Estudo de Conjuntos e Funções

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Capítulo 1: Conjuntos 
 
1.1 Estudando os conjuntos ................................................................................................................... 03 
1.2 Relação de pertinência ..................................................................................................................... 03 
1.3 Relação de inclusão ......................................................................................................................... 03 
1.4 Conjunto vazio .................................................................................................................................. 04 
1.5 Conjunto unitário ............................................................................................................................. 04 
1.6 Conjunto das partes ......................................................................................................................... 04 
1.7 Número de elementos do conjunto das partes ................................................................................ 04 
1.8 Igualdade dos conjuntos .................................................................................................................. 05 
1.9 Operações com conjuntos ................................................................................................................ 05 
1.10 Conjuntos numéricos ...................................................................................................................... 07 
1.11 Intervalos reais ............................................................................................................................... 11 
1.12 Exercício comentado ...................................................................................................................... 13 
1.13 Fixação ........................................................................................................................................... 15 
1.14 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 20 
1.15 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 21 
1.16 Referências .................................................................................................................................... 23 
 
Capítulo 2: Funções 
 
2.1 Noção intuitiva24 
2.2 A noção de função através de conjuntos ......................................................................................... 25 
2.3 Domínio, Imagem e Contradomínio ................................................................................................. 26 
2.4 Estudo do domínio de uma função .................................................................................................. 27 
2.5 Função Sobrejetora, função injetora e função bijetora .................................................................... 28 
2.6 Função par e função ímpar .............................................................................................................. 29 
2.7 Função crescente e função decrescente ......................................................................................... 30 
2.8 Função composta ............................................................................................................................. 30 
2.9 Função inversa ................................................................................................................................. 31 
2.10 Exercício comentado ...................................................................................................................... 32 
2.11 Fixação ........................................................................................................................................... 32 
2.12 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 43 
2.13 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 46 
2.14 Referências .................................................................................................................................... 47 
 
Capítulo 3: Função do 1º Grau ou Função Afim 
 
3.1 Estudando função afim ..................................................................................................................... 48 
3.2 Função polinomial de 1º grau ........................................................................................................... 48 
3.3 Função constante ............................................................................................................................. 49 
3.4 Raiz da função ................................................................................................................................. 49 
3.5 Estudo da variação do sinal de y = ax + b ....................................................................................... 50 
3.6 Inequações do 1º grau ..................................................................................................................... 51 
3.7 Exercício comentado ........................................................................................................................ 53 
3.8 Fixação ............................................................................................................................................. 54 
3.9 Pintou no Enem ................................................................................................................................ 62 
3.10 Sessão leitura ................................................................................................................................. 64 
3.11 Referências .................................................................................................................................... 67 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 4: Função do 2º Grau 
 
4.1 Estudando a função quadrática........................................................................................................ 68 
4.2 Definição ........................................................................................................................................... 68 
4.3 Gráfico da função ............................................................................................................................. 69 
4.4 Raiz da função ................................................................................................................................. 69 
4.5 Vértice da função ............................................................................................................................. 70 
4.6 Sinal da função ................................................................................................................................. 71 
4.7 Método para construção da parábola .............................................................................................. 71 
4.8 Inequação do 2º grau ....................................................................................................................... 71 
4.9 Exercício comentado ........................................................................................................................ 72 
4.10 Fixação ........................................................................................................................................... 72 
4.11 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 80 
4.12 Sessão leitura ................................................................................................................................. 81 
4.13 Referências ....................................................................................................................................83 
 
 
Capítulo 5: Função Exponencial 
 
5.1 Estudando Função Exponencial....................................................................................................... 84 
5.2 Potências e suas propriedades ........................................................................................................ 84 
5.3 Equações exponenciais ................................................................................................................... 85 
5.4 Função exponencial ......................................................................................................................... 85 
5.5 Gráfico da função exponencial ......................................................................................................... 86 
5.6 Principais propriedades da função exponencial............................................................................... 86 
5.7 O número e (número de Euler) ........................................................................................................ 87 
5.8 Exercício comentado ........................................................................................................................ 87 
5.9 Fixação ............................................................................................................................................. 88 
5.10 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 93 
5.11 Sessão Leitura ............................................................................................................................... 94 
5.12 Referências .................................................................................................................................... 95 
 
 
Capítulo 6: Função Logarítmica 
 
6.1 Estudando Logaritmo ....................................................................................................................... 96 
6.2 Definição de Logaritmos ................................................................................................................... 96 
6.3 Propriedades .................................................................................................................................... 96 
6.4 Logaritmo decimal ............................................................................................................................ 98 
6.5 Função logarítmica ........................................................................................................................... 98 
6.6 Gráfico de uma função logarítmica .................................................................................................. 98 
6.7 Exercício comentado ........................................................................................................................ 99 
6.8 Fixação ........................................................................................................................................... 100 
6.9 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 105 
6.10 Sessão Leitura ............................................................................................................................. 106 
6.11 Referências .................................................................................................................................. 107 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1) CONJUNTOS 
 
 
1.1) Estudando os Conjuntos 
 
 
 Ao obter coleções de elementos classificados a partir de certa característica, estamos 
formando conjuntos. Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser divididos em cinco classes: 
peixes, répteis, anfíbios, mamíferos e aves. Cada uma dessas classes de animais forma um 
conjunto. 
Na matemática, a ideia de conjunto é fundamental e está presente em diversos outros conceitos. 
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que cada 
elemento é um dos componentes do conjunto. 
 Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto, e os elementos por letras minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos 
uma das três formas seguintes: 
- Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são 
apresentados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto e vírgula ou por 
vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} 
- Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos 
os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por todos 
os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par menor que 9 } Lê-se: O conjunto A é formado 
pelos elementos x, tal que x é um algarismo par menor que 9. 
- Diagrama de Euler – Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por 
uma curva fechada. Ex: 
 
1.2) Relação de Pertinência 
 
A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado 
conjunto. 
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim: 
 
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO 
2

A O elemento 2 pertence ao conjunto A. 
3

A O elemento 3 não pertence ao conjunto A. 
 
Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando um 
elemento a um conjunto, nesta ordem. 
 
“elemento” 

 “conjunto” 
 
Ou 
 
 
“elemento” 

 “conjunto” 
 
 
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto. 
 
 
1.3) Relação de Inclusão 
 
A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro 
conjunto. 
4 
 
 
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido 
no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o 
primeiro conjunto não esteja contido no segundo. 
Simbologia: 
 
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO 
A

B O conjunto A está contido no conjunto B. 
D

E O conjunto D não está contido no conjunto E. 
B

A O conjunto B contém o conjunto A. 
E

D O conjunto E não contém o conjunto D. 
 
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um conjunto 
a outro conjunto. 
 
“ conjunto” 
 “ conjunto” 
“ conjunto” 

 “ conjunto” 
“ conjunto” 

 “ conjunto” 
“ conjunto” 

 “ conjunto” 
 
 Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. 
 
1.4) Conjunto Vazio 
 
O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio 
usaremos os símbolos: { } ou 

. 
 
Atenção: Quando os símbolos { } ou 

, aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto, 
o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado. 
Ex. : Seja o conjunto A={

; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que 
 
A , pois 

 é um elemento do conjunto A. 
Também sempre será verdade que: 
i) 
A
 para qualquer que seja o conjunto A. 
ii) 
AA
 para qualquer que seja o conjunto A. 
 
