Teoria dos Conjuntos no ensino fundamental Delson Silva Souza

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TEORIA DOS CONJUNTOS NO ENSINO FUNDAMENTAL: 
ABORDAGEM HISTÓRICA 
 
Delson Silva Souza1 
 
RESUMO 
 
Numa abordagem histórica, entrelaçando o ensino da teoria dos conjuntos em três diferentes etapas da 
Matemática, este artigo contém além do significado da expressão Matemática Moderna, uma análise, discussões, 
relevância e comparações de aspectos relacionados com a Teoria dos Conjuntos. Aborda a época precisa das 
mudanças ocorridas sobre o estudo dos conjuntos. Situa fatos com datas entre autores e professores de 
matemática sobre a questão do ensino de conjuntos, seja com artigos publicados, seja com cursos ministrados ou 
declarações em livros. 
 
Traz também uma biografia de Georg Cantor, considerado o “pai” da Teoria dos Conjuntos. Destaca a influência 
da Teoria dos Conjuntos em outros ramos da matemática. São realçados alguns paradoxos e antinomias que 
filósofos do século XIX criaram em detrimento com a criação da Teoria dos Conjuntos. 
 
Uma entre,vista feita com professor Cristiano Muniz, Doutor em Educação Matemática, da Universidade de 
Brasília foi envolvida neste trabalho. Isso contribuiu bastante, uma vez que o mesmo já orientou alunos que 
desenvolveram trabalhos nessa área. 
 
PALAVRAS CHAVES: Teoria dos Conjuntos, Matemática Moderna, Educação Matemática. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Na década de 60, ensinava-se nas escolas do mundo todo uma matemática denominada 
tradicional. Particularmente, dava-se grande ênfase nas quatro primeiras séries aos 
mecanismos de operações com naturais, frações, decimais e aplicavam-se esses mecanismos 
em problemas e cálculos com medidas. Segundo Bertoni (1985), na época, do departamento 
de matemática da Universidade de Brasília - UNB, o ensino era tedioso, rígido, decorativo; os 
tópicos matemáticos apareciam sem interligações. Com isso, a escola desenvolvia como 
resultado certa habilidade nos cálculos com números e na resolução em que esses cálculos 
eram introduzidos. 
 
No decorrer dos anos 60, percebia-se uma vontade geral por parte dos educadores de 
matemática de superar esse ensino tido como tradicional. Com o lançamento do 1o satélite 
artificial, Sputnik, pela antiga União Soviética, era colocada em pauta a capacidade científica 
pelos EUA, e, sobretudo a partir disso, a eficácia de sua educação para a ciência. É fundada 
assim, nos Estados Unidos, a National Science, interligada diretamente à presidência da 
república, para comandar a nova ordem do conhecimento tecnológico e científico. 
 
Portanto, estava sendo proposto aos estudantes, principalmente do 2o grau, uma matemática 
mais teórica e moderna: “Teoria dos Conjuntos, Álgebra Moderna, Topologia, pretendiam 
com isso, que se desse uma visão mais geral ao ensino dessa ciência, dando-lhe um suporte de 
forte estruturação lógica”, ressalta Nilza Eigenheer Bertoni. 
 
 
1
 1 Licenciando em Matemática pela Universidade Católica de Brasília - UCB 
delsonsouza@pop.com.br 
 2 
De certa maneira as iniciativas norte-americanas por uma melhoria do ensino das ciências 
básicas são envolvidas pelas propostas de um grupo francês, que aderiu à introdução de 
tópicos de matemática moderna nos currículos escolares. Nessa linha de raciocínio, acredita-
se na eficácia de uma solução para os problemas existentes e para alcançar o objetivo de se 
formar cientistas matemáticos. Este movimento pegou os professores de surpresa, programas 
e livros mudaram rapidamente, tendo como resultados um aumento sensível de terminologia e 
simbolismo, a introdução da Teoria dos Conjuntos e grande ênfase nas propriedades dos 
conjuntos numéricos. Trouxe também por outro lado, certa desvalorização dos algoritmos 
básicos, bem como da resolução de problemas e da geometria euclidiana. 
 
