) ≈ G(61)−G(65)
61− 65 =
−0− 0
−4 = 0.
Fazendo a me´dia aritme´tica destas aproximac¸o˜es podemos prever que, quando a temperatura
e´ de 12o C e o vento tem velocidade 65 km/h, a sensac¸a˜o te´rmica diminui aproximadamente
0, 16o C para cada aumento de uma unidade na velocidade do vento.
De um modo geral, se z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis, podemos avaliar a
taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a x ou a y, mantendo a outra varia´vel fixa, assim como
24
fizemos acima. Isto e´, consideramos a func¸a˜o g(x) = f(x, b) e calculamos a derivada de g(x)
em um ponto x = a. A derivada de g(x) no ponto x = a e´ chamada de derivada parcial de
f em relac¸a˜o a x no ponto (a, b).
Definic¸a˜o 2.2.1. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (a, b) um ponto interior ao
seu domı´nio. Considere a func¸a˜o de uma varia´vel dada por g(x) = f(x, b). A derivada parcial
fx(a, b) de f em relac¸a˜o a x no ponto (a, b) e´ definida como
fx(a, b) = g
′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
= lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
,
caso o limite exista. Analogamente, se G(y) = f(a, y), a derivada parcial fy(a, b) de f em
relac¸a˜o a y no ponto (a, b) e´ definida como
fy(a, b) = G
′(b) = lim
h→0
G(b+h)−G(b)
h
= lim
h→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
h
,
caso o limite exista.
A Figura 2.9 ilustra o significado da Definic¸a˜o 2.2.1: a derivada parcial fx(a, b) e´ definida
como o limite da variac¸a˜o me´dia
[
f(a + h, b) − f(a, b)]/h em intervalos da forma [a, a + h]
(ou [a− h, a]) na direc¸a˜o do eixo x.
Existem muitas notac¸o˜es diferentes para derivadas parciais. Abaixo vemos algumas ma-
neira de representar a derivada parcial de uma func¸a˜o f(x, y) em relac¸a˜o a x:
fx(a, b) =
∂f
∂x
(a, b) =
∂f
∂x
∣∣∣∣
(a,b)
=
∂z
∂x
(a, b) =
∂z
∂x
∣∣∣∣
(a,b)
= Dxf(a, b).
Naturalmente, usamos uma notac¸a˜o semelhante para representar a derivada parcial de f em
relac¸a˜o a y:
fy(a, b) =
∂f
∂y
(a, b) =
∂f
∂y
∣∣∣∣
(a,b)
=
∂z
∂y
(a, b) =
∂z
∂y
∣∣∣∣
(a,b)
= Dyf(a, b).
Definic¸a˜o 2.2.2. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. A derivada parcial de f em
relac¸a˜o a x e´ definida como a func¸a˜o que associa a cada (x, y) ∈ Dom f a derivada parcial
25
Figura 2.9: Variac¸a˜o de uma func¸a˜o f na direc¸a˜o do eixo x.
fx(x, y):
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
,
caso o limite exista. Analogamente, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y e´ definida como
a func¸a˜o que associa a cada (x, y) ∈ Dom f a derivada parcial fy(x, y):
fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
,
caso o limite exista.
Para calcular a derivada parcial de uma func¸a˜o f(x, y) em relac¸a˜o a x, como as Definic¸o˜es
2.2.1 e 2.2.2 sugerem, consideramos a varia´vel y como uma constante e derivamos a expressa˜o
como uma func¸a˜o de uma varia´vel. O mesmo e´ feito para o ca´lculo de fy(x, y).
Exemplo 2.2.3. As derivadas parciais da func¸a˜o
f(x, y) = −x4 + 2x2y3 − y + 5
em relac¸a˜o a x e y sa˜o dadas por:
fx(x, y) = −4x3 + 2 · 2x · y3 + 0 = −4x3 + 4xy3,
26
fy(x, y) = 0 + 2x
2 · 3y2 − 1 + 0 = 6x2y2 − 1.
Segue que as derivadas parciais de f no ponto (2,−1) sa˜o dadas por:
fx(2,−1) = −4 · 23 + 4 · 2(−1)3 = −32− 8 = −40,
fy(2,−1) = 6 · 22(−1)2 − 1 = 24− 1 = 23.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Exemplo 2.2.4. As derivadas parciais da func¸a˜o
g(x, y) = sen(x2 + 2y3)
sa˜o calculadas usando a regra da cadeia para func¸o˜es de uma varia´vel. Para calcular a
derivada parcial gx, consideramos y como uma constante e escrevemos sen(x
2 + 2y3) =
F (G(x)), onde F (x) = sen x e G(x) = x2 + 2y3. Logo,
gx(x, y) =
dF
dx
(
G(x)
) · dG
dx
= cos(x2 + 2y3) · 2x = 2x cos(x2 + y2).
Analogamente,
gy(x, y) = cos(x
2 + 2y3) · 6y2 = 6y2 cos(x2 + 2y3).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Exerc´ıcio 2.2.5. Calcule as derivadas parciais das func¸o˜es abaixo em relac¸a˜o a x e a y.
(a) f(x, y) = ln(x2 − y3)
(b) g(x, y) =
x2
y
tg(x)
(c) h(x, y) = (x2 − y)ex3y6−2x
(d) F (x, y) = cos
(
x2 + ln(2x4y − y3))
(e) G(x, y) =
tg(x2 − y2) + xy
x2
27
(f) H(x, y) = exp
(
sec(xy)
)
Vimos no comec¸o desta sec¸a˜o que a derivada parcial fx(a, b) de uma func¸a˜o z = f(x, y)
representa a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a x no ponto x = a, se mantivermos y = b fixo.
Vejamos agora o que esta derivada parcial representa geometricamente. A equac¸a˜o y = b
representa uma reta no plano, mas y = b define um plano no espac¸o. Veja a Figura 2.10.
Figura 2.10: A equac¸a˜o y = b define uma reta no plano e um plano
no espac¸o.
Logo, quando fixamos y = b no estudo do comportamento da func¸a˜o f(x, y) estamos
restringindo nossa atenc¸a˜o a` intersec¸a˜o do gra´fico z = f(x, y) com este plano; o resultado
desta intersec¸a˜o e´ uma curva que denotamos por C1 (Figura 2.11). A curva C1 coincide com
o gra´fico da func¸a˜o g(x) = f(x, b). Vemos assim que a derivada parcial fx(a, b) representa o
coeficiente angular da reta tangente a C1 no ponto (a, b).
A derivada parcial fy(a, b) tem um significado semelhante: ela representa o coeficiente
angular da reta tangente a` curva C2 no ponto (a, b), onde C2 e´ a curva obtida pela intersec¸a˜o
do gra´fico de f com o plano x = a. Veja as Figuras 2.13 e 2.14.
Exemplo 2.2.6. Considere a func¸a˜o
f(x, y) = 9− x2 − 3y
2
2
.
28
Figura 2.11: Curva C1 dada pela intersec¸a˜o do plano y = b com o
gra´fico z = f(x, y).
Figura 2.12: Significado geome´trico de fx(a, b).
As derivadas parciais de f em (1,−1) sa˜o dadas por
∂f
∂x
∣∣∣∣
(1,−1)
= −2x
∣∣∣∣
(1,−1)
= −2,
∂f
∂y
∣∣∣∣
(1,−1)
= −6y
2
∣∣∣∣
(1,−1)
= 3.
