Avaliando Aprendizado Algebra Linear de 1 ao 10

Prévia do material em texto

1a Questão (Ref.: 201603085999) Fórum de Dúvidas (4) Saiba (0) 
 
Vamos considerar que uma matriz A(3x3) possua uma linha (0,0,2). 
Consideremos ainda que o cofator do elemento 2 seja -
1. Concluímos então que det(A) será: 
 
 
-1 
 
-2 
 
1 
 
2 
 
-3 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201603085985) Fórum de Dúvidas (4) Saiba (0) 
 
Dada a matriz A abaixo, o cofator do elemento a(1,1) será: 
 
 
 
2 
 
-6 
 
0 
 
1 
 
-3 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201603068620) Fórum de Dúvidas (4 de 4) Saiba (0) 
 
Uma matriz A = (aij)3x3 é definida conforme descrito abaixo. A 
soma de todos os seus termos será 
 
 
 
-12 
 
-5 
 
14 
 
6 
 
0 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201603067525) Fórum de Dúvidas (4 de 4) Saiba (0) 
 
Na matriz A = (aij)3x4, onde aij = 3i - j2, o valor de 4.a33 é: 
 
 
-4 
 
-8 
 
2 
 
0 
 
12 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201603070301) Fórum de Dúvidas (4 de 4) Saiba (0) 
 
As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, 
gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas 
informações é CORRETO afirmar que: 
 
 
A possui 3 linhas e B 4 colunas. 
 
C é uma matriz com 5 linhas. 
 
B e C possuem a mesma quantidade de linhas. 
 
A e C possuem a mesma quantidade de colunas. 
 
A e B são matrizes quadradas. 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201603066706) Fórum de Dúvidas (4 de 4) Saiba (0) 
 
A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida por aij 
= 3 i - j será: 
 
 
8 
 
18 
 
12 
 
4 
 
14 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602283998) Fórum de Dúvidas (4) Saiba (0) 
 
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na 
origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 
1, 0) 
 
 
c) 26 
 
b) 24 
 
a) 22 
 
e) 30 
 
d) 28 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201603067354) Fórum de Dúvidas (4 de 4) Saiba (0) 
 
Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que aij = 2i - j + 2 e B = (bij)3x3, 
tal que bij = i2 + j - 4, vamos realizar o produto dos elementos da 
primeira linha da matriz A com os elementos da primeira coluna da 
matriz B, somando, em seguida, os resultados desses produtos (ou 
seja, a11.b11+a12.b21+a13.b31). O resultado obtido nessa operação será: 
 
 
8 
 
-2 
 
-11 
 
2 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201602282726) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden 
n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica: 
 
 
[0aba0c-b-c0] 
 
[0ab-a0c-bc0] 
 
[0ab-a0c-b-c0] 
 
[0ab-a0-c-b-c0] 
 
[0ab-a0cb-c0] 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201603073281) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma matriz A, de ordem (3x3), é tal que a sua terceira linha é 
gerada pela soma das duas primeiras linhas. Assim, é CORRETO 
afirmar que: 
 
 
O det(A) = 1. 
 
A é uma matriz anti-simétrica. 
 
A não possui inversa. 
 
A é uma matriz simétrica. 
 
A não possui transposta. 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201603073283) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se a matriz A abaixo possui inversa, então: 
 
 
 
x = 2 
 
x = -1 ou x = -2 
 
x = 0 
 
x = -2 ou x = 2 
 
x = 4 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602323661) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a inversa da matriz A =[121112101] 
 
 
 A =[121321201212-112] 
 
 A =[1-211012-11] 
 
 A =[-1-2-1-1-1-2-10-1] 
 
 A =[12-132120-12-121-12] 
 
 A =[1-12213121] 
 
Gabarito Comentado Gabarito Comentado 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201602284210) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Complete a afirmativa, abaixo, com a alternativa correta: 
 Uma matriz A , n x n, é invertível se, e somente se, ... 
 
 
det(A) ≠ 0 
 
det(A) = 1 
 
A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da outra 
 
A é uma matriz diagonal 
 
A é singular 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602284099) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine A-1. 
A=[21-102152-3] 
 
 
[0-1-3-51210-1-4] 
 
[10-1-3-51310-1-4] 
 
[-8-1351210-1-4] 
 
[8-1-3-51210-1-4] 
 