2. HISTÓRIA DA TEORIA DOS CONJUNTOS 
As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão diretamente ligadas aos estudos 
dos matemáticos ingleses Augustus De Morgan (1806-1871) e Georg Boole (1815-1864), 
considerados fundadores da lógica moderna. Boole publicou em 1854 uma obra onde eram 
apresentados os fundamentos de uma álgebra específica para o estudo da lógica. Em seus 
trabalhos, ele utilizou freqüentemente relações entre “conjuntos” de objetos. Entretanto, não 
chegou a desenvolver o conceito de modo adequado. Somente em 1890, o matemático russo 
Georg Cantor (1845-1918), que desenvolvia estudos sobre a teoria dos números, publicou na 
Alemanha uma série de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem 
simbólica para a lógica, para a teoria dos números e outros ramos da matemática. Em função 
disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. 
 
Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia, mas viveu a 
maior parte de sua vida na Alemanha. Tendo estudado filosofia, física e matemática, Cantor 
se dedicou à última, sendo seus primeiros trabalhos desenvolvidos na área da teoria dos 
números. Muito interessado pela análise, em particular pela idéia do infinito, Cantor trabalhou 
com as propriedades dos conjuntos infinitos. Seus estudos na área levaram ao aparecimento 
de uma disciplina totalmente estruturada e com método próprio dentro da matemática - a 
Teoria dos Conjuntos, que até hoje tem influência tanto nos ensinos fundamental e médio, 
como universitários. 
 
A Teoria dos Conjuntos teve início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que 
tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de 
comparar conjuntos infinitos pelo “casamento” um a um entre os elementos desses conjuntos. 
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência um a um 
entre os números e seus quadrados, o que viola a concepção euclidiana de que o todo é 
sempre maior que qualquer uma de suas partes. 
 
Esta aplicação da correspondência permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, 
que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha 
correspondência um a um com o conjuntos dos números inteiros. Isto mais tarde levou ao 
desenvolvimento do conceito de contínuos por Richard Dedekind. Iniciando com estas 
descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma Teoria dos Conjuntos Abstratos, que se 
constituiu em uma generalização do conceito de conjunto. 
 
Na Teoria dos Conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem 
definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos 
 3 
podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, o 4 é um 
número do conjunto dos inteiros. Como podem ser visto por este exemplo, os conjuntos 
podem ter um número infinito de elementos. 
 
Além da sua influência no desenvolvimento da lógica, a teoria dos conjuntos também exerceu 
influência profunda no desenvolvimento da matemática do século XX, servindo de base para 
a Teoria das Funções de Variável, Álgebra, Topologia, Teoria dos Grupos e Análise 
Funcional. Sua influência se estendeu também para a forma moderna como se ensinava 
matemática para crianças (chamada, no Brasil, de Matemática Moderna), toda baseada na 
idéia de números como conjuntos. 
 
Questionamentos de grandes matemáticos e filósofos ao longo do processo da formação 
conceitual da teoria dos conjuntos resultaram em alguns paradoxos e antinômias. Destaquei 
um desses paradoxos que foi publicado no site www.somatamematica.com.br, em 09/07/2001, 
que se refere a seguinte história: Quando surgiu a Teoria dos Conjuntos de Cantor, chamada 
de Teoria Intuitiva dos Conjuntos, havia a idéia de que “qualquer propriedade” poderia ser 
considerada para que os objetos que a satisfizessem formassem um conjunto. Assim, sempre 
existiria o conjunto de conjuntos que satisfizessem a propriedade A , qualquer que fosse a 
propriedade. Então o matemático e filósofoBertrand Russel fez o seguinte raciocínio: 
considere o conjunto dos conjuntos X que não pertence a si mesmos. Para Russell a 
propriedade A era “ x não pertence a x ”. Parecia claro que esse conjunto existia, pois, por 
exemplo, o conjunto dos números naturais não pertence a si mesmo. Muitos objetos 
matemáticos formam conjuntos que não são um desses objetos. Um exemplo fora da 
matemática, só para ilustrar um pouco mais, poderia ser: o conjunto de cavalos que não é um 
cavalo, assim como o conjunto de homens que não é um homem. 
 
