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3a Questão (Ref.: 201408629453) Pontos: 0,0 / 1,0 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 j - k 
 i - j - k 
 i + j + k 
 i + j - k 
 - i + j - k 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408513434) Pontos: 0,0 / 1,0 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 (x - 2)
2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 (x - 2)
2 + y2 = 4 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408512601) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201408708141) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 
455/3 
 455/2 
 845/2 
 
455/4 
 
845/3 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201408708266) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
4 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 2 * (14)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201408514364) Pontos: 0,0 / 1,0 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 2x+12y+3z=44 
 x+6y+3z=22 
 x+12y+3z=20 
 3x+6y+3z=22 
 3x+4y+3z=20 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201408512682) Pontos: 1,0 / 1,0 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
e-24 
 
2e-22 
 
2e+22 
 e-22 
 
2e+24 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201408512699) Pontos: 0,0 / 1,0 
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx 
 
 
3 
 π2 
 
π 
 π2+3 
 
1/2 
 
28/06/2016 BDQ Prova
http://simulado.estacio.br/bdq_prova_resultado_preview.asp 1/3
CCE1134_AV3_201502423294 (AG) » CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II  Avaliação: AV3
Aluno: 201502423294 ­ ROSANA CORREIA DO ROS¿RIO
Professor: MATHUSALECIO PADILHA Turma: 9002/ET
Nota da Prova: 9,0 de 10,0    Nota de Partic.: 0     Data: 18/06/2016 11:00:22 (F)
  1a Questão (Ref.: 175066) Pontos: 1,0  / 1,0
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é:
2i ­  j + π24k
i+j­  π2 k
2i + j + (π2)k
i ­ j ­ π24k
  2i  +  j  +  π24k
  2a Questão (Ref.: 175514) Pontos: 1,0  / 1,0
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2,et,tet). Indique a única
resposta correta.
(2,0,(2+t)et)
(5,et,(8+t)et)
(1,et,(2+t)et)
  (2,et,(2+t)et)
(2,et, tet)
  3a Questão (Ref.: 175308) Pontos: 0,0  / 1,0
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
(0,0,0)
(0,­1,­1)
  (0, 1,­2)
(0,0,2)
  (0,­1,2)
  4a Questão (Ref.: 52316) Pontos: 1,0  / 1,0
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t ­15)k
28/06/2016 BDQ Prova
http://simulado.estacio.br/bdq_prova_resultado_preview.asp 2/3
r2(t)=(7t ­ t²)i+(6t ­ 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
(d)
(e)
(b)
  (c)
(a)
  5a Questão (Ref.: 58156) Pontos: 1,0  / 1,0
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t ­ t cos t)j + 3k
(­sen t)i + (cos t)j ­ k
(­sen t)i ­ (cos t)j
(­sen t)i + (cos t)j + k
  (­sen t)i + (cos t)j
(­sen t ­ cos t)i + (cos t)j
  6a Questão (Ref.: 253696) Pontos: 1,0  / 1,0
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e].
845/3
455/4
455/2
  845/2
455/3
  7a Questão (Ref.: 592023) Pontos: 1,0  / 1,0
Integre f(x, y, z) = x ­ 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a
origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a
parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1.
4
3
1
2
  0
28/06/2016 BDQ Prova
http://simulado.estacio.br/bdq_prova_resultado_preview.asp 3/3
  8a Questão (Ref.: 253822) Pontos: 1,0  / 1,0
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) ­ ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
  ( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) ­ ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k)
  9a Questão (Ref.: 58169) Pontos: 1,0  / 1,0
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy­1
∂f∂x=­y­1(xy­1)2 e ∂f∂y=­x­1(xy­1)2
∂f∂x=­y2­1(xy­1) e ∂f∂y=­x2­1(xy­1)
  ∂f∂x=­y2­1(xy­1)2 e ∂f∂y=­x2­1(xy­1)2
∂f∂x=­y3(xy­1)2 e ∂f∂y=­x3(xy­1)2
∂f∂x=­y2+1(xy­1) e ∂f∂y=­x2­1(xy+1)
  10a Questão (Ref.: 59050) Pontos: 1,0  / 1,0
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o triângulo limitado
por x = 0, x + y =1 e y = 0
  0
2
4
3
1
Período de não visualização da prova: desde 10/06/2016 até 24/06/2016.
 
 
Fechar
 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Simulado: CCE0115_SM_201512539856 V.1 
Aluno(a): MAURICIO MACEIRAS SEIJAS Matrícula: 201512539856 
Desempenho: 0,5 de 0,5 Data: 02/05/2016 20:01:47 (Finalizada)
1a Questão (Ref.: 201512647800) Pontos: 0,1 / 0,1
Calcule  o limite da seguinte função vetorial: 
limt→∞[(1+3t)t  i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k]
3i+5k3i+j+5k
e3 i + 5ke3 i+je3i+j+5k
2a Questão (Ref.: 201512651972) Pontos: 0,1 / 0,1
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
3a Questão (Ref.: 201512647764) Pontos: 0,1 / 0,1
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável no ponto P(1,0,1).
2e
0
1
e
3e
Página 1 de 2BDQ Prova
14/05/2016http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_linear_view.asp
4a Questão (Ref.: 201512650378) Pontos: 0,1 / 0,1
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
a(t)=3i +89j-6ka(t)=e3i +29e3j-2e3ka(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)ka(t)=e3i +2e3j-4e3ka(t)=3i+8j-6k
5a Questão (Ref.: 201512651951) Pontos: 0,1 / 0,1
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, ondesua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
2i
2i + 2j
2j
i/2 + j/2
2i + j
Página 2 de 2BDQ Prova
14/05/2016http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_linear_view.asp
 1a Questão (Ref.: 201409071316) Pontos: 0,1 / 0,1 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201408654966) Pontos: 0,0 / 0,1 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1-cost,sent,1) 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 (1-sent,sent,0) 
 (1-cost,0,0) 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201408654959) Pontos: 0,1 / 0,1 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 (sect,-cost,1) 
 (-sent, cost,1) 
 (sent,-cost,1) 
 (sent,-cost,0) 
 (sent,-cost,2t) 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408532935) Pontos: 0,1 / 0,1 
Calcule a integral: 
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 π²3 
 0 
 2π 
 π³6 
 -π 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408522843) Pontos: 0,0 / 0,1 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t) =x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: 
T= v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 
 
 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 3π2 +1 
 π2+1 
 3π4+1 
 π4+1 
 π 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201409070881) Pontos: 0,0 / 0,1 
Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (sqrt3,-1). 
Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3) 
 
