Lista de integrais (Adam C.)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro-UFRJ
Instituto de Matema´tica-IM
Lista N◦ 3 Ca´lculo I Prof. Ada´n J. Corcho
Integrac¸a˜o e Aplicac¸o˜es
Observac¸a˜o: Ao final da lista aparece um resumo de alguns resultados que sera˜o de utilidade
na resoluc¸a˜o dos problemas.
1. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
(x+ 1)√
2+ 2x+ x2
dx
(b)
∫
arctan
√
xdx
(c)
∫√
x+ a
a− x
dx, a > 0
(d)
∫
x
√
x
2a− x
dx, a > 0
(e)
∫
arcsin x
x2
dx
(f)
∫
sen3 2x · cos2 3xdx
(g)
∫
dx
sen x+
√
3 cos x
(h)
∫ √
x
(1+ 3
√
x)2
dx
(i)
∫
x√
1+
3
√
x2
dx
(j)
∫ √
tan xdx
Sugesto˜es: Para resolver o item (c) use a substituic¸a˜o x = a cos 2t. Para resolver o item
(h) fac¸a uma substituic¸a˜o do tipo x = tk com algum k conveniente.
2. Seja Fa(x) =
∫
dx
1+ a cos x
.
(a) Calcule F1(x).
(b) Verifique a identidade: cos x =
1− tan2(x/2)
1+ tan2(x/2)
.
(c) Use a substituic¸a˜o x = 2 arctan t para calcular F1/2(x) e F2(x).
3. Sejam n ∈ N e In(t) =
∫
dt
(t2 − a2)n
, a > 0.
(a) Calcule I1(t).
(b) Use integrac¸a˜o por partes para mostrar a seguinte relac¸a˜o:
In−1(t) =
t
(t2 − a2)n−1
+ 2(n− 1)
∫
t2
(t2 − a2)n
dt.
(c) Conclua do item anterior que vale a relac¸a˜o
In(t) = −
2n− 3
2(n− 1)a2
In−1(t) −
t
2(n− 1)a2(t2 − a2)n−1
.
(d) Calcule I2, I3 e I4.
4.
∫√
x3 + x4dx. Sugesta˜o: Use que x3+x4 = x4(1+1/x) e fac¸a uma substituic¸a˜o conveniente.
5. Use o conceito de integral definida para calcular os seguintes limites:
(a) lim
n→+∞
n∑
i=1
2i/n
n+ 1i
. Resposta:
1
ln 2
(b) lim
n→+∞ sen (pin)
n∑
i=1
1
2+ cos ipin
. Resposta:
pi√
3
Sugesta˜o: No item (b), ale´m da definic¸a˜o de integral definida, use o limite fundamental
trigonome´trico.
6. Calcule as seguintes integrais definidas:
(a)
∫ ln 5
0
ex
√
ex − 1
ex + 3
dx. Resposta: 4− pi
(b)
∫1
e−2pi
∣∣cos(ln 1x)∣∣dx. Resposta: 4
(c)
∫pi
0
sen6xdx. Resposta:
5pi
16
(d)
∫1
0
ln(1+ x)
1+ x2
dx. Resposta:
pi ln 2
8
7. Seja F(x) =
∫ sen2x
0
arcsin
√
t dt+
∫ cos2 x
0
arccos
√
t dt =
pi
4
, onde x ∈ [0, pi/2].
(a) Calcule F ′(x).
(b) Mostre que F(x) e´ constante em [0, pi/2] e determine o valor dessa constante. Res-
posta: F(x) = pi/4.
8. Seja 0 ≤ α < pi2 . Considere a regia˜o infinita Sα limitada pelos eixos coordenados x = 0,
y = 0 e pelo gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
1
(x2 − 2x tanα+ sec2 α)
, x ≥ 0.
(a) Se s(α) denota a a´rea de Sα, mostre que pi/2 < s(α) < pi.
(b) Seja Wα denota a regia˜o limitada pelos eixos coordenados x = 0, y = 0, o gra´fico de
f(x) e o gra´fico da func¸a˜o g(x) = 1/x2. Se w(α) denota a a´rea de Wα, mostre que
w(α) =
pi
2
− α+ sin 2α.
(c) Determine o valor de α para o qual w(α) atinge seu valor ma´ximo. Justifique sua
resposta. Resposta: α = pi/6.
Fatos que podem ajudar:
1. x4 + b2 = (x2 + b)2 − 2bx2 = (x2 − 2
√
bx+ 1)(x2 − 2
√
bx+ 1), com b > 0
2. sen 2α+ cos2 β = 1
3. sen 2α = 2senα cosα
4. cos 2α = cos2 α− sen2α
5. sen2α = 1−cos 2α2
6. cos2 α = 1+cos 2α2
7. senαsenβ = 12
(
cos(α− β) − cos(α+ β)
)
8. cosα cosβ = 12
(
cos(α− β) + cos(α+ β)
)
9. senα cosβ = 12
(
sen (α− β) + sen (α+ β)
)
10. sen (α± β) = senα cosβ± cosαsenβ
11. cos (α± β) = cosα cosβ∓ senαsenβ
12. cotα = tan(pi/2− α)