AULA07-distribuicao_viagens

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AULA 07 – Distribuição de Viagens 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DOS TRANSPORTES / 
 ANÁLISE DE SISTEMAS DE TRANSPORTES 
PROFESSORA: ISABELLE YRUSKA DE LUCENA G. BRAGA, MSc 
 
 
O Modelo de Transportes é um modelo de simulação do funcionamento de 
um sistema de transportes que se aplica com base num Modelo da Rede de 
Transportes e integra quatro módulos que são primeiramente acionados de 
forma sequencial e depois, eventualmente, de forma iterativa. 
Módulo Geração 
Módulo 
Distribuição 
Módulo Divisão 
Modal 
Módulo Alocação 
de Tráfego 
INTRODUÇÃO 
 
 
 Estimar o número total de viagens no futuro que tem origem em 
cada zona de tráfego; 
 Estimar o número de viagens futuras que são atraídas pelas 
mesmas zonas que compõem uma área de estudos. Não havendo a 
preocupação em saber para onde as viagens geradas se destinam nem 
de onde as viagens atraídas se originam, no ano horizonte de 
projeto. 
A etapa de Geração de Viagens do processo de planejamento dos 
transportes mostrou como é possível: 
INTRODUÇÃO 
 
 
Na etapa de Distribuição de Viagens a preocupação maior é determinar 
com precisão: 
 As origens das viagens atraídas e; 
 Os destinos das viagens geradas em toda área de estudos, ou seja, a 
distribuição dos movimentos interzonais de viagens. 
Na etapa de Distribuição de Viagens não há preocupação ainda com as 
rotas nem com os modos de transportes utilizados. 
O número de viagens é estimado entre pares de zonas i e j, em que, 
 (i) é a zona de origem e; 
 (j) a zona de destino. 
Zonas com maior poder de atratividade atraem maior número de 
viagens. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS 
 
 
Existe uma competitividade entre as zonas de destino (j) pelas viagens 
produzidas em cada zona de origem (i). 
Nesta etapa, o objetivo é determinar o número de viagens entre cada par 
de zonas a partir do número total de viagens de cada zona obtido na 
etapa de geração de viagens (determinação dos fluxos interzonais). 
Qual a porcentagem de viagens geradas em uma determinada zona 
(por exemplo zona central) que tem destino para as demais zonas da 
área em estudo? 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS 
 
 
Para responder esta questão serão 
utilizados os métodos: 
 Métodos Análogos ou Fator de 
Crescimento; 
 Modelos Sintéticos. 
Os métodos de fator de crescimento assumem que no futuro o padrão de 
realização de viagens permanece constante, porém o número de viagens 
variará de acordo com o poder de geração e atração das zonas de 
tráfego. 
MÉTODOS DE FATOR DE CRESCIMENTO 
 
 
Eles se limitam a aumentar os fluxos interzonais de veículos ou de 
passageiros, observados em um ano base, para obter os correspondentes 
fluxos no futuro, ano horizonte de projeto. 
Princípio Básico: 
MÉTODOS DE FATOR DE CRESCIMENTO 
 
 
 Os dados presentes são multiplicados por um fator de crescimento 
Fc, com o intuito de obter uma matriz futura: 
tij = Fc × Tij 
Em que, tij é o número de viagens futuras entre as zonas i e j e; Tij é o 
número de viagens presentes entre as zonas i e j. 
A aplicação destes métodos exige a determinação preliminar de uma 
matriz de origem e destino das viagens. 
Ex.1: Dada a matriz O/D entre quatro zonas de tráfego, determine o fator de 
crescimento para as zonas de tráfego. Dados o tráfego gerado por zona no futuro. 
MÉTODOS DE FATOR DE CRESCIMENTO 
 
