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Relatório Experimental Circuito RC em série e processos de carga e descarga Marcelo Aron Fetzner Keniger – 263018 Hugo Pinto Coelho Ribeiro Jardim – 210680 Nicholas Jaekel Lopes – 260680 Gabriel Ribeiro Brun – 263020 Raul Carlos Fadanelli Filho (Turma A) Introdução Dentre os dispositivos da Eletrodinâmica, temos o capacitor, que é utilizado para armazenar energia elétrica. Uma de suas aplicações, por exemplo, é na produção do flash de máquinas fotográficas. Um capacitor é formado por dois condutores isolados entre si chamados de placas. Quando o capacitor está carregado, as placas possuem cargas de sinais opostos e mesmo módulo "𝑞” e, como são feitas por um material condutor, são superfícies equipotenciais. Há, no entanto, uma diferença de potencial "𝑉" entre as placas, que é proporcional à carga "𝑞" do capacitor: 𝑞 = 𝐶𝑉 A constante de proporcionalidade "𝐶" é a capacitância do capacitor, e seu valor não depende nem da carga nem da diferença de potencial, apenas da geometria das placas. “A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas placas para produzir certa diferença de potencial”1. Neste trabalho, estaremos tratando de um circuito RC, que consiste em um capacitor e um resistor em sua forma mais simples, para analisar a carga e a descarga de um capacitor eletrolítico. A Figura 1 ilustra um circuito RC: Figura 1: Esquema de um circuito RC. 𝜺 representa uma fonte de força eletromotriz, S é uma chave que vai das posições "a" até "b", R é uma resistência e C é o capacitor. 1 Definição tirada do livro “Fundamentos de Física – Eletromagnetismo”, 9ª edição, volume 3, de Jearl Walker, Halliday & Resnick. (1) Quando colocamos a chave S na posição “a”, completamos um circuito RC em série que carrega o capacitor. As cargas que passam a se mover originam uma corrente que acumula carga 𝑞 cada vez maior nas placas do capacitor e estabelece uma diferença de potencial 𝑉𝐶 entre as placas. A corrente deixa de circular quando a diferença de potencial no capacitor se iguala à diferença de potencial dos terminais da fonte, que é igual à força eletromotriz 𝜀. Para o processo de carga, estamos interessados em saber como variam com o tempo a carga 𝑞, a diferença de potencial 𝑉𝐶 e a corrente 𝑖 enquanto o capacitor está sendo carregado. Para isso, aplicamos a regra das malhas de Kirchhoff ao circuito, que nos diz que “a soma algébrica das variações de potencial encontradas ao percorrer uma malha fechada é sempre zero”2. Percorrendo no sentido horário a partir do terminal negativo da fonte, temos: 𝜀 − 𝑖𝑅 − 𝑞 𝐶 = 0 O último termo da direita corresponde à diferença de potencial entre as placas do capacitor, e é negativo pela placa de cima ter um potencial mais alto do que a outra, portanto há uma queda de potencial quando vamos da placa de cima para a de baixo. Sabemos que há uma relação entre corrente elétrica e carga: 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 Com isso montamos uma equação diferencial que descreve a variação da carga no capacitor com o tempo: 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 𝜀 Resolvendo essa equação, encontramos uma equação 𝑞(𝑡) que satisfaz a equação acima e também satisfaz a condição inicial de que a carga é nula no instante 𝑡 = 0: 𝑞 = 𝐶𝜀(1 − 𝑒 −𝑡 𝑅𝐶⁄ ) Com a ajuda da equação (1), encontramos uma expressão para o valor da diferença de potencial 𝑉𝐶 entre as placas do capacitor durante a carga: 𝑉𝐶 = 𝜀(1 − 𝑒 −𝑡 𝑅𝐶⁄ ) Para a descarga do capacitor, colocamos a chave S na posição “b”, assim descarregando o capacitor através da resistência R. O processo matemático é semelhante, só que a equação (4) tem uma mudança, pois a fonte não está mais no circuito: 