Relatório Experimental - Reatância

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Relatório Experimental 
Reatâncias capacitiva e indutiva 
Marcelo Aron Fetzner Keniger – 263018 
Hugo Pinto Coelho Ribeiro Jardim – 210680 
Nicholas Jaekel Lopes – 260680 
Gabriel Ribeiro Brun – 263020 
Raul Carlos Fadanelli Filho (Turma A) 
 
Introdução 
 Com os conhecimentos de eletromagnetismo, conseguimos criar circuitos com diversas 
utilidades que facilitam o nosso cotidiano. Com um capacitor, podemos produzir um campo 
elétrico com as características que desejamos. Com um indutor, podemos produzir um campo 
magnético com as propriedades desejadas. Assim como o outro elemento básico dos circuitos, 
o resistor, o capacitor e o indutor também oferecem uma resistência à passagem de corrente, 
cada um de sua maneira. Essas resistências são chamadas de reatâncias capacitiva e indutiva, 
denotadas por 𝑋𝐶 e 𝑋𝐿, respectivamente. Essas reatâncias serão analisadas 
experimentalmente com circuitos 𝑅𝐶 e 𝑅𝐿, ambos em série e com corrente alternada. 
Em um circuito com um capacitor e um indutor, notamos que, diferentemente de um 
circuito 𝑅𝐶 ou um circuito 𝑅𝐿, a carga, a tensão e a corrente não decaem exponencialmente 
com o tempo, mas variam de forma senoidal com período 𝑇 e frequência angular 𝜔. No 
entanto, como em circuitos reais sempre temos alguma resistência, um circuito 𝐿𝐶 possui um 
amortecimento em função da dissipação de energia, semelhante a um sistema massa-mola. 
Em um circuito 𝑅𝐿𝐶, podemos produzir oscilações não amortecidas se uma fonte de tensão 
externa compensar a energia dissipada na resistência 𝑅. Na maioria dos casos, essa fonte de 
energia gera uma corrente alternada ou 𝐶𝐴, em função de ser mais “fácil de gerar e utilizar 
que a corrente contínua no caso de máquinas rotativas como geradores e motores”1. 
Analisando circuitos simples constituídos somente de uma fonte externa e um 
elemento como 𝑅, 𝐶 ou 𝐿, conseguimos encontrar relações que podem ser generalizadas para 
qualquer circuito, incluindo os circuitos utilizados no experimento. Se colocarmos uma fonte 
de corrente alternada ligada em uma espira condutora em uma região com um campo 
magnético externo, forçamos a espira a girar em função da variação do fluxo magnético e 
criamos uma força eletromotriz senoidal ℰ induzida na espira: 
 
1
 Frase tirada do livro “Fundamentos de Física - Eletromagnetismo”, 9ª edição, volume 3, de Jearl 
Walker, Halliday & Resnick. 
 
ℰ = ℰ𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡), 
onde ℰ𝑚 é a amplitude (a força eletromotriz máxima), 𝜔𝑑 é a frequência angular da força 
eletromotriz (velocidade angular de rotação da espira) e 𝜔𝑑𝑡 é a fase. Quando a espira faz 
parte de um circuito, uma corrente senoidal alternada de mesma frequência angular, nesse 
caso chamada de frequência angular de excitação, é gerada: 
𝑖 = 𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡 − 𝜙), 
onde 𝐼 é a amplitude e 𝜙 é a constante de fase, que foi introduzida pois a corrente pode estar 
defasada em relação à força eletromotriz. Em um circuito simples com um gerador alternado e 
um elemento resistivo, chamado carga resistiva pura, com a lei das malhas e a definição de 
resistência, é possível encontrar uma relação entre a amplitude da diferença de potencial 𝑉𝑅 e 
a amplitude da corrente 𝐼𝑅 na resistência: 
ℰ − 𝜈𝑅 = 0 (𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠) 
𝜈𝑅 = ℰ𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) (𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1)) 
𝜈𝑅 = 𝑉𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) 
𝑖𝑅 =
𝜈𝑅
𝑅
=
𝑉𝑅
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡) (D𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
No processo acima, 𝜈𝑅 é a tensão no resistor em um dado tempo 𝑡. Como a corrente também 
pode ser escrita na forma da equação (2), encontramos a seguinte expressão: 
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅𝑅 
 Comparando as duas expressões para a corrente, vemos que a constante de fase para 
uma carga resistiva é zero, portanto a tensão e a corrente estão em fase. 
 Um circuito com uma fonte e um capacitor ou uma fonte e um indutor também 
apresentaria uma forma de oposição à passagem de corrente. Como foi dito, chamamos essa 
oposição de reatância capacitiva, no caso do capacitor, e de reatância indutiva, no caso do 
capacitor. Essas reatâncias são definidas matematicamente pelas seguintes expressões: 
𝑋𝐶 =
𝑉𝐶
𝐼𝐶
 
