Dinânica de Sistema de Vibração cap 1

Prévia do material em texto

Dinâmica de Sistema de Vibrações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade: 
 
 
Vibração Livre sem Amortecimento 
 
 
 
 
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
 
 
ORIENTAÇÃO DE EST UDOS 
 
Olá caros alunos, 
 
Nesta unidade discutiremos as vibrações de um corpo rígido com um grau 
de liberdade sem amortecimento usando a equação de movimento. Utilize o 
conteúdo teórico e a apresentação narrada para seus estudos, além de exercícios 
no material complementar. A Atividade de Aprofundamento desta unidade é uma 
participação sua no Fórum de Discussão (não pontuado), onde uma questão 
problemática é abordada. Ao final da unidade há a Atividade de Sistematização do 
conhecimento que consta de exercícios para vocês resolverem. 
 
 
 
 
 
 
A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o 
material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É 
importante também respeitar os prazos estabelecidos no 
cronograma. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
 
 
Neste vídeo vemos a animação do movimento harmônico simples 
estudado nesta unidade. 
http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7Vg&feature=fvwrel 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
Uma vibração mecânica é o movimento em torno de uma posição de 
equilíbrio de um ponto material ou de um corpo que oscila. A maioria das 
vibrações em máquinas e estruturas são indesejáveis, pois causam aumento de 
tensões e perdas de energia. Portanto devem ser eliminadas ou reduzidas o quanto 
possível, através de projetos adequados. 
A análise de vibrações ser torna cada vez mais importante nos projetos de 
máquinas cada dia mais leves e rápidas. 
Nesta disciplina focaremos o estudo em casos simples de vibrações, isto é, 
vibrações de um corpo ou sistema de corpos com um grau de liberdade. 
Uma vibração mecânica é geralmente produzida quando um sistema é 
deslocado de sua posição de equilíbrio. O sistema tende a retornar para a posição 
estável, sob a ação de forças restauradoras atuando no sistema a fim de “restaurar” 
o estado original. Como exemplo de forças restauradoras, temos forças elásticas, 
como no caso de uma massa presa a uma mola, ou de forças gravitacionais, no 
caso de um pêndulo. O que acontece é que o sistema retorna ao seu estado inicial 
com certa velocidade que o leva além desta posição. O processo se repete e o 
sistema se mantém em movimento oscilatório ao redor de sua posição de 
equilíbrio. 
O intervalo de tempo necessário para o sistema completar um ciclo inteiro 
do movimento é chamado período da vibração. O número de ciclos por unidade 
de tempo é denominado de frequência e o máximo deslocamento do sistema de 
sua posição de equilíbrio é chamado amplitude da vibração. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
O estudo das vibrações é divido em termos das forças atuando no sistema. 
Quando o movimento é mantido somente por forças restauradoras, dizemos a 
vibração é livre. Quando uma força periódica atua no sistema o movimento 
resultante é uma vibração forçada. Quando o efeito do atrito é desprezado, 
dizemos que as vibrações são não amortecidas. E se considerarmos o atrito, a 
vibração é dita amortecida, este atrito, em maior ou menor grau faz a amplitude 
decrescer até o movimento cessar. Dentre as amortecidas ainda há casos onde o 
amortecimento é tão grande que impede qualquer vibração, fazendo o sistema 
retornar vagarosamente a sua posição original. 
Objetivos da disciplina: 
‒ Discutir as vibrações de um corpo rígido com um grau de liberdade sem 
amortecimento, usando a equação de movimento e métodos de energia; 
‒ Discutir as vibrações livres com amortecimento viscoso; 
‒ Discutir as vibrações forçadas com e sem amortecimento viscoso; 
‒ Estudar a analogia com circuitos elétricos para se estudar o movimento 
vibratório. 
 
