Prova Objetiva Álgebra Linear nov.2016

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PROVA REGULAR - ÁLGEBRA LINEAR
Disciplina(s):
Álgebra
 
LinearJONAS RAFAEL ALBOLEIA - RU: 1282557 Nota: 30	PROTOCOLO: 201611041282557D29AE6
	Data de início:
	04/11/2016 15:58
	Prazo máximo entrega:
	04/11/2016 17:28
	Data de entrega:
	04/11/2016 17:14
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Encontre todos os autovalores e autovetores da transformação linear T : R2 → R2, definida por T(x, y) = ( − 3x + 4y, − x + 2y).
Nota: 10.0
	 A
	
v1
	
=
	2
( − 1, 5 ), λ1 = 2u2 = (2, − 1), λ
	
= − 2
	 B
	v1
	=
	( − 1, 2), λ1 = 1u2 = (1, 1), λ2 =
	3
	 C
	
v1
	
=
	1
(2, 4 ), λ1 = 2u2 = ( − 2, − 1), λ
	
2 = 3
	 D
	v1
	=
	(5, 1), λ1 = 0u2 = (3, − 1), λ2 =
	− 4
2
4
x
2
y
x
.
= 
1.
yE	v1 = (1, 1), λ1 = 1u2 = (4, 1), λ2 = − 2
 
Você acertou!
A
 
matriz
 
que
 
representa
 
a
 
transformação
 
T
 
é
 
dada
 
por:
[
T
] =
[
−
 
3
−
 
1
4
2
]
Determinamos
 
o
 
polininômio
 
característico:
P
(
λ
) = 
det
(
A 
− 
Iλ
) = 
|
− 3 −
 
λ
− 1
4
2 − 
λ
|
= 
λ 
+ 
λ 
− 2 = 0
.
Resolvendo a equação, temos 
λ
1 
= 1 
e λ
2 
= − 2
Para
 
o
 
cálculo
 
dos
 
autovetores,
 
devemos
 
resolver
 
o
 
sistema:
Av 
= 
λ
. 
v
para 
λ
1 
= 1
[
−
 
3
−
 
1
] [ ]
[ ]
temos o sistema
 
linear
{
− 4
x 
+ 4
y 
= 0
− 
x 
+ 
y 
= 0
resolvendo o sistema, temos que 
x 
= 
y v
1 
= (1, 1).
Para 
λ
2 
= − 2
[ 
−
 
3
−
 
1	
][
 
] 
=
−
 
2. 
[
 
]
temos o sistema
 
linear
{
− 
x 
+ 4
y 
= 0
− 
x 
+ 4
y 
= 0
y
esolvendo o sistema, temos que 
x 
= 
4 
ou 
y 
= 4
x 
e 
v
2 
= (4, 1).
Questão 2/10 - Álgebra Linear
4
x
x
2
y
ySejam A = [− 3 − 5 ], B = [− 1 ]e C = [− 4 − 8 ]. Assinale a alternativa que contém a matriz X que satisfaz a equação
− 1 − 2	2	1	4
A + BX = C.
Nota: 10.0
	 A
	
X
	
=
	[ 3
	1 ].
	 B
	
X
	
=
	[ − 3
	1 ].
	 C
	
X
	
=
	[ 1
	− 3 ].
	 D
	X = [ 1 3 ].
 Você acertou!
Fazendo X = [ x y ], segue da equação A + BX = C que
[− 1 ][ x y ] = [− 4 − 8 ]− [− 3 − 5 ]⟹ [− x − y ]= [− 1 − 3 ]. 2	1	4	− 1 − 2	2x	2y	2	6
Logo, x = 1 e y = 3.
	 E
	X = [ − 1
	2 ].
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Seja B = {(1, 1, 1), ( − 2, 1, 1), (0, − 1, 1)} base do R3. Verifique se esta base é ortonormal. Se não for, obtenha, a apartir de B, uma base B' que seja ortonormal.
Nota: 10.0
	 A
	B é base ortonormal.
	 B
	1 1 1	− 2 1 1	− 1 1
B´ = {( √3 , √3 , √3 ), ( √6 , √6 , √6 ), (0, √2 , √2 )}
 Você acertou!
	 C
	1 2 − 3	3	1	1 − 5 − 3
B´ = {( √4 , √4 , √4 ), ( √20 , 0, √20 ), ( √5 , √5 , √5 )}
	 D
	1 2 − 3	3	1	1 − 5 − 3
B´ = {( √5 , √5 , √5 ), ( √10 , 0, √10 ), ( √3 , √3 , √3 )}
	 E
	− 1 − 2 3	3	1	1 − 5 − 3
B´ = {( √14 , √14 , √14 ), ( √10 , 0, √10 ), ( √35 , √35 , √35 )}
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua
[
]1 0
Nota: 0.0inversa, o resultado deve ser a matriz identidade de mesma ordem. Assim, dada a matriz A = 2 1 a sua inversa é igual a:
	 A
	
A
	− 1 = [	]
1	0
− 2 1
 A inversa de A é a matriz A − 1, tal que:
A. A − 1 = I. assim, temos:
[2 1 ]. [c d ]= [0 1 ]
1 0	a b	1 0
[2a + c 2b + d ]= [0 1 ]
a	b	1 0
assim, A	= [− 2 1 ]
− 1	1	0
	 B
	