 
Em que, Pi é o número de viagens geradas pela zona i, na data presente e Aj o 
número de viagens atraídas no futuro nesta zona. 
1 2 3 4 
1 0,00 10,00 15,00 12,00 
2 13,00 0,00 23,00 14,00 
3 31,00 43,00 0,00 11,00 
4 19,00 32,00 18,00 0,00 
Pi 
80,00 
70,00 
100,00 
90,00 
O 
D Aj 
120,00 
90,00 
70,00 
60,00 
Observe que aos elementos da diagonal da matriz são atribuídos o valor zero 
porque eles representam as viagens dentro da própria zona de tráfego realizadas 
a pé, portanto com pouco significado para o planejamento dos transportes. 
Tabela 1: Viagens atuais (Tij) Tabela 2: Geração de viagens (futuras) 
Solução: 
MÉTODOS DE FATOR DE CRESCIMENTO 
 
 
1 2 3 4 
1 0,00 10,00 15,00 12,00 
2 13,00 0,00 23,00 14,00 
3 31,00 43,00 0,00 11,00 
4 19,00 32,00 18,00 0,00 
Tj 63,00 85,00 56,00 37,00 
Aj 120,00 90,00 70,00 60,00 
Ti 
37,00 
50,00 
85,00 
69,00 
241,00 
O 
D Pi 
80,00 
70,00 
100,00 
90,00 
340,00 
Determinação do fator de crescimento (F): 
41,1
00,241
00,340

ij
ij
c
T
t
F
Viagens geradas no futuro 
Viagens geradas atuais 
Total das viagens atuais 
geradas e atraídas para 
cada zona 
Total de viagens 
futuras geradas e 
atraídas 
Viagens 
atraídas 
atuais 
Viagens 
atraídas no 
futuro 
Multiplicando-se o fator de crescimento encontrado por todos os elementos da 
matriz anterior obtém-se a matriz de viagens para o futuro: 
MÉTODOS DE FATOR DE CRESCIMENTO 
 
 
1 2 3 4 
1 0,00 14,10 21,15 16,92 
2 18,33 0,00 32,43 19,74 
3 43,71 60,63 0,00 15,51 
4 26,79 45,12 25,38 0,00 
Tj 88,83 119,85 78,96 52,17 
Aj 120,00 90,00 70,00 60,00 
Ti 
52,17 
70,50 
119,85 
97,29 
339,81 
O 
D Pi 
80,00 
70,00 
100,00 
90,00 
340,00 
É importante observar que o total de viagens calculado é aproximadamente igual 
ao total de viagens do futuro. 
a) Método do fator uniforme ou constante 
FATOR DE CRESCIMENTO: UNIFORME OU CONSTANTE 
 
 
 Por este método todas as zonas de tráfego crescerão uniformemente 
e o padrão de viagens existente atualmente será o mesmo no futuro, 
considerando o crescimento do número de viagens. 
 Assume-se que todas as zonas crescerão do mesmo modo, ou seja, o 
fator Fc é considerado único para todas as zonas de tráfego. 




n
i
i
n
i
i
G
G
Fc
1
1
'
Em que n é o número total de zonas de 
tráfego, Gi é o tráfego gerado atual e 
Gi’ é o tráfego gerado no futuro. 
 Este método tem a desvantagem de tender a superestimar as 
viagens no futuro entre zonas que hoje já são desenvolvidas e que 
provavelmente terão pouco crescimento no período considerado. 
 Tende a subestimar as viagens futuras entre zonas pouco ou não 
desenvolvidas que possivelmente experimentarão algum grau de 
desenvolvimento no mesmo período. 
FATOR DE CRESCIMENTO: UNIFORME OU CONSTANTE 
 
 
b) Método do fator médio de crescimento 
FATOR DE CRESCIMENTO: FATOR MÉDIO CRESCIMENTO 
 
 
 O fator Fc é tomado como a média aritmética do fator de 
crescimento de duas zonas interligadas. 
2
ji FF
Fc


