7ª Lista - Unidade I

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Cálculo Numérico
Período: 2013.1
Aluno(a):
7
a
Lista de Cálculo Numérico - Noite - 06/06/2013
Método do ponto �xo- MPF De�nimos p como um ponto �xo de uma função g se g(p) = p. Em
geral, o problema de se encontar uma raiz para a função g é semelhante ao problema de se encontar os
pontos �xos da função g.
Ou seja, encontar g(x) = 0, é equivalente ao problema, φ(x) = 0 em φ(x) = x− g(x).
1
a
Equivalência Se f(p) = 0 ⇐⇒ De�ne um fução g com ponto �xo em p.
Exemplo: g(x) = x− f(x) com g(p) = p
g(p) = p− f(p) = p =⇒ f(p) = 0
2
a
Equivalência Se g(x) = x + 3f(x) com g(p) = p. Isto é equivalente à g(p) = p + 3f(p) = p =⇒
3f(p) = p− p = 0.
Exemplo Encontre os ponto �xos da função f(x) = x2 − 2, no intervalo −2 ≤ x ≤ 3.
Solução: Para encontramos os números p que satisfaz a condição f(p) = p, basta resolvermos a
equação p2 − 2 = p, ou s seja, p1 = 1 e p2 = 2.
Teorema
i) Se g ∈ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b], para todo x ∈ [a, b], então g tem um ponto �xo em [a, b].
ii)Se, adicionalmente, g′(x) existe em (a, b) e uma constante positiva k < 1 existe, tal que |g′(x)| ≤ k,
para todo x ∈ (a, b), então o ponto �xo em [a, b] é único.
Demonstração:
Parte i) Se g(a) = a ou se g(b) = b, então g tem um ponto �xo em um ponto extremo. Se não, então
g(a) > a e g(b) < b.
De�na a função h(x) = g(x)− x contínua sobre [a, b] com h(a) = g(a)− a > 0 e h(b) = g(b)− b < 0.
Do teorema do valor intermediário (TVI) existe p ∈ (a, b) tal que h(p) = 0.
Então este número p é um ponto �xo para g, ou seja:
h(p) = g(p)− p = 0 =⇒ g(p) = p
1
Parte ii)Suponha que,|g′(x)| ≤ k < 1 e que p, q ∈ [a, b] são ponto �xos de g.
Se p 6= q, o TVM (Teorema do Valor Médio) estabelece que existe um número p < α < q e consequen-
temente em α ∈ [a, b] tal que:
g(p)− g(q)
p− q = g
′(α)
Assim, sendo:
|p− q| = |g(p)− g(q)| = |g′(α)|.|p− q| ≤ k|p− q| < |p− q|, que é um contradição. Logo p 6= q.
Portanto p = q e o ponto �xo é único.
Exemplo Seja g(x) =
x2 − 1
3
em [−1, 1]. O teorema do valor extremo estabelece que o mínimo
absoluto de g ocorre em x = 0 e g(0) = −1
3
. Do mesmo modo, o máximo absoluto de g ocorre em x = ±1
e tem o valor g(±1) = 0. Além do mais, g é contínua, e:
|g′(x)| = |2x
3
| ≤ 2
3
, para todo x ∈ (−1, 1)
Portanto g satisfaz todas hipotéses do teorema anterior e deste modo g tem um único ponto �xo no
intervalo [−1, 1].
Neste exemplo, o ponto �xo único p no intervalo [−1, 1] pode ser determinado algebricamente. Se:
p = g(p) =
p2 − 1
3
, entao p2 − 3p− 1 = 0,
que, aplicando-se a fórmula qudrática, apresenta como resultado:
p =
1
2
(3−
√
13)
Note que g também tem um único ponto �xo p =
1
2
(3 +
√
13) para o intervalo [3, 4]. Entretanto,
g(4) = 5 e g′(4) =
8
3
> 1, e assim sendo, g não satisfaz as hipóteses do teorema anterior no intervalo
[3, 4]. Portanto, as hipóteses do teorema são su�cientes, mas não necessárias, para garantir um único
ponto �xo.
2