1.5) Conjunto Unitário 
 
É o conjunto que possui apenas um elemento. 
 
1.6) Conjunto das Partes 
 
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por todos os 
subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos. 
 
Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o 
próprio conjunto. 
Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A). 
 
 
1.7) Numero de elementos do conjunto das partes 
 
Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(A). E o número 
de elementos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)]. 
Daí : 
)(2)]([ AnAPn 
 
5 
 
 
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 42 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o 
conjunto A terá no total 16 subconjuntos. 
 
1.8) Igualdade de Conjuntos 
 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, 
sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. Daí, 
podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: 
A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c} 
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: 
ABeBABA 
 
 
 
1.9) Operações com conjuntos 
 
 
a) União de Conjuntos: 
 
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. 
Indicaremos a união pelo símbolo 

. Matematicamente: 
 
}|{ BxouaxxBA 
 
 
No diagrama abaixo 
BA
,é a região hachurada: 
 
 
 
b) Interseção de conjuntos: 
 
A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. 
Indicaremos a interseção pelo símbolo 

. Matematicamente: 
 
}|{ BxeaxxBA 
 
Nos diagramas abaixo 
BA
, é região hachurada: 
 
 
Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos 
disjuntos. 
 
c) Diferença de conjuntos: 
 
6 
 
 
A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e 
não pertencem a B. Matematicamente: 
}|{ BxeaxxBA 
 
Nos diagramas abaixo 
BA
,é a região hachurada: 
 
 
 
d) Diferença Simétrica : 
 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e 
não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Indicaremos a 
diferença simétrica entre A e b por: 
BA
. Daí: 
)()(}|{ ABBAABxouBAxxBA 
 
No diagrama abaixo 
BA
, é região hachurada: 
 
 
 
e) Número de elementos da união de conjuntos: 
 
O número de elementos da união de : 
 
- dois conjuntos A e B será: 
)()()()( BAnBnAnBAn 
 
- três conjuntos A, B e C será: 
)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn 
 
Dedução: 
 
 
 








zyBn
yBAn
yxAn
Seja
)(
)(
)(
 pelo diagrama temos q 
zyxBAn  )(
, fazendo as substituições de 
x, y e z teremos a fórmula, para o número de elementos da união dos dois 
conjuntos. 
 
 
7 
 
 
1.10) Conjuntos Numéricos 
 
 
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar 
resultados para algumas operações matemáticas. 
Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais. 
 
a) Conjunto dos números naturais (N): 
 
É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; 
...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e 
o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou 
subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2 -3, por 
exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os 
números negativos. 
 
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” 
Leopold Kronecker 
 
b) Conjunto dos números inteiros (Z): 
 
Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos 
destacar os seguintes subconjuntos de Z: 
- N, pois N

Z. 
- Z* = Z – { 0 } ou Z* = { ...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...} 
Geometricamente temos: 
 
 
 
 
 
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou 
simétrico de –3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0. 
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os 
sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom 
lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que 
está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não 
houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). 
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: 
“Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários 
conduzem sempre à resultados negativos”. 
No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, 
o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E todas as 
propriedades das operações em N continuam válidas em Z. 
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro: 
(-8) : (+2) = -4 

 é possível em Z. 
(-7) : (+2) = ? 

 não é possível em Z. 
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z. 
 
8 
 
 
c) Conjuntos dos números racionais(Q): 
 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o 
conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são números racionais: 
 
,...2,
3
5
,1,
4
3
,
2
1
,0,
4
1
,
2
1
,1,
2
3
,2 
 
Observe que todo número racional pode ser escrito na forma 
b
a
, com a

Z, b

Z*. Assim, 
escreveremos: 
Q =






 *, ZbeZacom
b
a
 
Perceba que a restrição 
*Zb
, nos obriga a termos 
0b
, pois 
b
a
, a divisão de a por b, só tem 
significado com 
0b
. A designação racional, surgiu porque 
b
a
 pode ser vista como uma razão 
entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira 
letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras: 
- Número inteiro: Se b = 1, temos 
Za
a
b
a

1
, o que implica que Z é subconjunto de Q. Assim: 
QZN 
 
- Número decimal exato: Dado um número racional 
b
a
, a representação decimal desse número é 
obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais 
após a vírgula, este resultado é um número decimal exato. Exemplos: 
247,0
1000
247
;8,0
5
4
;625,0
8
5
;25,0
4
1

 
 
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão 
b
a
, que possui uma 
quantidade infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado de 
dízima periódica, e a fração 
b
a
 que gera a dízima, é a fração geratriz. Exemplos: 8 
51,2...515151,2
33
83
;781,0...1787878,0
990
177
;6,0...666,0
3
2

 
 
 No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as 
propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão por 
zero é impossível! 
Geometricamente temos: 
 
 
9 
 
 
 
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois racionais sempre 
existe outro racional. Porexemplo, entre os racionais 
5,0
2
1

 e 
75,0
4
3

 podemos encontrar 
infinitos racionais; entre eles 
625,0
8
5

. Mas isso não significa que os racionais preenchem 
toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por 
exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo retângulo, de catetos medindo uma unidade, é 
um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição, subtração, 
multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q, uma 
equação como 
22 x
 não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional 
b
a
 tal que 
2
2






b
a . Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número não racional ou 
irracional. 
 
d) Conjunto dos números irracionais(I): 
 
São os números que não podem ser escrito na forma fracionária, com numerador inteiro e 
denominador inteiro ( diferente de zero). São as decimais infinitas e não periódicas. Exemplos: 
...4142135,12 
; 
...7320508,13 
; 
...1415926535,3
 
Representação de alguns irracionais na reta: 
 
 
 
e) Conjunto dos números reais(R): 
 
 Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o 
conjunto dos números reais R. Simbolicamente: 
   irracionaléxouracionaléxxQRxouQxQRQR |// 
 
Os números racionais não eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os 
pontos da reta correspondente aos números 
3
, 
2
, 

,

, 
e
não eram preenchidos com os 
números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada 
10 
 
 
ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real 
corresponde um único ponto da reta. 
 Por isso dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os 
pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos 
uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala. 
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
RQZN 
 
RRQ /
 
RRQQ  /
 
 RQQ /
 
QRRQ /
 
 
Assim com os números reais toda equação do tipo 
ax 2
com 
Na
, pode ser resolvida e todos 
os segmentos de reta podem ser medidos. 
 Existem outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é 
impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um 
número negativo. Assim, 
4
não é um número real; é um número complexo ou imaginário. 
 Podemos usar as seguintes notações para alguns subconjuntos de R: 
R

 real positivo ou nulo 
*
R

 real positivo 
R

 real negativo ou nulo 
*
R

 real negativo 
O mesmo pode ser feito com Z e Q. 
 
 
e) Relação de ordem em R: 
 
Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma, das 
relações: a = b ou a > b ou a < b. 
A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real 
b.Geometricamente se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. 
 
11 
 
 
A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b. 
Geometricamente , se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. 
 
