Tabela de Testes de Convergência

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
CÁLCULO II – TURMA:B 
 
 
 
RESUMO – TESTES DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS 
 
 
1. SÉRIE GEOMÉTRICA: 
 ∑
∞
=
−
1
1
n
nrα converge para 
r−1
α
 quando 1<r , e diverge quando 1≥r . 
 
 
2. TESTE DO N-ÉSIMO TERMO: 
Uma condição necessária para que a série ∑
∞
=1n
na seja convergente é que 0lim =
+∞→
n
n
a . 
 
3. TESTE DA COMPARAÇÃO: 
Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de termos positivos. 
(a) Se a série ∑
∞
=1n
nb converge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
na também 
converge. 
(b) Se a série ∑
∞
=1n
na diverge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
nb também 
diverge. 
 
 
4. TESTE DA INTEGRAL: 
Consideremos uma função [ ) IRf →+∞,1: contínua e suponhamos que f seja não 
negativa e monótona decrescente, isto é: 
(a) ( ) 1,0 ≥∀≥ xxf ; 
(b) ( ) ( )yfxf ≥ , sempre que yx ≤≤1 . 
Nessas condições, a série ( )∑
∞
=1n
nf é convergente se, e somente se, a integral 
imprópria ( )∫
+∞
1
dxxf for convergente. 
 
 
5. P-SÉRIE: 
 A p-série ∑
∞
=1
1
n
pn
 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . 
6. TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIMITE: 
 Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de termos positivos e seja 
n
n
n b
a
l
+∞→
= lim . 
(a) Se 0>l , então as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são ambas convergentes ou ambas 
divergentes. 
(b) Se 0=l e ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
na também converge. 
(c) Se ∞=l e ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1n
na também diverge. 
 
 
7. TESTE DA RAZÃO: 
 Seja ∑
∞
=1n
na uma série de termos positivos e suponha que l
a
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim . Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
 
8. TESTE DA RAIZ: 
 Seja ∑
∞
=1n
na uma série com 0≥na para Nn ≥ e suponha que lan n
n
=
+∞→
lim . Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
 
9. TESTE DA SÉRIE ALTERNADA – TEOREMA DE LEIBNIZ: 
 A série ( )∑
∞
=
+ +−+−=−
1
4321
1
1
n
n
n
aaaaa K é convergente se todas as três 
condições a seguir forem satisfeitas: 
(a) os na forem todos positivos, 
(b) 1+≥ nn aa para todo Nn ≥ , para algum N inteiro, 
(c) 0lim =
+∞→
n
n
a .