𝑋𝐿 =
𝑉𝐿
𝐼𝐿
 (5) 
 Ambas as grandezas tem como unidade o ohm, o que tornaria sensato relacioná-las 
com a resistência, embora elas não sejam uma resistência propriamente dita. Os termos de 
corrente em ambas as definições correspondem à amplitude da corrente que passa por esses 
dispositivos. Em um circuito de corrente alternada, sabemos que a corrente varia dependente 
de uma frequência angular 𝜔. Experimentalmente, vamos mostrar que tanto a reatância 
indutiva quanto a reatância capacitiva estão relacionadas com essa frequência angular 
analisando a forma como sua corrente e sua tensão variam a diferentes valores de frequência. 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
 Para transformar os valores de frequência para frequência angular, usamos a seguinte 
relação: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
Experimento 
 Para avaliar a relação entre a frequência angular e as reatâncias capacitiva e indutiva, 
montamos um circuito 𝑅𝐿 e um circuito 𝑅𝐶, ajustando a frequência com um gerador. A 
montagem está ilustrada abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O circuito consistia em uma fonte geradora de corrente senoidal, um resistor, dois 
multímetros e um outro dispositivo, que poderia ser um capacitor, um indutor, ou dois 
capacitores iguais em paralelo, resultando no dobro da capacitância. Um dos multímetros era 
conectado de forma a mostrar a diferença de potencial entre os terminais do resistor, 
enquanto o outro era inserido de forma a mostrar a diferença de potencial nos terminais do 
outro dispositivo, denotado por 𝑉𝐷 na Figura 1. A fonte geradora nos permitia alterar a 
frequência da corrente, assim variando a diferença de potencial nos dispositivos. 
Resultados e Discussão 
 Foram coletados dados de oito frequências diferentes para cada dispositivo. Com um 
resistor de 𝑅 = 5,590 ± 0,005 × 103Ω e com a equação (3), calculávamos um valor para a 
amplitude da corrente que passava pelo resistor que, por estarem em série, tem o mesmo 
valor da amplitude da corrente que passa pelo outro dispositivo. Com a corrente do outro 
dispositivo em mãos, usávamos ou a equação (4) ou a equação (5) para calcular a reatância 
em questão. Os resultados foram organizados em tabelas e estão expressos abaixo: 
Figura 1: Esquema da montagem feita em sala de aula. Montamos um circuito alimentado por uma fonte de 
corrente alternada com frequência senoidal variável. A corrente passava por um resistor (em marrom) e por outro 
dispositivo (em roxo), que poderia ser um capacitor, um indutor ou dois capacitores. Os multímetros nos 
mostravam a diferença de potencial nos terminais desses dispositivos a uma dada frequência de excitação. 
𝑽𝑹 
Multímetro 
𝑽𝑫 
Multímetro 
Gerador senoidal 
(6) 
𝑓(𝐻𝑧) 𝜔(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑉𝑅(𝑉) 𝑉𝐶(𝑉) 𝐼𝐶 = 𝐼𝑅(𝑚𝐴) 𝑋𝐶(Ω) 
50,0 ± 0,5 314,2 ± 1,6 0,5070 ± 0,0005 5,850 ± 0,005 0,0907 ± 0,0001 64498 ± 90 
100,0 ± 0,5 628,3 ± 1,6 1,0190 ± 0,0005 5,770 ± 0,005 0,1823 ± 0,0002 31651 ± 44 
300,0 ± 0,5 1885,0 ± 1,6 2,7150 ± 0,0005 5,160 ± 0,005 0,4857 ± 0,0004 10624 ± 14 