Também usaremos a notação: 
ba   baouba 
(a é menor que b ou a é igual a b) 
ba   baouba 
(a é maior que b ou a é igual a b) 
cba  






cb
ba
cbeba
 
 
Será muito útil percebermos que se tivermos x

R, e escrevermos: 
x > 0 

 x é positivo 
x < 0 

 x é negativo 
0x 
x é não positivo 
0x 
x é não negativo 
 
Algumas propriedades importantes das desigualdades: 
As simbologias <, >, chamaremos de sentido da desigualdade.Vejamos algumas propriedades 
muito úteis: 
 
1ª)Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido: 
-2<x<3 e 1<y<5 

-2+1 < x+y < 3+5 
 
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a ambos os membros de uma desigualdade sem 
alterá-la ou transpor um termo de um membro para o outro, trocando o sinal deste termo. 
x+7 < 9 

x > 9-7 

 x > 2 que é o mesmo que fazer x+7 < 9 

 x +7-7 > 9-7 

 x > 2 
 
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente 
de zero, mas com o seguinte cuidado: 
-Se o número for positivo, conservamos o sinal da desigualdade; 
-Se o número for negativo invertemos o sinal da desigualdade. 
Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por 
-5, 15 > -10. 
 
 
1.11) Intervalos Reais 
 
 
Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, tem grande importância na 
Matemática; são os intervalos reais. 
 
 
Representação na reta real 
 
Sentença matemática 
 
Notações simbólicas 
Intervalo aberto: 
 
 
{x

R | a < x < b} 
 
]a,b[ 
 
(a,b) 
12 
 
 
Intervalo fechado: 
 
 
{x

R | 
bxa 
} 
 
[a,b] 
 
[a,b] 
Intervalo semi-aberto à direita: 
 
 
{x

R | 
bxa 
} 
 
[a,b[ 
 
[a,b) 
 
Intervalo semi-aberto à esquerda: 
 
 
{x

R | 
bxa 
} 
 
]a,b] 
 
(a,b] 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalos “infinitos”: 
 
Representação na reta real 
 
Sentença matemática 
 
Notações simbólicas 
 
 
{x

R | 
ax 
} 
 
]a, 

 [ 
 
( a, 

) 
 
 
{x

R | 
ax 
} 
 
[a, 

 [ 
 
 
[a, 

 ) 
 
 
 
{x

R | 
ax 
} 
 
]

,a[ 
 
(

,a) 
 
 
{x

R | 
ax 
} 
 
]

,a] 
 
(

,a] 
 
 
Considera-se como intervalo ]

, 

[ = R. 
Observações: 
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( ) 
indica que o extremo do intervalo não pertence a ele. 
2)

e 

, simbolizam apenas a ausência de extremidades pela esquerda ou pela direita no 
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto 

e

 não são números reais! 
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos números reais. Assim os seguintes exemplos 
não são intervalos: 
S={x

Z | -5< x < 2}; L= {x

N | x >3 }; T = {x

Z | 
13  x
} 
 
a) Operações com intervalos 
 
Estudamos em tópicos anteriores que algumas operações podem ser realizadas com conjuntos. 
Como os intervalos reais são subconjuntos de R, também podemos realizar operações com 
intervalos. 
 
Exemplo: 
 
13 
 
 
Dados os conjuntos A = { x 

 R | 
23  x
} e B = { x 

 R | 
80  x
}, para efetuar as 
operações representamos cada conjunto em retas reais paralelas. Vamos exemplificar as 
operações de união e interseção, mas as operações de diferença (A – B ou B – A) e de 
complementar também podem ser efetuadas desta maneira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.12) Exercício comentado 
 
1) (Unifap) O dono de um canil vacinoutodos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 
60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas 
doenças. 
 
Solução: 
Sabemos que o total de cães é 100%. Com o auxílio do Diagrama de Venn obtemos: 
(80% – x) + (x) + (60% – x)= 100% 
140% - 2x + x = 100% 
40% = x 
Resposta: 40% dos animais foram vacinados contra as duas doenças. 
 
 
14 
 
 
 
 
2) Sabe-se que numa escola de esportes 47 alunos fazem futebol, 23 fazem natação e 36 fazem 
atletismo. Ainda sabe-se que 10 alunos estão matriculados nas 3 modalidades, 12 fazem natação 
e futebol, 10 fazem natação e atletismo, e 15 fazem futebol e atletismo. 
a) Qual o total de alunos matriculados nesta escola de esportes? 
b) Quantos alunos fazem futebol e atletismo? 
c) Quantos alunos fazem somente futebol e atletismo? 
 
Solução: 
Primeiramente vamos preencher o Diagrama de Venn partindo da interseção mais restrita até a 
menos restrita. Ou seja, vamos preencher o campo de interseção das 3 modalidades, depois de 
duas modalidades (par a par) e depois preencher o campo dos alunos que só fazem 1 modalidade. 
 
 
 
15 
 
 
Observando a evolução no preenchimento do diagrama ( de 1 até 4) devemos ressaltar que, por 
exemplo, das 37 pessoas que faziam futebol: 20 não faziam outros esportes, 10 faziam os 3 
esportes, 12 faziam natação também, 15 faziam atletismo também, 2 faziam somente futebol e 
natação e 5 faziam somente futebol e atletismo. 
Com o Diagrama explicitado podemos responder às perguntas iniciais. 
a) Basta somar todos os campos do diagrama. O diagrama montado nos permite somar as partes 
sem somar duas ou três vezes as mesmas pessoas. 
Total= 69 
b) Observando o diagrama 4 percebemos que a quantidade de alunos que fazem futebol e 
atletismo é: 15 
c) A quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo, somente, é: 5 
 
 
1.13) Fixação 
 1) (CESGRANRIO) Ordenando os números racionais 
24
13
p
, 
3
2
q
 e 
6
5
r
, obtemos: 
A) p < r < q 
B) p < q < r 
C) r < p < q 
D) q < r < p 
E) r < q < p 
 
2) (Unirio) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve 
os seguintes dados: 
 
- 28% dos funcionários são mulheres; 
- 1/6 dos homens são menores de idade; 
- 85% dos funcionários são maiores de idade. 
 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? 
A) 30% 
B) 28% 
C) 25% 
D) 23% 
E) 20% 
 
3) (UFJF) Na figura abaixo estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. 
Aposição do número real x.y é: 
 
A) à esquerda do zero 
B) entre zero e x 
C) entre x e y 
D) entre y e 1 
E) à direita de 1 
 
4) (UFG) A afirmação "Todo jovem que gosta de matemática adora esportes e festas" pode ser 
representada segundo o diagrama: 
M = { jovens que gostam de matemática }; 
 E = { jovens que adoram esportes }; 
F = { jovens que adoram festas } 
16 
 
 
 
 
5) (CESESP) Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o 
jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois 
jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos. 
 
A) 80% 
B) 14% 
C) 40% 
D) 60% 
E) 48% 
 
 
6)Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que 
AX 
={0, 1, 5, 6} e 
BX 
={0,4,6}. Se 
BA
={2, 3}, o conjunto 
BA
é igual a: 
 
A) {1, 4, 5} 
B){0, 2, 3, 5} 
C){1, 2, 3, 4} 
D){1, 2, 3, 4, 5} 
E){0, 2, 4, 5, 6} 
 
 
7) (PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. 
Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que 
já tem emprego? 
 
