Lista de Aplicações A2 - Prof Rômulo Brito
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Lista de Aplicações A2 - Prof Rômulo Brito


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I) Aplicações: Plano Tangente e reta normal
1) Seja f(x, y, z) = x2+y2+z2. No ponto (1, 2, 1), determine a taxa de variação de f na direção perpendicular
ao plano x+ 2y + 3z = 8 e se afastando da origem. R: 22\u221a
14
2) A superfície S é representada pela equação F = 0, onde F (x, y, z) = x2 \u2212 y
z2
.
a) Determine os vetores ~u1 e ~u2 apontando para a direção de maior crescimento de F no ponto (0, 0, 1) e
(1, 1, 1) respectivamente. R: (2/3,\u22121/3, 2/3)
b) Determine o plano tangente a S nos pontos (0, 0, 1) e (1, 1, 1) .R: 2x\u2212 y + 2z = 3
c) Determine todos os pontos de S, onde o vetor normal é paralelo ao plano xy. R: x2 \u2212 yz2 = 0 e y = 0
3) Considere a função f(x, y) = (ex \u2212 x) cos(y). Suponha S a superfície z = f(x, y).
a) Determine um vetor que é perpendicular a curva de nível de f que passa pelo ponto (2, 3) na direção em
que f diminui mais rapidamente. R: (6.33, 0.76)
b) Suponha ~v = 5~i + 4~j + a~k um vetor no espaço tridimensional tangente a superfície f no ponto P . De
modo que o ponto P está sobre a superfície acima do ponto (2, 3). Quem é a? R: a = \u221234.69
4)
a) Determine o plano tangente a superfície x2 + y2 + 3z2 = 4 no ponto (0.6, 0.8, 1). R: 1.2x+ 1.6y + 6z = 8
b) Existe algum ponto na superfície x2+y2+3z2 = 4 no qual o plano tangente é paralelo ao plano 8x+6y+30z?
Se sim, determine. Se não, explique por quê não. R: +/\u2212 (0.8, 0.6, 1)
5) Duas superfície são ditas tangenciais em um ponto P , se elas compartilham do mesmo plano tangente em
P . Mostre que a superfície z =
\u221a
2x2 + 2y2 \u2212 25 e z = 15 (x2 + y2) são tangenciais no ponto (4, 3, 5).
6) Duas superfícies são ditas ortogonais entre si em um ponto P se as normais aos seus planos tangentes são
perpendiculares em P . Mostre que as superfícies z = 12 (x
2 + y2 \u2212 1) e z = 12 (1\u2212 x2 \u2212 y2) são ortogonais
em todos os pontos de interseção.
II) Integral Dupla
1) A densidade em um ponto (x, y) de uma placa de metal triangular limitada pelos eixos coordenados e pela
função y = 2\u2212 2x é dada pela função \u3b4(x, y). Expresse sua massa em função de uma integral iterada.
2) Determine a massa M de uma placa de metal R limitada por y = x e y = x2, com densidade dada por
\u3b4(x, y) = 1 + xy kg/m2. R: 524 kg.
3) Uma cidade ocupa uma região semicircular de raio 3 km que tem por fronteira (com seu diâmetro) um
oceano. Determine a distância média de um ponto da cidade em relação ao oceano. R: 4pi km
4) Um disco de raio 5 cm tem densidade 10 g/cm2 em seu centro e densidade 0 em sua aresta. Sua densidade
é uma função linear da distância do centro. Determine a massa do disco. R: 250pi3 g
5) Um disco circular de metal de raio 3 está no plano xy com seu centro na origem. A uma distância r da
origem, a densidade do metal por unidade de área é \u3b4 = 1r2+1 .
a) Escreva a integral dupla que fornece a massa total do disco. Inclua os limites de integração.
b) Avalie a integral. R: pi ln(10)
6) Uma carga elétrica é distribuída pelo plano xy, com densidade inversamente proporcional a distância da
origem. Mostre que a carga total dentro do círculo de raio R centrado na origem é proporcional a R. Qual
a constante de proporcionalidade? R: 2pik
1
7) Uma floresta próxima a uma estrada tem a forma da figura abaixo. A densidade populacional de coelhos
é proporcional a distância da estrada. A densidade é zero no lado adjacente a estrada e de 10 coelhos por
quilômetro quadrado no lado oposto. Determine a população total de coelhos na floresta.