600,0 ± 0,5 3769,9 ± 1,6 4,230 ± 0,005 4,040 ± 0,005 0,757 ± 0,001 5339 ± 10 
1000,0 ± 0,5 6283,2 ± 1,6 5,060 ± 0,005 2,8860 ± 0,0005 0,905 ± 0,001 3188 ± 5 
, 03000 ± 0,5 18849,6 ± 1,6 5,660 ± 0,005 0,9420 ± 0,0005 1,013 ± 0,001 930 ± 1 
6000 ± 5 37699 ± 16 5,680 ± 0,005 0,3060 ± 0,0005 1,016 ± 0,001 301,2 ± 0,68000 ± 5 50265 ± 16 5,620 ± 0,005 0,1400 ± 0,0005 1,005 ± 0,001 139,3 ± 0,5 
Tabela 1: tabela com os dados obtidos de um circuito RC em série com corrente alternada de frequência variável. 
𝑓(𝐻𝑧) 𝜔(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑉𝑅(𝑉) 𝑉𝐶(𝑉) 𝐼𝐶 = 𝐼𝑅(𝑚𝐴) 𝑋𝐶(Ω) 
50,0 ± 0,5 314,2 ± 1,6 0,985 ± 0,0005 5,66 ± 0,005 0,1762 ± 0,0002 32123 ± 42 
100,0 ± 0,5 628,3 ± 1,6 1,881 ± 0,0005 5,54 ± 0,005 0,3365 ± 0,0003 16464 ± 21 
300,0 ± 0,5 1885,0 ± 1,6 4,130 ± 0,005 4,09 ± 0,005 0,739 ± 0,001 5536 ± 10 
600,0 ± 0,5 3769,9 ± 1,6 5,230 ± 0,005 2,593 ± 0,0005 0,936 ± 0,001 2771 ± 3 
1000,0 ± 0,5 6283,2 ± 1,6 5,580 ± 0,005 1,640 ± 0,0005 0,998 ± 0,001 1643 ± 2 
, 03000 ± 0,5 18849,6 ± 1,6 5,740 ± 0,005 0,460 ± 0,0005 1,027 ± 0,001 447,9 ± 0,7 
6000 ± 5 37699 ± 16 5,700 ± 0,005 0,102 ± 0,0005 1,020 ± 0,001 100,0 ± 0,5 
8000 ± 5 50265 ± 16 5,630 ± 0,005 0,015 ± 0,0005 1,007 ± 0,001 14,9 ± 0,5 
Tabela 2: dados medidos e calculados de um circuito RC em série de CA com dois capacitores em paralelo. 
𝑓(𝐻𝑧) 𝜔(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 𝑉𝑅(𝑉) 𝑉𝐿(𝑉) 𝐼𝐿 = 𝐼𝑅(𝑚𝐴) 𝑋𝐿(Ω) 
50,0 ± 0,5 314,2 ± 1,6 5,550 ± 0,005 0,063 ± 0,0005 0,993 ± 0,001 63,5 ± 0,5 
100,0 ± 0,5 628,3 ± 1,6 5,820 ± 0,005 0,125 ± 0,0005 1,041 ± 0,001 120,1 ± 0,5 
300,0 ± 0,5 1885,0 ± 1,6 5,770 ± 0,005 0,372 ± 0,0005 1,032 ± 0,001 360,5 ± 0,6 
600,0 ± 0,5 3769,9 ± 1,6 5,760 ± 0,005 0,733 ± 0,0005 1,030 ± 0,001 711,7 ± 0,8 
1000,0 ± 0,5 6283,2 ± 1,6 5,670 ± 0,005 1,191 ± 0,0005 1,014 ± 0,001 1175 ± 1 
3000,0 ± 0,5 18849,6 ± 1,6 4,820 ± 0,005 2,776 ± 0,0005 0,8694 ± 0,0008 3193 ± 3 
6000 ± 5 37699 ± 16 2,609 ± 0,0005 3,297 ± 0,0005 0,4667 ± 0,0004 7064 ± 6 
8000 ± 5 50265 ± 16 1,803 ± 0,0005 3,103 ± 0,0005 0,3225 ± 0,0003 9622 ± 9 
Tabela 3: tabela com os dados mensurados e calculados de um circuito RL em série de corrente alternada. 
 A capacitância do capacitor dada pelo fabricante vale 𝐶 = 0,047𝜇𝐹 e o indutor 
utilizado era uma bobina com um núcleo de ferro no centro. As incertezas das frequências e 
das diferenças de potencial são metade da precisão do equipamento de medição e as 
incertezas dos valores calculados foram propagadas usando o material “Laboratório de Física – 
subsídios para o ensino de física experimental”, de autoria de professores da UFRGS (as 
expressões estão expostas no final do relatório). 
 Em busca de encontrar alguma relação entre a frequência angular e as reatâncias, 
plotamos estas duas grandezas em um gráfico no software “SciDavis”. Para os circuitos com 
capacitor, aplicamos a escala logarítmica nos eixos do gráfico a fim de deixá-lo parecido com 
uma reta. Para o circuito com o indutor, isso não foi necessário. Após as devidas mudanças, 
obtivemos os três gráficos finais: 
 
