Prova Final 2016.1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matema´tica
Prova Final – CA´LCULO I
25/07/2016.
1a Questa˜o. (3 pontos) Seja f : R→ R, definida por f(x) = x− x2.
a) Obtenha a equac¸a˜o da reta r tangente a` curva y = f(x) no ponto (1,0);
b) Considere a regia˜o plana R limitada pela curva y = f(x), pela reta r (descrita no
item anterior) e pelo eixo y. Fac¸a um esboc¸o dessa regia˜o e calcule sua a´rea;
c) Encontre o volume do so´lido gerado pela revoluc¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x.
2a Questa˜o. (2 pontos). Considere a func¸a˜o g : R→ R, definida por g(x) = sen (x)+2x−1.
a) Mostre que g e´ uma func¸a˜o crescente;
b) Mostre que a func¸a˜o g possui uma raiz, ou seja, mostre que existe um nu´mero c ∈ R
tal que g(c) = 0. Esta raiz e´ u´nica? Justifique (Dica: Use o Teorema do Valor
Intermedia´rio);
3a Questa˜o. (2,0 pontos). Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
xe−x
2
dx;
b)
∫
1
5 + 2x + x2
dx.
4a Questa˜o. (2,0 pontos). Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→1
x2 − 2x + 1
ln(x)− x + 1;
b) lim
x→−∞
x√
x2 + 1
.
Boa prova!