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑞 𝐶 = 0 2 Definição tirada do livro “Fundamentos de Física – Eletromagnetismo”, 9ª edição, volume 3, de Jearl Walker, Halliday & Resnick. (2) (3) (4) (5) (6) (7) Seguindo os mesmos passos, encontramos expressões para a descarga equivalentes às equações (5) e (6): 𝑞 = 𝐶𝜀𝑒 −𝑡 𝑅𝐶⁄ 𝑉𝐶 = 𝜀𝑒 −𝑡 𝑅𝐶⁄ Percebe-se que o termo “𝑅𝐶” aparece tanto na carga quanto na descarga. Esse produto tem dimensão de tempo e é chamado de “constante de tempo capacitiva” do circuito e é representado pela letra "𝜏": 𝜏 = 𝑅𝐶 Na carga, quando 𝑡 = 𝜏, a carga do capacitor é 63% do valor final, enquanto na descarga, quando 𝑡 = 𝜏, a carga é 37% do valor inicial. Experimento Neste experimento, analisamos a carga e a descarga de um capacitor eletrolítico. Para isso, montamos um circuito RC como o ilustrado abaixo: Para a carga do capacitor, colocamos a chave L1 na posição 1 e a chave L2 na posição 1. Inicialmente, colocamos as chaves 𝐿1 e 𝐿2 em suas respectivas posições 1. Com isso, colocamos o capacitor e o multímetro em curto. Nessa configuração, o multímetro indica a tensão da fonte, que foi posta para 12V. Mudando a chave 𝐿2 para a posição 2, colocamos o multímetro e o capacitor em série, e o capacitor começa a se carregar através da resistência interna 𝑅𝑉 do multímetro. Portanto, o multímetro marca, a cada instante, a tensão 𝑉 = 𝜀 – 𝑉𝐶, onde a tensão 𝑉𝐶 é a diferença de potencial entre as placas do capacitor. Acompanhamos a carga do capacitor de um em um volt com a ajuda do multímetro, e marcávamos com um cronômetro o tempo decorrido. Em função do longo tempo que levaria para carregá-lo até 12V dessa maneira, paramos a marcação quando o capacitor atingiu 10V. Para a descarga do capacitor, invertemos os fios do multímetro para inverter a polaridade e ligamos as chaves 𝐿1 e 𝐿2 nas suas posições 3. Assim, o circuito está em paralelo, e o capacitor se carrega a 12V quase imediatamente, pois seus terminais estão ligados (10) (8) (9) + - Fonte – 12V Multímetro COM 𝑉Ω𝐻𝑧 3 2 1 3 1 2 Figura 2: Esquema do circuito RC montado em aula. Em laranja está representado o capacitor eletrolítico e em azul claro temos as chaves com as posições que ela pode tomar. No multímetro, as ligações e os sinais são da carga. Para a descarga, os fios foram invertidos e os sinais, consequentemente, trocados. 𝑳𝟐 𝑳𝟏 C + - diretamente à fonte de tensão. Colocando a chave 𝐿2 na posição 2 novamente, passamos a descarregar o capacitor através da resistência do multímetro. Note que a fonte não faz mais parte do circuito, e o multímetro indica, a cada instante, diretamente o valor da tensão nas placas do capacitor. Marcamos o tempo decorrido em intervalos de um volt, até o capacitor atingir 1V. Resultados e Discussão Os valores obtidos na carga e na descarga para a diferença de potencial 𝑉𝐶 em função do tempo decorrido estão expostos nas tabelas abaixo junto com a tensão V no multímetro: Carga Descarga V (V) Vc = ԑ-V (V) t (s) Vc = V (V) t (s) 12 0 0 12 0 11 1 19,61 11 18,65 10 2 41,21 10 38,09 9 3 65,64 9 60,49 8 4 94,30 8 86,27 7 5 127,99 7 116,15 6 6 169,17 6 151,06 5 7 220,77 5 193,31 4 8 289,83 4 246,84 3 9 403,33 3 324,12 2 10 628,64 2 443,87 1 11 - 1 699,49 Tabela 1: Tabela com os dados experimentais do potencial e do tempo decorrido desde o início do experimento para a carga e a descarga do capacitor. Os valores da tensão em função do tempo foram colocados em um gráfico para analisar a curva dada e, com a ajuda do software “SciDavis”, encontrar o valor do produto “𝑅𝐶” para a carga e para a descarga. Os dois gráficos obtidos estão expostos abaixo: Gráfico1: Gráfico dos dados da tensão ao longo do tempo para a carga do capacitor. Gráfico 2: Gráfico da tensão ao longo do