Dinânica de Sistema de Vibração cap 4

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Dinâmica de 
Sistemas e Vibrações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade: 
 
 
Vibração livre com amortecimento viscoso 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Revisão Textual: 
Profa. Dr. Patricia Silvestre Leite Di Iorio 
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zzzzzzzzzzzzzzz 
 
 
 
 
Orientação de Estudos 
 
 
Olá caros alunos, 
 
Nesta unidade estudaremos os movimentos de vibração incluindo os efeitos 
de atrito ou amortecimento do sistema. Veremos os conceitos de coeficiente de 
amortecimento viscoso e coeficiente de amortecimento crítico. Ainda estudaremos 
os três tipos de movimento derivados da relação entre estes coeficientes: sistema 
superamortecido, sistema criticamente amortecido e sistema subamortecido. 
Além da Atividade de Sistematização (AS_IV), nesta unidade, o aluno terá a 
Atividade de Aprofundamento (AP_IV) para ser entregue. Bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
Contextualização 
 
 
Nesta unidade estudaremos os movimentos de vibração incluindo os efeitos 
de atrito ou amortecimento do sistema. O amortecimento ocorre, geralmente, 
devido à resistência criada pela substância na qual o sistema vibra como água, óleo 
ou ao ar. 
Na Figura 1 abaixo vemos os três tipos de movimento: 
x(t)
criticamente 
amortecido
super 
amortecido sub 
amortecido
t/Tn
1 2 3
 
Figura - Três tipos de movimento vibratório livre com amortecimento. 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
 1. Conteúdo 
 
 
 Até agora analisamos movimentos de vibração sem incluir os efeitos de 
atrito ou amortecimento do sistema, de modo que as soluções obtidas até agora 
são aproximadas. Com o tempo as vibrações livres desaparecem, assim, é 
necessário incluir na análise do movimento o efeito das forças de amortecimento. 
Em muitos casos o amortecimento ocorre devido à resistência criada pela 
substância na qual o sistema vibra, pode ser água, óleo ou ao ar, por exemplo. 
Se um corpo de move lentamente no meio fluido, a resistência ao 
movimento é diretamente proporcional à velocidade do corpo. Uma força deste 
tipo é denominada força de amortecimento viscoso. 
A intensidade da força de amortecimento viscoso é expressa na forma 
 
 
xcF 
 
 
onde 
c
 é uma constante chamada de coeficiente de 
amortecimento viscoso, com unidades 
msN 
 (no 
Sistema Internacional) ou 
péslb 
. 
 
Como exemplo consideraremos de novo um corpo de massa 
m
 suspenso 
por uma mola de constante 
k
, e suporemos que o corpo está preso ao êmbulo de 
um cilindro, como mostrado na Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Movimento vibratório de um corpo com amortecimento 
viscoso. 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
 O efeito do amortecimento é incluído no modelo da figura pelo 
amortecedor ligado em baixo do bloco. Ocorre o amortecimento quando o pistão 
no interior do cilindro de move para cima ou para baixo. O cilindro contém um 
fluido, e o movimento do pistão é retardado. O amortecedor apresenta um 
coeficiente de amortecimento viscoso 
c
. 
 Considere que o bloco foi deslocado de uma distância 
x
 abaixo de sua 
posição de equilíbrio. A força restauradora da mola 
kx
 e a força de amortecimento 
xc
 opõem-se à este movimento. Como a soma das forças no mesmo sentido é 
dada pela massa vezes a aceleração, a equação do movimento resulta em: 
 
xmxckx  
 
ou 
0 kxxcxm 
 (1) 
 
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, 
homogênea e tem solução da forma: 
tex 
 (2) 
onde 
e
 é a base dos logaritmos naturais e 

 é uma 
constante. 
 
 Para obter o valor de 

, substituímos os valores de 
x
 na equação (1), 
assim 
t
t
t
ex
ex
ex





2



 
      02  ttt ekecem   
 E podemos escrever como 
 
  02  kcme t 
 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
 Como o termo 
te
 nunca é zero, a solução possível é encontrada igualando 
o termo entre parênteses a zero. 
 
02  kcm  
 Resolvendo esta equação de segundo grau, obtemos dois valores de 

: 
 
m
k
m
c
m
c







2
22

 
 
 Vamos definir o coeficiente de amortecimento crítico 
cc
, como sendo 
o valor que anula o radical (a parte da equação dentro da raiz), ou seja, 
0
2
2






m
k
m
cc
 
ou 
nc m
m
k
mc 22 
 (3) 
onde 
mkn 
 é a frequência angular natural, ou a 
frequência do sistema na ausência de amortecimento. 
 
