Buscar

Analise_Dimensional_2013

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 13 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  1	
  
	
  
 
 
Unidades de Medida e o Sistema Internacional (SI) 
 
Importância do SI 
Clareza de entendimentos internacionais (técnica, científica) ... 
Transações comerciais ... 
Garantia de coerência ao longo dos anos ... 
Coerência entre unidades simplificam equações da física ... 
As sete unidades de base 
Grandeza unidade símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica ampére A 
Temperatura kelvin K 
Intensidade luminosa candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
O quilograma (kg): é igual à massa do protótipo internacional do quilograma. 
incerteza atual de reprodução: 10-9 g, busca-se uma melhor definição. 
O ampére (A): é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois 
condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e 
situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual 
a 2 . 10-7 newton por metro de comprimento. incerteza atual de reprodução: 3 . 10-7 A. 
 
 Universidade São Judas Tadeu 
 
 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  2	
  
	
  
O kelvin (K):unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura 
termodinâmica do ponto tríplice da água. 
A candela (cd): é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma 
radiação monocromática de frequência 540. 1012 hertz e cuja intensidade energética nesta 
direção é de 1/683 watt por esterradiano. Incerteza atual de reprodução: 10-4 cd. 
O mol (mol): é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares 
quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. incerteza atual de reprodução: 6 . 
10-7 mol. 
As unidades derivadas 
 
Estas grandezas, quando associadas, podem formar outras referências de unidades tais como, 
força, energia, potência e carga elétrica que já são familiares no dia a dia. 
Sistema Internacional de Unidades - SI - versus fator de potência de 10 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  3	
  
	
  
As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequência são o 
grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo 
a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo. 
Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande 
ou muito pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama 
geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral utilizamos o 
quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, 
quando o assunto é bebidas por exemplo. 
Múltiplos e Submúltiplos 
Os múltiplos e submúltiplos mais frequentemente utilizados estão expostos na tabela a seguir: 
Tabela de Múltiplos e Submúltiplos mais Utilizados das Unidades de Medida 
Múltiplos Submúltiplos 
múltiplo sigla relação com a unidade submúltiplo sigla relação com a unidade 
quilo k mil vezes a unidade deci d décima parte da unidade 
hecto h cem vezes a unidade centi c centésima parte da unidade 
deca da dez vezes a unidade mili m milésima parte da unidade 
Abaixo temos a tabela completa com todos os múltiplos e submúltiplos definidos: 
Utilização das Unidades de Medida 
Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na 
verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente é 
chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro. 
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida 
utilizada nesta medição seria o metro cúbico. 
Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. 
Áreas são medidas em metros quadrados. 
Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta medição a 
unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear. 
Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será 
pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama. 
Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus múltiplos e 
submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - 
SI: 
 
Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  4	
  
	
  
Medida de Grandeza 
Fato
r Múltiplos Unidade Submúltiplos 
Capacidad
e litro 10 kl hl dal l dl cl ml 
Volume metro cúbico 
1000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
Área metro quadrado 100 km
2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
Comprimento metro 10 km hm dam m dm cm mm 
Massa grama 10 kg hg dag g dg cg mg 
 
Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator 
multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que 
apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator. 
A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada 
multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo da unidade 
original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos 
forem o número de níveis de uma unidade a outra. 
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida 
Converta 2,5 metros em centímetros 
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro 
está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para 
centímetros saltamos dois níveis à direita. Primeiro passamos de metros para decímetros e 
depois de decímetros para centímetros: 
 
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita. 
Portanto: 
2,5 m é igual a 250 cm 
Passe 5.200 gramas para quilogramas 
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está 
à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para 
quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, 
depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma: 
 
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda. 
Portanto: 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  5	
  
	
  
5.200 g é igual a 5,2 kg 
Quantos centilitros equivalem a 15 hl? 
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos 
então 15 por 10 quatro vezes: 
 
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita. 
 
Portanto: 
150.000 cl equivalem a 15 hl. 
Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3? 
Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à 
esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes: 
Portanto: 
0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica 
equivalem a 14 mm3. 
Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados 
Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três 
níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes: 
 
Istoequivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda. 
Portanto: 
50 dm2 é igual a 0,00005 hm2 
 
Equivalência entre medidas de volume e medidas de capacidade 
Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l. 
Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l. 
Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml. 
1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 é equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl. 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  6	
  
	
  
Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de Capacidade 
Quantos decalitros equivalem a 1 m3? 
Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, 
passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez: 
 
 
 
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. 
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma: 
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então 
passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes: 
 
Portanto: 
100 dal equivalem a 1 m3. 
348 mm3 equivalem a quantos decilitros? 
Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu 
equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, já que cm3 
e ml se equivalem. 
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida 
de capacidade. 
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à 
esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes: 
 