Agora, chamando de M o conjunto de todos os conjuntos. Consideremos o subconjunto de 
M formado pelos conjuntos que não pertencem a si próprios. Russell perguntou se M 
pertence a M . Caso seja verdade que M pertence a M , então M satisfaz a propriedade que 
determina os conjuntos de M , ou seja, M não pertence a M ! Chegamos a uma contradição, 
pois um conjunto M não pode pertencer a si próprio e, ao mesmo tempo, não pertencer a si 
próprio. Bem, como assumiram os antigos filósofos gregos, não podemos ter uma afirmação 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, pelo menos na lógica que eles imaginavam ser correta. 
Dessa forma, somos forçados a concluir que M não pertence a M . Mas, então, M satisfaz a 
propriedade que determina os conjuntos de M . Logo, M pertence a M ! Contradição de novo. 
Essa dicotomia, isto é, essa afirmação que é verdadeira se, somente se, é falsa, causou um 
escândalo na Teoria dos Conjuntos de Cantor. Essa foi a razão para que o matemático Ernst 
Zermelo (1871-1956) “criasse” a segunda verdade da Teoria dos Conjuntos, que é o axioma 
ZF (2). O axioma ZF (2), isto é, a segunda verdade da Teoria dos conjuntos de Zermelo-
Fraenkel, evita que possamos construir a antinômia descoberta por Russell. Assumindo esse 
axioma como verdade, o raciocínio de Russell que apresentamos acima não é mais possível. A 
razão é que não podemos mais construir o conjunto M de todos os conjuntos. Simplesmente 
porque uma propriedade sozinha não determina mais um conjunto. É necessário que tenhamos 
um conjunto prévio B, isto é, que já exista um conjunto B, para consideramos um subconjunto 
seu de conjuntos que satisfaçam certa propriedade. Portanto, não podemos mais simplesmente 
considerar o conjunto dos conjuntos que não pertence a si próprio. É que o “o conjunto dos 
X que não pertencem a si mesmos” não é conjunto. Como disse o matemático Paul Halmos, 
“nada contém tudo”. É interessante notarmos que, embora ainda não tenhamos razões para 
 4 
que existam conjuntos, no entanto já podemos demonstrar que não existe o conjunto de todos 
os conjuntos. Pela teoria que temos até agora, ainda não sabemos se é verdade que existe 
algum conjunto, mas já é verdade que o conjunto de todos os conjuntos não existe! 
3. ANÁLISE DO ENSINO DA TEORIA DOS CONJUNTOS ANTES, DURANTE E 
APÓS A MATEMÁTICA MODERNA: ABORDAGEM HISTÓRICA. 
 
3.1 MATEMÁTICA MODERNA 
 
A reforma no currículo escolar da matemática no início da década de 50 nos EUA tinha como 
uma das preocupações eliminar a referência que este currículo tinha com o criado em 1700. 
Os conteúdos abordados eram tidos como antiquados, e isso fazia com que o estudante 
achasse obsoleto e desinteressante o estudo dessa matéria. Essa reforma estava oferecendo à 
disciplina da matemática, tanto tópicos do antigo currículo como também novos conteúdos 
que seriam abordados em diferentes graus de ensino. O fato é que as notas dos estudantes 
dessa área estavam em um nível muito baixo em relação a qualquer outra disciplina. Isso 
aglomerou estudantes de todas as partes dos EUA, levando-os ao desinteresse total pela 
matemática. 
 
Assim, em 1952, a Comissão de Matemática Escolar da Universidade de illinois, liderada pelo 
professor Max Beberman iniciou o grande processo de reformulação no currículo. Essa 
comissão tinha como propósito inicial idéias para modificações que afetaria somente a escola 
elementar. Porém mais tarde estendeu-se também para a escola secundária. 
 
Até o ano de 1956, o presidente dos EUA não havia manifestado importância ao ponto de 
alguma intervenção federal. Mas, quando em 1957 os russos lançaram o primeiro satélite 
artificial, o Sputnik, o governo norte americano ficou convencido que seu país estava atrás 
dos russos em termos de ciências e matemática. Começava então uma aliança de outros 
grupos com os já existentes com a finalidade de alcançar um currículo moderno, o que 
significou para os americanos e todos os estudantes de matemática uma nova etapa 
denominada Matemática Moderna. 
 