 
θ = Pi/6 
 
θ = 11Pi/6 
 θ = 3Pi/2 
 
θ = 7Pi/6 
 θ = 5Pi/6 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201408737127) Pontos: 0,0 / 0,1 
Calcule o vetor gradiente da função f(x,y) = 2xy + xy2 
 
 (2x + 2xy)j 
 (y2)i + (2x + 2xy)j 
 (2y + y2)i + (2x + 2xy)j 
 (2y + y2)i -(2x)j 
 (2y + y2)i + (2x + 2xy)j 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408522022) Pontos: 0,1 / 0,1 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 
(-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 
(3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,7,-4) 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408532304) Pontos: 0,1 / 0,1 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(d) 
 (c) 
 
(e) 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201408629453) Pontos: 0,0 / 1,0 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 j - k 
 i - j - k 
 i + j + k 
 i + j - k 
 - i + j - k 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408513434) Pontos: 0,0 / 1,0 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 (x - 2)
2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 (x - 2)
2 + y2 = 4 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408512601) Pontos: 0,0 / 1,0 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201408708141) Pontos: 0,0 / 1,0 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 
455/3 
 455/2 
 845/2 
 
455/4 
 
845/3 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201408708266) Pontos: 1,0 / 1,0 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
4 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 2 * (14)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201408514364) Pontos: 0,0 / 1,0 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 2x+12y+3z=44 
 x+6y+3z=22 
 x+12y+3z=20 
 3x+6y+3z=22 
 3x+4y+3z=20 
 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201408512682) Pontos: 1,0 / 1,0 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
e-24 
 
2e-22 
 
2e+22 
 e-22 
 
2e+24 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201408512699) Pontos: 0,0 / 1,0 
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫-11∫01-x2dydx 
 
 
3 
 π2 
 
π 
 π2+3 
 
1/2 
 
Exercício: CCE1134_EX_A6_201408215837 Matrícula: 201408215837 
Aluno(a): FERNANDO ESTEVES MARQUES Data: 02/03/2016 16:57:40 (Finalizada) 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201408281899) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na direção do vetor v=i+2j+2k, encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+ ln(xz) no ponto P(1,0,1/2). 
 
 
1 
 
8 
 6 
 
4 
 
12 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201408292050) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas 
parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x, y e z são 
funções de outra variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a 
taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etcost, z= 2e2t, 
calculedwdt para t=0,encontre dwdt. 
 
 dwdt=20 
 dwdt=0 
 dwdt=16 
 dwdt=18 
 dwdt=12 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201408491112) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
35/6 
 
35/2 
 35/4 
 
7 
 
35/3 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408491116) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 
455/4 
 
845/3 
 
455/3 
 
455/2 
 845/2 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408491103) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201408491086) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às 
variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
12/5 
 
12/7 
 
12/19 
 19/12 
 
19/4 
 
A salvação: VEM DO SENHOR JESUS Matrícula: Salvação 
Aluno(a): APROVADO Data: Neste dia (Finalizada) 
 
 
“Ninguém é capaz de redimir seu próprio irmão, ou pagar a Deus o valor de sua vida. Salmo 49:7”, 
(porquanto o resgate de uma vida não tem preço e a obra da remissão é exclusiva de Deus. o homem não 
pode nem sequer salvar a si próprio quanto mais o seu irmão). 
 1a Questão (Ref.: 201408281899) 
 
Na direção do vetor v=i+2j+2k, encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+ ln(xz) no ponto P(1,0,1/2). 
 
 
1 
 
8 
 6 
 
4 
 
12 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201408292050) 
 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x, y e z são funções de outra variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação 
de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etcost, z= 2e2t, calculedwdt para t=0, 
encontre dwdt. 
 
 
dwdt=20 
 
dwdt=0 
 
dwdt=16 
 dwdt=18 
 
dwdt=12 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201408491112) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) 
em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e 
z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
35/6 
 
35/2 
 35/4 
 
7 
 
35/3 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201408491116) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em 
relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z 
varia no intervalo [1 , e]. 
 
 
455/4 
 
845/3 
 
455/3 
 
455/2 
 845/2 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201408491103) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) 
em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e 
z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201408491086) 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) 
em relação às variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e 
z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
12/5 
 
12/7 
 
12/19 
 19/12 
 
19/4 
 
 
O AMOR DE DEUS 
" Pois Deus tanto amou o mundo que deu o seu Filho unigênito para que todo o que nele crer não pereça, mas 
tenha a vida eterna." (João 3:16) 
 7a Questão (Ref.: 201401254642) 
 
Considere a função f(x,y)= y.lnx + x.ey . 
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) ( ) A derivada da função f(x,y) em P(1,0) na direção do vetor v = i-j é nula. 
2) ( ) A função f(x,y) aumenta mais rapidamente na direção do vetor u= i + j. 
3) ( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2. 
4) ( ) A taxa de variação da função é 21/2 
5) ( ) A reta tangente à curva f(x,y) no ponto P(1,0) é y=x-1. 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (F) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201401462107) 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C 
definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
4 
 
14 * (2)^(1/2) 
 2 * (14)^(1/2) 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
 9a Questão (Ref.: 201408491240) 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -
2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 4 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 
 10a Questão (Ref.: 201401263171) 
 
 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. . 
 
 
72 u.a. 
 
52 u.a. 
 
12 u.a. 
 92u.a. 
 
32u.a. 
 
 
 
 
 
 11a Questão (Ref.: 201401462108) 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função 
F(x,y,z) 
 
 ( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k) 
 ( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
 
 
 
 
 12a Questão (Ref.: 201401462114) 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i)+ ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * 
y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
 
 
 
 
Cristo afirma: "Eu vim para que tenham vida, e a tenham plenamente" (uma vida abundante e com propósito). 
(João 10:10) 
 
Por que a maioria das pessoas não está experimentando essa "vida abundante"? 
Porque… 
 
 
 
 13a Questão (Ref.: 201401268205) 
 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 
2x+12y+3z=44 
 
3x+4y+3z=20 
 x+6y+3z=22 
 
3x+6y+3z=22 
 
 x+12y+3z=20 
 
 14a Questão (Ref.: 201307155700) 
 
Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
1 
 
π2 
 
2 
 
π 
 2π 
 
 
 15a Questão (Ref.: 201307155658) 
 
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1 
 
 
∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1) 
 
∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2 
 
∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2 
 
∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1) 
 ∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2 
 
 
 
 
O HOMEM É PECADOR 
"Pois todos pecaram e estão destituídos da glória de Deus..." (Romanos 3:23) 
O homem foi criado para ter um relacionamento perfeito com Deus, mas por causa de sua desobediência e 
rebeldia, escolheu seguir o seu próprio caminho, e seu relacionamento com Deus desfez-se. Este estado de 
independência de Deus, caracterizado por uma atitude de rebelião ou indiferença, é evidência do que a Bíblia 
chama de pecado. 
 
