TRABALHO - Teoria das Semelhanças

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Universidade Paulista – Araraquara 
Curso de Engenharia Civil 
 
Teoria das Semelhanças 
 
 
Pesquisa elaborada, com fins de complementação 
dos estudos de mecânicas dos fluidos, e aplicação 
em testes laboratoriais. 
 
 
 
Allan Carlos Rodrigues Modesto RA: C05113-6 
 
Thiago Rodrigues Carvalho RA: C319CC-9 
 
Professor: Guilherme Vuitik 
 
 
 
 
 
 
 
 
Araraquara 
2016 
 
 
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Sumário 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 3 
2. DEFINIÇÃO DE ANÁLISE DIMENSIONAL ............................................................. 4 
2.1 EXEMPLO: ......................................................................................................... 5 
2.2 EXEMPLO: ......................................................................................................... 6 
3. MEIOS PARA ANÁLISE DIMENSIONAL ................................................................ 7 
3.1 TEOREMA DE BRIDGMAN ............................................................................... 7 
3.2 TEOREMA DE BUCKINGHAM .......................................................................... 7 
4. SÍMBOLOS E DIMENSÕES EM MECÂNICA DOS FLUIDOS: ............................... 9 
5. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS COMUNS ....................................................... 10 
5.1 SIGNIFICADO FÍSICO: .................................................................................... 10 
6. SEMELHANÇAS ................................................................................................... 12 
6.1 SEMELHANÇA GEOMÉTRICA: ...................................................................... 12 
6.2 SEMELHANÇA CINEMÁTICA: ........................................................................ 13 
6.3 SEMELHANÇA DINÂMICA: ............................................................................. 13 
6.3 ESCALAS DE SEMELHANÇA: ........................................................................ 14 
7. MODELOS E PROTÓTIPOS ................................................................................. 15 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
No ramo da engenharia vários processos são feitos experimentalmente, na 
mecânica dos fluidos não é diferente inúmeros problemas não são resolvidos 
analiticamente apenas experimentalmente. Já outros problemas são resolvidos por 
abordagens tanto analíticas quanto experimental. 
Esses processos utilizados até nos dias de hoje facilitam todas as abordagens 
experimentais. O experimento em si tem como objetivo buscar resultados aplicáveis 
no dia-dia, situações reais similares a dos praticados em laboratórios. 
Para que ocorra corretamente é necessário estabelecer um padrão entre o 
modelo laboratorial e o experimento executado, a teoria das semelhanças aplicada 
na mecânica dos fluidos busca estudar os aspectos dimensionais com o padrão de 
homogeneidade dimensional. 
O desenvolvimento de todo o processo é a resultante da analise teórica com a 
resultante dos experimentos numéricos. 
Na maioria dos casos as variáveis envolvidas são apresentadas, mas não em 
relação à utilidade operacional entre elas. 
A análise dimensional como uma base da teoria das semelhanças permite 
interligações entre as variáveis formando grupos. 
Se não possíveis analises experimentais em grandes estruturas utilizamos os 
modelos reduzidos em escala real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DEFINIÇÃO DE ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
Analise dimensional é um processo que podemos denominar ou até 
equacionar como um grupo de variáveis adimensionais. 
É um processo que busca o maior número de informações com o menor 
número de testes, em mecânica dos fluidos estes testes dependem da geometria e 
do escoamento. 
 
Utilizamos os seguintes procedimentos: 
 
1- Escolher o conjunto de grandezas fundamentais, que são dois tipos (base 
MLT e base FLT). 
2- Enumerar todas as grandezas envolvidas. 
3- Demonstrar todas as grandezas em termos das bases. 
4- Estabelecer as equações dimensionais, interligando as grandezas que não 
podem se diferenciar. 
5- Fazer a verificação se os grupos são adimensionais. 
6- Provar experimentalmente sua relação funcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 EXEMPLO: 
 
Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa 
em um escoamento uniforme de velocidade V. 
Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F 
sobre a esfera? 
 
 
Sabemos que 𝑭 = 𝒇(𝑫, 𝑽, 𝝆, 𝝁) desconsiderando a rugosidade superficial. 
Elaboração do problema por grandezas controladas e medidas em 
laboratório. 
Depois de montada a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. 
Para cada variável são necessários 10 ensaios. 
Depois de construído o esqueleto experimental, iniciamos os ensaios. 
 
Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ  10 ensaios 
Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ  10 ensaios 
Curva F vs. ρ com parâmetros D, V, μ  10 ensaios 
Curva F vs. μ com parâmetros D, V, ρ  10 ensaios 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 EXEMPLO: 
 
Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido 
Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. 
Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão 
por unidade de comprimento do tubo Δp1? 
Sabemos que ∆𝒑𝟏 = 𝒇(𝑫, 𝑽, 𝝆, 𝝁) desconsiderando a rugosidade superficial. 
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em 
laboratório. 
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios como o 
exemplo anterior fazendo 10 ensaios para cada variável. 
 
Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ  5 ensaios 
Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ  5 ensaios 
Curva Δp1 vs. ρ com parâmetros D, V, μ  5 ensaios 
Curva Δp1 vs. μ com parâmetros D, V, ρ  5 ensaios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. MEIOS PARA ANÁLISE DIMENSIONAL 
 
Para analisar as ligações entre grandezas em um dado fenômeno temos: 
Ø o teorema de Bridgman 
Ø o teorema de Buckingham 
 
3.1 TEOREMA DE BRIDGMAN 
 
O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou 
dependente, pode se expressa por um produto de grandezas primárias. 
O teorema de Bridgman afirma que as únicas funções que podem ter 
argumentos dimensionais são produtos de potências das grandezas de base de um 
determinado sistema de unidades. 
 
Exemplo: 
 
E = f(m, V) 
E = C m V2, onde C = cte. 
 
3.2 TEOREMA DE BUCKINGHAM 
 
O teorema dos π de Vaschy-Buckingham é um teorema central na análise 
dimensional. Estabelece que, se em uma equação física envolvendo certo número n 
de variáveis físicas dimensionais, sendo que estas variáveis são representadas por r 
dimensões físicas fundamentais independentes, a equação do processo ou sistema 
físico pode ser reescrita como uma equação de (p = n – r) variáveis adimensionais 
(parâmetros de π), construídas a partir das variáveis originais. 
Isso provê um método para calcular conjuntos de parâmetros adimensionais a 
partir de variáveis dimensionais dadas, mesmo se a forma da equação do sistema 
ou processo físico é ainda desconhecida. 
Encontrar parâmetros adimensionais em um problema pode simplificá-lo e atémesmo resolvê-lo. 
 
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Este teorema, hoje conhecido “teorema de π”, foi pela primeira vez enunciado 
por Aimé Vaschy, em 1892, no artigo “Sobre as leis da semelhança em física”. Vinte 
e dois anos após o enunciado foi publicado em 1914 o famoso artigo de Edgar 
Buckingham: “Sobre sistemas fisicamente semelhantes: ilustrações de uso de 
equações dimensionais”. 
Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 
variáveis independentes, para o qual existe uma relação do tipo: 
 
q1 = f(q2, q3,... qn) 
 
q1 = A variável dependente. 
f = Relação funcional desconhecida. 
q2, q3,... qn = Variáveis independentes. 
 
O teorema π estabelece: Dado uma relação entre n variáveis da forma: 
 
g(q1, q2,... qn) = 0 
 
Estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais 
independentes ou parâmetros π, expressados sob a forma funcional: 
 
 𝐺(𝜋1, 𝜋2, … 𝜋𝑛−𝑚) = 0 
 
O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas 
independentes (M,L,T) necessárias para especificar as dimensões das variáveis (q1, 
q2, q3... qn). 
NOTA: O teorema não prevê a forma funcional de G. É estabelecida 
experimentalmente. 
 
 
 
 
 
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4. SÍMBOLOS E DIMENSÕES EM MECÂNICA DOS FLUIDOS: 
 
Unidade Símbolo Dimensões 
Comprimento l L
Tempo t T
Massa m M
Força F ML/T²
Velocidade V L/T
Aceleração a L/T²
Frequência ω 1/T
Gravidade g L/T²
Área A L²
 
 
Unidade Símbolo Dimensões 
Vazão Q L³/T
Fluxo de massa ṁ M/T
Pressão p M/LT²
Tensão t M/LT²
Massa específica ρ M/L³
Peso específico ϒ M/L²T²
Viscosidade μ M/LT
Vicosidade cinemática ν L²/T
 
Unidade Símbolo Dimensões 
Trabalho W ML²/T²
Potencia, fluxo de calor Ẇ,Q ML²/T³
Tensão superficial σ M/T²
Modulo de elasticidade 
volumétrica
B M/LT²
 
 
 
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5. PARÂMETROS ADIMENSIONAIS COMUNS 
 