Em que, 
i
i
i
t
T
F 
j
j
j
t
T
F 
Ti, Tj = viagens futuras com origem 
em i e destino em j; 
ti, tj = viagens presentes com origem 
em i ou destino em j. 
Sendo que, 



n
j
iji tT
1
= total de viagens originadas em i; 



n
i
ijj tT
1
= total de viagens destinadas a j. 
FATOR DE CRESCIMENTO: FATOR MÉDIO CRESCIMENTO 
 
 
 O processo é iterativo, terminando quando os fatores relativos de 
crescimento fiquem próximos da unidade. 
 As desvantagens desse método são similares ao método anterior, 
porém com uma correção mais ajustada, já que considera fatores na 
geração e atração. 
 Quando são necessárias muitas iterações para atingir uma 
aproximação desejada, o resultado final pode ser questionado. 
FATOR DE CRESCIMENTO: FATOR MÉDIO CRESCIMENTO 
 
 
c) Método de Fratar 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
 O métodode Fratar procura predizer a distribuição de viagens 
interzonais por meio de aproximações sucessivas. 
 A observação da realidade mostra que as mudanças sociais, 
econômicas e políticas ocorridas em uma região, afetarão a futura 
distribuição de viagens da mesma. 
 Baseado na possibilidade de serem conhecidas as características de 
tráfego e as condições de crescimento de cada zona. 
 Levando em conta que a atração relativa entre pares de zonas será 
afetada pelas modificações que ocorrem. 
Elementos Básicos 
 Planejamento regional de desenvolvimento; 
 Dados obtidos por pesquisa origem destino (O/D). 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
Princípios Básicos 
 A distribuição de viagens futuras de uma zona de origem é 
proporcional à distribuição de viagens presentes na zona; 
 A distribuição de viagens futuras é modificada pelo fator de 
crescimento da zona para qual estas viagens estão sendo atraídas. 
Aplicação do Método 
 Estimativa do número total de viagens, entrando e saindo de cada 
zona, para a data na qual se quer prever a distribuição de viagens. 
 A distribuição de viagens em todas as zonas produzirá dois valores 
para cada movimento interzonal. Estes pares de valores deverão ser 
ponderados de modo a se obter, em primeira aproximação, os volumes 
interzonais. 
 Distribuição do total de viagens de cada zona entre os vários 
movimentos interzonais. 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
 Estimativa do número total de viagens, entrando e saindo de cada 
zona, para a data na qual se quer prever a distribuição de viagens. 
 As viagens originalmente estimadas para cada zona serão 
distribuídas pelos movimentos interzonais. 
 O processo prossegue até que seja obtido o volume inicialmente 
estimado. 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
2
ji
jiijij
LL
FFTt


A expressão matemática para esse método é: 
Em que, 






1
1
k
kik
n
k
ik
i
Ft
t
L






1
1
k
kkj
n
k
kj
j
Ft
t
L
tij é o número de viagens futuras entre as zonas i e j; Tij é o número de 
viagens presentes entre as zonas i e j; Fk é o fator de crescimento 
(atração ou produção) da zona i; Li é a recíproca da força de atração 
média de todas as outras zonas em relação a i; Lj é a recíproca da força 
de geração média de todas as outras zonas em relação a j. 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
Ex.2: Determine a matriz futura de viagens utilizando o método de distribuição 
de fator de crescimento de Fratar, para uma aproximação de 5%, a partir dos 
dados abaixo. 
1 2 3 4 Ti 
1 0 10 15 12 37 
2 13 0 23 14 50 
3 31 43 0 11 85 
4 19 32 18 0 69 
Tj 63 85 56 37 
O 
D 
Tabela 1: Viagens atuais (Tij) 
Zona Pi Aj 
1 80 120 
2 70 90 
3 100 70 
4 90 60 
Tabela 2: Geração de viagens (futuras) 
Viagens atuais 
com origem em i 
Viagens atuais 
atraídas por j 
Pi = Viagens futuras com origem em i; 
Aj = Viagens futuras atraídas por j; 
Tij = Viagens futuras com origem em i e 
destinos em j, até então desconhecidos. 
1 2 3 4 Ti Pi Fi 
1 0 10 15 12 37 80 2,16 
2 13 0 23 14 50 70 1,40 
3 31 43 0 11 85 100 1,18 
4 19 32 18 0 69 90 1,30 
Tj 63 85 56 37 
Aj 120 90 70 60 
Fj 1,90 1,06 1,25 1,62 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR – SOLUÇÃO EX.2 
 