A) 60% 
B) 40% 
C) 30% 
D) 24% 
E) 12% 
 
 
8) (PUCMG) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e 
todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que 
lêem as duas revistas é: 
 
A) 20 % 
B) 40 % 
C) 60 % 
D) 75 % 
E) 140 % 
17 
 
 
 
 
9) (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado 
seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia 
do Meio e 15% não iam à praia.De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que 
freqüentavam ambas as praias era de: 
 
A) 20% 
B) 35% 
C) 40% 
D) 25% 
 
 
10) (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
B – Quando chove de manhã não chove à tarde; 
C – Houve 5 tardes sem chuva; 
D - Houve 6 manhãs sem chuva. 
Então n é igual a: 
 
A) 7 
B) 9 
C) 10 
D) 11 
E)12
 
 
11) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de 
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é? 
A) exatamente 6. 
B) exatamente 2. 
C) no mínimo 6. 
D) no máximo 5. 
E) no mínimo 4. 
 
 
12) (PUC) A região assinalada no diagrama representa: 
 
 
 
A) 
CBA  )(
 
B) 
)()( CBBA 
 
C) 
)()( CBCA 
 
D) 
)()( BCBA 
 
E) 
)()( CBCA 
 
 
 
13) (PUCCAMP) Numa escola de música, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as 
restantes estudam violão. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas são do sexo masculino e 
que as do sexo feminino que estudam violão são apenas 5% do total. Nessas condições,
18 
 
 
 
 escolhendo-se uma matrícula ao acaso qual é a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo 
masculino e estudante de teclado? 
 
A) 2/5 
B) 3/10 
C) ¼ 
D) 1/5 
E) 1/10 
 
14) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que 
)( BAC 
={6, 7} e 
)( BAC 
={4, 5}, então, 
C é igual a: 
 
A) {4,5} 
B) {6, 7} 
C) {4, 5, 6} 
D) {5, 6, 7} 
E) {4, 5, 6, 7} 
 
15) (U.Uberaba) No diagrama, a parte hachurada representa: 
 
 
A) 
GFE  )(
 
B) 
)( GE
 
C) 
)( FEG 
 
D) 
)()( GFFE 
 
E) 
GFE  )(
 
 
16) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apresentava as 
afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados 
da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100, na afirmativa B; 7720, na 
afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B 
e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três 
afirmativas? 
 
A) 360 
B) 490 
C) 720 
D) 810 
E) 1080 
 
17) (Unirio) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, 
descobriu-se, sobre a população, que: 
I - 44% têm idade superior a 30 anos; 
II - 68% são homens; 
III - 37% são homens com mais de 30 anos; 
IV - 25% são homens solteiros; 
V - 4% são homens solteiros com mais de 30 anos; 
VI - 45% são indivíduos solteiros;
19 
 
 
VII - 6% são indivíduos solteiros com mais de 30 anos. 
 
Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da população desta cidade que representa as 
mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de: 
A) 6% 
B) 7% 
C) 8% 
D) 9% 
E) 10% 
 
 
18) (UERJ) Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo público de uma determinada comunidade. 
A tabela a seguir resume o resultado de um levantamento sobre a intenção de votodos eleitores dessa 
comunidade. 
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores consultados que não votariam no 
candidato B é: 
A) 66,0% 
B) 70,0% 
C) 94,5% 
D) 97,2% 
 
19) (UERJ) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, 
apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados 
registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo: 
 
 
 
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se 
concluir que X é igual a: 
A) 6 
B) 8 
C) 10 
D) 12 
 
20) Uma indústria lançou um novo modelo de carro que não teve a repercussão esperada. Os técnicos identificaram 
3 possíveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preço mais elevado em 
relação aos modelos similares do mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado: 
 
20 
 
 
 
Problemas Número de votos 
D 34 
A 66 
P 63 
D e A 17 
D e P 22 
A e P 50 
D,A e P 10 
Sem problemas 16 
 
Qual conclusão é verdadeira: 
A) Como a quantidade de pessoas que não encontraram problemas é maior do que a daquelas que encontraram os 
3 problemas, a maioria dos entrevistados gostou do modelo. 
B) Mais da metade dos pesquisados achou o preço elevado. 
C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. 
D) Necessariamente, quem encontrou problema em A também encontrou problema em D. 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2.E 3. B 4.C 5.C 6.D 7.A 
8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.D 14.C 
15.E 16.E 17.B 18.B 19.A 20.B 
 
 
1.14) Pintou no ENEM 
 
 
1) (Enem/2003) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em sua maior parte são causados por erro do motorista. Em boa 
parte deles, o motivo é o fato de dirigir após o consumo de bebida alcoólica. A ingestão de uma lata de cerveja 
provoca uma concentração de aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue. 
A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocado por bebidas alcoólicas em função de níveis de 
concentração de álcool no sangue: 
 
 
 
 
 
(Revista Pesquisa FAPESP n o 57, setembro 2000) 
 
Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja provavelmente apresenta 
A) queda de atenção, de sensibilidade e das reações motoras. 
21 
 
 
B) aparente normalidade, mas com alterações clínicas. 
C) confusão mental e falta de coordenação motora. 
D) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar. 
E) estupor e risco de parada respiratória. 
 
Solução: 
A ingestão de 1 lata de cerveja provoca uma concentração de álcool de 0,3 g/L. Logo, a ingestão de 3 latinhas de 
cerveja provocarão uma concentração de álcool de 0,9 g/L de sangue. 
Analisando a tabela, conclui-se que a pessoa terá perda da sensibilidade, das reações motoras, queda de atenção, 
dentre outros sintomas. Sendo assim, a resposta é a alternativa A. 
 
 2)(Enem) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a 
públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, 
ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2‚ e C3 
terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1e C2‚ 
terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 
também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos 
três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: 
 
A) 135. 
B) 126. 
C) 118. 
D) 114. 
E) 110. 
 
Resposta: C 
 
 
1.15) Sessão Leitura 
 
 
O homem que colocou o infinito no bolso 
O alemão Georg Cantor, no início do século, desafiou o senso comum ao descobrir números que a imaginação 
matemática ainda não alcançava. 
 
 
Desde que o homem aprendeu a pensar, poucos conceitos 
perturbaram tanto o seu espírito quanto o infinito. Um 
exemplo simples são os números inteiros: 1, 2, 3, 4, 5... e 
assim por diante. A sequencia nunca termina e não se pode 
imaginar um número que seja maior que todos os outros — 
era o que se pensava até o final do século XIX. O fato, porém, 
é que há números ainda maiores, como se além de um infinito 
houvesse outros. Esse paradoxo abalou o pensamento 
matemático e surpreendeu seu próprio autor, o matemático 
Georg Cantor (1845-1918). Filho de dinamarqueses, nascido 
na Rússia e radicado na Alemanha, sua pátria por adoção, 
Cantor era bastante conservador, dizem os historiadores. 
 
[...] quando foi atacado por sua descoberta, defendeu-se dizendo sinceramente que fizera tudo para evitá-lo. 
“Apenas, não vejo como fugir dela”, acrescentou. E estava certo. Seu método, claro como água, consistiu em 
comparar a lista dos números inteiros com as de outros números. Por exemplo, como os existentes entre 0 e 1, tais 
como 0,014828910... ou........... 0,999999273... E a comparação era feita como quem vistoria uma sala de cinema: 
se não há cadeiras vazias e ninguém está de pé, é certo que o número de cadeiras é igual ao de pessoas. Caso 
contrário, será maior o número do que sobrar, cadeiras ou pessoas. 
 
