Lista de derivadas (Adam C.)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro-UFRJ
Instituto de Matema´tica-IM
Lista N◦ 2 Ca´lculo I Prof. Ada´n J. Corcho
Derivac¸a˜o e Aplicac¸o˜es
1. Determine os valores das constantes a e b de modo que a func¸a˜o f, definida por
f(x) =
{
sen (ax− b) + cos(ax+ b) se x ≤ 0,
x ln(1+ x) cos
(
1
x2
)
se x > 0,
saja deriva´vel em x = 0. Resposta: a ∈ R e b = pi/4+ kpi, k ∈ Z.
2. Em que ponto a reta normal a` elipse x2 − xy+ y2 = 3 em (−1, 1) intersepta a elipse pela
segunda vez? Resposta: (1,−1).
3. (a) Mostrar que as hipe´rboles xy = 1 e x2 − y2 = 1 se interseptam formando um aˆngulo
reto, isto e´, as respectivas retas tangentes nos pontos de intersec¸a˜o sa˜o perpendicu-
lares.
(b) Mostre que a propriedade anterior vale ainda no caso geral de hipe´rboles com equac¸o˜es
xy = a2 e x2 − y2 = b2.
4. Num reservato´rio contendo um orif´ıcio, a vaza˜o pelo orif´ıcio e´ de 110
√
h cm3/s, em que h e´
a altura (em cent´ımetros) do n´ıvel de a´gua do reservato´rio acima do orif´ıcio. O reservato´rio
e´ alimentado a` taxa de 88 `/min. Calcule a altura h onde o reservato´rio se estabiliza, ou
seja, a quantidade de a´gua dentro dele permanece constante. Resposta: h = 1600/9 cm.
5. Uma correia carrega e despeja areia sobre um monte em forma de cone a` taxa constante
de 3m3/min. Suponha que altura do monte sempre seja igual ao raio de sua base. Com
que velocidade a altura do monte aumenta quando ele tem 7m de altura? Resposta:
0, 01948m/min.
6. A func¸a˜o f(x) = 3
√
(x− 2)2 nos extremos do intervalo [0, 4] toma valores iguais f(0) =
f(4) =
3
√
4. E´ va´lido o Teorema de Rolle para esta func¸a˜o no intervalo [0, 4]? Justifique
sua resposta.
7. Explique porque o polinoˆmio p(x) = 151x
51 + 126x
26 + x + 1 na˜o possui nenhum ponto de
ma´ximo e nenhum ponto de mı´nimo. Sugesta˜o: Use o Teorema de Fermat.
8. A equac¸a˜o ex = 1 + x tem x = 0 como soluc¸a˜o. Mostre que esta equac¸a˜o na˜o pode ter
outra soluc¸a˜o. Sugesta˜o: Use o Teorema de Rolle.
9. Prove que ex > 1 + x para todo x 6= 0. Sugesta˜o: Encontre o mı´nimo abasoluto de uma
func¸a˜o conveniente.
10. Considere o polinoˆmio p(x) = x4 + px3 + qx+ 2.
(a) Determine os valores de de p e q para os quais o gra´fico de p(x) tem uma tangente
horizontal em (1, 3). Resposta: p = −2 e q = 2.
(b) E´ o ponto (1, 3) um extremo local do gra´fico do polinoˆmio?
11. Verifique que os limites abaixo na˜o podem ser calculados usando a regra de L’Hopital-
Bernoulli.
(a) lim
x→0
x2sen 1x
sen x
(b) lim
x→+∞ x− sen xx+ sen x
Calcule esses limites usando um me´todo apropriado para cada caso.
12. Um pomar conta com 80 laranjeiras, cada uma produzindo 450 laranjas por estac¸a˜o. O
agroˆnomo estima que por cada nova laranjeira plantada entre as 80 existentes a produc¸a˜o
individual de cada laranjeira diminuira´ em 5 laranjas. Quantas laranjeiras devera´ conter
ao todo o pomar para otimizar a produc¸a˜o? Resposta: 85 laranjeiras.
13. Deseja-se construir um club recreativo de formato retangular e a´rea de 20.000 m2, de
forma que um dos lados coincida com a margem de um lago, conforme a figura abaixo.
Calcule as dimenso˜es da referida a´rea para que a cerca em volta do club tenha custo
mı´nimo, observando que a parte do club que confronta o lago dispensa cerca. Resposta:
x = 100m e y = 200m.
14. Achar o ponto da curva y =
1
1+ x2
no qual a reta tangente forme com o eixo ~X o aˆngulo
de maior valor absoluto.