Resumo Cap 5 - Livro Materiais e Dispositivos Eletrônicos / Segio M. Rezende, 2 ed.

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Data: 09/12/2016
Murilo Leonardelli Daltio
Estrutura da Mate´ria
2016/2
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro Tecnolo´gico
Departamento de Engenharia Ele´trica
CAPI´TULO 5:
Materiais Semicondutores
5.1 Semicondutores
Os semicondutores sa˜o caracterizados por uma banda de valeˆncia cheia e uma banda de
conduc¸a˜o vazia a T=0, separadas por um gap de energia relativamente pequeno. Devido
ao pequeno gap, o semicondutor apresenta um nu´mero aprecia´vel de ele´trons na banda
de conduc¸a˜o, embora muito menor do que os metais. Isto resulta numa condutividade
intermedia´ria. Esta e´ a raza˜o do nome semicondutor.
O processo de adic¸a˜o de impurezas (dopagem) do semicondutor pode alterar drasti-
camente a condutividade do mesmo. E´ esta propriedade que possibilita a fabricac¸a˜o de
dispositivos eletroˆnicos.
O semicondutor mais importante para a eletroˆnica e´ o sil´ıcio. Ele tem a mesma estru-
tura cristalina do diamante, mostrado na Figura 1, formada apena por a´tomos de Si. A
Figura 2 mostra a estrutura de bandas de energia do sil´ıcio, onde Eg = 1.12 eV e´ o valor
do gap de energia do Si.
Figura 1: Estrutura cristalina do Diamante
Outro semicondutor importante e´ o germaˆnio, que tambe´m tem a estrutura cristalina
e de bandas semelhantes ao do Si, pore´m com Eg = 0.66 eV a` temperatura ambiente.
Fazendo com que suas propriedades ele´tricas sejam mais sens´ıveis a mudanc¸as de tempe-
ratura.
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Figura 2: Estrutura de bandas de energia do Si.
As propriedades de conduc¸a˜o dos semicondutores sa˜o determinadas principalmente
pelo nu´mero de ele´trons na banda de conduc¸a˜o. Enta˜o elas dependem fortemente do valor
do gap Eg, mas na˜o sa˜o muito influenciadas pela forma das bandas. Por outro lado, as
propriedades o´pticas dependem muito da forma das bandas de energia. A Figura 3 mostra
as bandas de valeˆncia e conduc¸a˜o em um semicondutor de gap direto (a) e indireto (b).
No caso da transic¸a˜o atrave´s do gap direto ocorre a emissa˜o de um fo´ton de frequeˆncia
wg = Eg/h, que e´ o fundamento dos Lasers e LEDs (Light Emitting Diode).
Figura 3: Estrutura de bandas de valeˆncia e de conduc¸a˜o em semicondutores de gap direto
(a) e indireto (b).
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5.2 Ele´trons e Buracos em Semicondutores Intr´ınsecos
5.2.1 Massa Efetiva de Ele´trons e Buracos
Num semicondutor, a excitac¸a˜o te´rmica faz com que um certo nu´mero de ele´trons passe
da banda de valeˆncia para a de conduc¸a˜o. Os ele´trons da banda de conduc¸a˜o, sob ac¸o do
campo ~ε, sentem uma forc¸a ~F = −e~ε e movem-se de acordo com a lei de Newton, com
massa efetiva igual a
m∗e = −
~2
(∂2E/∂k2)k=kmc
(1)
O ele´tron na camada da banda de valeˆncia se comporta diferente. A Figura 4 ilustra
o comportamento desde estado quando o cristal e´ submetido a um campo ~ε na direc¸a˜o ~x.
Apo´s a plicac¸a˜o do campo, todos ele´trons tendem a deslocar-se no espac¸o E(k) no sentido
kx negativo, pois:
~
dkx
dt
= −eε (2)
Note que o deslocamento de todos os ele´trons da banda no sentido kx negativo resulta
no deslocamento do estado vazio no mesmo sentido no espac¸o do momentum. Como todos
os outros estados esta˜o ocupados, a existeˆncia de um estado vazio (auseˆncia de ele´tron)
com momentum −~k1 implica em que o momentum total do sistema e´ +~k1. Assim, o
sistema comporta-se como se fosse formado por um buraco de vetor de onda.