Logo: 
348 mm3 equivalem a 0,00348 dl. 
Dúvidas Frequentes 
Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados? 
Converter medidas em decilitros para gramas. 
Quantos litros cabem em um metro quadrado? 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  7	
  
	
  
Como passar litros para milímetros? 
Quantos centímetros lineares há em um metro quadrado? 
Conversão de litros para gramas. 
Um centímetro corresponde a quantos litros? 
Como passar de centímetros quadrados para mililitros? 
Quantos mililitros tem um centímetro? 
Transformar m3 em metro linear. 
Quanto vale um centímetro cúbico em gramas? 
Observe que o problema é que elas buscam a conversão entre unidades de medidas 
incompatíveis, como por exemplo, a conversão de metro cúbico para metro quadrado. 
A primeira é uma unidade de medida de volume e a segunda é uma unidade de medida de área, 
por isto são incompatíveis e não existe conversão de uma unidade para a outra. 
EXERCÍCIOS: 
1) As unidades de comprimento, massa e tempo no Sistema Internacional de unidades são, 
respectivamente, o metro(m) o quilograma(kg) e o segundo(s). Podemos afirmar que, nesse 
sistema de unidades, a unidade de força é: 
a) kg.m/s. b) kg.m/s2. c) kg2.m/s. d) kg.m2/s e) kg.s/m. 
2. Qual a relação entre o metro cúbico e o litro? 
3. Como transformamos 1 m¤ em cm¤? 
4. Como transformamos 1 km£ em m£? 
5. Como transformamos 1 km em metros? 
6. O que é o sistema MKS? 
7. Um metro cúbico corresponde a quantos litros? 
8. Se convertermos 100 cm£ em m£, quantos m£ teremos? 
9. Se convertermos 1km£ em m£, quantos m£ teremos? 
Gabarito: 
1. [B] 
2. Ambas são unidades para medida de volume, e 1m¤ = 1000 litros. 
3. Multiplicando por 1 milhão. 
4. Cada 1 km£ = 1 000 000 m£. Basta portanto, multiplicar por 1 milhão. 
5. Cada 1 km = 1000 m. Basta portanto, multiplicar por 1000. 
6. É um sistema de unidades que utiliza para o comprimento o metro, para a massa o quilograma e para o 
tempo o segundo. É o atual Sistema Internacional (SI). 
7. 1000 
8. 0,01 
9. 1 000 000 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  8	
  
	
  
Análise Dimensional 
Principais usos: 
Verificação da homogeneidade de fórmulas; 
Previsão de equações físicas; 
Mudança de unidades; 
Grandezas Físicas Fundamentais 
 
 
EXEMPLOS: 
velocidade 
 
aceleração 
 
Força 
 
Quantidade de movimento 
 
Impulso de uma força 
 
Energia ou trabalho de uma força 
 
 
 
 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  9	
  
	
  
ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS 
 
Velocidade:[v]=LT-1 
Aceleração:[a]=LT-2 
Força: [F]=MLT-2 
Trabalho:[E]=ML2T-2 
Energia:[E]=ML2T-2 
Torque:[E]=ML2T-2 
Potência:[Pot]=ML2T-3 
Momento:[Q]=ML T-1 
Velocidade angular:[ω]=T 
Frequência:[F]=T-1 
 
Carga elétrica:[q]=IT 
Campo elétrico:[E]=MLT-3 I 
Potencial elétrico:[U]=ML2T-3 I-1 
Resistência elétrica:[R]=ML2T-3 I-2 
Campo magnético:[B]=MT-2 I-1 
Fluxo magnético[Ф]=ML2T-2 I-1 
 
Calor específico:[c]=L2T-2 θ-1 
 
Coeficiente de dilatação[ α ]= θ-1 
Fluxo de calor:[ Ф ]= ML2T-3 
Intensidade sonora[I]=MT-3 
 
GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS 
 
Coeficientes de atrito => Índice de refração => Rendimento => Nível de intensidade sonora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  10	
  
	
  
TEOREMA DE BRIDGMAN 
 
Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas 
primárias. 
Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C 
... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever: 
G = K Aα Bβ Cγ...Zω 
 
ATENÇÃO!!! 
 
Todo arco é adimensional. 
Toda função trigonométrica é adimensional 
Todo expoente é adimensional. 
Toda grandeza definida pela razão de duas grandezas físicas, de mesma dimensão, é 
adimensional. 
Só podemos somar e subtrair grandezas físicas de mesma dimensão. 
 
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Uma equação física verdadeira deve ser dimensionalmente homogênea, isto é, dever ter em 
ambos os membros a mesma fórmula dimensional. 
 