 
 
 16a Questão (Ref.: 201307155736) 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
3 
 
5/6 
 9/2 
 
1 
 
1/2 
 
 
 17a Questão (Ref.: 201307155695) 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
7 
 
7e 
 7e-7 
 
e-1 
 
e7 
 
 
 
 
 
 18a Questão (Ref.: 201307155675) 
 
Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2) 
 
 
∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2) 
 
∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze 
 
∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2) 
 ∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2) 
 
∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2) 
 
 
 
 
 
 19a Questão (Ref.: 201307155731) 
 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
 
 
e 
 2 
 2 
 
e+2 
 
3 
 
 20a Questão (Ref.: 201307156094) 
 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
2e+24 
 
e-24 
 
2e-22 
 
2e+22 
 e-22 
 
 
 
 
 
 21a Questão (Ref.: 201307153012) 
 
Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-
x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor. 
 
 
π3 
 
π5 
 π4 
 
π 
 π2 
 
22a Questão (Ref.: 201408295623) 
Inverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e 
calcule a integral ∫0π∫xπsenyydydx 
 
 
1 
 
10 
 2 
 
5 
 
e + 1 
 
 23a Questão (Ref.: 201408295623) 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
10 
 
2 
 16 
 
1 
 
20 
 
 
 24a Questão (Ref.: 201201137005) Pontos: 0,1 / 0,1 
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma função fem um ponto P na 
direção de um versor u; é igual ao produto escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u. 
 Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxzem P(1,0,12) na direção do 
vetor v=i+2j+2k. 
 
 
1 
 
13 
 
12 
 
3 
 2 
 
 
 
 
 25a Questão (Ref.: 201401268139) 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
1 
 
0 
 2 
 
 -1 
 
 -2 
 
 
 26ª Questão (Ref.: 201401268139) 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
7u.c 
 
14u.c 
 21u.c 
 
 49u.c 
 
 28u.c 
 
 
ELE MORREU EM NOSSO LUGAR 
"Mas Deus demonstra seu amor por nós pelo fato de ter Cristo morrido em nosso favor, quando ainda éramos 
pecadores." (Romanos 5:8) 
 
 27a Questão (Ref.: 201401382034) 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 1,3,4 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
 
28a Questão (Ref.: 201401382034) 
 Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai 
de (0,0,0) até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
- 4,207 
 - 3,207 
 - 2,207 
 
- 1,207 
 
- 5,207 
 
 29a Questão (Ref.: 201401929476) 
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
 
13 
 
15 
 14 
 
16 
 12 
 
 
 30a Questão (Ref.: 201401395414) 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
13 
 
0 
 
14 
 12 
 
15 
 
 31a Questão (Ref.: 201401395414) 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a 
fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
2 
 
-10 
 
1 
 -2 
 
0 
 
 32a Questão (Ref.: 201401395414) 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva C: o 
triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
4 
 
1 
 
3 
 
2 
 0 
 
 33a Questão (Ref.: 201401513225) Pontos: 0,0 / 0,1 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i - j + π24k 
 i - j - π24k 
 2i + j + π24k 
 2i + j + (π2)k 
 i+j- π2 k 
 
 
 
 
 
 
 34a Questão (Ref.: 201401395620) Pontos: 0,0 / 0,1 
Dada a curva plana r(t)=(lnt)i+tj+(et-1)k encontre a soma e o produto do vetor tangente 
unitário T pelo versor normal N, considerando t=1. 
 
 
s=((13)-(12))i+((13)+(12))j+((13)+(12))k e p=0. 
 
s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=1. 
 
s=1e p=0. 
 s=((12)-(13))i+(13)j+((12)+(13))k e p=0. 
 s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=0. 
 
 35a Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre o volume de uma esfera de raio igual a 3u.c., usando integral tripla. 
Obs: u.c. = unidade de comprimento. 
36a Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = ∫ ∫ (xy + x2)dxdy, onde R = [0.1] x [0,1]. 
 
14(u.v.) 
 7/12 (u.v.) 
 
36(u.v.) 
 
23(u.v.) 
 5(u.v.) 
 
 
 
37a Questão (Ref.: 201401395620) 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 
1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
ELE RESSUSCITOU DENTRE OS MORTOS 
"Cristo morreu pelos nossos pecados... foi sepultado e ressuscitou ao terceiro dia, 
segundo as Escrituras... e apareceu a Pedro e depois aos Doze. Depoisdisso 
apareceu a mais de quinhentos..." (1 Coríntios 15:3-6) 
 
ELE É O ÚNICO CAMINHO 
"Respondeu-lhe Jesus: Eu sou o caminho, a verdade e a vida. Ninguém vem ao 
Pai, a não ser por mim." (João 14:6) 
 
38a Questão (Ref.: 201401395620) 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação 
polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
 
39 Questão (Ref.: 201401395620) 
 Verdadeiro ou falso? 
 
A = (-2,3,5) e B = (2,3,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 
A = (-1,-2,-3) e B = (-1,3,3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,3,5) e B = (-1,3,-5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 
A = (-1,-2,-3) e B = (-1,2,-3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,-5,5) e B = (-1,5,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 
40 Questão (Ref.: 201401395620) 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 
(-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 
 
41 Questão (Ref.: 201401395620) 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela 
equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
1/2(e-1) 
 
1/2(e6-1) 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
42 Questão (Ref.: 201401395620) 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido 
gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos R= 
[0,1]x[0,3]. 
 
 
(e1)(e61) 
 
1/2(e1) 
 
1/2(e61) 
 1/2(e1)(e61) 
 
-1/2(e1)(e61) 
 
43 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule a integral de linha ∫C (xy+2y-z)ds ao longo da curvar(t)=2ti+tj+(2-
2t)k sendo 0≤t≤1. 
 
 
4 
 
3 
 2 
 
0 
 
1 
 
44 Questão (Ref.: 201401395620) 
 
Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-2)ds onde C é o segmento de reta 
do ponto P(0,1,1) até o ponto Q(1,0,1). 
 
