Inscrição e Circunscrição de Sólidos Geométricos

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Inscrição e circunscrição de 
sólidos geométricos
Esfera e cubo
Esfera e cilindro
Esfera e cone reto
Cilindro e cone reto
Introdução
� Nosso último estudo em Geometria será
destinado aos sólidos inscritos e 
circunscritos.
� Existem numerosas relações entre dois 
sólido quando construímos um deles dentro 
do outro.
� São algumas dessas relações que 
estudaremos a partir de agora.
Esfera e cubo
� Considere uma esfera cujo 
o raio mede R inscrita em 
um cubo cujas arestas têm 
medida a.
� Existe uma relação entre as 
medidas das arestas do 
cubo e do raio da esfera.
� Como a superfície esférica 
intersecta o cubo em seis 
pontos, localizados nos 
centros das faces, temos 
três pares de pontos 
diametralmente opostos.
� Assim, a medida de cada 
aresta do cubo é igual ao 
dobro da medida do raio da 
esfera.
Ra .2=
Esfera e cubo
� Considere um cubo 
cujas arestas medem 
A, inscrito em uma 
esfera cujo o raio tem 
medida R:
� Observe que os vértices do 
cubo pertencem à superfície 
esférica.
� Assim, a medida da 
diagonal do cubo é igual ao 
dobro da medida do raio da 
esfera.
RDcubo .2=
Ra .23. =
Esfera e cubo
Para você fazer – p. 34
1) Uma esfera está inscrita em um cubo cujo o 
volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume 
da esfera.
4dma
64dma que temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo 3
=
→=
3
2.
3
4
π
π
3
4 V
:então, Vigual é volume seu e
 dm, 2 R portanto, 2.R, a é esfera da raio do medida a Assim,
esfera
3
esfera
=
=
==
R
3
3
32
dm
π
=esferaV
Esfera e cubo
Para você fazer – p. 34
2) Uma esfera, cuja área da superfície mede 
192πcm², circunscreve um cubo. Calcule o 
volume desse cubo.
cmR 34192 =→= ππ 2.R4 que temos esfera, da raio do medida a R Sendo
8cma34.23a temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo =→=
3
512cm=38 a igual é cubo do volume o Assim,
Esfera e cilindro
� Considere uma esfera cujo 
raio mede R inscrita em um 
cilindro reto.
� Como a superfície intersecta 
as bases do cilindro nos 
seus centros, e o círculo 
máximo da esfera é
congruente às bases do 
cilindro, então as medidas 
do raio e da altura do 
cilindro são iguais, 
respectivamente, a R e 2R, 
ou seja o cilindro é
equilátero.
Esfera e cilindro
� Nesse caso como podemos 
estabelecer uma relação entre 
as medidas do raio da esfera, 
do raio do cilindro e da altura 
do cilindro?
� Observe a figura a seguir:
� No triângulo retângulo, 
de catetos medindo h e 
2r, onde h e r são as 
medidas da altura e do 
raio do cilindro, e da 
hipotenusa medindo 
2R, podemos escrever:
( ) ( ) 222 2 hr +=2R
222
44 hrR +=
2R
h
2r
Esfera e cilindro
Para você fazer – p. 35
1) Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 
10cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a 
esfera.
Resposta:
� Se a altura do cilindro mede 10cm, então o raio da base 
desse cilindro e o raio da esfera medem 5 cm.
� Assim, o volume compreendido entre o cilindro e a esfera é
igual a
3
500
2505..
3
4
10.5.
32 ππππ −=−
− cilindroesfera VV
3
3
250
cmVt
π
=
Esfera e cilindro
Para você fazer – p. 35
2) Em uma esfera, está inscrita um cilindro reto cuja altura mede 
20 cm e cujo raio da base mede 8cm. Calcule a área da 
superfície dessa esfera.
( ) ( )
.412
16425640041620
22222
cmR
RR
 