29
Figura 2.13: Curva C2 dada pela intersec¸a˜o do plano x = a com o
gra´fico z = f(x, y).
Figura 2.14: Significado geome´trico de fy(a, b).
As curvas C1 e C2 correspondentes, obtidas atrave´s da intersec¸a˜o de z = f(x, y) com os
planos y = 1 e x = −1, sa˜o ilustradas nas Figuras 2.15 e 2.16. Vemos que no ponto (1,−1)
a curva C1 temos um coeficiente angular negativo na direc¸a˜o do eixo x, enquanto o gra´fico
da func¸a˜o tem uma inclinac¸a˜o positiva na direc¸a˜o do eixo y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Ate´ o momento estudamos superf´ıcies em R3 dadas pelo gra´fico de func¸o˜es de duas
30
Figura 2.15: Plano y = −1 e gra´fico de z = 9− x2 − 3y2/2.
Figura 2.16: Plano x = 1 e gra´fico de z = 9− x2 − 3y2/2.
varia´veis, isto e´, superf´ıcies definidas por equac¸o˜es da forma z = f(x, y). De um modo geral,
uma equac¸a˜o a treˆs varia´veis F (x, y, z) = 0 define uma superf´ıcie em R3. Podemos, tambe´m
neste caso, nos perguntar qual e´ a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a x ou a y em um
determinado ponto; o significado geome´trico destas derivadas parciais e´ o mesmo, ilustrado
nas Figuras 2.11 a 2.14. Isto e´ feito atrave´s de derivac¸a˜o impl´ıcita, processo que se assemelha
31
com aquele estudado no ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel.
Exemplo 2.2.7. Calcule o valor de ∂z/∂x no ponto (1, 1, 1) supondo que a equac¸a˜o
xy + z3x = 2yz
define implicitamente uma func¸a˜o z = f(x, y) na vizinhanc¸a do ponto (1, 1, 1) cujas derivadas
parciais de primeira ordem existem.
Supondo que z e´ func¸a˜o de x e y, ambos os lados da equac¸a˜o acima dependem da varia´vel
x. Suas derivadas parciais em relac¸a˜o a esta varia´vel sa˜o iguais, logo, considerando que y e´
uma constante, temos
∂
∂x
(
xy + z3x
)
=
∂
∂x
2yz ⇐⇒ ∂
∂x
xy +
∂
∂x
z3x = 2y
∂z
∂x
.
Como z e´ uma varia´vel que depende de x, calculamos as derivadas acima usando a regra do
produto e a regra da cadeia:
1 · y +
(
3z2
∂z
∂x
)
x+ z3 · 1 = 2y ∂z
∂x
.
Segue que
3z2x
∂z
∂x
− 2y ∂z
∂x
= −y − z3 ⇐⇒ (3z2x− 2y)∂z
∂x
= −y − z3.
Portanto,
∂z
∂x
=
−y − z3
3z2x− 2y .
Podemos calcular o valor desta derivada parcial no ponto (1, 1, 1) atrave´s da expressa˜o acima:
∂z
∂x
(1, 1, 1) =
−1− 13
3 · 12 · 1− 2 · 1 =
−2
3− 2 = −2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
32
2.3 Derivadas Parciais de Func¸o˜es de Mais de Duas
Varia´veis
Derivadas parciais de func¸o˜es de treˆs ou mais derivadas sa˜o definidas analogamente ao que
vimos na Definic¸a˜o 2.2.1: mantemos todas as varia´veis constantes e consideramos a variac¸a˜o
da func¸a˜o com respeito apenas a` restante.
Definic¸a˜o 2.3.1. Seja f(x1, . . . , xn) uma func¸a˜o de n varia´veis e (a1, . . . , an) ∈ Rn um ponto
interior ao seu domı´nio. Definimos, para k = 1, . . . , n, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a
xk no ponto (a1, . . . , an) como
∂f∂xk
∣∣∣∣
(a1,...,an)
= lim
h→0
f(a1, . . . , ak−1, ak + h, ak+1, . . . , an)− f(a1, . . . , ak−1, ak, ak+1, . . . , an)
h
,
caso o limite exista. A derivada parcial de f em relac¸a˜o a xk e´ definida como a func¸a˜o que
associa a cada (x1, . . . , xn) ∈ Dom f a sua derivada parcial ∂f/∂xk.
A derivada parcial de f(x1, . . . , xn) em relac¸a˜o a xk pode ser escrita tambe´m como:
∂f
∂xk
= fxk = fk = Dkf.
Nosso foco neste curso se encontra em func¸o˜es de duas ou treˆs varia´veis. Ilustramos a
Definic¸a˜o 2.3.1 neste u´ltimo caso: o ca´lculo da derivada parcial fx de uma func¸a˜o f(x, y, z),
por exemplo, e´ calculada considerando que y, z sa˜o constantes e derivando a expressa˜o como
uma func¸a˜o de apenas uma varia´vel.
Exemplo 2.3.2. As derivadas parciais fx, fy e fz da func¸a˜o
f(x, y, z) = xz sen(y + 3z)
sa˜o dadas por
fx(x, y, z) = z sen(y + 3z),
fy(x, y, z) = xz cos(y + 3z) · (1 + 0) = xz cos(y + 3z),
33
e
fz(x, y, z) = x sen(y + 3z) + xz cos(y + 3z) · (0 + 3) = x sen(y + 3z) + 3xz cos(y + 3z).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Cabe ressaltar que as derivadas parciais de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis teˆm inter-
pretac¸o˜es semelhantes a`quelas vistas para func¸o˜es de duas varia´veis. Por exemplo, se T (x, y, z)
indica a temperatura em cada ponto (x, y, z) de um so´lido E do espac¸o, a derivada parcial
Tx(a, b, c) indica que variac¸a˜o de temperatura esperamos se caminharmos dentro do so´lido
E na direc¸a˜o do eixo x, partindo do ponto (a, b, c).
2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior
No estudo de func¸o˜es de uma varia´vel, a segunda derivada f ′′ de uma func¸a˜o f(x) tem
grande importaˆncia: ale´m de descrever a concavidade do gra´fico de f , ela fornece um teste
para verificarmos se pontos cr´ıticos sa˜o extremos relativos. Derivadas parciais de segunda
ordem teˆm um papel semelhante.
Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. A derivada parcial fx da func¸a˜o f e´ uma
func¸a˜o de duas varia´veis, logo podemos pensar nas derivadas parciais de fx(x, y) em relac¸a˜o
a x ou a y; o mesmo ocorre com fy(x, y). A derivada parcial de segunda ordem de f em
relac¸a˜o a x e´ definida como a func¸a˜o fxx(x, y) que associa a cada ponto (x, y) a derivada
parcial da func¸a˜o fx(x, y) em relac¸a˜o a x:
fxx = (fx)x =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
.
Definimos analogamente as outras derivadas parciais de segunda ordem de f :
fyy = (fy)y =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
,
34
fxy = (fx)y =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
,
e
fyx = (fy)x =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
.
Exemplo 2.4.1. Determine as derivadas parciais de segunda ordem da func¸a˜o
f(x, y) = x cos y + yex.
Temos
fx(x, y) = cos y + ye
x e fy(x, y) = −x sen y + ex,
logo
fxx(x, y) = ye
x,
fyy(x, y) = −x cos y,
fxy(x, y) = − sen y + ex,
e
fyx(x, y) = − sen y + ex.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Verificamos que no caso da func¸a˜o f do Exemplo 2.4.1 temos fxy = fyx. Isto na˜o foi
apenas uma coincideˆncia; esta igualdade ocorre em muitos casos, descritos no teorema abaixo.
