prova_1_013

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Primeira Prova de A´lgebra Linear 1 - 08.013-6 D
23-09-2013
Nome: RA :
1. Responda verdadeiro (V) ou falso (F), sendo que cada ı´tem correto vale 20% da questa˜o e
cada ı´tem incorreto vale −10% da questa˜o. Itens em branco na˜o sera˜o computados.
a) ( ) Se B = {e1, e2, e3} e´ uma base qualquer de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se concluir
que C = {(e1 + e2), (e1 + e3), (e2 + e3), (e1 + e2 + e3)} e´ um conjunto LI de V.
b) ( ) Se V e W sa˜o espac¸os vetoriais e T : V → W e´ tal que T (0) = 0, enta˜o T e´ uma
transformac¸a˜o linear.
c) ( ) Se {e1, e2} e {f1, f2, f3} sa˜o conjuntos LI arbitra´rios de um espac¸o vetorial V, enta˜o
pode-se concluir que o conjunto {e1, e2, f1, f2, f3} e´ tambe´m um conjunto LI de V.
d) ( ) Dado um conjunto LD arbitra´rio {v1, v2, v3, v4} de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se
concluir que o conjunto {v1, v2, v3, v4, w} e´ tambe´m LD, qualquer que seja w ∈ V.
e) ( ) Dado um conjunto LI arbitra´rio {v1, v2, v3, v4} de um espac¸o vetorial V, enta˜o pode-se
concluir que o conjunto {v1, v2, v3} e´ tambe´m LI.
2. Seja T : R3 → R2 a (u´nica) transformac¸a˜o linear que satisfaz o seguinte: T (1, 0,−1) = (2, 0),
T (−1,−2,−1) = (0, 1) e T (1,−1, 1) = (1, 1).
a) Calcule T (−1, 3, 1);
b) Dado que α = {(1, 0,−1), (−1,−2,−1), (1,−1, 1)} e´ base de R3 e β = {(2, 0), (0, 1)} e
γ = {(0, 1), (1, 1)} sa˜o bases de R2. Calcule a matriz de mudanc¸a da base β para a base γ e
calcule as matrizes [T ]αβ , [T ]
α
γ .
c) Se v = (2,−1, 0), calcule [v]α, [T (v)]β e [T (v)]γ.
d) Calcule a dim Ker(T ). Justifique sua resposta.
3. Sejam P2 e P4 os espac¸os vetoriais dos polinoˆmios com coeficientes reais de grau menor ou
igual a 2 e de grau menor ou igual a 4 respectivamente, com a soma e produto usuais de
polinoˆmios e seja T : P2 → P3, dada por T (p(x)) = p′(x) +
∫ x
0
p(t)dt.
a) Prove que T e´ uma transformac¸a˜o linear;
b) T e´ sobrejetora? justifique.
4. Seja M(n, n,R) o espac¸o vetorial das matrizes quadradas de ordem n com entradas reais. Em
cada um dos itens abaixo prove que W e´ um subespac¸o vetorial de M(n, n,R) e determine
sua dimensa˜o.
a) W = {A = (aij) ∈M(3, 3,R) : aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ 3};
b) W = {
(
a11 a12
a21 a22
)
∈ V : a11 + a22 = 0}.
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