3.2 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PRÉ-MODERNA 
 
“Não podemos falar de teoria dos conjuntos sem considerar o quadro maior no 
desenvolvimento matemático nas escolas e a importância do papel da matemática na 
formação do cidadão e a matemática como elemento cultural”, Muniz (2005). 
 
No final da década de 40, tínhamos um ensino de matemática apoiado séculos a séculos no 
mesmo conteúdo, envolvendo o mesmo enfoque com os mesmos antiquados procedimentos 
metodológicos. Os conteúdos essenciais eram voltados para a resolução de problemas. Nos 
anos 50 havia uma matemática centralizada em três aspectos considerados fundamentais, 
voltados para o dia-a-dia do cidadão: aritmética, geometria métrica e as medidas de 
proporção. Isso era justificado porque o ensino até a 4o série já correspondia às necessidades 
básicas quanto cidadania ou campo de trabalho. Que ensino matemático era esse? Era um 
ensino que não tinha conjuntos, que não tinha equações. Era uma geometria que não se falava 
em poligonal, não se precisavam definir os vértices DCBA ,,, e, no entanto se estudava 
geometria. “Não tinha teoria dos conjuntos, mas se resolvia problemas”. Relato feito pelo 
 5 
Doutor em educação, Cristiano Muniz, numa entrevista gravada concedida em sua residência 
em 09/11/2005. Ainda nos anos 50, havia uma preocupação por parte da escola em envolver 
problemas do carpinteiro, do pedreiro, do jardineiro, da costureira, enfim problemas 
relacionados com o micro mundo da criança, uma vez que esta tinha algum parente com uma 
dessas profissões, o que era comum naquela época. Isso era importante porque havia um 
significado para elas (crianças). O objetivo da escola nesse projeto didático-pedagógico era se 
apropriar desses problemas para transmitir com mais clareza os conhecimentos aritméticos e 
algébricos. E isso supria a construção da cidadania, levando em consideração que não havia a 
complexidade tecnológica de hoje. 
 
Segundo Muniz, o ensino no colegial dava base para a formação de um bom mecânico ou de 
um bom datilógrafo, por exemplo, e isso era prazeroso para o cidadão, visto que ele se 
apoderava das instruções obtidas no colegial para garantir a sua inserção cultural e 
profissional na sociedade. 
 
Livros como os dos autores: Ary Quintella (1950), Nelson Benjamin Monção (1929) e livros 
também elaborados em 1967 pelo NEDEM (Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da 
Matemática) do curso ginasial que tinha como coordenador geral o professor Osny Antônio 
Dacol, trazem indicações que na fase da matemática pré-moderna não havia o estudo de 
conjuntos no currículo da matemática nas séries em pauta (ensino fundamental, antigo 
ginasial). 
 
Relato feito, numa conversa informal no campus da Universidade Católica de Brasília, pela 
professora Maria Auxiliadora, que vivenciou como aluna e também como professora esta 
etapa (Pré-moderna) da matemática, veio ratificar que o estudo dos conjuntos começou a ser 
ensinado, juntamente com suas teorias, somente a partir da matemática moderna (início dos 
anos 70, aqui no Brasil). A professora também realça que cursos foram ministrados por volta 
de 1968 para que os professores pudessem compreender melhor a nova linguagem que iria 
aderir aos conteúdos aplicados à matemática: a teoria dos conjuntos. 
 
3.3 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPAMODERNA 
 
Nessa fase vivenciada pela matemática ocorreu uma grande modificação na linguagem, no 
pensamento, nas tendências de ensino e, sobretudo no objetivo que se pretendia alcançar com 
o ensino da matemática. 
 
A modificação ocorreu, porque paralelamente a isso existe todo um contexto ideológico e 
político, fora da matemática, ressalta Muniz (2005). No pós-guerra houve um grande choque 
ideológico, social e político entre os blocos hegemônico capitalista e socialista que se 
concretizou na guerra fria: de um lado os americanos e do outro os russos. 
 