 
2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 
 
 
O tipo mais simples de movimento de vibração é o de vibração livre e sem 
amortecimento. Um exemplo pode ser visto na figura abaixo: 
k
m
 
Figura 1 - Movimento de vibração livre e sem amortecimento. Bloco de massa 
m
 ligado a uma 
mola de rigidez 
k
 sobre uma superfície lisa. 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
Na Figura 01 um bloco de massa 
m
 está ligado a uma mola de rigidez, ou 
constante de mola 
k
. O movimento de vibração acontece quando o bloco é 
deslocado de sua posição inicial e depois solto, a mola deformada, puxa o bloco 
de volta a sua posição inicial. O bloco atingirá uma velocidade tal que será capaz 
de passar pela sua posição inicial em 
0x
. Consideraremos nesta unidade, as 
forças de atrito nulas, ou seja, uma superfície lisa, assim o movimento oscilatório 
adquirido continuará indefinidamente. 
A força elástica, que é a força restauradora, é definida por 
xkFmola .
, e 
aponta na direção do movimento, ou seja, na direção do ponto de equilíbrio 
inicial. A aceleração que o bloco obtém também será tomada na direção do 
movimento. A aceleração pode ser escrita como: 
x
dt
xd
a 
2
2 
Para mais detalhes sobre a nomenclatura utilizada nesta fórmula, vejam este 
quadro: 
 
 
 
 
Considerando todos os movimentos na direção do eixo 
x
, temos que a 
força atuando devido à aceleração é escrita por, 
xmovimento amF . 
 
Como a somatória das forças atuando no sistema da direção do eixo 
x
 se 
igualam a zero, podemos escrever, 
xmxk
amxk
amxk
FF
x
x
movimentomola
..
..
0..
0




 
 
Observamos que a aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco. 
Este movimento é denominado movimento harmônico simples. Rearranjando a 
equação: 
 
 
Clique aqui para mais detalhes sobre a nomenclatura 
utilizada nesta fórmula (Derivada Temporal) 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
Clique Aqui! 
 
0.
0.
0..
2



xx
x
m
k
x
xkxm
n


 
 
onde a constante 
n
 dada por 
m
k
n  
 
é chamada de frequência angular natural ou pulsação natural e é expressa em 
radianos por segundo (rad/s). 
 
 
 
Analisaremos agora a situação do bloco suspenso e medimos o 
deslocamento 
y
 a partir de sua posição de equilíbrio, como mostra a figura abaixo. 
m
k
 
Figura 2 - Bloco suspenso por uma mola. 
 
Quando o bloco está em equilíbrio, a mola exerce uma força para cima 
igual à Força Peso W (outros livros utilizam as letras G ou P para definir a Força 
Peso), dada pelamassa do bloco vezes a aceleração da gravidade, 
 
gmWF . 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Deslocando o bloco para uma distância 
y
, abaixo da posição de equilíbrio, 
a intensidade da força será dada pela soma da Força Peso com a Força de 
Restauração da mola, 
ykgmF ..  
 
Igualando-se todas as forças atuando no eixo 
y
 do movimento, temos: 
 
ymyk
amyk
gmamgmyk
PesoFF
y
y
movimentomola
..
..
....




 
 
Reescrevendo em termos da frequência angular natural, 
0.
2
 yy n 
 
Esta equação tem a mesma forma da equação obtida para o movimento do 
plano horizontal. 
 
 
3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 
 
 
A equação diferencial 
0.
2
 xx n
 é do tipo linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. Nota-se que as funções 
 tx nsin1 
 e 
 tx ncos2 
 
satisfazem a equação. Essas funções são, portanto, duas soluções particulares da 
equação diferencial. Para verificar a solução veja o quadro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Para verificar se 
 tx nsin1 
 é solução de 
0.
2
 xx n
, 
calculamos: 
 
 
 
 
 
Substituindo 
x
 e 
x
 na equação 
0.
2
 xx n
, temos: 
 
 
Que mostra que 
 tx nsin1 
 é uma solução. A analogia vale para: 
 
 
 
 
Multiplicando as soluções particulares pelas constantes arbitrárias de 
integração A e B e somando-as obtemos uma solução geral para a equação, dada 
por: 
   tBtAx nn  cossin 
 
Podemos agora calcular a velocidade e a aceleração do bloco, através de 
derivadas temporais sucessivas, resultando em 
   
   tBtAxa
tBtAxv
nnnn
nnnn


cossin
sincos
22



 
 
 
 
   
    tt
dt
d
x
tt
dt
d
x
tx
nnnn
nnn
n



sincos
cossin
sin
2





 
    0sinsin 22  tt nnnn 
 
 tx ncos2 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Condições iniciais 
As constantes arbitrárias A e B podem ser determinadas pelas condições 
iniciais do problema. Por exemplo, no caso do bloco deslocando-se no plano liso 
(Figura 01), no instante inicial (t = 0) o bloco foi deslocado para a direita uma 
distância 
1x
 de sua posição de equilíbrio e foi lhe dada uma velocidade inicial 
1vv 
. Substituindo 
1xx 
 e 
0t
 em 
   tBtAx nn  cossin 
, como 
00sin 
 e 
10cos 
, obtemos 
Bx 1 
 