 -2 
 
1 
 
3 
 
 3 
 
2 
 
45 Questão (Ref.: 201401395620) 
 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e 
representa a taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 3y2 +5z2 onde x=et, y=et, z= e2t, calcule dwdt 
sendo t= 0 
 
 
 
12 
 
10 
 
8 
 18 
 
20 
 
46 Questão (Ref.: 201401395620) 
 
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral 
polar ∫-11∫-1-x21-x2dydx 
 
 π 
 
2 
 
π2 
 0 
 
π2+1 
 
47 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule o módulo do vetor assim definido: 
 v= (∫01(21-t2)dt)i-∫01(41+t2)dt)j+(∫0π(dt))k 
 
 
3π 
 
π 
 
 (2)π 
 (3)π 
 
π3 
48 Questão (Ref.: 201401395620) 
Quais dos campos abaixo são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
 
campos 1, 2 e 4 
 campos 1, 3 e 6 
 
campos 1, 2 e 5 
 campos 1, 2 e 6 
 
campos 2, 3 e 6 
 
 
 
49 Questão (Ref.: 201401395620) 
Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
campos 1, 4 e 5 
 campos 3, 4 e 6 
 
campos 1, 2 e 6 
 campos 3, 4 e 5 
 
campos 3, 4, 5 e 6 
 
50 Questão (Ref.: 201401395620) 
 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis 
maneiras diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro 
maneiras diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) 
integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) 
integrais simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 1,3,4 
 
2,3,4 
 
2,4,5 
 1,2,3 
 
1,3,5 
 
51 Questão (Ref.: 201401395620) 
 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial: 
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k 
 
 
divV→=eyi-excosyj +2zsenyk 
 
divV→=ey-excosy +2z 
 divV→=ex-ey+2z 
 divV→=ex-ey+2zseny 
 
divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k 
 
52 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule o módulo do operador rotacional do campo vetorial 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k no ponto P(0,0,1). 
 
 
5 
 
3 
 2 
 
3 
 2 
 
53 Questão (Ref.: 201401395620) 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-
3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 
28 
 
14 
 
21 
 49 
 
7 
 
54 Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 8π2 
 
8π3 
 
2 
 
π2 
 
82 
 
 
55 Questão (Ref.: 201401395620) 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo domínio de uma 
função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao longo da curva são dados pela função 
composta f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao 
comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de linha de f(x,y,z) ao longo 
da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada 
por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 423 
 
1 
 
233 
 
2 
 
324 
 
 
56 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule a integral ∫02π∫01∫r2-r2dzrdrdΘ em coordenada cilíndrica 
 
 
2-1 
 
4π(2-1) 
 4π(2-1)3 
 4π 
 
14π2-113 
 
57 Questão (Ref.: 201401395620) 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 -6x-y(2x+3y)2 
 (2x+3y)2 
 -62x+3y 
 -6(2x+3y)2 
 -6(2x+3y)3 
 
58 Questão (Ref.: 201401395620) 
Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z e c o segmento 
de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a 
parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] . 
 3 
 33 
 22 
 23 
 32 
 
59 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
π2 
 
Π3 
 22 
 2π2 
 
3π2 
 
60 Questão (Ref.: 201401395620) 
Integre a função f(x,y,z) = x ‐ 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem 
ao ponto (1,1,1). 
Considere a parametrização r(t) = – + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. 
Portanto, a integral 
de f sobre C é: 
 
3 
 
4 
 1 
 0 
 
2 
 
61 Questão (Ref.: 201401395620) 
Integre f(x, y, z) = x 3. 
y2 + z sobre o segmento de reta C que une a 
origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado 
a 
parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
3 
 
4 
 1 
 0 
 
2 
 
62 Questão (Ref.: 201401395620) 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
-0,25i+ 7j + 1,5k 
 
-0,25i - 7j + 1,5k 
 
-0,25i - 7j -1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
 
+0,25i - 7j + 1,5k 
 
63 Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto (2,0) 
na direção de v = 3i 4j usando o gradiente. 
 
 
3/5 
 
4/8 
 1 
 -1 
 
-4/5 
 
64 Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre a derivada de f(x,y,z) = x3 x. 
y2 z em Po = (1,1,0) na direção de v = 2i 3j + 6 k. 
 
 3/7 
 6/7 
 1/7 
 4/7 
 2/7 
 
 
65 Questão (Ref.: 201401395620) 
Considere T(x,y,z) = 20 x2 y2 z2 uma distribuição de temperatura 
em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) 
precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,1,0) 
precisa resfriarse o mais rápido possível. Marque a alternativa que 
indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar. 
 
 
(2, 3,5) 
 
(0, -20,0) 
 
(0, -1,0) 
 (0, 2,0) 
 
(-4, -6,-10) 
 
66 Questão (Ref.: 201401395620) 
Considere T(x,y,z) = 20 x2 y2 z2 uma distribuição de temperatura 
em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) 
precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,1,0) 
precisa resfriarse o mais rápido possível. Marque a alternativa que 
indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar. 
 
 
(2, 3,5) 
 
(0, -20,0) 
 
(0, -1,0) 
 (-4, -6,-10) 
 
(0, 2,0) 
 
67 Questão (Ref.: 201401395620) 
Apresente a expressão do operador rotacional do campo vetorial: 
V→=(ex+z.cosy)i+(x.z ey) j+(x.y+z2)k no ponto P(0,0,1). 
 
 
i+k 
 
I+j+k 
 
i-j 
 j+k 
 
i-j+k 
 
68 Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
- 3x - 2y 
 
- 3x + 2y 
 
- 2x + 3y 
 3x - 2y 
 
3x + 2y 
 
69 Questão (Ref.: 201401395620) 
Determine o versor tangente à curva de função vetorial 
r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
(22)i- (22)j+(22)k 
 
(2)i -(2)j+(2)k 
 
(25)i+ (25)j+(255)k 
 (12)i- (12)j+(22)k 
 
(105)i- (105)j+(255)k 
 
70 Questão (Ref.: 201401395620) 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
w2 
 
Cos2(wt) 
 
-(wt)sen(wt) 
 0 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
 
71 Questão (Ref.: 201401395620) 
Seja a função f(x, y) = sen2(x 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
2sen(x- 3y) 
 
2cos(x- 3y) 
 
sen(x- 3y) cos(x- 3y) 
 2sen(x -3y) cos(x- 3y) 
 
2sen(x+ 3y) cos(x +3y) 
 
 
72 Questão (Ref.: 201401395620) 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
73) Verifique se a função F(x,y,z)= x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é 
harmônica. 
∂F/∂x = (xcos(y)+ysen(x)+2sen(x)cos(y)) 
 (cos(y)+xcos(x).1+2cos(y)cos(x).1) 
 =0-ysen(x).1-2cos(x).sen(x).1 
∂F/∂y = (-xsen(y)2=sen(x)-2sen(x)sen(y).1 
 =-xcos(y)=0-2sen(x)cos(y) 
∂F/∂z = (0=0=sem(x)cos(y)) 
 =0 não é harmônico 
 
74) Esboce a região limitada pelas funções y= y=0 , x=0 e x=ln2, 
expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre 
o valor de sua área. 
A = ∫
 