 Podemos distinguir três tipos diferentes de sistemas amortecidos, 
dependendo do valor do coeficiente 
c
: 
 
1. Sistema Superamortecido: 
ccc 
. Também chamado de amortecimento 
supercrítico, as raízes 
1
 e 
2
 são reais negativas e a solução geral da 
equação (1) pode ser escrita como: 
tt
BeAex 21
 
 
 
O movimento correspondente a essa solução é não vibratório. O efeito de 
amortecimento é tão intenso que, quando o bloco é deslocado de sua posição de 
equilíbrio e solto, e volta para sua posição inicial sem oscilar. 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
t
x(t)
T n 2Tn
 
Figura 2 - A linha verde representa um sistema altamente superamortecido e a linha azul um 
sistema levemente superamortecido. 
nnT 2
. 
 
2. Sistema Criticamente Amortecido: 
ccc 
. Também chamado de 
amortecimento crítico, na solução, as raízes são iguais, 
nc mc   221
. E a solução geral da equação (1) é 
 
  tneBtAx 
 
 
O amortecimento é crítico, pois representa a condição mínima de c para o 
sistema ser não vibratório. Estes sistemas são de interesse especial na engenharia, 
pois retornam a sua posição de equilíbrio no menor tempo possível, sem oscilação. 
t
x(t)
T n 2Tn
 
Figura 3 - Sistema Criticamente Amortecido. O deslocamento decai para um nível insignificante 
após um período de natural, 
nnT 2
. 
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3. Sistema Subamortecido: 
ccc 
. Também chamado de amortecimento 
subcrítico, as raízes são complexas e conjugadas e a solução geral tem a 
forma 
 
    tBtAex dd
tmc  cossen2   
onde 
d
 é denominada a frequência angular (ou pulsação) 
natural amortecida (se trata da frequência angular natural de um 
sistema com amortecimento) definido por 
2
2
2







m
c
m
k
d
 
substituindo 
2
nmk 
 e lembrando que 
nc m
m
k
mc 22 
, temos 
2
1 






c
nd
c
c

 
onde a constante 
ccc
 é conhecida como fator de amortecimento. 
E solução geral pode ser escrita na forma 
      tDex dtmc sen2
 (4) 
onde 
D
 e 

 são constantes que podem ser determinadas pelas 
condições iniciais do problema. 
 
t
x(t)
Td 2Td d3T d4T
0
 
Figura 4 - Sistema subamortecido. 
ddT 2
. 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
A Figura 4 mostra o gráfico da equação (4). O movimento é vibratório com 
amplitude decrescente. Embora este movimento, na realidade, não se repita, o 
intervalo de tempo 
d
dT

2

, que corresponde a dois pontos sucessivos onde a 
curva toca as curvas limites, é o período da vibração amortecida. Como 
nd  
 o 
período de vibração amortecida, 
dT
, é maior do que o período da vibração não 
amortecida, 
nT 2
. 
 
 
EXEMPLOS 
 
EXEMPLO.1 A figura mostra um sistema bloco-mola-amortecedor. O bloco 
tem massa 10 kg, a rigidez da mola é 
k
 = 60 N/m e o coeficiente de 
amortecimento viscoso é 
c
 = 80 Ns/m. O bloco é deslocado para a oposição 
x
 = 
50 mm e solto a partir do repouso. Determine a equação que define o movimento 
do bloco. 
k
c
m
 
Resolução: Primeiro calculamos o coeficiente de amortecimento crítico: 
 
m
Ns
kg
mN
kg
m
k
mcc 0,49
10
60
1022 
. 
 
Unidade do coeficiente de amortecimento 
O coeficiente de amortecimento crítico é dado por 
m
k
mcc 2
, onde a massa é 
medida em kg e a rigidez por N/m. Vamos fazer a análise dimensional para chegar 
à unidade de c: 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 













kgm
N
kg
kg
mN
kg
 
Lembrando que 
   2smkgN 
 (para lembrar-se desta relação, basta lembrar que 
Força [N] = massa [kg] x aceleração [m/s2]), temos que 
   mkgsN  2
, e assim: 

























 s
kg
s
kg
sN
N
kg
kgm
N
kg
22
1
 
Substituindo agora 
  






2sm
N
kg
, 


































s
m
N
s
s
m
N
ssm
N
s
kg
2
2
1 






m
Ns
 
 
Como o coeficiente crítico obtido 
cc
 = 49,0 Ns/m é menor que o 
coeficiente 
c
 = 80 Ns/m, temos que o sistema é superamortecido. A solução é 
dada por: 
tt
BeAex 21
 
 
onde 
m
k
m
c
m
c







2
1
22

 e 
m
k
m
c
m
c







2
2
22

 
1
2
1 838,0
10
60
102
80
102
80 








 s
kg
mN
kg
mNs
kg
mNs 
Analogamente obtemos 
1
2 162,7
 s
. 
E a solução: 
tt BeAex 162,7838,0  
 
Impomos agoras as condições iniciais para obtermos os valores de A e B. No 
instante inicial 
0t
, o deslocamento é 
mmmx 050,050 
, assim: 
BABABeAeBeAe
BeAex tt




1105,0 000162,70838,0
162,7838,0 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
E podemos escrever que 
BA  05,0
. 
A segunda condição inicial é que no instante inicial o bloco está parado, ou seja, 
00  xt 
, assim    
   