Estava em disputa o domínio espacial, uma vez que já havia acontecido o desastre de 
Hiroxima e Nagasaki, não só pelo poder de destruição em massa, mas pela possibilidade do 
desenvolvimento da aeronáutica poder lançar uma bomba a grande distância. Esse era o 
grande medo dos EUA em relação a Cuba. Mas poderíamos perguntar o que tem a ver essa 
disputa espacial com a matemática? No início é que há um investimento do desenvolvimento 
do programa espacial. Depois, os americanos são surpreendidos com o Sputnik, que 
 6 
representa a primeira vez que o homem se liberta da força gravitacional. Esse paradigma foi 
bastante relevante, pois isso significava uma diferença enorme em termos de conhecimentos 
científicos e tecnológicos dos americanos em relação aos russos. Isso gerou uma crise enorme 
no bloco capitalista e na sociedade americana. 
 
A partir daí, os americanos não admitiam que se tivesse um filho que não passasse pela 
Universidade, pois o governo passava a pensar na contribuição que esse cidadão iria dar para 
o desenvolvimento de seu país. Mas pra quê? Pra vencer a Guerra Fria. Há duas lógicas 
essenciais: a primeira, que se produz ciência e tecnologia na universidade, isto é, a população 
universitária deveria se ampliar, obtendo com isso mais conhecimentos científicos o que 
diminuiria o atraso em relação bloco socialista. E a segunda, é que a criança deveria 
desenvolver e compreender as lógicas formais. E a ciência que fornece ferramentas básicas 
para tais desenvolvimentos é a matemática, ou seja, a proposta era procurar um estudo mais 
científico dentro da matemática. 
 
No início da década de 60 havia um projeto piloto que estava em teste na Escola Normal 
Superior Francesa que abordava conteúdos como: Estruturas Algébricas, Polinômios, 
Equações e esse projeto estava sendo introduzido na escola secundária, uma vez que estes 
tópicos eram restritos ao ensino superior. Aderindo à esta proposta a linguagem se formalizou 
e jovem não poderia mais dizer “que duas balas mais três balas são cinco balas”, primeiro 
tinham que pensar no conjunto que representava a quantidades de balas, logo depois, se o 
resultado pertenceria a este conjunto. A idéia era dar uma base científica para colher 
pensamentos formais. 
 
A partir deste momento histórico de reformulações curriculares, o estudante não podia pensar 
matemática que não fosse da linguagem de conjuntos. O Brasil participou dessa fase, pois 
alguns matemáticos como Castrucci e Giovanni foram fazer doutorado nos EUA e publicaram 
livros didáticos com esta nova linguagem. O problema era que os professores brasileiros não 
estavam preparados para receber esse novo conhecimento. 
 
Diz Muniz: “era ensinada toda a teoria de conjuntos no ensino fundamental nessa fase da 
matemática e acrescenta que não se admitia em absoluto fazer nenhum trabalho do conteúdo 
de matemática sem trabalhar os conceitos, as representações, relações de pertinência, relações 
de inclusão e operações”. A idéia que surgiu nessa perspectiva de educação matemática era 
não conceber, por exemplo, a possibilidade de o aluno não entender uma adição sem entender 
a união. Com isso o aluno começou a se achar incapaz de contribuir para o desenvolvimento 
do estudo da matemática. 
 
Mais do que o significado de conjuntos, é proposto aos alunos do ensino elementar e 
secundário que aprendam a teoria dos conjuntos, para que possam entender as propriedades 
que viriam em conseqüência de tal teoria. Logo, a união e intersecção de conjuntos, 
subconjuntos, conjunto vazio, conjuntos infinitos, conjuntos infinitos maiores ou menores e 
outros conceitos passam a fazer parte do dia-a-dia de estudos dos alunos das escolas 
elementar e secundária. 
 
Com toda essa mudança e novas características agregadas ao currículo da matemática, a 
linguagem dos mestres se modifica, acarretando quase total substituição da linguagem 
corrente para a simbólica e axiomática. O simples ensino de conjuntos como uma coleção de 
 7 
objetos, deu lugar ao estudo de teoria de conjuntos, onde parecia claro que esse avanço foi 
implantado para dar à nova matemática elementar, mais expressão de sofisticada do que de ser 
útil. 
 