 
 ∫
 
 
 
 ∫
 
 
[-y]0a dx 
 ∫
 
 
[ -0] dx 
 [ ]0 a ln2 
 = = = 2 – 1 = 1 U.A 
 
75) calcule ∂F/∂x e ∂F/∂y F(x.y) = (x³=(y/2))²/3 
= 1/3.(x +x y/x x³+ y²/y) 
∂F/∂x = 1/3.(x +3yx²)=2 x +yx² 
∂F/∂y = 1/3.(0+x³+2 y/4) 
 = 1/3(x³+y/2) = 1/3x³ + y/6 
 
76) Os conceitos.... determine a derivada direcional de F(x,y) =x³+xy +2y 
na parte (2,1) na direção do vetor(3,-4). 
U é unitário=√ = 5 
Vetor unitário w = 3/5i + 4/5j 
VF ∂F/∂x i + ∂F/∂y j(2x+y)i +(x+4y)j 
(VF) = (2.2+1)i + (2+4.1)j = 5i + 6j 
(VF) = (5 , 6) . (3/5 , -4/5)= 5 3/5 +(6(-4/5) 
= 15/5 – 24/5 = - 9/5 
 
77) calcule a integral∫
 
 
 l∫
 
 
 l∫
 
 
 1/xyz dxdydz 
∫
 
 
 l∫
 
 
 1/yz [ln (x) ]1 a xdydz 
∫
 
 
 l∫
 
 
1/yz (1-0) dydz 
∫
 
 
1/z [ln(y) ]1 a dz 
∫
 
 
1/z (1 – 0) dz 
∫
 
 
1/z dz 
[ln(z) ]1 a 
(1 – 0) = 1 
 
78) verifique se a função f(x,y,z) = x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é 
harmônico. 
fx =cosy + ycosx + z.cosx.cosy 
fxx = -ysenx – z.senx.cosy 
fy = -x.seny + senx – z.senx.seny 
fyy = -xcosy – z.senx.cosy 
fz = senx.cosy 
fzz = 0 
fxx+fyy+fzz = 0 
-ysenx – zsenxcosy – xcosy – senxcosy ‡ 0 
Não é harmônico. 
 
79)Encontre o vetor aceleração de uma partículapara o instante t = 1, 
onde sua posição é dada pelo vetor r(t)i + (t²-1)j +2tk. 
V(t) = dr/dt = i + 2tj + 2k 
A(t) = dv/dt = 2j 
 
80) Calcule. ∫
 
 
 ∫ 
√ 
 
 √ dydx 
∫
 
 
 ∫ 
√ 
 
 √ dydx = ∫ 
 
 
 √ √ ∫ 
 
 
 √ 
( √ – )dx = ∫ 
 
 √ )dx = 3/2 ) ∫ 
 
 √ 
 ). / 3/2 = 3/2 (e-1) 
 
 
 = [ 3/2 (e-1) 
 . 2/3] - [ 3/2 (e-1) . 2/3] = (e-1).8.2/3.3/2 - [ (e-1) .1.2/3.3/2] = 
8.(e-1) [ (e-1)] = 8e – 8 – e + 1 = 7e -7 = 7(e-1) 
 
81) Encontre um versor normal a curva r(t) = ( ( 
r’(t) = ( 
r’’ = ( 
( 
 
82) Se resistores elétricos de R1,R2,R3 Ohms são conectados em paralelo 
para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a 
artr da equação 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ . Encontre o valor de Or/Or2 
quando R₁ = 30, R₂ = 45 e R₃ =90ohms. 
∂r/∂ r₁ = r²/ r₁² = (r/ r₂)² => 1/R = 1/30+1/45+1/90 
= (3+2+1)/90 = 6/90 = 1/15 
R = 15 ∂r/∂r₂ = (15/45)² = (1/3) = 1/9 
 
83) encontre uma função potencial f para o campo F = 2xi + 3yj + 4zk 
X² + 3y²/2 + 2z² + c 
 
84) Encontre o vetor aceleração da partícula de posição r(t) = i + 2/9 
( j – 2 ) k no instante t = ln 3. 
V(t) = i 2/9 2 j - 2 k 
a(t) = i + 8/9 j - 2 k Em t = ln3 
a(ln3) = i + 8/9 - 2 = 3i + 8/9 . 9j – 2.3k 
= 3i + 8j -6k. 
 
85) Seja função f(x,y) = sem²(x-3y), encontre ∂f/∂x 
2sen(x-3y). cós(x-3y) 
 
86) um competidor em sua asa-delta... r(t) = (cós t)i + (3sen t)j + t²k.... 
intervalo de tempo(0, 4pi), encontre o módulo da vel no instante t. 
R(t) = 3senti + 3costj + 2tk 
| N(t) | = √ = √ 
 
87) Esboce a região limitada pelas funções x = -y² ey = x +2 apresentada a 
área da região como uma integral dupla iterada. Encontre o valor de sua 
área. 
Y=-y² => x’ = (1)² =-10, x = -(-2)² = -4 
Y=x+2 => x=y-2 
Y² + y – 2 = 0 => y’ = 1 => y’’ = -2 
∫
 
 ∫
 
 
 dxdy 
Y 2/2-2y+y³/3 = 1²/2-2.1+1³/3 – (-2/2)² +(-2/3)³ 
= (5-12)/6 – 16/3 = -7/6 -10x²/3x² = -7/6 – 20/6 = - 27/6 = 9/2 => 9/2ua. 
 
 88) Calcule a integral de linha onde a curva C é a reta que sai de A (0,0) e 
chega em B (1,2). 
∫ (1+xy²)ds 
C: => x= x + at => x=t => dx=1dt 
C: => y=y+bt => y=2t => dy=2 dt 
∫
 
 
 ((1 + t . (2t)²)ds 
ds = √ ( )
 
 dx 
ds = √ √ => √ dt 
∫
 
 
 (1 +4t³)√ dt => √ (t+4.
 