[8-2-0-512102-4] 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602284728) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e 
positivo, tal que Ap = 0 diz-se que A é uma matriz nihilpotente. Se 
p é o menor inteiro positivo tal que Ap = 0, diz-se que A é uma 
matriz nihilpotente de ¿índice¿ p. 
Determine o índice da matriz 3 x3 nihilpotente A=[113526-2-1-3] 
 
 
5 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201602284754) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja A= [11232-1-104] uma matriz 3x3 não singular. Sabendo que 
A-1 =[8-4-5-a672-1b] é a inversa da matriz A, 
determine os valores de a e b 
 
 
a= -11 e b = -2 
 
a=-11 e b=2 
 
a = -11 e b = -1 
 
a = 11 e b =-1 
 
a =11 e b=2 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201602283995) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um fabricante de produtos naturais produz xampu, condicionador 
e creme para pentear que em promoção são comercializados da 
seguinte forma: 
 2 cremes e 3 xampus 38,00 
 4 xampus e 2 
condicionadores 
26,00 
 2 cremes e 1 condicionador 31,00 
Sabendo que o preço individual de cada um dos produtos é o 
mesmo, independentemente do conjunto promocional ao qual 
pertence, o preço inividual do xampu, condicionador e creme para 
pentear dado nesta ordem é: 
 
 
 
xampu R$ 4,00 ; creme R$ 13,00 e condicionador R$ 
5,00 
 
xampu R$ 6,00 ; creme R$ 10,00 e condicionador R$ 
5,00 
 
xampu R$ 5,00 ; creme R$ 13,00 e condicionador R$ 
5,00 
 
creme R$ 4,00 ; condicionador R$ 10,00 e xampu R$ 
5,00 
 
condicionador R$ 4,00 ; creme R$ 10,00 e xampu R$ 
5,00 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201602283999) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere o seguinte sistema de equações: 
x + y - z = 1 
2x +3y +az = 3 
x + ay +3z =2 
Para que valores de a: 
a) não teremos solução e 
b) mais de uma solução: 
 
 
d) Nenhuma solução a= 3 e mais de uma solução a = 2 
 
a) Nenhuma solução a= 2 e mais de uma solução a = - 2 
 
a) Nenhuma solução a= -2 e mais de uma solução a = - 3 
 
c) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = 2 
 
b) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = - 2 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602284242) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais 
com 3 equações e 3 variáveis (x, y, z). Seja A a matriz dos 
coeficientes das variáveis deste sistema. Se o determinante da 
matriz A for igual a zero (det A = 0), então pode-se afirmar que 
para as variáveis (x, y, z) do sistema: 
 
 
Admite infinitas soluções 
 
Admite uma única solução 
 
Admite apenas três soluções reais 
 
Admite apenas soluções complexas 
 
Não admite solução real 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602284158)Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a matriz [1-312-hk] como sendo a matriz aumentada 
correspondente a um sistema de equações lineares. Os valores 
de h e k, são tais que o sistema não tenha solução: 
 
 
h = 6 e k ≠ 2 
 
h = 3 e k ≠ 1 
 
h = 6 e k = 2 
 
h = -6 e k ≠ 2 
 
h = -6 e k = 2 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201602279824) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um estudante de engenharia analisou um circuito elétrico e 
formulou o seu funcionamento por meio das três equações abaixo. 
Calcule o valor da corrente elétrica representada pela variável I2. 
 
I1 - 2I2 +3I3 = 6 
-2I1 ¿ I2 + 2I3 = 2 
2I1 + 2I2 + I3 = 9 
 
 
1 
 
2 
 
0 
 
-1 
 
-2 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602280594) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em um setor de uma cidade, conjuntos de ruas de mão única se cruzam, como ilustra a figura abaixo. Estão 
assinalados na figura a média do número de veiculos que entram e saem deste setor. Determine os valores 
de x1, x2, x3 e x4 para o diagrama de fluxo de tráfego. 
 