Introduzir Teoria dos Conjuntos no ensino elementar nos anos 70 significava o 
desenvolvimento lógico como estrada para a compreensão, o rigor, a precisão através da 
terminologia e do simbolismo e a ênfase à matemática moderna ao currículo. 
Todo mundo foi envolvido pela nova linguagem que passou a reger grande parte do conteúdo 
da matemática. A simbologia e os axiomas fizeram os professores acreditarem que o concreto 
estava sendo substituído pelo abstrato. Os defensores da nova matemática, justificando o uso 
demasiado de abstrações, citaram o psicólogo de Harvard, Jerome S. Bruner (1976) que 
dissera: pode-se ensinar qualquer matéria em certa forma intelectualmente honesta a qualquer 
criança em qualquer estágio de desenvolvimento. “A característica salvadora dessa teoria está 
em seu caráter vago, diz o psicólogo”. A questão é se qualquer abstração particular que 
qualquer determinado grupo possa estar interessado em promover justifica a prioridade. 
No livro: Conjuntos, números e potências, do também renomado autor Edvard Willian 
Golding é dito que “em nosso mundo moderno é necessário ajudar os jovens a compreender 
como as coisas se encaixam uma nas outras, porque o mundo aumenta bem rápido em 
complexidade e precisa ajustar, entre elas, situações mais e mais complicadas. O número é um 
conceito muito complexo; para aprender a harmonizar entre si os elementos conceituais que o 
constitui, é indispensável, antes de tudo, conhecer esses elementos, pois os números são 
propriedades dos conjuntos”. 
 De acordo com os livros do autor Ary Quintella, em 1969, a fase introduzida a teoria dos 
conjuntos era a primeira série ginasial e que um conjunto é determinado quando sabemos 
dizer se um elemento pertence ou não a ele. Nesse mesmo livro era considerado que um 
conjunto poderia ser reconhecido de três maneiras: 
a) Por uma propriedade comum aos seus elementos. Exemplo: conjunto dos números 
inteiros de um algarismo; conjunto dos alunos de cabelos pretos de sua turma. 
b) Por descrição. Exemplos: conjuntos das vogais do alfabeto português; conjuntos dos 
dias da semana. 
c) Por enumeração de seus elementos, um a um. 
Já a linguagem empregada em relação a introdução à teoria dos conjuntos, em quase toda a 
fase moderna, de acordo com o professor Cristiano Muniz e confirmados no livro como do 
autor Quintella na primeira série ginasial: conjunto unitário; conjunto vazio; número concreto; 
número abstrato; número cardinal e ordinal; propriedade da igualdade; relação de igualdade: 
reflexiva, simétrica e transitiva. 
A simbologia nessa mesma etapa da matemática era refletida pelos sinais: igualdade; 
diferente; maior; menor; implica; maior ou igual; menor ou igual; não é menor; não é maior. 
Na década de 80, provavelmente até o ano de 1989 o conteúdo que se referia ao estudo dos 
conjuntos era listado, no índice, desta forma e ordem: 
• Conjuntos; 
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• Operações com Conjuntos; 
• Conjuntos dos Números Naturais. 
O cronograma citado acima era empregado na 5a série do primeiro grau, hoje atual ensino 
fundamental. Essas informações foram retiradasde vários livros, dentro os quais se destacam 
os seguintes autores: 
• Álvaro Andrini; 
• José Ruy Giovanni; 
• José Roberto Bonjorno. 
Vejamos o que era levado em consideração: 
• Notação: os conjuntos são igualmente indicados por letras maiúsculas e se os 
elementos de um conjunto forem letras, eles são representados por letras minúsculas; 
• Representação de um conjunto: por enumeração; por uma propriedade comum de seus 
elementos e por descrição; 
• Tipos de conjuntos: vazio; unitário; iguais; subconjuntos; 
Conteúdos abordados no tópico que corresponde ao conjunto dos números naturais: 
• Correspondência biunívoca; 
• Propriedade de igualdade; 
• Propriedade de desigualdade. 
 
