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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE – UFS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DMA MATEMÁTICA BÁSICA - MAT0068/T04 e T10 PROFESSOR: DENISSON LIBÓRIO LISTA DE EXERCÍCIOS 06 1. Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação 𝑠(𝑡) = 2𝑡3 − 4𝑡2 + 2𝑡 − 1. Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também o instante no qual ela inverte o seu sentido. 2. A lei de Boyle para a expansão de um gás é 𝑃𝑉 = 𝐶, onde 𝑃 é a pressão em quilogramas força por unidade de área, 𝑉 é o número de unidades de volume do gás e 𝐶 é uma constante. Mostre que 𝑉 decresce a única taxa proporcional ao inverso do quadrado de 𝑃. 3. Um balão mantém a forma de uma esfera enquanto está sendo inflado. Ache a taxa de variação da área da superfície com respeito ao raio no instante em que o raio for 2 𝑚. 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 16𝜋 𝑚2/𝑚 4. Se 𝑅(𝑥) for o rendimento total recebido das vendas de 𝑥 aparelhos de televisão e 𝑅(𝑥) = 600𝑥 − 𝑥3 20 , ache (a) a função rendimento marginal; (b) o rendimento marginal quando 𝑥 = 20; (c) o rendimento real da venda da vigésima primeira televisão. 𝑅𝑒𝑠𝑝. : (𝑎)𝑅′(𝑥) = 600 − 3𝑥2 20 ; (𝑏) $540; (𝑐) $536,95 5. Em uma floresta, um predador alimenta-se de sua presa, e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de presas naquele momento. Suponha que quando há 𝑥 presas na floresta, a população de predadores é 𝑦 e 𝑦 = 𝑥2 6 + 90. Além disso, se 𝑡 semanas tiverem se passado até o final da temporada de caça, 𝑥 = 7𝑡 + 85. A que taxa a população de predadores estará crescendo 8 semanas depois que a temporada de caça terminou? 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 329 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠/𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎. 6. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 4 𝑐𝑚 de diâmetro. 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 1 2𝜋 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. 7. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5 𝑐𝑚, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 𝑐𝑚 por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante? 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 0,001 𝜋 𝑐𝑚3/𝑑𝑖𝑎. 8. Uma célula bacteriana tem a forma esférica. Se o raio da célula estiver crescendo à taxa de 0,01 micrômetros por dia quando ela tiver 1,5 𝜇𝑚, qual será a taxa de crescimento do volume da célula naquele instante? 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 0,009 𝜋 𝜇𝑚3/𝑑𝑖𝑎. 9. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa de 6 𝑚3/𝑚𝑖𝑛. A altura do cone é de 24 𝑚 e o raio da base é de 12 𝑚. Ache a velocidade com que o nível da água está baixando, quando a água tiver uma profundidade de 10 𝑚. 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 6 25𝜋 𝑚/𝑚𝑖𝑛. 10. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma circular. Se o raio da queimadura estiver diminuindo à taxa de 0,05 𝑐𝑚/𝑑𝑖𝑎 quando ela tem 1,0 𝑐𝑚, qual será a taxa de diminuição da área da queimadura naquele instante? 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 0,1𝜋 𝑐𝑚²/𝑑𝑖𝑎.
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