 
 
x1= 280, x2 = 230, x3 = 350 e x4 = 590 
 
x1= 230, x2 = 280, x3 = 590 e x4 = 350 
 
x1= 280, x2 = 230, x3 = 590 e x4 = 350 
 
x1= 350, x2 = 590, x3 = 230 e x4 = 280 
 
x1= 230, x2 = 590, x3 = 280 e x4 = 350 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602280574) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No circuito elétrico da figura aplicamos as leis de Kirchhoff. Após aplicarmos as mesmas, obtemos as 
seguintes equações: I1 - I2 + I3 = 0; - I1 + I2 - I3 = 0; 4I1 + 2I2 = 8; 2 I2 + 5 I3 = 9 . Após resolver o sistema de 
equações, obtemos os respectivos valores para I1, I2 e I3 
 
 
 
d) I1 = 1 A, I2 = 2 A e I3 = 2 A 
 
b) I1 = 1 A, I2 = 4 A e I3 = 1 A 
 
e) I1 = 1 A, I2 = 1 A e I3 = 1 A 
 
a) I1 = 1 A, I2 = 3 A e I3 = 1 A 
 
c) I1 = 1 A, I2 = 2 A e I3 = 1 A 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201602279826) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Quais os valores de a e b para que o sistema abaixo não tenha 
solução. 
 
2x + 1y - 3z = 1 
1x - 2y + 3z = 2 
3x - 1y - az = b 
 
 
a=1 e b≠0 
 
a≠0 e b=3 
 
a=0 e b≠-3 
 
a=0 e b≠3 
 
a≠0 e b=-3 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201602283989) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Uma fábrica produz óleo de mamona de modo que toda a produção 
é comercializada. O custo da produção é dado pela função y = 23x 
+ 10 000 e o faturamento da empresa por y = 32x, ambas em 
função do número x de litros comercializados. 
O volume mínimo (em litros) de óleo a ser produzido para que a 
empresa não tenha prejuízo corresponde à abscissa x do ponto de 
interseção das duas funções. Assim sendo, a empresa começa a ter 
lucro a partir de: 
 
 
x = 12 000 
 
x = 18 
 
x = 18 000 
 
x = 12 
 
Para qualquer valor de x , a empresa não terá prejuízo. 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201603087206) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Considerando um sistema formado pelas equações, com incógnitas 
x e y, e1: ax + 3y = 3 e e2: 4x - y = b, é correto afirmar que: 
 
 
é possível e indeterminado para a = -12 e b diferente de -1 
 
é impossível para a diferente de -12 
 
é possível e indeterminado para a = -12, qualquer que seja b 
 
é impossível para a = -12 e b diferente de -1 
 
é possível e determinado para a = -12 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201603142961) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado; 
 
 
 
k = 10 
 
k = 15 
 
k = 20 
 
k = - 10 
 
k = - 18 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602908472) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como 
representação gráfica no plano cartesiano duas retas paralelas. O 
valor de a é : 
 
 
0 
 
2 
 
-2 
 
-1 
 
1 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201602908468) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Para que o sistema de equações (a-2) x + 3y = 4 e 2x-6y =10 tenha 
representação gráfica de retas concorrentes, devemos ter: 
 
 
a diferente de 1 
 
a diferente de 2 
 
a igual a 2 
 
a igual a 1 
 
a igual a - 3. 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201603087191) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Se o sistema abaixo possui solução única, então 
 
 
 
k = 3/2 
 
k = 2 
 
k é diferente de -3/2 
 
k é diferente de 0 
 
k = 0 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602284739) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
Para uma festa no Dia das Crianças foram comprados 120 
brinquedos, gastando R$370,00. Foram comprados carrinhos a 
R$2,00 cada; bolas a R$3,50 cada e bonecas a R$3,00 cada. Se o 
número de bolas foi igual ao número de bonecas e carrinhos 
juntos, qual é o quadrado do número de bolas? 
 
 
3.600 
 
1.600 
 
2500 
 
400 
 
900 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201603087201) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
As equações do sistema abaixo representam 
 
 
 
duas retas paralelas coincidentes 
 
dois planos concorrentes 
 
duas retas paralelas disjuntas 
 
duas retas concorrentes 
 
dois planos paralelos disjuntos 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201603035019) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considerando o espaço vetorial R^3, os vetores u=(1,2,1), v=(3,1,-
2) e w=(4,1,0), qual é o valor de 2u+v-3w ? 
 
 
(-7,2,0) 
 
(0,0,0) 
 
(1,0,1) 
 
(-7,0,2) 
 
(2,-7,1) 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201602909351) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -
2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução de 2u 
+ v = 3w. 
 