3.4 ABORDAGEM HISTÓRICA NA ETAPA PÓS-MODERNA 
 
As grandes mudanças ocorridas ao longo do tempo no ensino da teoria dos conjuntos fizeram 
os tópicos Conjuntos e Operações com Conjuntos serem retirados do Ensino Fundamental. 
Passou-se então, a maior parte da teoria outrora ensinada com bastante ênfase na Matemática 
Moderna, para o ensino médio, antigo 2o grau. 
Portanto, hoje não encontramos nos livros de matemática do ensino fundamental, o ensino de 
Teoria dos Conjuntos. Os estudos de conjuntos passaram por grandes reformulações da 
matemática moderna para a pós-moderna. O que se percebe no ensino pós-moderno é o estudo 
dos conjuntos numéricos distribuídos nas séries de 5ª a 8ª séries. O ensino médio é que aborda 
com ênfase, propriedades, teorias, axiomas e demonstrações, ou seja, a teoria dos conjuntos 
ficou restrita a outro grau de instrução. 
“Hoje o que acontece é uma miscelânea, onde você tem diversos currículos e diversas 
formações de professores, que na verdade cada professor acaba levando para a sala de aula 
aquele currículo que faz parte da sua formação e também professores que não sabem ensinar 
matemática sem a teoria dos conjuntos” Muniz (2005). Nessa etapa da matemática a essência 
 9 
é a estrutura do número e é no Ensino Médio que vamos estudar de uma maneira mais 
complexa e formal tal estrutura, visto que, a complexidade dos problemas vai necessitar de 
uma expansão maior de conceitos de números. Junto a isso se criam novos conjuntos. Hoje 
não há tendências de ensino no diz respeito à Teoria dos Conjuntos. Na continuidade dos 
estudos, por exemplo, o aluno que vai estudar uma área de exatas, no tópico que envolve 
função, precisará de uma base de conjuntos, mas isto não justifica que a universidade deverá 
cobrar dele conhecimentos do ensino básico onde o que seria mais interessante era a 
universidade se ocupar dessa construção, garantindo assim uma base mais adequada. 
Nos anos 70 foi feito um levantamento nos EUA e em outros países sobre a relevância que o 
movimento da matemática moderna trouxe para o ensino de 1o primeiro grau. Os resultados 
foram delicados, uma vez que se notava a defasagem do aprendizado da matemática. Os 
alunos não tinham base se quer dos conhecimentos elementares dessa ciência. Diminuiu-se 
então a ênfase no estruturalismo e retornaram-se, principalmente no 1o grau, métodos mais 
naturais adequados ao desenvolvimento mental do aluno, tendo sido valorizado com uma 
abordagem mais voltada para a realidade. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A história do ensino da Teoria dos Conjuntos não ficou restrita somente a uma nova tendência 
de ensino devido a uma reformulação curricular, como muitos professores e alunos de 
matemática imaginam, más há também toda uma história de choques ideológicos, políticos e 
culturais. Estão relacionados também tópicos como a guerra fria, a competição em busca de 
um desenvolvimento espacial cada vez e a disputa entre potências mundiais em termos de 
ciências e tecnologia. 
Foi abandonado de importante ao longo da história da matemática a idéia do conjunto denso e 
não denso, discreto, limitado, onde é trabalhado os intervalos. Esses conjuntos que hoje foram 
eliminados do currículo tinham um papel fundamental para fazer o aluno entender, por 
exemplo, o salto que acontece do conjuntos dos números inteiros para os racionais. 
Mesmo reformulando o ensino da matemática por meio dos mesmos objetivos é necessário 
que exista um consenso de professores, pais e profissionais sobre as mudanças que se fazem 
necessárias. “É preciso que identifique e valorizem os processos que são naturais para o 
desenvolvimento da criança e rejeitem os inadequados, que agridem a lógica e os sentimentos 
do aluno” Bertoni (1985). 
Encontramos, às vezes, na escola Básica um ensino inadequado da teoria dos conjuntos que, 
em vez de contribuir com a educação matemática, cria conceitos errados e obstáculos. 
 Seria apropriado estender essa pesquisa para o Ensino Médio, analisando as críticas e 
propondo soluções. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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