Com essa ideia em mente, Cantor emparelhou os números inteiros com os números menores que 1 e constatou: 
depois de esgotar a lista dos inteiros, ainda havia menores que 1 a emparelhar. Concluiu que o número desses 
22 
 
 
últimos — apenas entre 0 e 1 — era maior que o infinito número dos inteiros. 
Nem havia nome para tal quantidade, e coube a Cantor batizá-la. Chamou de 
álefe-zero ao conjunto de todos os inteiros — o 
 
20 
“menor” dos infinitos. Vinha depois o álefe-zero mais 1, e por aí adiante, numa 
inimaginável hierarquia de 
infinitos. O mundo ficou pasmo, mas, como quase sempre acontece, grande 
parte do problema era simples falta de costume com uma ideia nova. 
 
O notável avanço dos fractais 
 
Fonte: Wikipédia 
 
E, depois de assimilados, os métodos cantorianos se mostraram perfeitamente práticos 
e muito úteis. Apenas a título de ilustração, eles serviram de base à recente teoria dos fractais, 
que representa um notável avanço no conceito de dimensão. Uma casa tem dimensão 3 porque tem altura, largura e 
comprimento, e uma folha tem dimensão 2 porque só tem largura e comprimento. Mas há objetos difíceis de 
classificar — como os alvéolos pulmonares. Por serem ramificados como uma árvore, se diz que sua dimensão é 
fracionária — alguma coisa entre uma área e um volume — e é denotada por algum número entre 2 e 3. Isso, por si 
só, mostra que Cantor ajudou a ampliar os cálculos que a Matemática é capaz de fazer. 
Ainda mais importante que esse lado prático, porém, foi uma mudança de fundo na maneira de ver os números. 
Curiosamente, o melhor caminho para entender a visão moderna é relembrar como os números eram usados na 
Pré-história — e ainda hoje são usados por pastores nômades que aprenderam a contar com seus 
ancestrais. Como não sabem dizer quantos animais têm, os pastores colocam pedrinhas numa sacola, uma para 
cada vaca que sai do curral. Assim, sabem que têm tantos animais quantas pedras há na sacola. Ou seja, quase se 
pode dizer que a sacola de pedras é o número — e que esses povos carregam seus números no bolso, em lugar de 
decorá-los. 
 
Colocar pedras abstratas numa sacola infinita 
 
Esse tosco sistema serve apenas para manter o gado sob controle. Mas é mais ou menos isso o que a Matemática 
moderna entende por número: uma espéciede comparação entre dois conjuntos — o conjunto de pedras e o de 
vacas, ou de qualquer outra coisa. É fácil perceber que, para contar os infinitos números entre 0 e 1, Cantor repetiu 
o procedimento daqueles pastores: a diferença básica é que, como pedras, ele usou os números inteiros. Sua sacola 
era infinita e suas pedras, abstratas, mas seu objetivo, desde o início, era compreender os números comuns. Ou, 
pelo menos, uma categoria rebelde de números comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O exemplo clássico, conhecido desde a Antiguidade, é a raiz de 2. À primeira vista, é um número trivial, para todos 
os efeitos igual a 1,41. O problema é que 1,41 ao quadrado dá 1,9881 — e não 2, como deveria acontecer se fosse 
a raiz procurada. A resposta exata, na verdade, nunca poderia ser escrita, e o mesmo vale para a maior parte dos 
números entre 0 e 1 . Pelo simples motivo de que raiz de 2 tem infinitos algarismos. Existem fórmulas para se 
calcularem quantos algarismos se queiram. Por exemplo, com dez casas decimais, o número seria 1,4142135623. 
Mesmo assim, seu quadrado é 1,9999999997. Ainda não alcança o alvo, como se raiz de 2 fosse uma construção 
eternamente inacabada. 
 
23 
 
 
 
Esse fato perturbou profundamente os gregos antigos, que conheciam bem as frações, e muitas delas com infinitos 
algarismos, como 0,66666666... A diferença é que esse número pode ser abreviado na forma de uma razão: ele vale 
exatamente 2/3. No entanto, não há razão capaz de simbolizar a raiz de 2 e outros números. Daí porque foram 
chamados “irracionais”, no século V A.C. (hoje, frações, inteiros e irracionais são todos englobados num só conjunto, 
o dos números reais). Não por acaso, por volta daquela época, o infinito começou a revelar suas arapucas aos 
filósofos e matemáticos. 
[...] 
 
http://super.abril.com.br/cotidiano/georg-cantor-alefe-zero-homem-colocou-infinito-bolso-440970.shtml 
http://www.thefamouspeople.com/profiles/georg-cantor-519.php 
 
Questões: 
 
a) Qual a principal ideia do texto? 
b) É possível determinar o menor elemento do conjunto dos números inteiros? 
c) De acordo com Cantor, é possível estabelecer um ordenamento entre os infinitos? Justifique. 
d) O intervalo [0,1] está contido em qual conjunto numérico: N, Z, Q , I ou R? 
e) Cite dois números racionais que, de acordo com o texto, poderiam corresponder à quantidade de dimensões 
dos alvéolos pulmonares. 
 
 
Referências: 
 
MELLO,J. L.P. Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 2005. 
 
SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010 
 
PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
2) AS FUNÇÕES 
 
2.1) Noção intuitiva 
Com frequência em matemática encontramos relações entre duas grandezas variáveis. Observe o exemplo 
abaixo: 
 
Seja um quadrado cujo lado mede 
l
. Designando por 
4P l
 a medida do perímetro desse quadrado, podemos 
estabelecer entre 
P
 e 
l
 a seguinte relação: 
 
 
 
4P l
 
 
 
 
 
Notamos então , que a medida 
P
 do perímetro depende da medida 
l
 do lado do quadrado, o que pode ser 
verificado pela seguinte tabela: 
 
Medida do Lado (
l
) Medida do Perímetro (
P
) 
0,5 2 
1 4 
1,2 4,8 
2 8 
3 12 
4,5 18 
 
Pela tabela observamos que: 
 
 A medida 
l
 do lado do quadrado é uma grandeza variável 
 A medida 
P
 do perímetro do quadrado é uma grandeza variável 
 Todos os valores de 
l
 está associado a um valor de 
P
 
 A cada valor de 
l
 está associado um único valor de 
P
 
 
Sendo assim, dizemos então: 
 
 A medida 
P
 do perímetro do quadrado está dada em função de 
l
 
 A relação 
4P l
 chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função 
 Na lei de associação temos que 
l
 é a variável independente e 
P
 é a variável dependente. 
 
Podemos abordar de outra forma utilizando este outro exemplo: 
 Uma estamparia cobra uma taxa fixa, referente ao trabalho de desenvolvimento da estampa padrão, mais um valor 
por peça de roupa estampada. Para estampar camisetas de certa encomenda, o orçamento calculado estabelecia 
uma taxa fixa de R$30,00 mais R$2,50 por camiseta. 
 
Observe o quadro: 
 
25 
 
 
Quantidade de 
camisetas 
1 2 10 20 50 ... x 
Valor cobrado 
(R$) 
30 + 2,50 
32,50 
30 + 2.2,50 
35 
30+10.2,50 
55 
30+20.2,50 
80 
30+50.2,50 
155 
... 30+x.2,50 
 
A relação entre a quantidade de camisetas e o valor cobrado é descrita por uma função, cuja fórmula é dada por: 
 
 
Valor cobrado 
 
 V=30+2,50x quantidade de camisetas 
 
Taxa fixa valor cobrado por camiseta 
 
 
 
Nesse caso, o valor cobrado está em função da quantidade de camisetas. Assim, dizemos que o “valor cobrado” (v) 
é a variável dependente e a “quantidade de camisetas” (x), a variável independente da função. 
 