 
(6, -2, 0) 
 
(-7, 2, 0) 
 
(-7, -3, 1) 
 
(7, 2, 0) 
 
(-6, 1, 0) 
 
Gabarito Comentado Gabarito Comentado 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602909325) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas 
alternativas abaixo os escalares x, y e z de modo que w - r = u. 
 
 
x = 3, y = 3 e z = 2 
 
x = -3, y = -3 e z = -2 
 
x = -3, y = 3 e z = -2 
 
x = 3, y = 3 e z = -2 
 
x = 3, y = -3 e z = 2 
 
Gabarito Comentado Gabarito Comentado 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201603143081) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Todos os conjuntos abaixo são base para R2, exceto: 
 
 
{(1,0), (0,1)} 
 
{(0,1), (1,-1)} 
 
{(1,0), (1,1)} 
 
{(1,1), (-1,-1)} 
 
{(0,1), (1,1)} 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201602284827) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais 
e sejam os seguintes subconjuntos de V: 
W1={A=[abcd]: det A≠0} 
W2={A=[a0bc]} 
W3={A=[abcd]: det A=1} 
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares} 
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais} 
Selecione os subespaços vetoriais de V 
 
 
W2 e W4 
 
W1, W2 e W4 
 
W2 , W4 e W5 
 
 W2 e W5 
 
W1, W2 e W5 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602279884) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões)linear(es) de u = (1,-1,3) 
e de v = (2,4,0): 
I - (3, 3, 3) 
 
II - (2, 4, 6) 
 
III - (1, 5, 6) 
 
 
I - III 
 
I - II - III 
 
I 
 
II - III 
 
II 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602909357) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -
2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da 
equação 3u + 2x = v + w. 
 
 
x = (2, -2, -5/2) 
 
x = (-2, 2, 5/2) 
 
x = (2, -2, 0) 
 
x = (-5/2, -2, -2) 
 
x = (2, -2, -5) 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201603135296) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v 
é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. 
Assim, se for possível escrever o vetor w = (-3, 6, 10) como uma 
combinação linear entre u = (1, 3,0) e v = (-1,0, 2), o valor de a.b 
será 
 
 
5 
 
10 
 
2 
 
8 
 
7 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201602284025) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Dados os vetores: v1 = [22-1] , v2 = [341] , v3 = [121] e v4 = [284] 
, marque a alternativa correta 
 
 
v4 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 
 v4 não é combinação linear de v1 , v2 e v3 
 
 v4 é combinação linear de v1 , v2 e v3 
 
 v1 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 
 v2 não é combinação linear de v1 , v2 , v3 e v4 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602284052) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Dado o conjunto de vetores S = { ( 2, -5 ) , ( -1 , 3 ) } 
e sendo W o conjunto de todos os vetores gerados por 
combinação linear dos vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) , denotado 
por W = Span { S } , marque a alternativa correta 
 
 
 W possui uma quantidade finita de vetores 
 
 os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) não estão em W 
 
 os vetores ( 2, -5 ) e ( -1 , 3 ) estão em W 
 
o vetor nulo não está em W 
 
 W possui 2 vetores 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201603131693) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v = (1, 
2, -3)? 
 
 
u = (-1, 2, 3) 
 
u = (3, 10, -15) 
 
u = (4, 8, -9) 
 
u = (-2, -4, 6) 
 
u = (-3, 8, 9) 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201603135306) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (1) 
 
Dos conjuntos abaixo, podemos afirmar que são Linearmente 
Dependentes somente 
A = {(1, 2), (-2, -4)} 
B = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1)} 
C = {(2, 1, 0), (-1, 0, 1), (3, 1, -1)} 
 
 
o conjunto C 
 
os conjuntos A, B e C 
 
o conjunto B 
 
o conjunto A 
 
os conjuntos A e C 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201603135289) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v 
é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. 
Assim, se for possível escrever o vetor w = (2, 13) como uma 
combinação linear entre u = (1, 2) e v = (-1,1), o valor de a + b 
será 
 
 
-2 
 
5 
 
8 
 
3 
 
-1 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201603131774) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Para quais escalares o vetor (8, -1, 3) é uma combinação linear de 
U = (1, 1, 0) e v = (2, -1, 1)? 
 