Substituindo agora 
1vv 
 e 
0t
 em 
   tBtAv nnnn  sincos 
, temos, 
0sin0cos 11 nn xAv  
 
n
v
A

1
 
 
Assim, a equação que descreve o movimento é dada por: 
   txt
v
x nn
n
 cossin 1
1 
 
 
Função seno 
 As equações obtidas para o deslocamento, velocidade e aceleração do 
ponto podem ser reescritas de forma mais compacta em termos de uma função 
seno. Sejam 
cosCA 
 
e 
sinCB  
 
onde C e  são duas novas constantes arbritárias a serem deteminadas no lugar de 
A
 e 
B
. A relação entre as constantes é dada por: 22 BAC  . 
 
Substituindo na equação, temos, 
   tCtCx nn  cossinsincos  
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Utilizaremos a identidade trigonométrica: 
   sinsincoscossin para simplicar a equação em, 
   tCx nsin 
 
E consequentemente, temos: 
 
 



tCxa
tCxv
nn
nn
sin
cos
2

 
 
Gráfico 
 Um gráfico de 
x
 versus 
tn
 para a equação é mostrado na Figura 03. O 
deslocamento máximo do bloco em relação à sua posição de equilíbrio é a 
amplitude da vibração que é a constante 
C
. O ângulo  é chamado de fase inicial 
ou ângulo de fase e representa quanto a curva está deslocada em relação à origem 
no instante 
0t
. 
x
C
C
Período
T
n
 
Figura 3 - Gráfico de 
x
 versus 
tn
 para a equação 
   tCx nsin
. O período T é igual a 
um ciclo 2π = 
tn
. Para este exemplo ϕ = 0. 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Período e frequência 
 Observamos pela Figura 03 que a curva senoidal completa um ciclo em um 
tempo 
Tt 
, ou seja, quando o ciclo 
Tn 2
, assim, 
n
TPeríodo

2

 
 
Esse tempo é denominado período, e também pode ser expresso por, 
k
m
T 2
 
 
A frequência 
f
 é definida como o número de ciclos por unidade de 
tempo, ou seja, o inverso do período, 


2
1 n
T
fFrequência  
 
A unidade da frequência no S.I. (Sistema Internacional de Unidades) é hertz 
(símbolo Hz), de forma que 1Hz = 1 ciclo/s = 2π rad/s. 
 
Frequência natural 
 Quando um corpo ou sistema de corpos interligado sofre um deslocamento 
inicial a partir de sua posição de equilíbrio e é, em seguida, abandonado, o corpo 
passa a vibrar com sua frequência natural 
n
. 
Se o corpo apresenta apenas um grau de liberdade, isto é, se sua posição 
pode ser descrita em apenas uma coordenada, então o movimento de vibração 
terá as mesmas características do movimento harmônico simples do sistema bloco-
mola descrito no início desta unidade. Assim, o movimento do corpo é descrito 
pela equação: 
0.
2
 xx n
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
E se a frequência angular natural 
n
 do corpo for conhecida, o período da 
vibração 
T
, a frequência natural 
f
 e outras características do movimento de 
vibração do corpo podem ser determinadas. 
 
PONTOS IMPORTANTES 
 A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por forças 
restauradoras gravitacionais ou elásticas. 
 A amplitude é o deslocamento máximo de um corpo. 
 O período é o tempo para se completar um ciclo. 
 A frequência é o número de ciclos completos por unidade de tempo. 
 Um sistema com um grau de liberdade exige apenas uma coordenada para 
definir a sua posição. 
 