 
 = 
√ = 2√ 
 
89) Calcule a integral de linha do campo vetorial dado por F(x,y) – (-y,x), 
ao longo do triângulo de vértices A(1,1), B (-1,1) e C (0,1) no sentido 
trigonométrico. 
C1: AB x=x+at => x=1-2t 
 Y=y+bt => y=1 == tE(0,1) 
∫
 
 
 (-1, 1-2t).(-2,0)dt 
∫2dt = 2t = 2 
C2: BC x=x+at  x=-1 +t 
 Y=y+bt  y=1-2t tE(0,1) 
∫
 
 
 (-1+2t, -1+t).(1,-2)dt 
∫
 
 
 (-1+2t + 2 – 2t) dt => ∫
 
 
 1dt = t = 1 
C3: CA x=x+at x=7 
 Y=y+bt  y=-1+2t = tE(0,1) 
∫
 
 
(1-2t, t).(1,-2)dt ∫
 
 
 (1-2t+2t) dt = t = 1 
 
90) Se r(t) = 2 cost i + sent j + 2tk, então: ∫ 
∫ (t) dt = (∫ + (∫ j + (∫ k  2sent i – cost j 
+ 2 t²/2 k + C  2sent i – cost j +t² k + C 
 
91) Verifique se a função f(x,y,z) = 3.x.y² + 2.x².y – 3.x.z² - 2.y.z² é 
harmônica. 
Fx= 3y² + 4x.y – 3z²-0 
Fxx= 0+4y-0.0 
Fy=3x2y+2x².1-0-2z² 
Fyy=6x+0-0-0 
Fz=-3x.2z-2y2z 
Fzz=-6x-4y 
4y+6x-6x-4y=0  0=0 É harmônica. 
 
92) A integral ∫
 
 
(∫
 
 
dydx fornece a área de uma região no plano 
xy. Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, 
escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. 
Depois encontre a área da região. 
∫
 
 
(∫
 
 
dydx 
∫
 
 
dy = y ∫
 
 
cosx-senx 
∫ 
 
 
 - ∫ 
 
 
 
Senx – (-cosx) ∫ 
 
 
 senx + cosx ∫
 
 
 sen
 
 
 -(sen0 + cos0) 
√ /2 + √ /2 – 0 – 1  2√ /2 -1 
 
 
 
 
“Ninguém é capaz de redimir seu próprio irmão, ou pagar a Deus o valor de sua vida. Salmo 49:7”, (porquanto 
o resgate de uma vida não tem preço e a obra da remissão é exclusiva de Deus. o homem não pode nem sequer 
salvar a si próprio quanto mais o seu irmão). 
 
 
Primeira 
Lei 
Deus ama você e tem um plano 
maravilhoso para sua vida. 
 
 
Segunda 
Lei 
O homem é pecador e está separado de Deus; por isso não pode 
conhecer nem experimentar o amor e o plano de Deus para sua vida. 
 
O HOMEM ESTÁ SEPARADO 
"Pois o salário do pecado é a morte..." (separação espiritual de Deus) (Romanos 6:23) 
 
 
 
Deus é santo e o homem é pecador. Um grande abismo separa os dois. O homem está 
continuamente procurando alcançar a Deus e a vida abundante através dos seus próprios 
esforços: vida reta, boas obras, religião, filosofias, etc. 
 
A Terceira Lei nos mostra a única resposta para o problema dessa separação... 
 
Terceira 
Lei 
Jesus Cristo é a única solução de Deus para o homem pecador. Por meio 
dele você pode conhecer e experimentar o amor e o plano de Deus para 
sua vida. 
 
 
 
 
ELE É O ÚNICO CAMINHO 
"Respondeu-lhe Jesus: Eu sou o caminho, a verdade e a vida. Ninguém vem ao Pai, a não ser por 
mim." (João 14:6) 
 
 
 
Deus tomou a iniciativa de ligar o abismo que nos separa Dele ao enviar seu Filho, Jesus Cristo, 
para morrer na cruz em nosso lugar, pagando o preço dos nossos pecados. 
 
Mas não é suficiente conhecer essas três leis... 
 
 
Quarta 
Lei 
Precisamos receber a 
Jesus Cristo como 
Salvador e Senhor, por 
meio de um convite 
pessoal. Só então 
poderemos conhecer e 
experimentar o amor e 
o plano de Deus para 
nossa vida. 
 PRECISAMOS RECEBER A CRISTO 
"Contudo, aos que o receberam, aos que creram em seu nome, deu-lhes o direito de se tornarem filhos de Deus." 
(João 1:12) 
 
RECEBEMOS A CRISTO PELA FÉ 
"Pois vocês são salvos pela graça, por meio da fé; e isto não vem de vocês, é dom de Deus; não por obras, para 
que ninguém se glorie" (Efésios 2:8-9) 
 
RECEBEMOS A CRISTO POR MEIO DE UM CONVITE PESSOAL 
Cristo afirma: "Eis que estou à porta e bato. Se alguém ouvir a minha voz e abrir a porta, entrarei..." (Apocalipse 
3:20) 
 
Receber a Cristo implica arrependimento, significa deixar de confiar em nossa capacidade para nos salvar, crendo 
que Cristo é o único que pode perdoar os nossos pecados. Não é suficiente crer intelectualmente que Jesus é o 
Filho de Deus e que morreu na cruz pelos nossos pecados ou ter uma experiência emocional. Recebemos a Cristo 
pela fé, através de uma decisão pessoal. 
 
Estes dois círculos representam dois tipos de vida: 
 
VIDA CONTROLADA PELO "EU" 
 
O "EU" no centro da vida. 
 
CRISTO do lado de fora da vida. 
 
Ações e atitude controladas pelo "EU ", resultando em 
discórdias e frustrações. 
 
 
 
VIDA CONTROLADA POR CRISTO 
 
CRISTO no centro da vida. 
 
O "EU" fora do centro. 
 
Ações a atitudes controladas por CRISTO, resultando em 
harmonia com o plano de Deus. 
Qual dos dois círculos representa melhor sua vida? 
Qual deles você gostaria que representasse sua vida? 
Gostaria de explicar como você pode receber a Cristo. 
VOCÊ PODE RECEBER A CRISTO AGORA MESMO EM ORAÇÃO 
(Orar é falar com Deus). 
 
Deus conhece seu coração e está mais interessado na atitude do seu coração do que em suas palavras. A oração 
seguinte serve como exemplo: 
 
"Senhor Jesus, eu preciso de Ti. Eu Te agradeço por ter morrido na cruz pelos meus pecados. Abro a 
porta da minha vida e Te recebo como meu Salvador e Senhor. Obrigado por perdoar os meus pecados e 
me dar a vida eterna. Toma conta da minha vida e faça de mim o tipo de pessoa que desejas que eu 
seja." 
 
Esta oração expressa o desejo do seu coração? 
 
Se for assim, faça esta oração agora mesmo e Cristo entrará em sua vida, como prometeu. 
 