 
-1 e 2 
 
2 e -5 
 
-2 e 5 
 
2 e 3 
 
1 e -3 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201603135294) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (1 de 1) 
 
Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v 
é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. 
Assim, se for possível escrever o vetor w = (-5, -11) como uma 
combinação linear entre u = (3, 5) e v = (-1,-3), o valor de a + b 
será 
 
 
-1 
 
2 
 
1 
 
-2 
 
0 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201603135322) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A função f: R2 →R2, tal que f(x, y) = (2x - y, x + 3y) é uma 
Transformação Linear do R2. A imagem do vetor v = (1, 2) será 
 
 
(3, 5) 
 
(-1, 5) 
 
(-2, 0) 
 
(0, 7) 
 
(2, 6) 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201603135315) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é 
uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (0, 1, 5) 
será 
 
 
(-3, 5, 0) 
 
(13, 5, 2) 
 
(9, 1, 0) 
 
(11, -1, 0) 
 
(0, -5, 2) 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602284832) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere uma transformação linear T de R2 em R2 definida por 
T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Seja A a matriz associada 
à transformação linear em relação à base canônica. Uma matriz A 
é diagonalizável se existe uma matriz não singular P, tal que P-
1.A.P = D ,onde D é uma matriz diagonal. Sabendo que essa matriz 
A é diagonalizável, apresente A5 utilizando a fatoração da matriz 
A. 
 
 
[5-1-21].[6500-1].[1717-2757] 
 
[5-121].[600-1].[17172757] 
 
[1717-2757].[6500-1].[5-121] 
 
[52111].[6500-1].[11-25] 
 
[1717-2757].[600-1].[5-121] 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602283679) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Considere T uma Transformada Linear. Defina T(X) = AX , 
sendo A = [13-12-1-5]. A imagem de X = [1-20] por T é 
 
 
[-540] 
 
[11] 
 
[-54] 
 
 [70] 
 
 
[260] 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201603135314) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é 
uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (2, -1, 
3) será 
 
 
(7, 5, 0) 
 
(2, -1, 0) 
 
(-5, 3, 2) 
 
(1, 4, 0) 
 
(6, -1, 1) 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602283980) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas 
dinâmicos lineares. A seguir apresentamos algumas assertivas 
sobre transformações lineares. Considere as mesmas e assinale a 
alternativa correta: 
I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma 
transformada linear empregada em sistemas lineares: 
T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp); 
II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida 
por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R3; 
III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada 
definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R5; 
IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = 
cT(v) + dT(u) 
 
 
 
As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III 
falsa 
 
As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e 
III são falsas 
 
As afirmações I, III e IV são verdadeiras e a afirmação II é 
falsa 
 
As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e 
IV são falsas 
 
As afirmações II, III e IV são verdadeiras e a afirmação I é 
falsa 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602284248) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o 
Teorema: 
Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, A pode 
ser fatorada na forma A = P. D. P-1 , sendo: 
 P uma matriz invertível, tal que as colunas 
de P são n autovetores de A, linearmente independentes e, 
 D uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal 
principal sãoos autovalores de A associados, 
respectivamente, aos autovalores de P. 
Desse modo, para A = [72-41], cujos autovalores são 5 e 3 , com 
autovetores associados v1 = ( 1, -1 ) e v2 = ( 1, -2 ), 
respectivamente temos: 
 
 
P = [2-1-11] e D = [3005] 
 
P = [11-1-2] e D = [5003] 
 
P = [1-11-2] e D = [5003] 
 
P = [11-1-2] e D = [0530] 
 
P = [1001] e D = [53-3-5] 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201602284027) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a Transformada Linear T(X) = AX tal que A = [231-
252]Sendo B = [13327] a imagem de X por T, o vetor X é 
 
 
[15] 
 
 [135] 
 
[531] 
 
 [-5-1] 
 
 [51] 
 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201602284830) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere as seguintes transformações lineares T:R²->R² assim 
definidas: 
 um cisalhamento no plano, na direção do eixo dos x, de um fator 
α, dado pela matriz canônica[1α01] 
uma rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto 
descrever um ângulo β, cuja matriz canônica é:[cosβ-
senβsenβcosβ]. 
O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento 
horizontal de fator 2 e uma rotação de 900 no sentido anti-horário. 
Encontre a matriz da transformação linear que representa a 
composta dessas duas operações e o vetor resultante dessa 
sequência de operações. 
 