 
Gráfico 1: gráfico dos dados de reatância capacitiva para um capacitor no eixo y e de frequência angular no eixo 
x, ambos em escala logarítmica. Ajuste feito a supondo uma relação entre os termos. 
 
Gráfico 2: gráfico dos dados de reatância capacitiva para dois capacitores no eixo y e de frequência angular no 
eixo x, ambos em escala logarítmica. Ajuste feito a supondo uma relação entre os termos. 
 
Gráfico 3: gráfico dos dados de reatância indutiva no eixo y e de frequência angular no eixo x. Ajuste feito 
supondo uma relação entre os termos. 
 Os últimos dois dados das reatâncias capacitivas foram ignorados no ajuste em função 
de desobedecerem ao caráter quase linear do gráfico Para os três gráficos, supomos uma 
relação entre a reatância e a frequência angular da forma: 
𝑦 = 𝑎 × 𝑥𝑏 
 Com a ajuda do software, geramos um ajuste da forma mostrada acima para cada 
gráfico, e obtivemos os valores para os parâmetros 𝑎 e 𝑏. O índice 𝐶1 indica o caso de um 
capacitor, o índice 𝐶2 indica o caso de dois capacitores, e o índice 𝐼 indica o caso do indutor: 
𝑎𝐶1 = (18,3 ± 3,3) × 10
6 
𝑏𝐶1 = −0,984 ± 0,014 
𝑎𝐶2 = (8,9 ± 0,2) × 10
6 
𝑏𝐶2 = −0,977 ± 0,004 
𝑎𝐼 = 0,0912 ± 0,0243 
𝑏𝐼 = 1,068 ± 0,025 
 Agora podemos substituir os parâmetros nas equações e ver o que eles significam. No 
caso dos capacitores, tínhamos uma relação entre os dados dessa forma: 
(7) 
𝑋𝐶 = 𝐴. 𝜔
𝑛 
 Na expressão acima, 𝑋𝐶 e 𝜔 são os parâmetros já conhecidos e 𝐴 e 𝑛 correspondem 
aos resultados do ajuste, com 𝐴 = 𝑎 e 𝑛 = 𝑏. Para os dois capacitores, encontramos um valor 
negativo para 𝑛, que podemos aproximar para 𝑛 ≅ −1. É uma aproximação um tanto quanto 
forçada, visto que em nenhum dos casos o valor −1 está no intervalo imposto pela incerteza. 
Analisando a diferença entre o valor de 𝑎 do caso com um capacitor para o caso com o dobro 
da capacitância, vemos que quando a capacitância aumenta, 𝐴 diminui. Sendo assim, fazemos 
a seguinte proposta: 
𝐶 =
1
𝐴
 
Com essas ideias desenvolvidas, chegamos à seguinte relação entre 𝑋𝐶, 𝐶 e 𝜔: 
𝑋𝐶 =
𝜔−1
𝐶
=
1
𝜔𝐶
 