Figura 4: Movimento de ele´tron na banda de valeˆncia: em (a) sem campo aplicado. Em
(b) e (c) com campo no sentido +x.
A equac¸a˜o da forc¸a pode ser escrita enta˜o como
~Fe = ~
d ~Ke
dt
= −~d
~Kb
dt
(3)
Sendo a forc¸a proveniente de um campo ele´trico, como a carga do ele´tron e´ negativa,
~F = −e~ε, e portanto,
+e ~ε = ~
d ~Kb
dt
(4)
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Isto mostra que o buraco se comporta como uma part´ıcula de carga positiva. Analo-
gamente a` equac¸a˜o 1, a massa efetiva do buraco e´ dada por
m∗b =
~2
(∂2E/∂k2)k=kmv
(5)
Como ∂2/∂k2 no ma´ximo da banda de valeˆncia e´ negativo, a massa do buraco e´
positiva. Isto consiste com o fato de que se um campo ele´trico e´ aplicado no sentido +x,
os buracos teˆm momentum kx > 0 e portanto, movimentam-se no sentido +x no espac¸o
real.
5.3 Semicondutores Extr´ınsecos
Os semicondutores intr´ınsecos sa˜o pouco utilizados em dispositivos por sua condutivi-
dade ser pequena e depender muito da temperatura. Em geral, utiliza-se semicondutores
dopados com impurezas, chamados de extr´ınsecos. Atrave´s da dopagem e´ poss´ıvel fazer
com que o nu´mero de ele´trons seja maior que os buracos, ou vice-versa.
Os semicondutores com predominaˆncia de ele´trons sa˜o chamados do tipo n, analoga-
mente, os que possuem maior concentrac¸a˜o de buracos sa˜o do tipo p. Apo´s a dopagem, os
semicondutores tornam-se pouco sens´ıveis a` temperatura. E´ o controle das propriedades
dos semicondutores que possibilita a fabricac¸a˜o de uma enorme gama de dispositivos.
5.3.1 Nı´vel de Energia de Impureza num Cristal
A presenc¸a de defeitos ou impurezas num cristal modifica o potencial eletrosta´tico em
sua vizinhanc¸a, produzindo func¸o˜es de onda localizadas nas proximidades da impureza.
As energias dessas func¸o˜es de onda sa˜o obtidas atrave´s da equac¸a˜o de Schroedinger
resolvida para o potencial da impureza. A Figura 5 ilustra poss´ıveis n´ıveis de energia de
impurezas nas bandas de um cristal com defeitos.
Figura 5: Perturbac¸a˜o do esquema de energia causada por impurezas.
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As impurezas acrescentadas podem ser elementos do grupo V da tabela perio´dica (P,
As ou Sb, por exemplo), que teˆm cinco ele´trons na camada de valeˆncia em vez de quatro;
ou elementos do grupo III (B, Al, Ga ou In), que possuem um ele´tron a menos que Ge ou
Si.
No caso das impurezas do grupo V, quatro de seus cinco ele´trons na camada de valeˆncia
sa˜o utilizados na ligac¸a˜o covalente com os a´tomos vizinhos. O quinto ele´tron e´ doado
para a banda de conduc¸a˜o. Assim, as impurezas do grupo V sa˜o do tipo doadoras, e os
semicondutores dopados com este tipo sa˜o chamados do tipo n.
No caso das impurezas do grupo III, ha´ um ele´tron a menos do que o necessa´rio
para completar a ligac¸a˜o com os vizinhos. Ele´trons da banda de valeˆncia do cristal sa˜o
capturados para complementarem as ligac¸o˜es, deixando buracos na banda de valeˆncia. As
impurezas do grupo III sa˜o chamadas de aceitadoras e formam semicondutores do tipo
p.
A Figura 6 mostra o modelo esquema´tico da rede cristalina formada apo´s a dopagem
de impurezas. A Figura 7 mostra os n´ıveis de energia eletroˆnica da impurezas, pro´ximos
da banda de valeˆncia.