 
[0-112] e (T1oT2)(3,2) = (-2,7) 
 
[2-111] e (T1oT2)(3,2) = (4,5) 
 
[1-112] e (T1oT2)(3,2) = (1,5) 
 
[2-110] e (T1oT2)(3,2) = (4,3) 
 
[1201] e (T1oT2)(3,2) = (7,2) 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201602284208) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Complete a afimativa, abaixo, com a opção correta: 
Uma matriz A, n x n, é diagonalizável se, e somente se, ... 
 
 
A possui n autovetores distintos 
 
A possui n autovetores linearmente independentes 
 
A possui n autovetores linearmente dependentes 
 
A possui n x n autovetores 
 
A não possui autovalores reais 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602326181) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja A uma matriz 3x3 tal A² = A. Encontre os autovalores de A. 
 
 
λ=0 
 
λ=1 ou λ=-1 
 
λ=- 1 ou λ=0 
 
λ=0 ou λ=1 
 
λ=1 ou λ=2 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602323581) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
 Dada a matriz A = [10-94-2] encontre o polinômio característico 
da matriz A. 
 
 
 
λ2-8λ+16 
 
λ2-8λ+4 
 
λ2-10λ+2 
 
λ2-16 
 
λ2-4 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201603133892) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os autovalores da matriz abaixo são? 
 
 
 
3,54 e -2,54 
 
-3,54 e 2,54 
 
-3,54 e -2,54 
 
3,54 e 1,54 
 
3,54 e 2,54 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602967273) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é: 
 
 
3 
 
4 
 
1 
 
5 
 
2 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602279910) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para a matriz encontre todos os auto-valores 
 
 3 1 1 
 2 4 2 
 1 1 3 
 
 
 
λ = 1 e λ = 2 
 
λ = 1 e λ = 6 
 
λ = -2 e λ = 6 
 
λ = 2 e λ = 6 
 
λ = 2 e λ = -6 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201602284151) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a matriz A = [10-11-304-131]. Um dos 3 autovalores 
de A é 
 
 
λ = 1 
 
λ = 5 
 
λ = -2 
 
λ = 4 
 
λ = -1 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201602279920) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Determine a representação matricial do operador do R2 - R2 em 
relação à T(x, y)=(4x, 2y -x) e base canônica. 
 
 
 4 1 
 -
1 
0 
 
 
 4 0 
 -
1 
2 
 
 
 -
4 
0 
 -
1 
2 
 
 
 4 0 
 0 2 
 
 
 4 0 
 1 2 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201603035021) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Quais são os valores próprios (autovalores) do operador T do R¿2 
dado por T(x,y) = (x+y, x-y)? 
 
 
Raiz de 2 e -(Raiz de 2) 
 
1 e -1 
 
1 e 1 
 
Raiz de 2 e 0 
 
0 e 1 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201602967289) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -
17 8], é: 
 
 
1 
 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201602284745) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente 
a matriz P que diagonaliza a matriz do operador. 
 
 
[P] =[1757-1727] 
 
[P] =[4521] 
 
[P] = [15-12] 
 
 
[P] = [-1006] 
 
[P] =[2-511] 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201602940193) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico 
quando a ordem dessas matrizes for: 
 
 
qualquer ordem 
 
2 
 
5 
 
4 
 
3 
 
Gabarito Comentado 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201602998882) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os valores próprios de um operador linear T:R2 em R2 são a1 = 2 
e a2 = 3, sendo v1 = (1,-1) e v2 = (-1,0) os respectivos vetores 
associados. Determine T (x,y): 
 
 
T(x,y) = (-3x-7y, 4y) 
 
T(x,y) = (-4x-5y, 2y) 
 
T(x,y) = (-3x-5y, 2y) 
 
T(x,y) = (-3x-5y, 4y) 
 
T(x,y) = (-3x-5y, 3y) 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201602284154) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Os autovalores de [00005200-1] são 
 
 
λ1 = 5 , λ2 = 2 , λ3 = -1 
 
λ1 = 0 , λ2 = 5 , λ3 = -1 
 
λ1 = 5 e λ2 = -1 
 
λ1 = -5 , λ2 = -2 , λ3 = 1 
 
λ1 = 0 , λ2 = -5 , λ3 = 1 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201602967299) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] 
é igual a : 
 
 
4 
 
2 
 
3 
 
0 
 
1