 
EXEMPLOS 
 
EXEMPLO.1 Uma mola apresenta rigidez k = 600 N/m. O sistema está na 
vertical, e um bloco de 4,0 kg é preso à mola. O bloco é empurrado 50 mm acima 
da sua posição de equilíbrio e solto. Determine a equação que descreve o 
movimento do bloco. Suponha que os deslocamentos positivos sejam medidos 
parabaixo. 
Resolução: A equação que descreve o movimento é: 
   tBtAx nn  cossin 
. 
vamos determinar as constantes A, B e a frequência angular. 
Primeiro a frequência angular: 
srad
kg
mN
m
k
n 25,12
0,4
600

. 
No ponto inicial, em 
t
 = 0, temos o deslocamento 
x
 = - 0,050 m (negativo pois, 
neste exemplo, o deslocamento é para cima e os deslocamentos positivos são 
medidos para baixo) e a velocidade inicial nula, v = 0. Substituindo em 
   tBtAx nn  cossin 
, obtemos: 
    BBABA  00cos0sin025,12cos025,12sin05,0
 
E obtemos o valor de 
B
 = - 0,05. 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
Substituindo agora, na equação da velocidade: 
   tBtAv nn  sincos 
 
          025,12.025,12sin25,12025,12cos25,120  ABA 
 
Obtemos 
A
 = 0. 
Substituindo agora os valores obtidos de 
A
, 
B
 e 

 na equação geral do 
movimento: 
 mtx 25,12cos05,0
 
 
EXEMPLO.2 Um bloco de massa 3,0 kg está preso a uma mola que se alonga 60 
mm. Determine a freqüência natural e o período de vibração se um bloco de 0,5 kg 
estiver ligado à mola. 
Resolução: Com os dados da massa de 3,0 kg e da alongação de 60 mm 
podemos calcular o k da mola. 
xkF  .
, onde a força F é dada pela massa do bloco vezes a aceleração da 
gravidade. Considere 
28,9 smg 
. 
   
mN
m
smkg
x
gm
x
F
k 490
060,0
8,90,3.
2







 
 
A constante da mola não varia com a massa, assim podemos calcular a 
frequência angular com a nova massa, 
srad
kg
mN
m
k
n 3,31
5,0
490

 
 
A frequência natural é determinada por, 


2
3,31
2
srad
f n 
 
Hzf 98,4
 
E o período: 
Hzf
T
97,4
11

 
sT 20,0
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
EXEMPLO.3 Um bloco de 50 kg é pendurado por molas de duas maneiras, como 
mostra a figura. O bloco é puxado 40 mm abaixo de sua posição de equilíbrio e 
então liberado. A rigidez de cada mola é 
1k
 = 4,0 KN/m e 
2k
 = 6,0 KN/m. Para 
cada um dos casos determine o período de vibração. 
.
m
k2
m
k1
k1 k2
 
RESOLUÇÃO: 
a) Molas em Paralelo. Como para uma deformação 
x
 os módulos das 
forças exercidas pelas molas são 
xk 1
 e 
xk 2
 temos 
  xkkxkxkF  2121 
 
A constante 
k
 de uma única mola equivalente 
mkNmkNmkNkkkP /0,10/0,6/0,421 
 
n
T

2

 onde 
srad
kg
mN
m
k
n 1,14
50
101 4



 
srad
T
1,14
2

 
sT 444,0 
 
b) Molas em Série. Determinaremos a constante 
k
 de uma única mola 
equivalente, 
21
21
k
F
k
F
xxx 
 e verificamos que 
21
111
kkk

 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
OBS: Atenção note que as fórmulas são ao contrário da relação série-
paralelo de resistores! 
mNk
mkNmkNkkk
S
S
3
21
104,2
/6
1
/4
1111

 
srad
kg
mN
m
k
n 9,6
50
104,2 3



 
srad
T
9,6
2

 
sT 91,0
 
 
EXEMPLO.4 Uma barra uniforme é apoiada em suas extremidades pelas molas, 
cada uma com a mesma rigidez 
k
. Se nada está apoiado na barra, o período de 
vibração vertical da barra é de 0,83 s. Quando colocamos sobre seu centro uma 
massa de 50 kg, seu período se altera para 1,52 s. Calcule a rigidez de cada mola e 
a massa da barra. 
kk
 
 
RESOLUÇÃO: O período da barra pode ser descrito como: 
k
m
T
n



2
2

. 
Sem a massa extra, adotando 
Bm
 como a massa da barra e lembrando que as 
constantes 
k
 se somam, podemos escrever: 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
k
m
s B
2
283,0 
 (eq.1) 
 