 Agora que você recebeu a Cristo dirija-se a uma igreja evangélica que pregue Cristo 
a verdade que liberta e como Deus o único e suficiente Salvador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II AVALIANDO APRENDIZADO 
 
 1a Questão 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 i - j + k 
 k 
 
j 
 
j - k 
 
j + k 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 3t2 i + 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 0 
 
t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 6ti+j 
 
6ti -2j 
 
ti+2j 
 6ti+2j 
 
6i+2j 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 -cost j + t
2 k + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,-1,-1) 
 (0,-1,2) 
 
(0,0,0) 
 
(0,0,2) 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 
 
 
 
Romanos 3:23 
 Porque todos pecaram e destituídos estão da glória de 
Deus; 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 11 
 
-12 
 
5 
 - 11 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i + 3tj 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
 9a Questão 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimentocircular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
Romanos 5:12 
 Portanto, como por um homem entrou o pecado no 
mundo, e pelo pecado a morte, assim também a morte 
passou a todos os homens por isso que todos pecaram. 
 
 
 
 
 
 10a Questão 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 3π2 +1 
 3π4+1 
 π2+1 
 π 
 π4+1 
 
 
 11a Questão 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (cost)i-(sent)j+3tk 
 
-(sent)i-3tj 
 (sent)i + t4j 
 
(cost)i+3tj 
 (cost)i-3tj 
 
 12a Questão 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 i + k 
 
i + j + k 
 
i + j 
 
i + j - k 
 j + k 
 
 
 13a Questão 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada 
variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
0 
 
e 
 
3e 
 1 
 2e 
 
 14a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 (sent,-cost,2t) 
 (sect,-cost,1) 
 (sent,-cost,1) 
 (-sent, cost,1) 
 (sent,-cost,0) 
 
 
 15a Questão 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
(1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 
 16a Questão 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
 
 
 17a Questão 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 18a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 (1-sent,sent,0) 
 (1-cost,0,0) 
 (1-cost,sent,1) 
 
 
 
 19a Questão 
 
Marque dentre as opções abaixo a que representa uma equação polar do círculo x2 + (y - 3)2 = 
9 
 
 r = sen Θ 
 
r = 2 sen Θ 
 r = sen Θ + cos Θ 
 
r = 2 cos Θ 
 
 
 20a Questão 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de 
uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as 
coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os pontosP(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva 
que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 6) 
(V) 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) 
(V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (V) 
 
 
 
 
 
Como está escrito: Não há um justo, nem um sequer. 
Não há ninguém que entenda; Não há ninguém que busque a Deus. 
Romanos 3:10,11 
 
 
 
 21a Questão 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y-18 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+10y-10 
 z=-8x+12y -14 
 z=8x-12y+18 
 
 22a Questão 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no ponto P(3,4,5). 
 
 3x-4y+5z=18 
 6x+8y+10z=100 
 
 3x+4y+5z=0 
 3x+4y -5z=0 
 6x+8y-5z=0 
 
 
 23a Questão 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x - 4 
 
y = x + 1 
 y = 2x - 4 
 
y = x 
 y = x + 6 
 
 
 
 
 
 24a Questão 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (2t,et,(1 - t)et) 
 (t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(2+t)et) 
 (2,et,(1+t)et) 
 (2t,et,(1+t)et) 
 
 25a Questão 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
 
sen t 
 cos t 
 sen t + cos t 
 
tg t 
 
tg t - sen t 
 
 
 26a Questão 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 cos t 
 
ln t 
 tg t 
 
sen t 
 
ln t + sen t 
 
 
 27a Questão 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 (-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
 
 
 
 
 28a Questão 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são funções de outra 
variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de 
variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0 
 
 
12 
 
8 
 
10 
 18 
 
20 
 
 
 29a Questão 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 
0 
 
 
1/t + sen t 
 1/t 
 
sen t 
 
cos t 
 1/t + sen t + cos t 
 
 
 30a Questão 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
 (1x+1y+1z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 
 
 31a Questão 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i - j + π24k 
 i - j - π24k 
 2i + j + π24k 
 2i + j + (π2)k 
 i+j- π2 k 
 
 32a Questão 
Dada a curva plana r(t)=(lnt)i+tj+(et-1)k encontre a soma e o produto do vetor tangente 
unitário T pelo versor normal N, considerando t=1. 
 
 s=((13)-(12))i+((13)+(12))j+((13)+(12))k e p=0. 
 
 s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=1. 
 s=1e p=0. 
 s=((12)-(13))i+(13)j+((12)+(13))k e p=0. 
 
 s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=0. 
 33a Questão 
O limite de umafunção vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i + j + k 
 i + j - k 
 
j - k 
 
i - j - k 
 
- i + j - k 
 
 
Romanos 5:8 
 Mas Deus prova o seu amor para conosco, em que Cristo morreu 
por nós, sendo nós ainda pecadores. 
 
 
 
 34a Questão 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 35a Questão 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 (3,-7,4) e (3,7,-4) 
 (3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,7,-4) 
 
 36a Questão 
 
 
0 
 12 
 1 
 
3 
 
6 
 
 
 37a Questão 
Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas 
cartesianas são (sqrt3,-1). Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3) 
 
 
θ = 7Pi/6 
 
θ = Pi/6 
 θ = 11Pi/6 
 
θ = 3Pi/2 
 θ = 5Pi/6 
 
Disse-lhe Jesus: Eu sou o caminho, e a verdade e a vida; ninguém 
vem ao Pai, senão por mim. 
João 14:6 
 
 
 38a Questão 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 
 39a Questão 
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1 
 
 ∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1) 
 ∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2 
 ∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1) 
 ∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2 
 ∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2 
 
 
 40a Questão 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é 
dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
7u.c. 
 
14u.c. 
 
 49u.c. 
 
 21u.c. 
 
 28u.c. 
 
 
 
 41a Questão 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 1,3,4 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
 42a Questão 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
10 
 
20 
 
16 
 
1 
 
2 
 
 
 
 43a Questão 
Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
π 
 π2 
 
1 
 2π 
 
2 
 
 
 
 44a Questão 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
e-1 
 
7 
 
e7 
 7e 
 7e-7 
 
 
 
 45a Questão 
Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de (0,0,0) 
até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 
- 4,207 
 - 3,207 
 - 2,207 
 
- 1,207 
 
- 5,207 
 
 
 
 46a Questão 
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
 
13 
 
15 
 14 
 
16 
 12 
 
Eu sou a porta; se alguém entrar por mim, salvar-se-á, e entrará, e 
sairá, e achará pastagens. 
O ladrão não vem senão a roubar, a matar, e a destruir; eu vim para 
que tenham vida, e a tenham com abundância. 
Eu sou o bom Pastor; o bom Pastor dá a sua vida pelas ovelhas. 
João 10:9-11 
 
 
 
 47a Questão 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 13 
 0 
 14 
 12 
 15 
 
48a Questão 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
49a Questão 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
50a Questão 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = ∫ ∫ (xy + x2)dxdy, onde R = [0.1] x [0,1]. 
 
14(u.v.) 
 7/12 (u.v.) 
 
36(u.v.) 
 