A
	
− 1 =
	[1
2
	1 ]
0
	
	
	
	
	
	 C
	
A
	
− 1 =
	[− 1
− 2
	− 1 ]
0
	
	
	
	
	
	 D
	
A
	
− 1 =
	[− 2
1
	
0
1
2
	]
	 E
	
A
	
− 1 =
	[− 2
0
	
1
1
2
	]
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por T(x, y, z) = (x − 3y + 2z, − x + 2y − 4z, 2x − y + 3z). Assinale a alternativa que apresenta o vetor u ∈ R3 tal que T(u) = ( − 7, 7, − 3).
Nota: 0.0
	 A
	u
	= (1, 2, − 1).
 Basta verificar que T(1, 2, − 1) = ( − 7, 7, − 3).
	 B
	u
	= ( − 1, 2, − 1).
	 C
	u
	=
	( − 3,
	− 2,
	− 1).
	 D
	u
	=
	(6, 4,
	− 2).
	
	 E
	u
	=
	(3, 0,
	− 5).
	
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1 = (1, − 3, 4), v2 = (3, 2, 1) e v3 = (1, − 1, 2). Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
O conjunto {v1, v2, v3} forma uma base para o R3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	 A	I, apenas.
	 B	I e II, apenas.
	 C	I e III, apenas.
	 D	II, apenas.

[4	1	2 ]
1	3	1
Observamos que det − 3 2 − 1 = 0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
	 E	II e III, apenas.
Questão 7/10 - Álgebra Linear
{i + j, se i = j
Considere as matrizes A = [aij]2 × 2 e B = [bij]2 × 2 definidas por aij = 0, se i ≠ j	e bij = 2i − 3j. A matriz A + B é
Nota: 0.0
	A	[1 4 ]
1 2 .
	B	[− 3 4 ]
1	2 .
	C	[1 − 4 ]
1	2	.

Usando as definições dos elementos das matrizes de A e de B, encontramos A = [2 0 ]e B = [− 1 − 4 ]. Assim,
0 4	1	− 2
A + B = [1	2 ].
1 − 4
	D	[ 1	− 4 ]
− 1	2	.
	E	[1	4 ]
1 − 2 .
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, sabendo que A = (aij)3x3, tal que
{
i 
+ 
j
,
se
i 
> 
j
,
i
,
se
i 
= 
j
,
se
i 
< 
j
.aij =
j,
Assinale V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A terceira coluna da matriz A tem elementos iguais a 3
( ) A soma dos elementos da diagonal principal (traço) é igual a 6 ( ) O maior elemento desta matriz é igual a 6
( ) O determinante desta matriz é nulo
( ) O determinante desta matriz é igual a 18.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 0.0
	 A	V­V­V­F­V
	 B	F­F­V­F­F
	 C	V­F­V­F­V
	 D	F­V­F­F­V
	 E	V­V­F­F­V
 A matriz A é:
[4 5 3 ]
1 2 3
A = 3 2 3
A terceira coluna tem elementos iguais a 3; Somando 1+2+3 = 6 ; O maior elemento é 5. O determinante de A é det(A)= 6+24+45­24­15­18 = 18
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Analise as seguintes matrizes e, em seguida, assinale V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.
[5 0	0 ]
[
]0 1
A = 1 0 , B = [ 5 − 2 5 ], C =
0 3	0 ,
[
]0 0 0
D = 0 0 0 , E =
[7 8 5]
0 0 − 1
8
0
0
3
e 
F 
=
0
0
1[2 ]
(	) A matriz A é uma matriz identidade. (	) A matriz F é uma matriz linha.
(	) A matriz C é um exemplo de matriz diagonal. (	) A matriz B é uma matriz de ordem 3x1.
(	) A matriz D é uma matriz nula de ordem 2x3.
(	) A matriz E é um exemplo de matriz triangular superior.
(	) A matriz F é conhecida como matriz coluna.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 0.0
	 A
	F­F­V­F­V­V­V
 A matriz A não é identidade, pois a diagonal principal teria que ser igual a 1.
F é coluna. C está correta. A matriz B tem ordem 1x3. D está correta. E está correta. F está correta.
	 B
	V­F­V­F­V­V­V
	 C
	V­V­F­F­F­V­V
	 D
	V­V­F­F­F­V­F
	 E
	V­F­F­F­V­V­V
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u = ( − 4, 10, 5), v1 = (1, 1, − 2), v2 = (2, 0, 3) e v3 = ( − 1, 2, 3). Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 :
Nota: 0.0
	 A
	u = v1 − 2v2 + 3v3.
	
	 B
	u = 2v1 − v2 + 4v3.
 Queremos encontrar α, β, γ ∈ R tais que u = αv1 + βv2 + γv3, isto é,
{− 2α + 3β + 3γ = 5. α + 2β − γ = − 4,
( − 4, 10, 5) = (α + 2β− γ, α + 2γ, − 2α + 3β + 3γ) ⟹ α + 2γ = 10,
obtemos α = 2, β = − 1 e γ = 4. Portanto, u = 2v1 − v2 + 4v3.
	
Resolvendo o sistema linear anterior,
	 C
	u = − 2v1 + v2 + 4v3.
	
	 D
	u = 10v1 − 7v2 + 4v3.
	
	 E
	u = 2v1 − v2 − 4v3.