Com a massa de 50 kg, temos 
k
kgm
s B
2
50
252,1

 
 (eq.2) 
Manipulando a eq.1: 
kmB 0349,0
 (eq.3) 
Manipulando a eq.2: 
kmB 1170,050 
 (eq.4) 
Substituindo a eq.3 na eq.4: 
kk 1170,0500349,0 
 
Obtemos 
mNk 609
 e 
kgmB 2,21
. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
EXERCÍCIO.1 Uma mola de rigidez k = 80 N/m é utilizada para suspender um 
bloco de massa 8,0 kg. É dada ao bloco uma velocidade inicial para cima de 0,4 
m/s quando este está 90 mm acima da sua posição de equilíbrio, determine a 
equação que descreve o movimento do bloco e seu deslocamento máximo a partir 
da posição de equilíbrio. Suponha que os deslocamentos positivos sejam medidos 
para baixo. 
Respostas: 
   ttx 16,3cos09,016,3sen126,0 
 m e 
mC 155,0
. 
 
EXERCÍCIO.2 Considere um bloco de 6,0 kg suspenso por uma mola de rigidez 
k = 200 N/m. É dada ao bloco uma velocidade de 0,4 m/s para cima quando este 
está 75 mm acima da sua posição de equilíbrio. Determine a equação que 
descreve o movimento do bloco e o seu deslocamento máximo, medido a partir da 
sua posição de equilíbrio. Suponha que os deslocamentos positivos sejam medidos 
para baixo. 
 
Respostas: x = -0,0693sen(5,77t) – 0,075cos(5,77t) m e C = 0,102m 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
 
Como material complementar desta unidade temos um exemplo extra e 
sugiro a leitura de capítulos dos livros texto. 
 
Exercício. Extra No “power point narrado” discutimos a 
solução para o pêndulo simples. Nesta solução 
simplificamos, para pequenas oscilações, que 
 sin
, 
como ficaria a resolução do exercício sem esta 
aproximação? 
 
A resolução do período 
g
l
 2
 é somente aproximada. Para obter uma 
equação exata para o período de oscilações, temos a equação: 
0sin  
l
g
 
 
Multiplicando ambos os termos por 
2
 e integrando de uma posição inicial 
correspondente à máxima deflexão, isto é, 
m 
 a 
0
, obtemos 
 m
l
g  coscos22  
 
Substituindo 
cos
 por 
 2sin21 2 
, isolando 
dt
 (que vem de 
 22 dtd 
) e integrando em um quarto de período de t = 0, 
0
 a t = T/4, 
m 
, temos 
   



m
sinsin
d
g
l
m



0 22 22
2
 
 
Fazendo 
     sin2sin2sin m
 
podemos escrever 
 


 2
0 22 sin2sin1
4



m
d
g
l
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livresem Amortecimento 
 
onde a integral, comumente chamada de K, pode ser encontrada nas Tabelas de 
Integrais Elípticas. A fim de comparar o resultado obtido com o já obtido, 
escrevemos na forma: 









g
lK


 2
2
 
 
Esta fórmula mostra que o valor correto do período de um pêndulo simples 
pode ser obtido multiplicando-se o valor aproximado pelo fator de correção 
K2
. 
O valor deste fator de correção varia com o ângulo 
m
. Para ângulos até 100 o 
valor é desprezível. Mesmo para valore até 600, este termo é de aproximadamente 
1,07, e dependendo da precisão desejada, também pode ser desprezado. 
 
Leitura.Extra Sugiro a leitura do capítulo 22, item 22.1, 
do livro: 
Hibbeler, R.C. Dinâmica : mecânica para engenharia, 
vol. 2 / R.C. Hibbeler; tradutor técnico Mário Alberto 
Tenan. – São Paulo : Prentice Hall, 2005. 
 
 
 
E do capítulo 19 do livro: 
Beer, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para 
engenheiros / Ferdinand P. Beer, E. Russell Johston, Jr ; 
tradução Mário Alberto Tenan ; revisão técnica Giorgio E. 
O. Giacaglia. – 5. ed. – São Paulo : Makron, McGraw-Hill, 
1991. 
 
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br 
 
 
 
 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
 ANOTAÇÕES 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br 
 
 
 
20 
 
 Unidade: Vibração Livre sem Amortecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.cruzeirodosul.edu.br 
Campus Liberdade 
Rua Galvão Bueno, 868 
01506-000 
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000 
 
Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br