Figura 6: Modelo de um cristal de Ge ou Si dopado com impurezas.
Figura 7: Nı´veis de impureza no gap de semicondutores dopados.
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5.3.2 Concentrac¸a˜o de Portadores em Semicondutores Extr´ınsecos
A concentrac¸a˜o em equil´ıbrio te´rmico de ele´trons (n0) na banda de conduc¸a˜o e de
buracos (p0) na banda de valeˆncia, no semicondutor extr´ınseco, sa˜o dadas por
n0 = Nce
−(Ec−EF )/kBT (6)
p0 = Nve
−(EF−Ev)/kBT (7)
O que difere o semicondutor extr´ınseco do intr´ınseco e´ a posic¸a˜o do n´ıvel de Fermi. A
Figura 8 mostra o ca´lculo de n0 e p0 num semicondutor tipo n.
Figura 8: Ilustrac¸a˜o do ca´lculo das concentrac¸o˜es de portadores num semicondutor tipo
n.
Nos semicondutores tipo n o n´ıvel d Fermi EF esta´ pro´ximo da banda de conduc¸a˜o,
e por isso os ele´trons sa˜o chamados deportadores majorita´rios, enquanto os buracos
sa˜o os portadores minorita´rios. Por outro lado, nos semicondutores tipo p, os buracos
sa˜o os portadores majorita´rios enquanto os ele´trons sa˜o minorita´rios.
5.4 Dinaˆmica de Ele´trons e Buracos em Semicondutores
Os dispositivos eletroˆnicos funcionam baseados na dinaˆmica dos portadores de carga
ele´trica: ele´trons e buracos. O movimento dos portadores resultam em corrente ele´trica.
5.4.1 Correc¸a˜o de Conduc¸a˜o
A corrente de conduc¸a˜o, ou deriva, resulta do deslocamento de portadores de carga
produzindo um campo ele´trico externo. Esta corrente e´ formada tanto por ele´trons quanto
por buracos.
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Aplicando-se um campo ele´trico num material, ele´trons e buracos teˆm movimentos de
deriva em sentidos opostos. Como eles teˆm cargas opostas, as intensidades das correntes
ele´tricas se somam. A densidade de corrente ele´trica relaciona-se com o campo ele´trico
por
Jn = σnε (8)
onde σn e´ a condutividade devida aos ele´trons, dada por,
σn =
e2 n0 τe
m∗b
(9)
τe e´ o tempo de colisa˜o dos ele´trons e n0 a concentrac¸a˜o.
A grandeza que descreve a facilidade com a qual cada ele´tron se desloca no material
sob ac¸a˜o de um campo externo e´ chamada de mobilidade (µ), definida pela raza˜o entre
velocidade de deriva e o campo ele´trico (µ = v/ε). A Figura 9 mostra a variac¸a˜o da
mobilidade de ele´trons com a temperatura, em sil´ıcio tipo n, para diversas concentrac¸o˜es
de impurezas doadoras.
Figura 9: Mobilidade de ele´trons X temperatura.
Analogamente, a densidade de correte de buracos e´ dada por
Jp = σpε (10)
sendo σp a condutividade devida aos buracos, dada por,
σp =
e2 p0 τb
m∗b
(11)
onde τb e´ o tempo de colisa˜o dos buracos e p0 a concentrac¸a˜o. A soma das Equac¸o˜es 8 e
10 da´ a densidade total de corrente, J = (σn + σp)ε = σε.
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A Figura 10 corrente ele´trica numa barra de material semicondutor, submetida a um
campo externo, resulta da mobilidade de ele´trons e buracos. No fio meta´lico, que fornece
Figura 10: Ilustrac¸a˜o do movimento de ele´trons e buracos num material semicondutor.
a diferenc¸a de potencial para a barra, a corrente e´ inteiramente devida a ele´trons. Como
a corrente no fio e´ igual a da barra, o nu´mero de ele´trons que passa por uma sec¸a˜o reta no
fio por unidade de tempo e´ a soma dos nu´meros de ele´trons e de buracos no semicondutor,
pois a carga de todos eles tem o mesmo mo´dulo. Isto so´ e´ poss´ıvel porque na interface entre
o metal e o semicondutor das extremidades A e B, existe um processo de criac¸a˜o de pares
ele´tron-buraco. Esses processos de recombinac¸a˜o sa˜o chamados de contato oˆhmico.