Exemplo: 
 
Homogeneidade das equações 
Exemplo: 
Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em função do tempo (t) por: 
X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, obtenha a fórmula dimensional de A, B e C. 
A	
  =	
  M0LT0,	
  	
  sendo	
  Ct	
  =	
  M0L0T0,	
  =	
  CT	
  =>	
  	
  C	
  =	
  M0L0T-­‐1	
  	
  
Sendo,	
  cos(Ct)	
  adimensional,	
  temos	
  que,	
  B	
  =	
  M0LT0	
  	
  	
  
Determine	
  a	
  homogeneidade	
  das	
  equações:	
  
a)S	
  =	
  S0+	
  V0t	
  +	
  at2/2	
  
b)	
  V2	
  =	
  V02	
  +2aΔs	
  
	
  
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  11	
  
	
  
Previsão de fórmulas 
Exemplo: A intensidade da resultante centrípeta é função apenas da massa, da velocidade e do 
raio da trajetória. Por análise dimensional podemos obter a menos da constante dimensional(K), 
a expressão da intensidade da força centrípeta. 
 
[Frcp] = k.mx.vy.rz => MLT-2 = k Mx. (LT-1)y.Lz => MLT-2 = k .Mx. LyT-y.Lz 
 
MLT-2 = k .Mx. Ly+z .T-y => comparando os expoentes dos termos semelhantes, temos: 
 
x=1, y =2 , z = -1 
Assim, Frcp= k.m1.v2.r-1 => Frcp= k.m.v2/r => onde k = 1. 
 
Exercícios: 
 
1) Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de 
um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a 
gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para 
calcular T, isto é, uma função do tipo T=f(L,m,g). 
 
2) Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual é dado pelo produto vetorial do vetor 
posição dessa massa pelo seu momento linear. Então, em termos dasdimensões de comprimento 
(L), de massa (M), e de tempo (T), um momento angular qualquer tem sua dimensão dada por 
dada por 
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1. xd) L2MT–1. e) L2MT–2. 
 
3) Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta 
por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa 
onda de amplitude a, frequência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ρ, 
foi determinada que a intensidade é dada por: I = 2π2.f x.ρ.v.ay 
Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente. 
xa) x = 2; y = 2 b) x = 1; y = 2 c) x = 1; y = 1 d) x = -2 ; y = 2 e) x = -2; y = -2 
	
  
4) Um estudante do 1º ano de Engenharia não se lembra da fórmula correta que relaciona o 
módulo da velocidade v de propagação do som, com a pressão P e a massa específica ρ , num 
gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo vα = CPβ/ρ , em que C é uma constante 
adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes α e β 
evalem respectivamente: 
a)1;2 b)1,1 xc)2,1 d)2,2 e) 3,2 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  12	
  
	
  
5) Uma partícula de massa m oscila no eixo OX sob a ação de uma força F = - k.x3, na qual k é uma 
constante positiva e x é a coordenada da partícula (figura 1). 
Suponha que a amplitude de oscilação seja A e que o período seja dado por (figura 2). 
 
onde c é uma constante adimensional e α, β e γ são expoentes a serem determinados. 
Utilize seus conhecimentos de análise dimensional para calcular os valores de α, β e γ. 
6) A força elástica de uma mola é dada pela Lei de Hooke, F = kx, onde k é a constante elástica 
da mola e x é o comprimento do tanto que a mola foi esticada (ou comprimida). Utilizando 
análise dimensional, encontre as unidades no SI da contante k. 
 
7) A Lei da Gravitação Universal de Newton estabelece que a força de atração gravitacional 
entre dois corpos é dada por: 
 
Onde G é a constante gravitacional, M e m são as massas dos corpos e r é a distância entre seus 
centros. Determine as unidades da constante G no SI, utilizando análise dimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensão	
  –	
  Análise	
  dimensional	
  e	
  Sistema	
  de	
  Unidades.	
   Página	
  13	
  
	
  
Referências Bibliográficas 
• Sistema Internacional de Unidades. 8
a 
Ed. Rio de Janeiro: INMETRO, 2007. 
 
Disponível em www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf 
 
• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 2, 3 e 4. 6
a
. Ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 1996. 
 
.INMETRO. Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia - VIM. 
Versão brasileira do "Vocabulary of Basic and General Terms in Met rology". Rio de 
Janeiro: INMETRO, 1995. 
 
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE 
INDUSTRIAL (INMETRO) et al. Guia para Expressão da Incerteza de Medição. Edição 
Brasileira do "Guide of Uncertaincy in Measurements" . 2. ed. Rio de Janeiro, 1998. 
 
Notas de aulas do Professor Dulceval Andrade de Santana- Dulceval_andrade@yahoo.com.br 
 
Universidade de Brasília (UnB) 
http://www.unb.br/portal 
Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) 
http://www.unicamp.br 
Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (Unesp) 
http://www.unesp.br 
Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) 
http://www.uerj.br 
Universidade de São Paulo (USP) 
http://www.usp.br 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) 
http://www.ufrj.br 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) 
http://www.ufrn.br 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) 
http://www.ufrgs.br/ufrgs 
 
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 
http://www.ufscar.br 
 
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) 
http://www.ufsm.br

Outros materiais