Teorema 2.4.2. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (a, b) um ponto interior ao
seu domı´nio. Se as derivadas parciais fxy e fyx existem e sa˜o cont´ınuas em um conjunto
aberto contendo o ponto (a, b), enta˜o
fxy(a, b) = fyx(a, b).
.Obs: Podemos definir derivadas parciais de terceira ordem de uma func¸a˜o f(x, y) da mesma
maneira, isto e´, como as derivadas parciais das func¸o˜es fxx, fyy, fxy e fyx. Entretanto, nas
35
aplicac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial e Integral a` F´ısica e a`s Engenharias encontramos mais
frequentemente derivadas parciais de primeira e segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
.Obs: Derivadas parciais de segunda ordem para func¸o˜es de treˆs ou mais varia´veis, assim
como derivadas parciais de ordem superior, sa˜o definidas analogamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . /
2.5 Planos Tangentes
Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis tais que suas derivadas parciais fx e fy existem
e sa˜o cont´ınuas em um disco aberto com centro em (x0, y0) ∈ Dom f . Seja S a superf´ıcie
definida pelo gra´fico de f e considere as curvas C1 e C2 obtidas a partir da intersec¸a˜o de S
com os plano y = b e x = a. Ilustramos com as Figuras 2.12 e 2.14 que fx(x0, y0) e fy(x0, y0)
representam o coeficiente angular das retas T1 e T2 tangentes a C1 e C2 em (x0, y0). Existe
um u´nico plano que conte´m as retas T1 e T2, dito o plano tangente a S em (x0, y0); veja a
Figura 2.17.
Figura 2.17: Planto tangente pi ao gra´fico z = f(x, y) de uma func¸a˜o.
A equac¸a˜o geral do plano de R3 que conte´m o ponto (x0, y0, z0), z0 = f(x0, y0), com vetor
36
normal −→n = (A,B,C) e´
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Se C 6= 0, podemos dividir a equac¸a˜o por C e reescreveˆ-la como
z − z0 = A′(x− x0) +B′(y − y0). (2.1)
Quando fixamos y = y0 na Equac¸a˜o (2.1) obtemos a equac¸a˜o da reta T1:
z − z0 = A′(x− x0).
O nu´mero A′ na equac¸a˜o acima representa o coeficiente angular da reta tangente T1, logo
a = fx(x0, y0). Analogamente, ao fixarmos x = x0 na Equac¸a˜o (2.1), conclu´ımos que B
′ =
fy(x0, y0).
Teorema 2.5.1. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis com derivadas parciais cont´ınuas
em torno de um ponto (x0, y0). A equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no
ponto (x0, y0, z0), z0 = f(x0, y0), e´ dada por
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Exemplo 2.5.2. Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = −3x2 + 6x− 2y2 − 12y − 28
no ponto (2,−2,−12).
Temos que
fx(x, y) = −6x+ 6 e fy(x, y) = −4y − 12,
logo
fx(2,−2) = −6 e fy(2,−2) = −4.
Segue que a equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por
z + 12 = −6(x− 2)− 4(y + 2)⇐⇒ 6x+ 4y + z = −8.
37
Figura 2.18: Planto tangente do
Exemplo 2.5.2.
Figura 2.19: Planto tangente do
Exemplo 2.5.2.
Veja as Figuras 2.18 e 2.19.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
.Obs: Para entender a geometria do gra´fico de f , realizamos um procedimento chamado
completar quadrados. Temos como objetivo escrever o termo −3x2 + 6x da expressa˜o que
define f como −3x2 + 6x = a(x+ b)2 + c. Note que
− 3x2 + 6x = −3(x2 − 2x) = −3[(x− 1)2 − 1] = −3(x− 1)2 + 3. (2.2)
Analogamente, temos
− 2y2 − 12y = −2(y2 + 6y) = −2[(y + 3)2 − 9] = −2(y + 3)2 + 18. (2.3)
Seguem das Equac¸o˜es (2.2) e (2.3) que o gra´fico de f e´ dado por
z = −3(x− 1)2 + 3− 2(y + 3)2 + 18− 28 = −3(x− 1)2 − 2(y + 3)2 − 7,
isto e´,
z + 7 = −3(x− 1)2 − 2(y + 3)2.
Logo, se
x− 1 = x1, y + 3 = y1 e z + 7 = z1, (2.4)
38
enta˜o
z1 = −3x21 − 2y21.
Conclu´ımos que o gra´fico z = f(x, y) consiste de uma translac¸a˜o (Equac¸a˜o (2.4)) do para-
boloide el´ıptico z = −3x2 − 2y2. Veja a Sec¸a˜o 1.3 de Ca´lculo Volume 1, James Stewart e os
exerc´ıcios 65 e 66 de Ca´lculo Volume 2, James Stewart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
2.6 Aproximac¸o˜es Lineares e Diferenciabilidade Total
Seja y = f(x) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel. Se f e´ diferencia´vel em x = x0, enta˜o seu
gra´fico possui uma reta tangente bem definida no ponto
(
x0, f(x0)
)
. Sua derivada f ′(x0) e´
definida como
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
logo podemos pensar na seguinteaproximac¸a˜o, para h um nu´mero real pequeno:
f ′(x0) ≈ f(x0 + h)− f(x0)
h
=⇒ f(x0 + h) ≈ f(x0) + f ′(x0) · h. (2.5)
Como L(x) = f(x0) + f
′(x0) · (x − x0) e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em
x = x0, a Equac¸a˜o (2.5) nos diz que e´ poss´ıvel aproximar os valores de f em torno do ponto
x0 pelos de sua reta tangente em x0. Esta aproximac¸a˜o e´ dita a aproximac¸a˜o linear de f em
torno de x = x0:
f(x) ≈ L(x) = f(x0) + f ′(x0) · (x− x0), para x− x0 = h pequeno. (2.6)
A func¸a˜o L(x) no lado direito da Equac¸a˜o (2.6) e´ dita a linearizac¸a˜o de f em torno de
x0. A Figura 2.20 ilustra a aproximac¸a˜o linear de f(x) = x
2 em torno de x = 1. Veja a
Sec¸a˜o 3.10 de Ca´lculo Volume 1, James Stewart, para mais informac¸o˜es sobre a linearizac¸a˜o
e aproximac¸o˜es lineares de func¸o˜es de uma varia´vel.
E´ poss´ıvel aproximar os valores de uma func¸a˜o de duas varia´veis em torno de um ponto
(x0, y0) atrave´s de uma func¸a˜o linear de duas varia´veis; tais func¸o˜es teˆm um plano como
39
Figura 2.20: Linearizac¸a˜o de f(x) = x2 em torno de x = 1.
gra´fico. Temos nas Figuras 2.21 e 2.22 ilustrados o gra´fico e o plano tangente da func¸a˜o do
Exemplo 2.5.2; observe o que ocorre quando damos um zoom nas proximidades do ponto
(2,−2,−12).
Figura 2.21: Planto tangente do
Exemplo 2.5.2.
Figura 2.22: Planto tangente do
Exemplo 2.5.2.
Seja L(x, y) a func¸a˜o cujo gra´fico e´ o plano do Exemplo 2.5.2, isto e´,
L(x, y) = −6x− 4y − 8.