III) Integral tripla
1) Um cubo C tem lados de comprimento 4cm e é feito de um material com densidade variável. Se um dos
vértices está situado na origem e os vértices adjacentes estão sobre os eixos positivos x, y e z, então a
densidade em um ponto (x, y, z) é \u3b4(x, y, z) = 1 +xyz g/cm3. Determine a massa total do cubo. R: 576 g
2) Escreva a integral iterada para calcular a massa do cone sólido limitado por z =
\u221a
x2 + y2 e z = 3 se a
densidade é dada por \u3b4(x, y, z) = z. R:
3) Um sólido que possui o formato de um pedaço de queijo tem como base o plano xy, limitado pelo eixo x,
pelo eixo y, a reta y = x e a reta x+ y = 1. Esses lados limites são os lados do sólido e o topo é dado pelo
plano x+ y + z = 2. Em qualquer ponto, a densidade do sólido é quatro vezes a distância do plano xy.
a) Expresse a massa da região em termos da integral tripla.
b) Determine a massa.R: 8896
4) Determine a massa do sólido limitado pelo plano x3 +
y
2 +
z
6 = 1, se a densidade do sólido é dado por
\u3b4(x, y, z) = x+ y. R: 15/2
IV) Os problemas a seguir tratam sobre o centro de massa. O centro de massa é um ponto no qual a massa
de um corpo sólido em movimento pode ser considerada estar concentrada. Suponha que a densidade em um
ponto (x, y, z), de um objeto que ocupa uma região no espaço W \u2282 R3, seja dado pela função \u3c1(x, y, z), então
as coordenadas (x¯, y¯, z¯) do centro de massa são dados por,
x¯ =
1
M
\u222b\u222b\u222b
W
x\u3c1dV, y¯ =
1
M
\u222b\u222b\u222b
W
y\u3c1dV, z¯ =
1
M
\u222b\u222b\u222b
W
z\u3c1dV,
onde M =
\u222b\u222b\u222b
W
\u3c1dV é a massa total do corpo.
1) Um sólido é limitado inferiormente pelo quadrado z = 0, 0 \u2264 x \u2264 1, 0 \u2264 x \u2264 1 e superiormente pela
superfície z = x+ y+ 1. Ache a massa total e as coordenadas do centro de massa se a densidade é 1g/cm3
e x, y e z são mensurados em cm. R: (x¯, y¯, z¯) = (13/24, 13/24, 25/24)
2) Determine o centro de massa do tetraedro que é limitado pelos planos xy, yz, xz e o plano x+2y+3z = 1.
Assuma que a densidade é de 1g/cm3 e x, y e z são dados em cm. R: (x¯, y¯, z¯) = (1/4, 1/8, 1/12)
V) Os problemas a seguir tratam sobre rotacionar um corpo sólido e seu momento de inércia ao redor dos
eixos coordenados. Esse momento determina o torque (um análogo da força) necessário para desencadear uma
aceleração angular para que um corpo sólido entre em rotação com relação a um eixo. Para um corpo de
2
densidade constante e massaM , ocupando uma região do espaço W de volume V , os momentos de inércia sobre
os eixos coordenados são dados por,
Ix =
M
V
\u222b\u222b\u222b
W
(y2 + z2)dV, Iy =
M
V
\u222b\u222b\u222b
W
(x2 + z2)dV, Iz =
M
V
(x2 + y2)dV.
1) Ache o momento de inércia ao redor do eixo z de sólido retangular de massa M dado por 0 \u2264 x \u2264 1,
0 \u2264 y \u2264 2, 0 \u2264 z \u2264 3. R:5m/3
2) Ache o momento de inércia ao redor do eixo x do sólido retangular \u2212a \u2264 x \u2264 a, \u2212b \u2264 y \u2264 b, \u2212c \u2264 z \u2264 c
de massa M . R:m(b2 + c2)/3
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