 
2.2) A Noção de Função através de Conjuntos 
 
Vamos agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas na tabela do item anterior 
representam conjuntos numéricos. 
 
Veja o exemplo: 
 
Dados os conjuntos 
 0,5,10A 
 e 
 0,5,10,15,20,25B 
, seja a relação de 
A
 em 
B
 expressa pela fórmula 
5y x 
, com 
,x A y B 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A 
em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e somente um elemento y de B. 
 
Pode-se escrever: 
 
:f A B
 (lê-se: f é uma função de A em B). 
 
Observação: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que define uma função: 
 
5y x 
 ou 
( ) 5f x x 
 
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois 
y
 e 
( )f x
significam o mesmo na linguagem 
matemática. 
 
26 
 
 
EXEMPLO: Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em R, assinale com F aquelas que são 
funções e com R as que não são funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3) Domínio, Imagem e Contra – Domínio de uma Função 
 
Sejam os conjuntos 
 0,1,2A 
 e 
 0,1,2,3,4,5B 
; vamos considerar a função 
:f A B
 definida por 
1y x 
 ou 
( ) 1f x x 
 
 
Observando o diagrama da função, vamos definir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por 
D
. No exemplo acima 
 0,1,2D 
. O 
domínio da função também é chamado campo de definição ou campo de existência da função. 
 
 O conjunto 
 1,2,3
, que é um subconjunto de B, é denominado o conjunto imagem da função e indicamos 
por 
 Im 1,2,3
 
 
 O conjunto B, tal que 
Im B
, é denominado contradomínio da função. 
 
 
 
27 
 
 
No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; 
(0) 1f 
 
 2 é a imagem de 1 pela função; 
(1) 2f 
 
 3 é a imagem de 2 pela função; 
(2) 3f 
 
 
EXEMPLO 
 
Dados os conjuntos 
{ 2, 1,0,1}A  
 e 
{ 3, 2, 1,0,1,2,3,4}B    
, determine: 
 
a) o conjunto imagem da função 
:f A B
definida por 
2( )f x xb) o conjunto imagem da função 
:f A B
definida por 
( ) 2 2f x x 
 
c) o conjunto imagem da função 
:f A B
definida por 
2( ) 1f x x 
 
 
 
2.4) Estudo do Domínio de uma Função 
 
Quando definimos uma função, o domínio D, que o conjunto de todos os valores possíveis da variável x, pode ser 
dado explícita ou implicitamente. Assim: 
 
 Se é dado apenas 
( ) 2 5f x x 
, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer 
número real, ou seja 
D R
. 
 Se dado 
( ) 2 5f x x 
, com 
1 10x 
, está implícito que o domínio da função dada é 
{ ,1 10}D x R x   
. 
 Se é dado apenas 
2 3
( )
2
x
f x
x



, sem explicitar o domínio, está implícito que x pode ser qualquer número 
real diferente de 2, pois o denominador não pode ser zero, com isso, 
{ , 2}D x R x  
. 
 Se é dado apenas 
( ) 2f x x 
, sem explicitar o domínio D, está implícito que 
2 0 2x x   
. Assim 
{ ; 2}D x R x  
 
 
Logo, quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar para este domínio todos os valores 
reais em x que tornam possíveis em R as operações indicadas na fórmula matemática que define a função. 
 
Veja o Exemplo: 
 
Determinar o domínio da função 
1
( ) 4
2
f x x
x
  

 
Exemplos: 
 
Determinar o domínio das seguintes funções definidas por: 
 
a) 
( )
5
x
f x
x


 b) 
2
( )
2
x
f x
x


 c) 
2
( )
4
x
f x
x


 d) 
( )
2 1
x
f x
x


 
 
e) 
2
1
( )
9 20
f x
x x

 
 f) 
1
( )
3
x
f x
x x
 

 g) 
3
1 2
( )
4
x x
f x
x x

 

 
 
h) 
2
1 1
( )
1 9
x
f x
x x

 
 
 i) 2 1
( )
x
f x
x


 j) 
( ) 2f x x 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
2.5) Função Sobrejetora, Função Injetora, Função Bijetora 
 
Vamos considerar os seguintes exemplos: 
 
a) 
{ 2, 1,0,1}A  
, 
{0,1,4}B 
 e 
:f A B
 definida por 
2y x
 
 
Função Sobrejetora: 
Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao contradomínio. Em outras palavras, 
não pode sobrar elementos de B.. 
 
f
 é sobrejetora 
( ) ( )Im f fCD  
 
 
b) 
{ 1,0,1,2}A 
, 
{0,1,2,3,4,5}B 
e 
:f A B
 definida por 
1y x 
 
 
Função Injetora: A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois 
elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba 
duas flechas. 
 
f
 é injetora 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x     
 
 
 
 
c) 
{0,2,3}, {1,5,7}A B 
 e 
:f A B
 definida por 
2 1y x 
 
 
Função Sobrejetora: Você observa que não existe um elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f 
é sobrejetora); cada elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora). Neste caso, quando a função 
f, é ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função bijetora. 
 
f
é bijetora 
f
 é sobrejetora e 
f
 é injetora 
29 
 
 
 
 
 
 
Resumo das funções injetora, sobrejetora e bijetora: 
 
 
 
EXEMPLO: Marque V ou F nas sentenças abaixo: 
 
a) A função 
:f R R 
definida por 
2y x
é injetora 
b) A função 
:f R R
 definida por 
1y x 
 é bijetora 
c) A função 
:{0,1,2,3}f R
 definida por
1y x 
 não é sobrejetora 
d) A função 
:{0,1,2,3}f N
 definida por 
1y x 
 é injetora 
e) A função 
:f R R
 definida por 
2( ) 1f x x 
 é bijetora 
f) A função 
:f N R
 definida por 
y x
 é bijetora. 
 
2.6) Função Par e Função Ímpar 
 
Seja a função 
:f R R
 definida por 
2( )f x x
 
Veja que: 
( 1) 1 (1); ( 2) 4 (2); ( 2) 2 ( 2)f f f f f f          
 
Qualquer que seja 
x D
ocorre 
( ) ( )f x f x 
; neste caso, dizemos que a função f é par. Os valores 
simétricos devem possuir mesma imagem. 
 
Agora seja a função 
:f R R
 definida por 
( ) 2f x x
 
30 
 
 
Veja que: 
1 1
(1) 2, ( 1) 2; (2) 4, ( 2) 4; 1, 1
2 2
f f f f f f
   
             
   
 
Para todo 
x D
 ocorre 
( ) ( )f x f x  
, neste caso dizemos que f é uma função ímpar. Valores simétricos 
possuem imagens simétricas. 
 
EXEMPLO: Classifique as funções como pares ou ímpares. 
 
a) 
( ) 3f x x
 b) 
2( ) 1f x x 
 c) 
3( )f x x 
 
d) 
4 1y x 
 e) 
47y x
 f) 
1
( )f x
x

 
 
2.7) Função Crescente e Função Decrescente 
 
Uma função 
( )y f x
 é crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 
1x
 e 
2x
 pertencentes ao 
conjunto A, com 
1 2x x
, tivermos 
1 2( ) ( )f x f x
. 
 