   
 117,0
162,7
838,0
162,7838,00
162,7838,00
162,7838,0
0162,70838,0
162,7838,0
162,7838,0










AAB
BA
eBeA
eBeAx
BeAex
tt
tt

 
Como temos que 
BA  05,0
: 
 
 
057,0
883,0
05,0
05,0117,01
05,0117,0
117,005,0




A
A
AA
AA
 
e 
007,0057,0117,0117,0  AB
. 
Portanto a equação do movimento é dada por 
 
tt eex 162,7838,0 007,0057,0  
 
 
EXEMPLO.2 Na figura vemos um sistema vibratório amortecido. A rigidez de 
cada mola é 
k
 = 100 N/m, o coeficiente de amortecimento é 
c
 = 200 Ns/m e a 
massa é 
m
 = 25 kg. Determine a equação diferencial do movimento. Que tipo de 
movimento ocorre neste sistema? 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
m
c
k k k
c
 
Resolução: Para escrever a equação, vamos supor que o bloco é puxado 
ligeiramente para baixo. A força de restauração é realizada pelas 3 molas presas na 
parte superior do bloco (
kyFmola 3
), onde 
y
 é o deslocamento para baixo. E a 
força de amortecimento é dada pelos dois amortecedores em baixo do bloco (
ycF ntoamortecime 2
). A equação do movimento é: 
ymycky   23
 
ou 
032  kyycym 
 
Substituindo os valores da massa, do coeficiente de amortecimento e da rigidez da 
mola, temos: 
     
030040025
01003200225


yyy
ymNymNsykg

 
,que pode ser simplificado em 
01216  yyy 
 
 
Para definirmos qual o tipo de movimento, precisamos do coeficiente de 
amortecimento crítico: 
 
 
mNs
kg
mN
kgm
m
k
mc nc 173
25
1003
25222  . 
Como 
ccc 
, o sistema não vibra e é superamortecido. 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
EXERCÍCIOS 
 
EXERCÍCIO.1 O bloco da figura tem massa de 20 kg e a mola tem rigidez 
k
 = 
600 N/m, formando um sistema subamortecido. 
(a) Determine a frequência angular natural; 
(b) Determine o coeficiente de amortecimento crítico; 
(c) Após o bloco ser deslocado e solto, efetuou-se medidas da amplitude e 
obteve-se o coeficiente de amortecimento de 18,9 Ns/m. Determine a 
frequência angular natural amortecida. 
k
c
m
 
 
Respostas: 
sradn 48,5
; 
mNscc 2,219
; 
sradd 46,5
 
 
EXERCÍCIO.2 Chamamos de fator de amortecimento, a grandeza adimensional 
ccc
, que pode ser determinada experimentalmente medindo-se as amplitudes 
sucessivas do movimento vibratório do sistema. Sejam dois deslocamentos 
máximos 
1x
 e 
2x
 de um sistema subamortecido,verifique que a quantidade 
 21ln xx
, denominada decremento logaritmo é dada por: 2
2
1 12ln 






cc c
c
c
c
x
x

. 
Dica: Considere os deslocamentos máximos de 
      tDex dtmc sen2
 e 
também 
d
tt

2
12 
 e 2
1 






c
nd
c
c

. 
 
 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
RESUMO DA UNIDADE 
 
Vibração livre com amortecimento viscoso. Uma força de amortecimento 
viscoso é provocada pelo fluido com o qual o sistema está em contato. Para 
movimentos em baixas velocidades, essa força de arrasto é proporcional à 
velocidade, isto é, 
xcF 
. A constante 
c
 é denominada coeficiente de 
amortecimento viscoso. Comparando o valor de 
c
 com o valor do amortecimento 
crítico 
nc mc 2
, podemos especificar o tipo de vibração do sistema. Se 
ccc 
, o 
movimento é superamortecido; se 
ccc 
, o movimento é criticamente amortecido 
e; se 
ccc 
 então ele é subamortecido. 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
Material Complementar 
 
 
Neste link o aluno poderá simular o oscilador com amortecimento. O aluno 
escolhe valores para a rigidez da mola (k), para a massa (m) e para a constante de 
amortecimento (c, no link está denominado com a letra b). 
 
http://wwwp.feb.unesp.br/jcandido/lav/lab_vitual/02_Applet_Damp
ed_Oscillator.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de ler o material e informar-se 
sobre o assunto, vamos pôr em prática 
esses conhecimentos nas atividades! 
 
Bom trabalho! 
 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
 Anotações 
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_________________________________________________________________________________ 
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_________________________________________________________________________________ 
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Unidade: V ibração l ivre com amortec imento v iscoso 
Referências 
 
 
HIBBELER, R.C. Dinâmica: mecânica para engenharia, vol. 2; tradutor técnico Mário 
Alberto Tenan. – São Paulo: Prentice Hall, 2005. 
 
BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros. Tradução Mário 
Alberto Tenan; revisão técnica Giorgio E. O. Giacaglia. – 5. ed. – São Paulo : Makron, 
McGraw-Hill, 1991. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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