Enta˜o as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem que, para pontos (x, y) pro´ximos de (2,−2), a apro-
ximac¸a˜o de f(x, y) por L(x, y) e´ bem precisa:
f(x, y) ≈ L(x, y) = −6x− 4y − 8.
40
Definic¸a˜o 2.6.1. Seja f(x, y) uma func¸a˜o com derivadas parciais cont´ınuas em torno de um
ponto (a, b) ∈ Dom f . A linearizac¸a˜o de f em (a, b) e´ definida como a func¸a˜o L(x, y) que
tem como gra´fico o plano tangente a z = f(x, y) no ponto
(
a, b, f(a, b)
)
:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b).
A aproximac¸a˜o
f(x, y) ≈ L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b).
e´ definida como a aproximac¸a˜o linear de f em (a, b).
Note que, se escrevemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, enta˜o a aproximac¸a˜o linear de f em
(a, b) e´ escrita como
f(a+ ∆x, b+ ∆y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y.
Exerc´ıcio 2.6.2. Determine o plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y senx+x2y2ex
no ponto (0, 1, 0) e use-o para aproximar o valor de f no ponto (0.1, 0.9).
Em uma situac¸a˜o como a do Exerc´ıcio 2.6.2 devemos nos perguntar: qual o erro cometido
ao fazer tal aproximac¸a˜o? Ou seja, ao aproximarmos o valor de f(x, y) em um ponto (a +
∆x, b+ ∆y) pelo plano tangente de f em (a, b), sera´ que a diferenc¸a
E(∆x,∆y) = f(a+ ∆x, b+ ∆y)− [f(a, b) + fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y]
e´ pequena? Podemos reformular a pergunta da seguinte maneira: sera´ que a` medida que ∆x
e ∆y se aproximam de zero o erro E(∆x,∆y) fica cada vez menor? De certa forma, intro-
duzimos o conceito de diferenciabilidade (total) de func¸o˜es de duas varia´veis para descrever
os casos em que esta linearizac¸a˜o fornece uma boa aproximac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.6.3. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (a, b) um ponto interior ao
seu domı´nio. Dizemos que f e´ diferencia´vel em (a, b) se
E(∆x,∆y) = �1∆x+ �2∆y
41
onde �1, �2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0).
Podemos reescrever a condic¸a˜o da Definic¸a˜o 2.6.3 da seguinte maneira: definimos o in-
cremento de z nesta situac¸a˜o como
∆z = f(a+ ∆x, b+ ∆y)− f(a, b),
de modo que f e´ diferencia´vel em (a, b) se
∆z = fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y + �1∆x+ �2∆y,
onde �1, �2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0).
O teorema a seguir fornece uma condic¸a˜o suficiente para a diferenciabilidade de uma
func¸a˜o de duas varia´veis; como esta condic¸a˜o e´ mais simples que a diferenciabilidade, pode-
mos usa´-lo para garantir que a linearizac¸a˜o fornece de fato uma boa aproximac¸a˜o. Para um
resultado mais preciso sobre o erro cometido na aproximac¸a˜o linear de uma func¸a˜o de duas
varia´veis, veja a Sec¸a˜o 14.6 de Ca´lculo Volume 2, George Thomas.
Teorema 2.6.4. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (a, b) um ponto interior ao seu
domı´nio. Se as derivadas parciais fx e fy existem em um disco aberto contendo (a, b) e sa˜o
cont´ınuas em (a, b), enta˜o f e´ diferencia´vel em (a, b).
Definic¸a˜o 2.6.5. Sejam f(x, y, z) uma func¸a˜o com derivadas parciais cont´ınuas em torno
de um ponto (a, b, c) ∈ Dom f . A linearizac¸a˜o de f em (a, b, c) e´ definida como a func¸a˜o
L(x, y, z) = f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x− a) + fy(a, b, c)(y − b) + fz(a, b, c)(z − c).
A aproximac¸a˜o
f(x, y, z) ≈ L(x, y, z) = f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x− a) + fy(a, b, c)(y − b) + fz(a, b, c)(z − c)
e´ definida como a aproximac¸a˜o linear de f em (a, b, c).
42
2.7 A Regra da Cadeia
Sejam f e g func¸o˜es de uma varia´vel tais que y = f(x) e x = g(t). Enta˜o, pela regra da
cadeia,
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Por exemplo, se y = cos(t2 − 3t), enta˜o podemos escrever y = cosx, onde x = t2 − 3t. Logo,
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
= − senx · (2t− 3) = −(2t− 3) sen(t2 − 3t).
Este regra de derivac¸a˜o possui um ana´logo para func¸o˜es compostas de va´rias varia´veis; a
Figura 2.23 ilustra a composic¸a˜o de func¸o˜es do enunciado do Teorema 2.7.1.
Figura 2.23: Composic¸a˜o de func¸o˜es.
Teorema 2.7.1. Sejam z = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde x = g(t) e
y = h(t) sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de t. Enta˜o
z = f
(
g(t), h(t)
)
= F (t)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t e
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
.
43
z
t
yx
t
Figura 2.24: Regra da cadeia (Teorema 2.7.1).
Demonstrac¸a˜o: Provaremos, de acordo com a definic¸a˜o de derivada de func¸a˜o de uma
varia´vel, que o limite
lim
∆t→0
F (t+ ∆t)− F (t)
∆t
= lim
∆t→0
∆z
∆t
existe e e´ igual a` expressa˜o acima. Um incremento na˜o nulo ∆t na varia´vel t produz incre-
mentos
∆x = g(t+ ∆t)− g(t), ∆y = h(t+ ∆t)− h(t)
nas varia´veis x e y que, por sua vez, produzem um incremento ∆z na varia´vel z. Como f e´
diferencia´vel, segue da Definic¸a˜o 2.23 que
∆z = fx∆x+ fy∆y + �1∆x+ �2∆y,
onde �1, �2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0). Logo,
∆z
∆t
= fx
∆x
∆t
+ fy
∆y
∆t
+ �1
∆x
∆t
+ �2
∆y
∆t
,
e, quando ∆t se aproxima de zero, temos
lim
∆t→0
∆z
∆t
= fx · lim
∆t→0
∆x
∆t
+ fy · lim
∆t→0
∆y
∆t
+ lim
∆t→0
(
�1
∆x
∆t
+ �2
∆y
∆t
)
.
Como x = g(t) e y = h(t) sa˜o diferencia´veis, temos
lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
e lim
∆t→0
∆y
∆t
=
dy
dt
,
Portanto,
lim
∆t→0
∆z
∆t
= fx · dx
dt
+ fy · dx
dt
+ 0 · dx
dt
+ 0 · dy
dt
,
44
isto e´,
dz
dt
= lim
∆t→0
∆z
∆t
=
∂z
∂x
· dx
dt
+
∂z
∂y
· dy
dt
,
como gostar´ıamos.
Um resultado semelhante e´ va´lido tambe´m para func¸o˜es de n varia´veis.
Teorema 2.7.2. Sejam z = f(x1, . . . , xn) uma func¸a˜o diferencia´vel de n varia´veis, onde
x1, . . . , xn sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de t, isto e´, x1 = g1(t), . . . , xn = gn(t). Enta˜o
z = f
(
g1(t), . . . , gn(t)
)
= F (t)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t e
dz
dt
=
∂z
∂x1
dx1
dt
+ · · ·+ ∂z
∂xn
dxn
dt
.
z
t
x1
t
x2 xn
t
Figura 2.25: Regra da cadeia (Teorema 2.7.2).
