Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
I) Aplicações: Plano Tangente e reta normal 1) Seja f(x, y, z) = x2+y2+z2. No ponto (1, 2, 1), determine a taxa de variação de f na direção perpendicular ao plano x+ 2y + 3z = 8 e se afastando da origem. R: 22√ 14 2) A superfície S é representada pela equação F = 0, onde F (x, y, z) = x2 − y z2 . a) Determine os vetores ~u1 e ~u2 apontando para a direção de maior crescimento de F no ponto (0, 0, 1) e (1, 1, 1) respectivamente. R: (2/3,−1/3, 2/3) b) Determine o plano tangente a S nos pontos (0, 0, 1) e (1, 1, 1) .R: 2x− y + 2z = 3 c) Determine todos os pontos de S, onde o vetor normal é paralelo ao plano xy. R: x2 − yz2 = 0 e y = 0 3) Considere a função f(x, y) = (ex − x) cos(y). Suponha S a superfície z = f(x, y). a) Determine um vetor que é perpendicular a curva de nível de f que passa pelo ponto (2, 3) na direção em que f diminui mais rapidamente. R: (6.33, 0.76) b) Suponha ~v = 5~i + 4~j + a~k um vetor no espaço tridimensional tangente a superfície f no ponto P . De modo que o ponto P está sobre a superfície acima do ponto (2, 3). Quem é a? R: a = −34.69 4) a) Determine o plano tangente a superfície x2 + y2 + 3z2 = 4 no ponto (0.6, 0.8, 1). R: 1.2x+ 1.6y + 6z = 8 b) Existe algum ponto na superfície x2+y2+3z2 = 4 no qual o plano tangente é paralelo ao plano 8x+6y+30z? Se sim, determine. Se não, explique por quê não. R: +/− (0.8, 0.6, 1) 5) Duas superfície são ditas tangenciais em um ponto P , se elas compartilham do mesmo plano tangente em P . Mostre que a superfície z = √ 2x2 + 2y2 − 25 e z = 15 (x2 + y2) são tangenciais no ponto (4, 3, 5). 6) Duas superfícies são ditas ortogonais entre si em um ponto P se as normais aos seus planos tangentes são perpendiculares em P . Mostre que as superfícies z = 12 (x 2 + y2 − 1) e z = 12 (1− x2 − y2) são ortogonais em todos os pontos de interseção. II) Integral Dupla 1) A densidade em um ponto (x, y) de uma placa de metal triangular limitada pelos eixos coordenados e pela função y = 2− 2x é dada pela função δ(x, y). Expresse sua massa em função de uma integral iterada. 2) Determine a massa M de uma placa de metal R limitada por y = x e y = x2, com densidade dada por δ(x, y) = 1 + xy kg/m2. R: 524 kg. 3) Uma cidade ocupa uma região semicircular de raio 3 km que tem por fronteira (com seu diâmetro) um oceano. Determine a distância média de um ponto da cidade em relação ao oceano. R: 4pi km 4) Um disco de raio 5 cm tem densidade 10 g/cm2 em seu centro e densidade 0 em sua aresta. Sua densidade é uma função linear da distância do centro. Determine a massa do disco. R: 250pi3 g 5) Um disco circular de metal de raio 3 está no plano xy com seu centro na origem. A uma distância r da origem, a densidade do metal por unidade de área é δ = 1r2+1 . a) Escreva a integral dupla que fornece a massa total do disco. Inclua os limites de integração. b) Avalie a integral. R: pi ln(10) 6) Uma carga elétrica é distribuída pelo plano xy, com densidade inversamente proporcional a distância da origem. Mostre que a carga total dentro do círculo de raio R centrado na origem é proporcional a R. Qual a constante de proporcionalidade? R: 2pik 1 7) Uma floresta próxima a uma estrada tem a forma da figura abaixo. A densidade populacional de coelhos é proporcional a distância da estrada. A densidade é zero no lado adjacente a estrada e de 10 coelhos por quilômetro quadrado no lado oposto. Determine a população total de coelhos na floresta. III) Integral tripla 1) Um cubo C tem lados de comprimento 4cm e é feito de um material com densidade variável. Se um dos vértices está situado na origem e os vértices adjacentes estão sobre os eixos positivos x, y e z, então a densidade em um ponto (x, y, z) é δ(x, y, z) = 1 +xyz g/cm3. Determine a massa total do cubo. R: 576 g 2) Escreva a integral iterada para calcular a massa do cone sólido limitado por z = √ x2 + y2 e z = 3 se a densidade é dada por δ(x, y, z) = z. R: 3) Um sólido que possui o formato de um pedaço de queijo tem como base o plano xy, limitado pelo eixo x, pelo eixo y, a reta y = x e a reta x+ y = 1. Esses lados limites são os lados do sólido e o topo é dado pelo plano x+ y + z = 2. Em qualquer ponto, a densidade do sólido é quatro vezes a distância do plano xy. a) Expresse a massa da região em termos da integral tripla. b) Determine a massa.R: 8896 4) Determine a massa do sólido limitado pelo plano x3 + y 2 + z 6 = 1, se a densidade do sólido é dado por δ(x, y, z) = x+ y. R: 15/2 IV) Os problemas a seguir tratam sobre o centro de massa. O centro de massa é um ponto no qual a massa de um corpo sólido em movimento pode ser considerada estar concentrada. Suponha que a densidade em um ponto (x, y, z), de um objeto que ocupa uma região no espaço W ⊂ R3, seja dado pela função ρ(x, y, z), então as coordenadas (x¯, y¯, z¯) do centro de massa são dados por, x¯ = 1 M ∫∫∫ W xρdV, y¯ = 1 M ∫∫∫ W yρdV, z¯ = 1 M ∫∫∫ W zρdV, onde M = ∫∫∫ W ρdV é a massa total do corpo. 1) Um sólido é limitado inferiormente pelo quadrado z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 e superiormente pela superfície z = x+ y+ 1. Ache a massa total e as coordenadas do centro de massa se a densidade é 1g/cm3 e x, y e z são mensurados em cm. R: (x¯, y¯, z¯) = (13/24, 13/24, 25/24) 2) Determine o centro de massa do tetraedro que é limitado pelos planos xy, yz, xz e o plano x+2y+3z = 1. Assuma que a densidade é de 1g/cm3 e x, y e z são dados em cm. R: (x¯, y¯, z¯) = (1/4, 1/8, 1/12) V) Os problemas a seguir tratam sobre rotacionar um corpo sólido e seu momento de inércia ao redor dos eixos coordenados. Esse momento determina o torque (um análogo da força) necessário para desencadear uma aceleração angular para que um corpo sólido entre em rotação com relação a um eixo. Para um corpo de 2 densidade constante e massaM , ocupando uma região do espaço W de volume V , os momentos de inércia sobre os eixos coordenados são dados por, Ix = M V ∫∫∫ W (y2 + z2)dV, Iy = M V ∫∫∫ W (x2 + z2)dV, Iz = M V (x2 + y2)dV. 1) Ache o momento de inércia ao redor do eixo z de sólido retangular de massa M dado por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3. R:5m/3 2) Ache o momento de inércia ao redor do eixo x do sólido retangular −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c de massa M . R:m(b2 + c2)/3 3
Compartilhar