23(u.v.) 
 5(u.v.) 
 
51a Questão 
1) Verdadeiro ou falso? 
 A = (-2,3,5) e B = (2,3,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 A = (-1,-2,-3) e B = (-1,3,3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,3,5) e B = (-1,3,-5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 A = (-1,-2,-3) e B = (-1,2,-3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,-5,5) e B = (-1,5,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 
 
 52a Questão 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela 
equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
1/2(e-1) 
 
1/2(e6-1) 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
 53a Questão 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 
(-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 
 54a Questão 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis 
maneiras diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro 
maneiras diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) 
integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) 
integrais simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 1,3,4 
 
2,3,4 
 
2,4,5 
 1,2,3 
 
 55a Questão 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 aw2coswt i + aw2senwtj 
 aw2coswt i - aw2senwtj 
 -aw2coswt i - awsenwtj 
 -w2coswt i - w2senwtj 
 -aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 56a Questão 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
3x + 2y 
 3x - 2y 
 2x - 3y 
 
- 3x + 2y 
 
- 3x - 2y 
 
 57a Questão 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
2e+24 
 e-22 
 
2e-22 
 
e-24 
 2e+22 
 
58a Questão 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
59a
 Questão 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
60a Questão 
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma 
função fem um ponto P na direção de um versor u; é igual ao produtoescalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u. 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxzem P(1,0,12) na direção do 
vetor v=i+2j+2k. 
 
 2 
 
 
 
61a Questão 
 
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto 
(2,0) na direção de v = 3i 4j usando o gradiente. 
 
 1 
 
 
62a Questão 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 0,25i+7j-1,5k 
 
 
63a Questão 
 
Encontre a derivada de f(x,y,z) = x3 x. 
y2 z em Po = (1,1,0) na direção de v = 2i 3j + 6 k. 
 
 4/7 
 
64a Questão 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F), conforme sejam 
verdadeiras ou falsas: 
a) ( ) Se u é uma função vetorial derivável de t e f é uma função 
escalar derivável de t, então d(f.u)dt=u.dfdt+f.dudt 
b) ( ) Se r(t) é o vetor posição de uma partícula que se move a longo 
de uma curva então,em qualquer instante t , v(t)=drdt é o vetor 
velocidade da partícula. 
c) ( ) Aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
d) ( ) O versor do movimento é um vetor unitário. 
e) ( ) O vetor r(t)=(cos2t)i+(sen2t)j dá a posição de uma partícula no 
instante t que se move no sentido antihorário 
sobre o círculo de raio 
= a 2 ,centrado na origem. 
f) ( ) A norma de um vetor v= xi + yj + zk no espaço é dada por 
(x² + y² + z² ) . 
g) ( ) A derivada do produto escalar de funções vetoriais é zero. 
h) ( ) As regras para derivação de funções vetoriais não têm a mesma 
forma que as regras para a derivação de funções escalares. 
i) ( ) O gráfico da trajetória da partícula onde o vetor posição é dado 
por r(t)=costi+sentj é um círculo de raio igual a 1. 
j) ( ) O produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a 
1. 
 
 a) (V) b) (V) c) (F) d) (V) e) (F) f) (F) g) (V) h) (F) i) (V) j) (F) 
 
 
 65a Questão (Ref.: 201308234620) 
 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 e3 i + 5k 
 3i+j+5k 
 3i+5k 
 e3 i+j 
 e3i+j+5k 
 
 66a Questão (Ref.: 201308234584) 
 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável 
no pontoP(1,0,1). 
 
 
 2e 
 e 
 1 
 0 
 3e 
 
 
 
 67a Questão (Ref.: 201308238342) Pontos: 0,1 / 0,1 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i 
+ (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 
4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
1 
 
9 
 
14 
 
2 
 3 
 
 
 68a Questão (Ref.: 201308233608) 
 
Calcule a integral: 
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 0 
 π²3 
 π³6 
 -π 
 2π 
 
 
 
 69a Questão (Ref.: 201308771989) 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
 
 
 70a Questão (Ref.: 201308238859) 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 -6x-y(2x+3y)2 
 -62x+3y 
 (2x+3y)2 
 -6(2x+3y)3 
 -6(2x+3y)2 
 
 
 71a Questão (Ref.: 201308238908) 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
1/2 
 
3 
 
1 
 9/2 
 
5/6 
 
 72a Questão (Ref.: 201308235099) 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-
3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 49 
 
14 
 
7 
 21 
 
28 
 
 
73a Questão (Ref.: 201308771949) 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 
-1 
 
0 
 2 
 
-2 
 
1 
 
 
 
74a Questão 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x
2 
+ y
2
) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 15(u.v.) 
 21(u.v.) 
 8(u.v.) 
 17(u.v.) 
 2(u.v.) 
 
Eu sou o bom Pastor, e conheço as minhas ovelhas, e das minhas sou 
conhecido. 
Assim como o Pai me conhece a mim, também eu conheço o Pai, e dou 
a minha vida pelas ovelhas. João 10:14,15 
 
75a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 (-22,- 22,-π4) 
 (22,22,π4) 
 (22,22,π2) 
 (-2,2,π4) 
 (-22,22,π2) 
 
 
 76a Questão (Ref.: 201308267548) Pontos: 0,1 / 0,1 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 77a Questão (Ref.: 201308336385) Pontos: 0,0 / 0,1 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x, y e z são funções de outra variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação 
de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etcost, z= 2e2t, calculedwdt para t=0, 
encontre dwdt. 
 
 dwdt=16 
 dwdt=20 
 dwdt=18 
 dwdt=0 
 dwdt=12 
 78a Questão 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
2i 
 
2i + j 
 2j 
 
 
 
 79a Questão (Ref.: 201308323783) 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
(a) 
 
(b) 
 
(d) 
 (c) 
 
 
 80a Questão (Ref.: 201308345549) 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 81
a
 Questão (Ref.: 201308267966) 
 
 
 
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2,et,tet). Indique a 
única resposta correta. 
 
 (2,et,(2+t)et) 
 (1,et,(2+t)et) 
 (5,et,(8+t)et) 
 (2,et, tet) 
 (2,0,(2+t)et) 
 
 
 
 82
a
 Questão (Ref.: 201308156244) 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 -6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 -6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 -6sen(x - 3y) 
 
 
 83
a
 Questão (Ref.: 201308156243) 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 2sen(x - 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 2cos(x - 3y) 
 
 
 
 
84
a
 Questão 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2 
 cos2(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 
85
a
 Questão 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do 
vetor v=i+j -k. 
 
 
 
32 
 
3 
 33 
 23 
 
22 
 
 
 86
a
 Questão 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva 
então,em qualquer instante

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