Uma função 
( )y f x
 é decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 
1x
 e 
2x
 pertencentes ao 
conjunto A, com 
1 2x x
, tivermos 
1 2( ) ( )f x f x
. 
 
 
2.8) Função Composta 
 
Dados os conjuntos 
{0,1,2}, {0,1,2,3,4}, {0,1,4,9,16}A B C  
e as funções 
: ; ( ) 2f A B f x x 
 e 
2: ; ( )f B C f x x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
{(0,0);(1,2);(2,4)}f 
 e 
{(0,0);(1,1);(2,4);(3,9);(4,16)}g  
 
Observamos que: 
 
 
31 
 
 
 A cada 
x A
 associa-se um único 
y B
 tal que 
2y x
; 
 A cada 
y B
 associa-se um único 
z C
tal que 
2z y
; 
 A cada 
x A
 associa-se um único 
z C
 tal que 
2 2 2(2 ) 4z y x x  
. 
 
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida por 
2( ) 4h x x
 que indicamos por 
g f
 
ou 
( ( ))g f x
(lê-se g composta com f) 
Logo: 
( ) ( )( ) ( ( )) {(0,0),(1,4),(2,16)}h x g f x g f x  
 ou 
2( ) 4h x x
 
A função 
( )h x
 chama-se composta de g com f. 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Sendo 
2( ) 2f x x 
 e 
( ) 3g x x
, calcular 
( ( ))g f x
e 
( ( ))f g x
 
 
2) Dadas as funções 
2( ) 5 6; ( ) 1f x x x g x x    
, pede-se: 
 
a) Calcular 
( ( ))f g x
 
b) Achar x de modo que 
( ( )) 0f g x 
 
 
3) Dados 
( ) 3 1; ( ( )) 6 8f x x f g x x   
 calcular 
( )g x
. 
 
 
2.9) Função Inversa 
 
Dados 
{1,2,3,4}A
 e 
{2,4,6,8}B 
, consideremos as funções: 
:f A B
 definida por 
2y x
 
:g B A
 definida por 
2
x
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
 
 A função g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares ordenados que 
pertencem a função f 
 
( ) ( )Imf gD 
 e 
( ) ( )Im f gD
 
 As funções f e g são bijetoras. 
 
 
 
32 
 
 
A função g é chamada função inversa da função f 
 
Indica-se função inversa por 
1f 
 
 
Observação importante: 
 
A função 
( )y f x
 define uma correspondência de x para y, isto é, dado o valor de x podemos obter o valor de y 
que lhe corresponde através da função f. 
 
A função inversa de f, que é indicada por 
1f 
, define uma correspondência contrária, isto é, de y para x, e 
indicamos 
1( )x f y
 
 
As funções que possuem inversa são chamadas funções inversíveis. Então podemos definir: 
 
Da uma função bijetora 
:f A B
, chama-se função inversa de f a função 
1 :f B A 
 tal que 
1( , ) ( , )a b f b a f   
 
 
 
Processo Algébrico para o cálculo da Função Inversa 
 
a)Achar a expressão que representa a inversa da função 
2y x 
 
b) Determinar a função inversa da função 
5
( )
2 3
x
f x
x



, com 
3
2
x 
. 
 
2.10) Exercício comentado 
 
As funções f e g associam, a cada número natural, o resto da divisão do número por 3 e por 6, respectivamente. 
Sendo assim, para todo número natural x, g(f(x)) é igual a: 
 
a) f(x) 
b) g(x) 
c) 2f(x) 
d) 2g(x) 
e) f(x) + g(x) 
 
Resolução 
 
A função f associa a cada x o resto de sua divisão por 3. Dessa forma, f só assume os valores 0, 1 ou 2. A função g 
associa a cada x o resto de sua divisão por 6. Assim g(f(x)) é o resto da divisão de 0, 1 ou 2 por 6, logo, os únicos 
valores possíveis para g(f(x)) são: 
 
f(x) = 0 => g(f(x)) = g(0) = 0 
f(x) = 1 => g(f(x)) = g(1) = 1 => g(f(x)) = f(x) 
f(2) = 2 => g(f(x)) = g(2) = 2 
 
Resposta: letra A 
 
2.11)Fixação 
 
33 
 
 
1) (ENEM 2014) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e 
oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos 
de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura. 
 
 
 
No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. 
O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é: 
 
2) (UFCE) O domínio da função é: 
 
 
 
a) {x ∈ R / x > 7} 
b) {x ∈ R / x ≤ 2} 
c) {x ∈ R / 2 ≤ x < 7} 
d) {x ∈ R / x ≤ 2 ou x ≥ 7} 
e) {x ∈ R / x ≥ 7} 
 
34 
 
 
3) (UFPB) Em uma indústria de autopeças, o custo de produção de peças é de R$ 12,00 fixos mais um custo 
variável de R$ 0,70 por unidade produzida. Se em um mês foram produzidas x peças, então a lei que representa o 
custo total dessas x peças é: 
 
a) f(x) = 0,70 – 12x 
b) f(x) = 12 – 0,70x 
c) f(x) = 12 + 0,70x 
d) f(x) = 0,70 + 12x 
e) f(x) = 12 · 0,70x 
 
4) (FEFISA-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosméticos na produção de 
perfume varia com a quantidade de perfume produzida (x). 
 
Assim, podemos afirmar que: 
a) quando a empresa não produz não gasta. 
b) para produzir três litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. 
c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. 
d) se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cinco litros de perfume. 
e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que fabricar o quinto litro. 
 
5) Uma fórmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta é m/a2 = I, na qual m é a 
massa da pessoa, em quilogramas e a é a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa não precisa de 
dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Qual é a sua altura? 
a) 1,60 m d) 1,52 m 
b) 1,58 m e) 1,50 m 
c) 1,55 m 
 
6) (Uel) Um economista, estudando a relação entre o preço da carne bovina (que aumenta na entressafra) e as 
vendas de carne de frango, encontrou uma função cujo gráfico é esboçado a seguir 
 
 
 
De acordo com esse gráfico, é verdade que 
 
a) v é diretamente proporcional a p. 
b) v é inversamente proporcional a p. 
c) se p cresce, então v também cresce. 
d) v é sempre maior que p. 
35 
 
 
e) o preço da carne de frango é inferior ao da carne bovina. 
 
 
 
 
7) (Ufpe) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos. 
 
 
O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
8) (Unesp) O gráfico indica o resultado de uma pesquisa sobre o número de acidentes ocorridos com 42 motoristas 
de táxi em uma determinada cidade, no período de um ano. 
 
Com base nos dados apresentados no gráfico, e considerando que quaisquer dois motoristas não estão envolvidos 
num mesmo acidente, pode-se afirmar que: 
a) cinco motoristas sofreram pelo menos quatro acidentes. 
b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes. 
c) a média de acidentes por motorista foi igual a três. 
d) o número total de acidentes ocorridos foi igual a 72. 
e) trinta motoristas sofreram no máximo dois acidentes. 
 