5.4.2 Movimento em Campo Magne´tico-Efeito Hall
Ao aplicar um campo magne´tico esta´tico numa barra de semicondutor, perpendicular
ao movimento de cargas, surge um acumulo de potencial transversal a` barra. A Figura 11
mostra um campo magne´tico ~B na direc¸a˜o z do sistema.
Figura 11: Efeito Hall num semicondutor.
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A forc¸a do campo magne´tico sobre as cargas e´ dada por
~F = q ~v × ~B (12)
Supondo o semicondutor do tipo p, onde os buracos se movimentam na direc¸a˜o +x,
a forc¸a sobre eles tem sentido −y. Esta forc¸a deflete os buracos e resulta no acu´mulo de
cargas positivas no lado y = −d/2. Estas cargas criam um campo ele´trico no sentido +y,
impedindo a continuac¸a˜o do movimento dos buracos na direc¸a˜o y. O aparecimento deste
campo transversal e´ conhecido como efeito Hall.
5.4.3 Corrente de Difusa˜o
A corrente de conduc¸a˜o resulta do movimento de cargas produzido por um gradiente
de potencial ele´trico. Este na˜o e´ o u´nico gradiente que produz corrente num semicondutor.
Quando portadores de carga sa˜o criados de forma na˜o-uniforme, a diferenc¸a de concentra-
c¸a˜o (gradiente de concentrac¸a˜o) resulta num movimento chamado de difusa˜o, que ocorre
no sentido da regia˜o de maior concentrac¸a˜o para a menor concentrac¸a˜o. O movimento
destes portadores resulta numa corrente chamada de corrente de difusa˜o.
Supondo a movimentac¸a˜o de buracos em um semicondutor (Figura 12) num sentido
x, a concentrac¸a˜o e´ descrita pela func¸a˜o p(x). As densidades de corrente de difusa˜o dos
Figura 12: Correntes entrando e saindo de uma regia˜o ∆x.
buracos (Jdifp ) e dos ele´trons (J
dif
n ) sa˜o dadas por,
Jdifp = −e Dp
dp(x)
dx
(13)
Jdifn = +e Dn
dn(x)
dx
(14)
onde Dp e Dn sa˜o os coeficientes de difusa˜o dos buracos e ele´trons, respectivamente.
Generalizando para as outras dimenso˜es:
Jdifp = −e Dp ∆p (15)
Jdifn = +e Dn ∆n (16)
sendo ∆ o operador gradiente.
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5.4.4 Injec¸a˜o de Portadores: Difusa˜o com Recombinac¸a˜o
Um processo importante para a operac¸a˜o e´ chamado de injec¸a˜o de portadores por
mecanismos externos. Ocorre, por exemplo, quando ele´trons, portadores majorita´rios num
semicondutor tipo n, passam do lado p numa junc¸a˜o p−n. Na regia˜o de junc¸a˜o os ele´trons
sa˜o injetados no semicondutor p.
Os portadores injetados numa regia˜o do semicondutor produzem um gradiente de con-
centrac¸a˜o, resultando numa corrente de difusa˜o. No caso de ele´trons, o excesso de concen-
trac¸a˜o δn e´ descrito por,
∂δn
∂t
= −δn
τn
(17)
onde τn e´ o tempo de recombinac¸a˜o. As equac¸o˜es da difusa˜o com recombinac¸a˜o para
os ele´trons e para os buracos sa˜o descritas por,
∂δn
∂t
= Dn ∆
2δn − δn
τn
(18)
∂δp
∂t
= Dp ∆
2δp − δp
τp
(19)
respectivamente. Essas equac¸o˜es permitem calcular a evoluc¸a˜o no espac¸o e no tempo das
concentrac¸o˜es de portadores injetados num certo instante numa regia˜o do semicondutor.
Refereˆncias
[1] REZENDE, S. M. Materiais e dispositivos eletroˆnicos. [S.l.]: Editora Livraria da F´ısica,
2004.
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