2R que temos figura, Na
=→
=→+=→+=
( ) 22 656412 cm .4 a igual é esfera da superfície da área A ππ =
Esfera e cone reto
� Da mesma forma como o cubo 
e o cilindro, em uma cone 
também é possível inscrever ou 
circunscrever uma esfera.
� Vamos, inicialmente, considerar 
uma esfera de raio r inscrita em 
um cone de raio R e altura h.
� Sendo g a medida da 
geratriz do cone, podemos, 
por meio de uma 
semelhança de triângulos, 
estabelecer a seguinte 
proporção
g
rh
R
r −
=
Esfera e cone reto
� Se o cone for equilátero, 
não há necessidade de 
utilizar a proporção anterior.
� Basta lembrar que a medida 
do raio da esfera é igual 1/3 
da medida da altura do 
cone, ou seja, h = 3r
� Assim, por meio do 
Teorema de Pitágoras, 
temos:
( ) ( )
22
222
222
93
94
32
rR
rRR
rRR
=→
+=→
+=
3rR=
Esfera e cone reto
� Agora, considere uma esfera de raio R, 
circunscrevendo um cone de raio r e altura h.
:escrever podemos
 destaque, em retângulo triângulo No
( )22 rhr −+=2R
Esfera e cone reto
� Existem outras relações 
entre as medidas do raio da 
esfera da base do cone, da 
altura e da geratriz do cone.
� Porém, não existe 
necessidade de conhecê-
las, pois, por meio da 
relação anterior, podemos 
obter quaisquer outras 
medidas.
� Se o cone é equilátero, a 
media do raio é igual a 2/3 
da medida da altura do 
cone, ou seja, h = 3R/2.
� Logo, por meio do Teorema 
de Pitágoras, temos:
( )
4
3
4
9
3
4
9
4
2
3
2
2
2
2
2
22
2
2
R
r
R
r
R
rr
R
r
=
=
+=





+=22r
2
3R
r =
Esfera e cone reto
Para você fazer – p. 36
1) Uma esfera está inscrita em um cone reto 
cuja altura mede 8cm e cujo raio da base 
mede 6cm. Calcule o volume dessa esfera.
10cmg86g que temos cone, do geratriz da medida a g Sendo 222 =→+=
3cmR6R4810R10
R8
6
R
:que ,triângulos de
semelhança uma de meio por temos, esfera, da raio do medida a R Sendo
=→−=→
−
=
33 cm 3633
4 a igual é esfera da volume o Assim, ππ =..
Esfera e cone reto
Para você fazer – p. 36
2) Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π√3 cm³, inscreve-se 
uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.
raio. do
media da dobro ao igual é geratriz da medida a ,equilátero cone um Em
( ) 3222 RhhR =→+=2R
:que temos cone, do altura da medida a h sendo Assim,
cmRRRR
cm
62163...
3
1 32
3
=→=→= ππ
π
372
:temos ,372 a igual é cone do volume o Como
32 mede
esfera da raio o cone, do altura da medida da parte terça a igual é esfera da
raio do medida a como e, cm 36 é cone do altura da medida a Assim,
( ) 32 48 cmππ =32.4 a igual é esférica superfície da área A
Esfera e cone reto
Para você fazer – p. 36
3) Um cone equilátero está inscrito em uma 
esfera cujo volume mede 288π m³. Calcule a 
área lateral desse cone.
cmRRR 6216288.. 33 =→=→= ππ3
4 temos esfera, da raio do medida a R Sendo
mhhh 9
3
2
6 =→=→= 3
2R temos cone, do altura da medida a h Sendo
( )
( ) mrrr
hR
33279
2222
222
=→=→+=
+=
2.6
2R então ,equilátero cone base da raio do medida a r Sendo
2
5436.33. m .r.g a igual é cone do lateral área a Assim, πππ ==
Cilindro e cone retos
� Considere um cilindro 
de altura h e raio da 
base R.
� Inscrevendo-se nele 
um cone reto, temos a 
seguinte figura:
� Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do 
cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro.
� Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, 
congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.
Cilindro e cone retos
� Observe um cilindro reto, com raio da base r 
e altura h, inscrito em um cone reto de raio 
da base R e altura H.
Cilindro e cone retos
H
G
g
G
 - g
R
r
r R - r
H
 
-
h
h h
Cilindro e cone retos
� Pela semelhança existente entre três triângulos da 
figura, podemos escrever as seguintes proporções:
G
g
H
rH
=
−
=R
r
temos I, e II Tomando
I
II
III
gG
g
h
rH
−
=
−
=r-R
r
temos III, e II Tomando
G
gG
H
h −
==R
r-R
temos I, e III Tomando
Cilindro e cone retos
Para você fazer – p. 37
� Se um cilindrocuja altura mede 10cm está inscrito em cone 
reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, 
calcule o volume desse cilindro.
hR .. 2π=
cilindro
V
:temos volume, o calcular Para
cmhh 1520 22 =→+=225
:que temos
 cone, do altura da medida a h Sendo
cmr
H
rH
3
20
15
1015
=→
−
=→
−
= 20
r
R
r
:podemos triângulo, de
 semelhança uma de meio Por
9
4000
10.
3
20
...
2
2 πππ =




== hR
cilindro
V
:temos volume, o Assim
3
9
4000
cm
π
=
cilindro
V
Resolução de Atividades
� Página 37 e 38
� Nota livre - Vestibulares
Parabéns, chegamos 
ao fim da Geometria