9) (UFMG) Suponha que o número 
)(xf
 de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre 
x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função 
x
x
xf


150
300
)(
. Se o número de 
funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que a 
receberam é: 
 
a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 
 
10) UFTM-MG 
36 
 
 
Um termômetro descalibrado indica 10 °C quando a temperatura real é 13 °C. Quando indica 20 °C, a temperatura 
real é de 21 °C. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é 
linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura 
real é: 
a) 22 °C d) 25 °C b) 23 °C e) 26 °C c) 24 °C 
 
 
11)(Ibmec-SP)Um dos tanques de uma plataforma petrolífera tem a forma de um cubo de aresta 10 m. Considere 
que inicialmente o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma válvula que verte petróleo para o tanque, à 
taxa de 4 m3 por hora, até este ficar cheio. Qual é a função que fornece a altura (H), em metros, do petróleo no 
tanque, t horas após a abertura da válvula? 
 
a) H(t) = t/25, 0 ≤ t ≤ 250 
b) H(t) = t/50, 0 ≤ t ≤ 1.000 
c) H(t) = 25t, 0 ≤ t ≤ 250 
d) H(t) = 50t, 0 ≤ t ≤ 1.000 
e) H(t) = 4t
3
, 0 ≤ t ≤ 10 
 
12) (Unesp)O gráfico, publicado na "Folha de S. Paulo" de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões de reais) do 
governo federal com os juros da dívida pública. 
 
 
 
 Obs.: 2001 - estimativa até dezembro. 
 
Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que: 
 
a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões. 
b) o menor gasto foi em 1996. 
c) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996. 
d) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$79,8 bilhões. 
e)os gastos decresceram de 1997 a 1999. 
 
13) (Puccamp) O gráfico a seguir apresenta os investimentos anuais em transportes, em bilhões de dólares, feitos 
pelo governo de um certo país, nos anos indicados. 
 
37 
 
 
 
 
De acordo com esse gráfico, é verdade que o investimento do governo desse país, em transportes, 
 
a) vem crescendo na década de 90. 
b) diminui, por ano, uma média de 1 bilhão de dólares. 
c) em 1991 e 1992 totalizou 3,8 bilhões de dólares. 
d) em 1994 foi o dobro do que foi investido em 1990. 
e) em 1994 foi menor que a décima parte do que foi investido em 1990 
 
14) (UFRN) O banho de Mafalda. 
Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível da água subir. 
Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a 
banheira. O gráfico a seguir que mais se aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do 
tempo (t) é: 
 
 
15)(UFMT) O gráfico abaixo apresenta os prejuízos econômicos em consequência de catástrofes naturais, em 
função da capacidade de reconstrução da economia afetada (representada por um índice). 
38 
 
 
 
(Scientific American Brasil. Edição Especial, n.º 19, p.25.) 
 
A partir das informações contidas no gráfico, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. 
 
( ) Os prejuízos devidos às catástrofes naturais são diretamente proporcionais à capacidade de reconstrução da 
economia afetada. 
( ) Economias com alta capacidade de reconstrução estão livres dos prejuízos econômicos em consequência de 
catástrofes naturais.( ) Economias com capacidade de reconstrução inferior a 2 são mais vulneráveis a prejuízos econômicos causados 
por catástrofes naturais. 
Assinale a sequencia correta. 
A) V, F, F 
B) V, F, V 
C) F, V, F 
D) F, V, V 
E) F, F, V 
 
 
16)(UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse gráfico representa a 
relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. 
 
 
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é: 
a) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. 
b) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. 
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto 
ingerido. 
d) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20mg/dia. 
 
17)(OBMEC) Uma formiguinha parte do centro de um círculo e percorre uma só vez, com velocidade constante, 
trajeto ilustrado na figura: 
39 
 
 
 
Qual dos gráficos a seguir representa a distância d da formiguinha ao centro do círculo em função do tempo t ? 
 
 
 
18)(UFMS)Para custear seus estudos, um estudante oferece serviços de digitação de textos. O preço a ser pago 
pela digitação de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do número de páginas digitadas. Se 
a parcela fixa for de R$ 4,00 e cada página digitada custar R$ 1,60, então a quantidade de páginas digitadas de um 
texto, cujo serviço de digitação custou R$ 39,20, será igual a: 
 
a) 29 d) 20 
b) 24 e) 22 
c) 25 
 
19) (PUCCamp-SP) 
Numa certa cidade, as agências de correio cobram R$ 0,30 na postagem de cartas até 20 g, exclusive; R$ 0,50 se o 
peso variar de 20 g a 50 g e R$ 1,00 se o peso for maior que 50 g. O gráfico da função que ao peso x da carta, em 
gramas, associa o preço P da postagem, em centavos, da carta é: 
40 
 
 
 
 
20) Qual das relações de R em R, cujo os gráficos aparecem a seguir, são funções? 
 
41 
 
 
 
 
 
21) (UFRS) O gráfico seguinte representa a evolução do volume de água de um reservatório, durante certo dia. 
 
A vazão de água do reservatório, em litros/hora, nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é, nesta ordem, em 
valor absoluto, aproximadamente: 
a) 3 e 8 b) 5 e 2 c) 7 e 1 d) 7 e 2 e) 9 e 1 
 
22) (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e cobra de acordo com a seguinte tabela de preços: 
 
 
42 
 
 
 
 
Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por exemplo, 28 cópias, pagará R$ 0,08 a cópia. Se y for o preço 
total e x a quantidade de cópias, a função preço pode ser representada pelo gráfico: 
 
 
23) (UFRN) O triatlo olímpico é uma modalidade de competição que envolve três etapas. Na primeira etapa, os com-
petidores enfrentam 1,5 km de natação em mar aberto; na segunda etapa, eles percorrem 40 km de corrida 
ciclística; e, na terceira etapa, participam de uma meia maratona de 10 km. 
O gráfico que melhor representa, aproximadamente, a distância percorrida, em quilômetros, por um atleta que 
completa a prova durante as duas horas de competição é: 
 
43 
 
 
24) (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na 
urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando 
pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. A 
baixa concentração de íon cálcio (Ca®®) no sangue estimula as glândulas paratireoides a produzirem hormônio 
paratireoide (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua 
absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins. 
(Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia 
“Molecular da Célula(.” Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.) 
 
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico 
abaixo. 
 
 (Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) 
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O 
percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: 
a) 14 
b) 18 
c) 22 
d) 26 
 
 
GABARITO 
 
 
 
 
2.12)Pintou no ENEM 
 
1) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O 
gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é: 
1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B 
10.D 11.A 12.D 13.E 14.A 15.D 16. B 17.B 18.E 
19.A 20.A,D,E 21.E 22.C 23.C 24.D 
44 
 
 
 
 
Resposta: a 
 
2) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela 
primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros 
estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de 
cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. 
 
 
 
De acordo com as informações do gráfico, 
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente 
proporcionais. 
B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. 
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente 
proporcionais. 
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. 
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, 
mas sem proporcionalidade. 
 
Resposta: e 
 
 
3) (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias 
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos 
somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do 
prazo estipulado seria de: 
A) 920kg. 
B) 800kg. 
45 
 
 
C) 720kg. 
D) 600kg. 
E) 570kg 
 
Resposta: a 
 
4)(ENEM) José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. 
Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de 
modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um 
pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após 
esse tempo, seguirá viagem sozinho. 
 
 
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; 
y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as 
possibilidades para o par (x; y): 
 
Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco inicial 
exatamente no mesmo horário" corresponde: 
 
a) à diagonal OQ 
b) à diagonal PR 
c) ao lado PQ 
d) ao lado QR 
e) ao lado OR 
 
Resposta: a 
 
5)(ENEM) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta 
de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu 
publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é