Exemplo 2.7.3. Encontre o valor de
dw
dt
em t = 0 se w = xy + z e
x = cos t, y = sen t e z = t. (2.7)
Temos pela regra da cadeia que
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
= y · (− sen t) + x · cos t+ 1 · 1
= − sen2 t+ cos2 t+ 1.
45
Logo,
dw
dt
∣∣∣∣
t=0
= −0 + 1 + 1 = 2.
Note que a Equac¸a˜o (2.7) descreve uma he´lice no espac¸o; o significadoda derivada que
calculamos acima e´ a taxa de variac¸a˜o de w conforme o ponto (x, y, z) se desloca seguindo o
caminho descrito pela he´lice.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Situac¸o˜es envolvendo taxas de variac¸a˜o relacionadas podem ser vistas atrave´s do prisma
de func¸o˜es de va´rias varia´veis.
Exemplo 2.7.4. A lei dos gases ideias afirma que a temperatura T em Kelvin, a pressa˜o P
em newtons por metro quadrado e o volume V em metros cu´bicos de um ga´s satisfazem a
equac¸a˜o PV = kT , onde k e´ uma constante de proporcionalidade. Use esta lei com k = 10
para encontrar a taxa de variac¸a˜o da temperatura em relac¸a˜o ao tempo de um ga´s no instante
em que seu volume e´ de 120 m3 sob uma pressa˜o de 8 N/m2, sabendo que seu volume esta´
crescendo a uma taxa de 2 m3/s e a pressa˜o esta´ decrescendo a uma taxa de 0, 1 N/m2s.
A temperatura do ga´s pode ser escrita como uma func¸a˜o de duas varia´veis
T =
1
10
PV,
onde P = P (t) e V = V (t) sa˜o func¸o˜es do tempo. Segue da regra da cadeia que
dT
dt
=
∂T
∂P
· dP
dt
+
∂T
∂V
· dV
dt
,
isto e´,
dT
dt
=
V
10
· dP
dt
+
P
10
· dV
dt
.
Segue que no instante dado temos
dT
dt
=
120
10
· (−0, 1) + 8
10
· 2 = −1, 2 + 1, 6 = 0, 4.
Enta˜o a temperatura do ga´s esta´ aumentando a uma taxa de 0, 4 K/s neste instante.
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
O teorema a seguir representando a versa˜o mais geral da regra da cadeia.
Teorema 2.7.5. Seja y = f(x1, . . . , xn) uma func¸a˜o diferencia´vel de n varia´veis onde cada
xi e´ func¸a˜o diferencia´vel de t1, . . . , tm: xi = gi(t1, . . . , tm). Enta˜o
y = f
(
g1(t1, . . . , tm), . . . , gn(t1, . . . , tm)
)
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t1, . . . , tm e, para j = 1, . . . ,m,
∂y
∂tj
=
∂y
∂x1
∂x1
∂tj
+ · · ·+ ∂y
∂xn
∂xn
∂tj
.
y
t1
x1
tntj t1
x2
tntj t1
xn
tntj
Figura 2.26: Regra da cadeia (Teorema 2.7.5).
Exemplo 2.7.6. Seja u = x4y + y2z3 onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2s sin t. Encontre o
valor de
∂u
∂s
quando (r, s, t) = (2, 1, 0).
Temos pela regra da cadeia que
∂u
∂s
=
∂u
∂x
· ∂x
∂s
+
∂u
∂y
· ∂y
∂s
+
∂u
∂z
· ∂z
∂s
= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2 sin t),
onde x = 2, y = 2, z = 0 quando (r, s, t) = (2, 1, 0). Logo,
∂u
∂s
∣∣∣∣
(r,s,t)=(2,1,0)
= 64 · 2 + 16 · 4 + 0 = 192.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
47
Exerc´ıcio 2.7.7. O raio de um cilindro circular reto esta´ decrescendo a uma taxa de 5
cm/min e sua altura esta´ aumentando a uma taxa de 12 cm/min. Determine a taxa de
variac¸a˜o do volume do cilindro no instante em que o raio e´ 20 cm e a altura e´ 40 cm.
Exerc´ıcio 2.7.8. Seja w = x + 2y + z2 onde x = r/s, y = r2 + ln s e z = 2r. Determine o
valor da taxa de variac¸a˜o de w em relac¸a˜o a r e s quando r = −2 e s = 3.
Exerc´ıcio 2.7.9. Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel tal que
x = g(t), g′(5) = −1, fx(−2, 15) = 3, g(5) = −2,
y = h(t), h′(5) = 4, fy(−2, 15) = 2, h(5) = 15.
Determine o valor de
dz
dt
quando t = 5.
Exerc´ıcio 2.7.10. A produc¸a˜o W de trigo em toneladas em um dado ano depende da tem-
peratura me´dia T e da precipitac¸a˜o anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura
me´dia esta´ aumentando a uma taxa de 0, 15oC por ano e a precipitac¸a˜o esta´ decrescendo
a uma taxa de 0, 1 cm por ano. Eles tambe´m estimam que, nos n´ıveis atuais de produc¸a˜o,
WT = −2 e WR = 8. Determine uma estimativa para a taxa de variac¸a˜o dW
dt
da produc¸a˜o
de trigo em func¸a˜o do tempo.
Cap´ıtulo 3
Derivadas Direcionais, Vetores
Gradiente e Aplicac¸o˜es
3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente
Vimos no Cap´ıtulo 2 que as derivadas parciais de uma func¸a˜o z = f(x, y) num ponto (x0, y0),
definidas por
fx(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
e
fy(x0, y0) = lim
h→0
f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)
h
representam a taxa de variac¸a˜o de z em relac¸a˜o a`s varia´veis x e y, respectivamente. Geome-
tricamente, fx(x0, y0) e fy(x0, y0) representam o coeficiente angular das retas tangentes a`s
curvas obtidas pela intersec¸a˜o do gra´fico de f com os planos y = b e x = a; veja as Figuras
2.12 e 2.14. Veremos agora que e´ poss´ıvel determinar a taxa de variac¸a˜o de z em uma direc¸a˜o
arbitra´ria, dada por um vetor unita´rio ~u = (a, b).
Definimos esta taxa de variac¸a˜o de maneira ana´loga a`s definic¸o˜es fx(x0, y0) e fy(x0, y0). O
48
49
vetor com a direc¸a˜o e sentido de ~u e mo´dulo h e´ h~u = (ha, hb). Consideramos um segmento
de comprimento h na direc¸a˜o do vetor ~u partindo do ponto (a, b). O quociente da variac¸a˜o
total de f neste “intervalo” por h representa a variac¸a˜o me´dia de f neste segmento; como
os extremos deste intervalo sa˜o dados pelos pontos (x0, y0) e (x0 + ha, y0 + hb), esta me´dia
e´ dada por
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
.
O limite desta me´dia quando h→ 0 representa a taxa de variac¸a˜o (instantaˆnea) de interesse.
Veja a Figura 3.1 e compare com a Figura 2.9.
Figura 3.1: Taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o f no ponto (x0, y0) na direc¸a˜o do
vetor unita´rio ~u = (a, b).
Definic¸a˜o 3.1.1. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (x0, y0) um ponto interior ao
seu domı´nio. Seja ~u = (a, b) ∈ R2 um vetor unita´rio. A derivada direcional de f na direc¸a˜o
do vetor ~u no ponto (x0, y0) e´ definida como
D~uf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
,
se o limite existir.