∆𝑝
𝜌𝑉²
= 𝑓1((
𝑉𝜌𝑙
𝜇
,
𝑉²
𝑙𝑔
,
𝑉
𝑐
,
𝑙𝜔
𝑉
,
𝑉²𝜌𝑙
𝜎
) 
 
Número de Euler, Eu = 
∆𝑝
𝜌𝑉²
 
Número de Reynolds, Re = 
𝑉𝜌𝑙
𝜇
 
Número de Froude, Fr = 
𝑉²
√𝑙𝑔
 
Número de Match, M = 
𝑉
𝑐
 
Número de Strouhal, St = 
𝑙𝜔
𝑉
 
Número de Weber, We = 
𝑉²𝜌𝑙
𝜎
 
 
5.1 SIGNIFICADO FÍSICO: 
 
𝐸𝑢 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
 
Escoamento nos quais a queda de pressão é significativa. 
 
𝑅𝑒 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
 
Escoamento em função dos efeitos viscosos. 
 
𝐹𝑟 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
 
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Escoamento em função da gravidade (escoamento de superfície livre). 
𝑀 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
Compressibilidade importante V>0,3c. 
 
𝑆𝑡 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑓𝑢𝑔𝑎
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
 
Componente não permanente se repete periodicamente. 
 
𝑊𝑒 𝛼 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
A tensão superficial tem influência direta ao escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. SEMELHANÇAS 
 
 
Semelhança significa igualdade entre dois fenômenos em todos os aspectos. 
Em todas as estruturas durante o processo e planejamento, utilizamos a maquete 
como semelhante à estrutura a ser construída (semelhança geométrica). 
Na mecânica dos fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois 
escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus 
contornos. 
Usualmente em escoamento de maiores dimensões é denominado protótipo 
ou escala natural, já no escoamento de menor escala é denominado de modelo. 
 
6.1 SEMELHANÇA GEOMÉTRICA: 
 
É a semelhança física das estruturas. 
A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é 
que a razão entre qualquer comprimento correspondente é constante. 
Esta razão é conhecida como Fator de Escala, seja para redução ou 
ampliação e unidade a ser utilizada. 
A utilização dos materiais para os protótipos tem um cuidado maior, deve-se 
lembrar de que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante como 
também a rugosidade das superfícies deve ser geometricamente semelhante. Na 
maioria dos casos, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser 
obtida de acordo com o fator de escala - problema de construção/ de material/ de 
acabamento das superfícies do modelo. 
 
 
 Semelhança geométrica 
 Semelhança cinemática 
 Semelhança dinâmica 
 
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6.2 SEMELHANÇA CINEMÁTICA: 
 
É a semelhança do movimento. 
Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato 
de linhas de corrente. 
 
 
 
6.3 SEMELHANÇA DINÂMICA: 
 
É a semelhança das forças. 
Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quandos os valores absolutos 
das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas estão numa razão fixa. 
Origem das forças que determinam o comportamento dos fluidos: 
 Forças devido à diferenças de Pressão; 
 Forças resultantes da ação da viscosidade; 
 Forças devido à tensão superficial; 
 Forças elásticas; 
 Forças de inércia; 
 Forças devido à atração gravitacional. 
 
 
 
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6.3 ESCALAS DE SEMELHANÇA: 
 
Representam a relação entre uma grandeza referente ao modelo e a mesma 
grandeza referente ao protótipo. 
Essas escalas são representadas pelo símbolo K. 
 
ESCALA GEOMÉTRICA: 𝐾𝐿 =
𝐿𝑚
𝐿𝑝
 
 
ESCALA DAS VELOCIDADES: 𝐾𝑣 =
𝑉𝑚
𝑉𝑝
 
 
ESCALA DAS VISCOSIDADES: 𝐾𝜇 =
𝜇𝑚
𝜇𝑝
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. MODELOS E PROTÓTIPOS 
 
 
Modelo 1 - Brennand Plaza, no Recife, ensaiado no túnel do vento. Medidas de pressões devidas ao 
vento na superfície externa do edifício. Escala do modelo: 1/285 
 
 
Modelo 2 - Vale do rio Arade. 
 
 
Modelo 3 - Tomada d'água e da comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Paulo Afonso IV (CHESF), 
no rio São Francisco, projetadas pala Ishikawajima do Brasil Estaleiros S/A, 1978. 
 
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8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. 
 
WHITE, FRANK M. Mecânica Dos Fluidos - 6ª Ed. AMGH Editora, 2010. 
 
sites.google.com/site/carlosruberto/. Professor Adjunto do CTEC/UFAL, Engenheiro 
civil Carlos Ruberto Fragoso Jr.