 Pela nossa proposta, encontramos um valor de capacitância 𝐶 = (5,5 ± 0,9) × 10−8𝐹 
para o capacitor único, que abrange o valor dito pelo fabricante, apesar de não estar tão 
próximo. Para o circuito com dois capacitores, cuja capacitância equivalente é a soma das 
capacitâncias, no caso 𝐶𝑒𝑞 = 9,4 × 10
−8, obtemos uma capacitância de 𝐶 = (11,24 ±
0,25) × 10−8𝐹. Dessa vez, realmente o valor da capacitância experimental se afastou do valor 
esperado, apesar de estar na mesma ordem de grandeza. 
 Na análise do indutor, já possuíamos a informação de que a reatância indutiva é 
proporcional à indutância, portanto temos uma relação dessa forma: 
𝑋𝐿 = 𝐿. 𝜔
𝑛 
 Pegando os valores dados pelo ajuste, temos que 𝑛 = 1,068 ± 0,025 ≅ 1 e 
𝐿 = 0,0912 ± 0,0243𝐻. A relação entre 𝑋𝐿, 𝐿 e 𝜔 então fica: 
𝑋𝐿 = 𝐿. 𝜔
1 = 𝜔. 𝐿 
 
Conclusão 
 Ao se realizar um experimento, talvez tão importante quanto a base teórica seja a 
qualidade do equipamento. Sem o equipamento adequado para realizar as medições e a coleta 
de dados, a prática dificilmente vai concordar com a teoria. O objetivo do trabalho em questão 
era encontrar uma relação entre as reatâncias capacitiva e indutiva com a frequência angular 
de uma tensão alternada. Essa relação pode ser obtida matematicamente, mas queríamos 
obtê-la a partir de dados experimentais. Como foi visto, alcançamos tal relação, mas à custa de 
muitas suposições e aproximações. Alguns resultados divergiram um pouco das previsões 
teóricas, e tivemos que fazer aproximações forçadas para alcançar nosso objetivo, como foi o 
caso da constante 𝑛. 
(8) 
(9) 
(10) 
 Vale ressaltar que buscamos encontrar a relação entre as reatâncias e a frequência 
angular analisando poucos casos de cada configuração. Analisamos apenas um caso para a 
indutância e dois para a capacitância, o que certamente não resultaria em conclusões muito 
confiáveis. Além disso, notou-se uma oscilação maior nos dados à medida em que 
aumentávamos a frequência, motivo pelo qual tivemos que descartar os últimos valores nos 
ajustes dos capacitores. Em adição, mudanças muito pequenas nos dados medidos já 
acarretavam em uma variação significativa nos resultados finais. Por exemplo, o fato de 
termos que arredondar o valor da frequência angular (e não deixar com muitas casas decimais 
provindas do 𝜋) em função da precisão do aparelho de medição, já mostrou uma modificação 
considerável nos valores dos parâmetros do ajuste. A prática experimental ajuda a contestar 
ou reforçar modelos teóricos, e também é uma boa forma de fixar conceitos físicos. Apesar das 
grandes fontes de erro e do uso de um modelo talvez não muito adequado, foi possível atingir 
o objetivo da atividade, mesmo com resultados numéricos não muito bons. 
 
Referências 
WALKER, Jearl. HALLIDAY. RESNICK. Fundamentos de Física – Eletromagnetismo. Volume 3. 9ª 
edição. Editora LTC. 
LIMA JUNIOR,P; SILVA, M.T.X.; SILVEIRA, F.L.; VEIT, E.A. Laboratório de Mecânica: subsídios 
para o ensino de física experimental. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2013. 
 
Equações para propagação de incerteza: 
Seja uma função do tipo 𝑋 = 𝑛𝐴, sendo 𝑛 uma constante, a incerteza de 𝑋 é dada por 
𝑢(𝑋) = |𝑛|. 𝑢(𝐴). 
Seja uma função do tipo 𝑋 =
𝐴
𝐵
, a incerteza de 𝑋 é dada por 𝑢2(𝑋) = (1 𝐵⁄ )2. 𝑢2(𝐴) +
(𝐴 𝐵2)⁄
2
. 𝑢2(𝐵). 
Seja uma função do tipo 𝑋 = 𝐴𝑛, sendo 𝑛 uma constante, a incerteza de 𝑋 é dada por 
𝑢(𝑋) = |𝑛𝐴𝑛−1|𝑢(𝐴).