50
Note que se ~u = ~i = (1, 0) ou ~u = ~j = (0, 1) enta˜o a derivada direcional D~uf(x0, y0)
coincide com as derivadas parciais fx(x0, y0) e fy(x0, y0), isto e´,
D~if(x0, y0) = fx(x0, y0) e D~jf(x0, y0) = fy(x0, y0).
Compare as Definic¸o˜es 3.1.1 e 2.2.1 nos casos ~u =~i e ~u = ~j.
.Obs: Cabe ressaltar que o conceito de direc¸a˜o apresentado aqui diverge daquele estudado
em Geometria Anal´ıtica. De acordo com os conceitos de Geometria Anal´ıtica, neste contexto
de derivada direcional de func¸o˜es, por direc¸a˜o definida por um vetor ~u entende-se a direc¸a˜o
e o sentido definidos por este vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /
O teorema abaixo fornece uma maneira simples de calcular a derivada direcional de uma
func¸a˜o.
Teorema 3.1.2. Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis definida sobre um
conjunto aberto. Se (x0, y0) ∈ Dom f e ~u = (a, b) e´ um vetor unita´rio, enta˜o a derivada
direcional D~uf(x0, y0) existe e
D~uf(x0, y0) = fx(x0, y0) · a+ fy(x0, y0) · b.
Demonstrac¸a˜o: Considere a func¸a˜o de uma varia´vel g(h) = f(x0 + ha, y0 + hb). Segue da
definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o que
g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
= lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb)− f(x0, y0)
h
= D~uf(x0, y0). (3.1)
Por outro lado, temos g(h) = f(x, y) onde x = x0 + ha e y = y0 + hb. Enta˜o, pela regra da
cadeia,
g′(h) =
∂f
∂x
· dx
dh
+
∂f
∂y
· dy
dh
= fx(x, y) · a+ fy(x, y) · b,
onde (x, y) =
(
x(h), y(h)
)
= (x0 + ha, y0 + hb). Para h = 0 temos x(h) = x0 e y(h) = y0,
enta˜o
g′(0) = fx(x0, y0) · a+ fy(x0, y0) · b. (3.2)
O resultado segue das Equac¸o˜es (3.1) e (3.2).
51
Exemplo 3.1.3. Calcule a derivada direcional D~uf(1, 2), onde f(x, y) = x
2 + xy e ~u =(
1√
2
,
1√
2
)
.
Temos fx(x, y) = 2x+ y e fy(x, y) = x, logo fx(1, 2)= 4 e fy(1, 2) = 1. Segue que
D~uf(1, 2) = 4 · 1√
2
+ 1 · 1√
2
=
5√
2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
O significado geome´trico da derivada direcional e´ semelhante ao das derivadas parciais.
Dados uma func¸a˜o f(x, y), um ponto (x0, y0) ∈ Dom f e um vetor unita´rio ~u = (a, b),
a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano b(x − x0) − a(y − y0) = 0 e´ um curva C cujo
coeficiente angular da reta tangente no ponto
(
a, b, f(a, b)
)
e´ igual a D~uf(x0, y0). Veja as
Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.2: Significado geome´trico da derivada direcional.
Cabe ressaltar que o Teorema 3.1.2 e´ va´lido apenas para vetores unita´rios. Vetores de
mesma direc¸a˜o e mo´dulos diferentes forneceriam derivadas direcionais de diferentes valores,
o que na˜o e´ de nosso interesse. Por esse motivo, se a direc¸a˜o em questa˜o e´ definida por um
52
Figura 3.3: Significado geome´trico da derivada direcional.
vetor de mo´dulo diferente de 1, e´ necessa´rio normaliza´-lo para usar enta˜o aplicar o Teorema
3.1.2.
Exemplo 3.1.4. Determine a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) = ln(x2 + y2) no ponto
(2, 1) na direc¸a˜o definida pelo vetor ~u = (−1, 2).
Temos
fx(x, y) =
2x
x2 + y2
e fy(x, y) =
2y
x2 + y2
,
logo
fx(2, 1) =
4
5
e fy(2, 1) =
2
5
.
O mo´dulo de ~u e´ dado por |~u| = √1 + 4 = √5. Segue que ~u tem a direc¸a˜o do vetor unita´rio
~v =
1√
5
(−1, 2) =
(−1√
5
,
2√
5
)
.
Segue que a derivada direcional em questa˜o e´ dada por
D~vf(2, 1) = − 1√
5
· 4
5
+
2√
5
· 2
5
=
−4 + 4
5
√
5
= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
53
Observamos que o Teorema 3.1.2 descreve o valor da derivada direcional D~uf(x0, y0)
atrave´s do produto escalar dos vetores ~u = (a, b) e
(
fx(x0, y0), fy(x0, y0)
)
:
D~uf(x0, y0) =
(
fx(x0, y0), fy(x0, y0)
) · (a, b) = fx(x0, y0) · a+ fy(x0, y0) · b.
O vetor
(
fx(x0, y0), fy(x0, y0)
)
e´ dito o vetor gradiente de f no ponto (x0, y0).
Definic¸a˜o 3.1.5. Seja f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis. O vetor gradiente ou, sim-
plesmente, o gradiente de f e´ a func¸a˜o ∇f que associa a cada ponto (x, y) ∈ Dom f o
vetor
∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) = fx(x, y)~i+ fy(x, y)~j.
Com a notac¸a˜o acima, podemos reescrever o Teorema 3.1.2 da seguinte maneira:
D~uf(x, y) = ∇f(x, y) · ~u.
Mas o que o vetor gradiente de uma func¸a˜o f(x, y) de duas varia´veis representa? Ha´ algum
significado geome´trico? O teorema abaixo responde estas perguntas.
Teorema 3.1.6. Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis e seja (x0, y0) um
ponto de seu domı´nio. Enta˜o a taxa de variac¸a˜o ma´xima de z = f(x, y) no ponto (x0, y0)
ocorre na direc¸a˜o ∇f(x0, y0) e este valor ma´ximo e´ dado por |∇f(x0, y0)|.
Em outras palavras, o valor ma´ximo de D~uf(x0, y0), para (x0, y0) fixo, considerando todos
os vetores unita´rios ~u ∈ R2, e´ |∇f(x0, y0)| e ocorre quando ~u tem a direc¸a˜o de ∇f(x0, y0).
Isto significa que ao caminharmos no gra´fico z = f(x, y) da func¸a˜o f partindo do ponto
(x0, y0), temos a subida com maior inclinac¸a˜o na direc¸a˜o do vetor gradiente ∇f(x0, y0). A
demonstrac¸a˜o do Teorema 3.1.6 segue da seguinte propriedade do produto escalar de vetores:
~u · ~v = |~u||~v| cos θ, (3.3)
onde θ ∈ [0, pi] e´ o aˆngulo de ~u e ~v. Portanto, se ~u e´ vetor unita´rio,
D~uf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · ~u = |∇f(x0, y0)||~u| cos θ = |∇f(x0, y0)| cos θ. (3.4)
54
Veja a Figura 3.4. Segue que a derivada direcional D~uf(x0, y0) e´ maximizada quando cos θ =
1. Isto ocorre quando θ = 0, isto e´, quando ~u tem a mesma direc¸a˜o e sentido do vetor
∇f(x0, y0).
Figura 3.4: Aˆngulo θ formado pelo vetor ~u que define a derivada direcional e o
vetor gradiente ∇f(x0, y0).
