APOL Álgebra Linear e Estrutura Algébrica nov.2016

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ATIVIDADE PEDAGÓGICA ON-LINE - UTA PRODUÇÃO DE MATERIAIS E ÁLGEBRA - C 2016 - FASE I
Disciplina(s):
Álgebra Linear
Estrutura AlgébricaJONAS RAFAEL ALBOLEIA - RU: 1282557 Nota: 70	PROTOCOLO: 201611031282557D22210
	Data de início:	03/11/2016 20:57
	Prazo máximo entrega:	-
	Data de entrega:	04/11/2016 23:30
Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Sobre o anel do inteiros (Z, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam as operações usuais em Z, assinale a alternativa correta:
Nota: 0.0
	A	Para todo a ∈ Z, vale a ⋅ 0 ≠ 0.
	 B	A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é,
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c para todos a, b, c ∈ Z.
 Como (Z, +, ⋅) é um anel, então a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita em Z.
	C	O elemento 2 ∈ Z possui inverso multiplicativo em Z.
	D	O anel (Z, +, ⋅) possui divisores de zero.
	E	(Z, +, ⋅) é corpo.
Questão 2/10 - Álgebra Linear
2Seja T : R → R2 o operador linear dado por T (x, y) = (x + 2y, 3x + 2y). Com base nesse operador, coloque V
quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
2( ) A matriz de T com relação à base canônica do R
é	1	2 .
[
]3	2
( ) O polinômio característico de T é p(λ) = λ2 − 3λ − 4.
( ) Os autovalores de T são λ1 = 1 e λ2 = −4.
Agora, marque a sequência correta:
A
V, V,
 
V.
B
V, 
F,
 
V.
Nota:
 
0.0
	 C
	V, V, F.

Como T (1, 0) = (1, 3) e T (0, 1) = (2, 2), a matriz de T na base canônica do R2 é A = [ 1 2 ]. Logo, a
3 2
afirmativa I é verdadeira. O polinômio característico de T é definido por p(λ) = det(A − λI). Assim,
p(λ) = det [ 1 − λ	2	] = λ2 − 3λ − 4, o que garante que a afirmativa II é verdadeira. Um autovalor de T é
3	2 − λ
raiz do polinômio característico p(λ). Como
p(λ) = 0 ⟺ λ = −1 ou λ = 4, concluímos que os autovalores de T são λ1 = −1 e λ2 = 4. Portanto, a afirmativa III é falsa.
	 D
	V, F, F.
	 E
	F, V, V.
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	 A
	O elemento neutro da adição de polinômios é o mesmo para a multiplicação de polinômios.
	 B
	A adição, a multiplicação e a divisão de polinômios têm a propriedade comutativa.
	 C
	A divisão de polinômios tem as mesmas propriedades da multiplicação.
	 D
	O polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
 Você acertou!
Segue das propriedades da adição de polinômios.
	 E
	O elemento neutro da divisão de polinômios é o zero.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio f(x) = x3 − 5x2 + 3x + 8
por h(x) = x − 3:
Nota: 10.0
	 A
	q(x) = 3x2 − 2x − 3 e r(x) = 1.
	 B
	q(x) = 2x2 − 2x + 3 e r(x) = 1.
	 C
	q(x) = x2 − 2x − 3 e r(x) = −1.
 Você acertou!
Basta verificar que h(x) ⋅ q(x) + r(x) = f(x).
	 D
	q(x) = x2 − 3x + 2 e r(x) = −1.
	 E
	q(x) = x2 − 3x + 3 e r(x) = −1.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considere (A, +, ⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B ⊂ A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
se a, b ∈ B, então a + b ∈ B e a ⋅ b ∈ B;
(B, +, ⋅) é um anel.
Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
( ) Com as operações usuais, Z é um subanel de R.
( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B = {2k; k ∈ Z} é subanel de Z.
( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares
C = {2k + 1; k ∈ Z} é subanel de Z.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	 A	V, V, V.
	 B
	V, F, V.
	 C
	V, V, F.
 Você acertou!
As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos Z e B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de C, mas 1 + 3 = 4 ∉ C. Assim, a afirmativa III é falsa.
	 D
	V, F, F.
	 E
	F, V, V.
Questão 6/10 - Álgebra Linear
{Considere as matrizes A = [aij]2×2 e B = [bij]2×2 definidas por aij =	i + j, se i = j
0, se i ≠ j
e bij = 2i − 3j. A matriz
A + B é
Nota: 0.0
	 A
	[ 1	4 ].
1	2
	 B
	[ −3	4 ].
1	2
	 C
	[ 1	−4 ].
1	2

Usando as definições dos elementos das matrizes de
Assim, A + B = [ 1 −4 ].
1	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A
	
e de
	
B
	
, encontramos
	
A =
	[ 2
	0 ] e
	
B =
	[ −1
	−4 ]
	
.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 D
	[ 1
−1
	−4 ].
2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
E
1
[
1
4
−2
]
.
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z, +, ⋅), (Q, +, ⋅) e (R, +, ⋅), em que + e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	 A
	(Z, +, ⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	 B
	(Z, +, ⋅) é corpo.
	C	(Q, +, ⋅) não é domínio de integridade.
	D	(Q, +, ⋅) é corpo.
 Você acertou!
Com as operações usuais, (Q, +, ⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado
∗	q	q	p q
a =	∈ Q, p ∈ Z, q ∈ Z com a ≠ 0, vem que p ≠ 0 e ∈ Q. Então, a−1 =	∈ Q, pois ⋅ = 1.
p	p	q p
	 E
	(R, +, ⋅) não é domínio de integridade.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
[Considere a matriz A =	−2	1
12	−1
]. Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor
λ = 2 :
Nota: 10.0
	 A
	[ −1 ].
3
	 B
	[ 1 ]. 0
	
	 C
	[ 7 ]. 4
	
	 D
	[ 3
5 ].
	
	 E
	[ 1 ]. 4
 Você acertou!
Observamos que [ −2
12
autovalor λ = 2.
	
1 ][ 1 ] = [ 2 ] = 2 [ 1 ], o que mostra que [ 1 ] é autovetor de A associado ao
−1	4	8	4	4
Questão 9/10 - Álgebra Linear
3Considere a transformação T : R → R3 definida por T (x, y, z) = (x, y, 0). Com base nessa transformação, coloque V
quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
( )
T é uma transformação linear.
( ) O núcleo de T é N(T ) = {(0, 0, z); z ∈ R}.
( ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T )) = 2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	 A	V, V, V.
 Você acertou!
Dados u, v ∈ R3 e λ ∈ R, observamos que T satisfaz
T (u + v) = T (u) + T (v) e T (λu) = λT (u).
Assim, T é uma transformação linear e afirmativa I é verdadeira. Além disso,
T (x, y, z) = (0, 0, 0) ⟺ (x, y, 0) = (0, 0, 0) ⟺ x = 0 e y = 0,
o que mostra que z pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T ) = {(0, 0, z), z ∈ R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que
3
dim(N(T )) + dim(Im(T )) = dim(R ) ⇒ 1 + dim(Im(T )) = 3 ⇒ dim(Im(T )) = 2.
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira.
	 B
	V, F, V.
	 C
	V, V, F.
	 D
	V, F, F.
	 E
	F, V, V.
Questão 10/10 - Álgebra Linear
2Seja T : R → R2 a transformação linear dada por T (x, y) = (x + 2y, y). Assinale a alternativa que contém a matriz
de T com relação à base canônica do R2:
Nota: 10.0
	 A
	[ 1	2 ].
0	1
 Você acertou!