tempo para a descarga do capacitor. Utilizando o software já mencionado, geramos um ajuste não linear da forma da equação (6) para a carga e da forma da equação (9) para a descarga. Dessa maneira, encontramos os parâmetros “𝑅𝐶”, que será mencionado agora como "𝜏𝐶", e "𝜀" para os dois casos. Para a carga, encontramos os seguintes valores: 𝜀 = 10,36 ± 0,04𝑉 𝜏𝐶 = 194,8 ± 1,5𝑠 Note que "𝜀", a força eletromotriz da fonte, não é 12V segundo o ajuste linear. Essa diferença pode ter sido causada pela desconsideração de uma “resistência de fuga” associada ao capacitor, que causaria uma diminuição no valor assintótico da tensão no capacitor. Para a descarga, os seguintes valores foram encontrados: 𝜀 = 11,82 ± 0,12𝑉 𝜏𝐶 = 230,1 ± 5,7𝑠 A diferença do "𝜀", nesse caso, pode ser considerada presente devido aos erros experimentais, visto que não é muito grande. A resistência de fuga também influencia nesse valor, porém menos do que na carga. Nota-se também que os valores de "𝜏𝐶", que deveriam ser iguais, não são. O valor utilizado para cálculos futuros será a média desses valores, cuja incerteza será considerada seu desvio padrão. Assim, o valor final é: �̅�𝐶 = 212,5 ± 1,9𝑠 Com esse valor, utilizamos a equação (10) para calcular a resistência do multímetro. O valor usado da capacitância do capacitor eletrolítico é disponibilizado pelo fabricante, e vale 𝐶 = 22𝜇𝐹. Aplicando esses valores na equação (10), temos: 𝑅 = �̅�𝐶 𝐶 = 212,5 22 × 10−6 = 9659090,91Ω A incerteza desse valor foi propagada com a ajuda de uma equação do material “Laboratório de Mecânica: subsídios para o ensino de física experimental”: 𝑅 = �̅�𝐶 𝐶 → 𝜇2(𝑅) = ( 1 𝐶 )2 × 𝜇2(�̅�𝐶) + ( �̅�𝐶 𝐶2 )2 × 𝜇2(𝐶) Considerando a incerteza da capacitância como zero, já que ela não foi especificada pelo fabricante, o valor final da resistência do multímetro fica: 𝑅 = (9,7 ± 0,1) × 106Ω = 9,7 ± 0,1𝑀Ω Conclusão Com o experimento, conseguimos acompanhar o funcionamento de um capacitor na carga e na descarga, observando como ocorria o armazenamento de cargas. Foi avaliado o tempo que demorava para ele ser carregado e descarregado, com o intuito de descobrirmos a constante de tempo capacitiva, e assim poder chegar em um resultado experimental para a resistência do multímetro. Na carga, o valor de 𝜏𝐶 está no intervalo de tempo que corresponde ao intervalo de tensão de 6𝑉 − 7𝑉. Esse intervalo abriga o valor esperado para a tensão quando 𝑡 = 𝜏𝐶 se considerarmos a tensão final como a encontrada pelo ajuste não linear, e não os 12𝑉 da nossa fonte. O mesmo vale para a descarga. Isso nos mostra que, provavelmente, o capacitor eletrolítico usado não segue funções como as equações (6) e (9) para a carga e para a descarga, respectivamente. A razão disso pode ser justamente pela existência de uma resistência de fuga, que diminuiria o valor máximo da tensão que o capacitor poderia alcançar. Essa resistência de fuga em geral é bem menor para capacitores eletrolíticos, o que resultaria em uma mudança maior. Como as equações que usamos para explicar esses fenômenos são modelos, consideramos dispositivos ideais, o que geralmente causa uma diferença entre o resultado teórico e o resultado experimental. Referências WALKER, Jearl. HALLIDAY. RESNICK. Fundamentos de Física – Eletromagnetismo. Volume 3. 9ª edição. Editora LTC. LIMA JUNIOR, P; SILVA, M.T.X.; SILVEIRA, F.L.; VEIT, E.A. Laboratório de Mecânica: subsídios para o ensino de física experimental. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2013. http://www.cos.ufrj.br/~alberto/CEFET/Eletronica-2B-2012-01/CAPACITORES.pdf. Acesso em 04/05/2016. https://en.wikipedia.org/wiki/Electrolytic_capacitor. Acesso em 03/05/2016. (10)
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