.Obs: Note que a Equac¸a˜o (3.4) implica que a derivada direcional D~uf(x0, y0) mı´nima, para
(x0, y0) fixo, considerando todos os vetores unita´rios ~u ∈ R2, ocorre quando cos θ = −1; isto
e´ equivalente a θ = pi, isto e´, quando ~u e ∇f(x0, y0) teˆm a mesma direc¸a˜o mas sentidos
opostos. Ale´m disso, conclu´ımos tambe´m que a taxa de variac¸a˜o de f em (x0, y0) e´ nula em
uma direc¸a˜o ~u se e somente se ~u e´ ortogonal a ∇f(x0, y0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ./
Exemplo 3.1.7. Considere a func¸a˜o f(x, y) =
x2
2
+ 3y2. Determine a direc¸a˜o em que
z = f(x, y):
(a) cresce mais rapidamente no ponto (2, 1);
(b) decresce mais rapidamente no ponto (2, 1);
(c) possui taxa de variac¸a˜o nula no ponto (2, 1).
O vetor gradiente de f e´ dado por ∇f(x, y) = (x, 6y), logo ∇f(2, 1) = (2, 6). Segue que
a direc¸a˜o em que z = f(x, y) cresce mais rapidamente e´ ~u = (2, 6); aquela em que z decresce
55
mais rapidamente e´ −~u = (−2,−6). As duas direc¸o˜es em que z possui taxa de variac¸a˜o nula
sa˜o aquelas ortogonais ao vetor gradiente, isto e´, aquelas dadas por ~v = (a, b) onde
~v · ∇f(2, 1) = 0, isto e´, 2a+ 6b = 0, isto e´, 6b = −2a.
Devemos enta˜o escolher dois vetores ~v1, ~v2 com direc¸o˜es opostas que satisfazem a equac¸a˜o
6b = −2a. Segue que as direc¸o˜es em que a derivada direcional e´ nula sa˜o as dos vetores
~v1 = (6,−2) e ~v2 = (−6, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
O vetor gradiente de uma func¸a˜o f(x, y) possui uma outra propriedade importante. Na˜o
e´ poss´ıvel apresentar estas ideias em sua plenitude pois e´ necessa´rio um conhecimento pre´vio
de parametrizac¸a˜o de curvas; veja o Cap´ıtulo 13 de Ca´lculo Volume 2, James Stewart.
Teorema 3.1.8. Sejam f(x, y) = k uma curva de n´ıvel de uma func¸a˜o diferencia´vel f de
duas varia´veis e (x0, y0) um ponto desta curva. Enta˜o ∇f(x0, y0) e´ ortogonal a esta curva de
n´ıvel no ponto (x0, y0).
Mais precisamente, o Teorema 3.1.8 afirma que ∇f(x0, y0) e´ ortogonal a` reta tangente
a esta curva de n´ıvel no ponto (x0, y0); veja a Figura 3.5. Nas Figuras 3.6 e 3.7 temos
representados o campo gradiente de duas func¸o˜es f(x, y): para alguns pontos (x, y) do plano,
e´ representado graficamente o vetor∇f(x, y). O campo gradiente ilustra o fato que os vetores
gradientes apontam para a direc¸a˜o de “subida do morro” (subida de maior inclinac¸a˜o).
Podemos definir de maneira ana´loga a derivada direcional e o vetor gradiente de uma
func¸a˜o de treˆs varia´veis. Teoremas semelhantes sa˜o provados com os mesmos argumentos.
Definic¸a˜o 3.1.9. Sejam F (x, y, z) uma func¸a˜o de treˆs varia´veis e (x0, y0, z0) um ponto in-
terior ao seu domı´nio. Seja ~u = (a, b, c) ∈ R3 um vetor unita´rio. A derivada direcional de F
na direc¸a˜o do vetor ~u no ponto (x0, y0, z0) e´ definida como
D~uF (x0, y0, z0) = lim
h→0
F (x0 + ha, y0 + hb, z0 + hc)− F (x0, y0, z0)
h
,
se o limite existir.
56
Figura 3.5: O vetor gradiente ∇f(x0, y0) e´ ortogonal a` curva de n´ıvel
f(x, y) = k contendo (x0, y0).
Figura 3.6: Campo gradiente da func¸a˜o f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Definic¸a˜o 3.1.10. Seja F (x, y, z) uma func¸a˜o de treˆs varia´veis. O vetor gradiente ou, sim-
plesmente, o gradiente de F e´ a func¸a˜o ∇F que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ DomF o
57
Figura 3.7: Campo gradiente da func¸a˜o f(x, y) = x2 − y2.
vetor
∇F (x, y, z) = (Fx(x, y, z), Fy(x, y, z), Fz(x, y, z))
= Fx(x, y, z)~i+ Fy(x, y, z)~j + Fz(x, y, z)~k.
Teorema 3.1.11. Seja F (x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis definida sobre
um conjunto aberto. Se (x0, y0, z0) ∈ DomF e ~u = (a, b, c) e´ um vetor unita´rio, enta˜o a
derivada direcional D~uF (x0, y0, z0) existee
D~uF (x0, y0, z0) = ∇F (x0, y0, z0) · ~u
= Fx(x0, y0, z0) · a+ Fy(x0, y0, z0) · b+ Fz(x0, y0, z0) · c.
A Equac¸a˜o (3.3) tambe´m e´ va´lida para vetores ~u,~v de R3. Segue enta˜o do Teorema 3.1.11
que o ma´ximo da derivada direcional D~uF (x0, y0, z0), para (x0, y0, z0) fixo, dentre todos os
vetores unita´rios ~u ∈ R3, e´ |D~uF (x0, y0, z0)| e ocorre quando ~u tem a direc¸a˜o e sentido do
vetor gradiente D~uF (x0, y0, z0).
58
Teorema 3.1.12. Seja F (x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel de treˆs varia´veis e seja (x0, y0, z0)
um ponto de seu domı´nio. Enta˜o a taxa de variac¸a˜o ma´xima de w = F (x, y, z) no ponto
(x0, y0, z0) ocorre na direc¸a˜o ∇F (x0, y0, z0) e este valor ma´ximo e´ dado por |∇F (x0, y0, z0)|.
Ja´ foi discutido anteriormente o conceito de plano tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o.
Entretanto, nem toda superf´ıcie S de R3 representa o gra´fico z = f(x, y) de uma func¸a˜o f
de duas varia´veis. Algumas podem ser descritas como a superf´ıcie de n´ıvel de uma func¸a˜o F
de treˆs varia´veis, isto e´,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = k}.
Neste caso, e´ poss´ıvel provar que se (x0, y0, z0) e´ um ponto de S e C e´ uma curva contida
em S que passar por (x0, y0, z0), enta˜o ∇F (x0, y0, z0) e´ ortogonal a` reta tangente a C neste
ponto. E´ natural portanto definir o plano tangente a S em (x0, y0, z0) como aquele que
conte´m o ponto (x0, y0, z0) e tem o vetor ∇F (x0, y0, z0) como vetor normal.
Definic¸a˜o 3.1.13. Seja F (x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel de treˆs varia´veis. Sejam S a
superf´ıcie de n´ıvel definida pela equac¸a˜o F (x, y, z) = k e (x0, y0, z0) um ponto de S. Suponha
que ∇F (x0, y0, z0) 6= (0, 0, 0). Definimos o plano tangente pi a S em (x0, y0, z0) como o plano
que conte´m o ponto (x0, y0, z0) e tem o vetor ∇F (x0, y0, z0) como vetor normal:
pi : Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.
A reta normal r a` superf´ıcie S no ponto (x0, y0, z0) e´ definida como aquela que passa pelo
ponto (x0, y0, z0) e e´ normal ao plano tangente a S neste ponto:
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) +∇F (x0, y0, z0) · t,
isto e´,
r :

x = x0 + Fx(x0, y0, z0) · t,
y = y0 + Fy(x0, y0, z0) · t,
z = z0 + Fz(x0, y0, z0) · t.
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Note que, se f(x, y) e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis, enta˜o seu gra´fico z = f(x, y) corres-
ponde a` superf´ıcie de n´ıvel F (x, y, z) = 0 da func¸a˜o F (x, y, z) = z − f(x, y):
z = f(x, y)⇐⇒ z − f(x, y) = 0⇐⇒ F (x, y, z) = 0.
Assim, de acordo com a Definic¸a˜o 3.1.13, o plano tangente ao gra´fico de f num ponto
(x0, y0, z0) e´ dado por
−fx(x0, y0)(x− x0)− fy(x0, y0)(y − y0) + 1 · (z − z0) = 0,
isto e´,
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Esta equac¸a˜o coincide com aquela do Teorema 2.5.1; em outras palavras, podemos enxergar
o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis como uma superf´ıcie de n´ıvel, se desejarmos. A
reta normal ao gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis esta´ bem definida portanto pela
Definic¸a˜o 3.1.13.
Exemplo 3.1.14. Determine o plano tangente e a reta normal a` superf´ıcie y = x2 − z2 no
ponto (4, 7, 3).
A superf´ıcie em questa˜o e´ dada pela equac¸a˜o F (x, y, z) = 0, onde F (x, y, z) = y−x2 +z2.
Como
Fx(x, y, z) = −2x =⇒ Fx(4, 7, 3) = −8,
Fy(x, y, z) = 1 =⇒ Fy(4, 7, 3) = 1,
Fz(x, y, z) = 2z =⇒ Fz(4, 7, 3) = 6,
temos que o plano tangente a S no ponto (4, 7, 3) e´
−8(x− 4) + 1(y − 7) + 6(z − 3) = 0⇐⇒ −8x+ y + 6z + 7 = 0.
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As equac¸o˜es parame´tricas da reta normal a S em (4, 7, 3) sa˜o
x = 4− 8t,
y = 7 + t,
z = 3 + 6t.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Exerc´ıcio 3.1.15. Determine as direc¸o˜es em que a derivada direcional de f(x, y) = ye−xy
no ponto (0, 2) tem valor 1.
Exerc´ıcio 3.1.16. Determine os pontos do plano em que a direc¸a˜o de maior crescimento de
f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y e´ ~v =~i+~j.
3.2 Valores Ma´ximo e Mı´nimo
Estudaremos nesta sec¸a˜o pontos de ma´ximo e mı´nimo de func¸o˜es de va´rias varia´veis, definidos
a seguir.
Definic¸a˜o 3.2.1. Sejam f(x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (x0, y0) um ponto interior
ao domı´nio de f . Dizemos que (x0, y0) e´ um extremo local de f se existe um disco aberto D
com centro em (x0, y0) e raio r > 0 tal que:
(i) f(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo (x, y) ∈ D, ou
(ii) f(x0, y0) ≤ f(x, y) para todo (x, y) ∈ D.
Dizemos, respectivamente, que (x0, y0) e´ ponto de ma´ximo ou ponto de mı´nimo de f . O valor
f(x0, y0) e´ dito um valor ma´ximo local ou um valor mı´nimo local, respectivamente.
Para encontrar os extremos locais de func¸o˜es de uma varia´vel, buscamos os pontos que
possuem reta tangente horizontal; nas Figuras 3.8 e 3.9 temos ilustrados os extremos locais
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da func¸a˜o y = 0, 1x3 + 1, 2x. No caso de uma func¸a˜o z = F (x, y) de duas varia´veis, proce-
demos de maneira semelhante: buscaremos os pontos (x0, y0) do domı´nio de F onde gra´fico
de F possui plano tangente horizontal. Como o plano tangente a z = F (x, y) no ponto(
x0, y0, F (x0, y0)
)
tem equac¸a˜o
z − z0 = Fx(x0, y0)(x− x0) + Fy(x0, y0)(y − y0),
isto equivale a procurar os pontos onde ambas as derivadas parcias de F se anulam.
Figura 3.8: Func¸a˜o y = f(x) com
extremos locais nos pontos A e B.
Figura 3.9: Func¸a˜o y = f(x) com
extremos locais nos pontos A e B.
Teorema 3.2.2. Sejam F (x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis e (x0, y0) um ponto interior
ao domı´nio de F . Se (x0, y0) e´ um extremo local de F e as derivadas parciais de primeira
ordem de F existem em (x0, y0), enta˜o
Fx(x0, y0) = Fy(x0, y0) = 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja g(x) = F (x, y0). Se (x0, y0) e´ um extremo local de F , enta˜o x = x0 e´
um extremo local de g(x). A func¸a˜o g e´ deriva´vel em x = x0; segue do Teorema de Lagrange
que g′(x0) = Fx(x0, y0) = 0. Um argumento ana´logo mostra que Fy(x0, y0) = 0.
Cabe ressaltar que o Teorema 3.2.2 na˜o afirma que todo ponto onde as derivadas parciais
de primeira ordem z = F (x, y) se anulam e´ extremo local de F ; apenas a rec´ıproca e´
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verdadeira, logo a lista de pontos (x, y) tais que Fx(x, y) = Fy(x, y) = 0 representam apenas
candidatos para extremos locais de F . Como o Teorema 3.2.2 na˜o afirma nada sobre os
pontos onde alguma das derivadas parciais de primeira ordem de F na˜o existe, estes tambe´m
compo˜em candidatos a extremos locais. Dizemos que os candidatos a extremos locais de F
sa˜o os pontos cr´ıticos de F .
Definic¸a˜o 3.2.3. Sejam F (x, y) uma func¸a˜o de duas varia´veis (x0, y0) um ponto interior a
DomF . Dizemos que (x0, y0) e´ um ponto cr´ıtico de F se
(i) alguma das derivadas parciais de primeira ordem de F na˜o existe em (x0, y0), ou
(ii) Fx(x0, y0) = Fy(x0, y0) = 0.
.Obs: Note que uma func¸a˜o de duas varia´veis F (x, y) a condic¸a˜o Fx(x0, y0) = Fy(x0, y0) = 0
e´ equivalente a ao gradiente ∇F (x0, y0) se anular neste ponto (x0, y0) ∈ DomF ; assim o
Teorema 3.2.2 afirma que se F possui um extremo local em um ponto (x0, y0) onde Fx e Fy
existem, enta˜o ∇F (x0, y0) = ~0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ./
Exemplo 3.2.4. Considere a func¸a˜o F (x, y) = x2− 2x+ 3y2 + 12y+ 16. Como as derivadas
parciais de F existem em todo o plano, os pontos cr´ıticos de F sa˜o aqueles que satisfazem o
sistema  Fx(x, y) = 0,Fy(x, y) = 0, ⇐⇒
 2x− 2 = 0,6y + 12 = 0.
Segue que o u´nico ponto cr´ıtico de F e´ (1,−2).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�
Exemplo 3.2.5. Considere a func¸a˜o G(x, y) = x2 − y2. Analogamente, os pontos cr´ıticos
de G sa˜o aqueles