 O D 
Tabela 3: Viagens atuais (Tij) 
Fator de geração 
de viagens = 
i
i
T
P
Fator de 
atração de 
viagens = 
j
j
T
A
Dado 
Dado 
Cálculo de Li: 






1
1
k
kik
n
k
ik
i
Ft
t
L
41 431 321 211 1
1 41 31 21 1
1
FTFTFTFT
TTTT
L



758,0
79,48
37
62,11225,11506,11090,10
1215100
1 


L
657,0
13,76
50
62,11425,12306,1090,113
1423013
2 


L
695,0
3,122
85
62,11125,1006,14390,131
1104331
3 


L
746,0
52,92
69
62,1025,11806,13290,119
0183219
4 


L
1 2 3 4 Ti Pi Fi Li 
1 0 10 15 12 37 80 2,16 0,758 
2 13 0 23 14 50 70 1,40 0,657 
3 31 43 0 11 85 100 1,18 0,695 
4 19 32 18 0 69 90 1,30 0,746 
Tj 63 85 56 37 
Aj 120 90 70 60 
Fj 1,90 1,06 1,25 1,62 
Lj 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR – SOLUÇÃO EX.2 
 
 
O 
D 
Cálculo de Lj: 






1
1
k
kkj
n
k
kj
j
Ft
t
L
793,0
48,79
63
30,11918,13140,11316,20
1931130
1 


L
746,0
94,113
85
30,13218,14340,1016,210
3243010
2 


L
636,0
00,88
56
30,11818,1040,12316,215
1802315
3 


L
632,0
50,58
37
30,1018,11140,11416,212
0111412
4 


L
44 133 122 111 1
4 13 12 11 1
1
FTFTFTFT
TTTT
L



0,793 0,746 0,636 0,632 
1 2 3 4 Ti Pi Fi Li 
1 0 10 15 12 37 80 2,16 0,758 
2 13 0 23 14 50 70 1,40 0,657 
3 31 43 0 11 85 100 1,18 0,695 
4 19 32 18 0 69 90 1,30 0,746 
Tj 63 85 56 37 
Aj 120 90 70 60 
Fj 1,90 1,06 1,25 1,62 
Lj 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR – SOLUÇÃO EX.2 
 
 
O 
D 
Cálculo das viagens futuras: 
2
ji
jiijij
LL
FFTt


0,793 0,746 0,636 0,632 
2
21
211 21 2
LL
FFTt


22,17
2
746,0758,0
06,116,2101 2 

t
25,28
2
636,0758,0
25,116,2151 3 

t
26,29
2
632,0758,0
62,116,2121 4 

t
Aproximação 
obtida nesta 
iteração = 
116,22% (Pi/Ti) 
dada por Fi para 
i = 1. 
Matriz O/D na 
iteração 0. 
1 2 3 4 Ti Pi Fi 
1 0 17,22 28,25 29,26 74,73 80 1,07 
2 25,12 0 25,99 20,48 71,59 70 0,98 
3 51,66 38,57 0 13,92 104,16 100 0,96 
4 36,31 32,95 20,26 0 89,52 90 1,01 
Tj 113,08 88,75 74,51 63,66 
Aj 120 90 70 60 
Fj 1,06 1,01 0,94 0,94 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR – SOLUÇÃO EX.2 
 
 
O 
D 
Aproximação obtida nesta iteração foi 7,05%. 
Matriz O/D na 
iteração 1. 
Aproximação 
de 7% 
Viagens futuras (tij): primeira aproximação 
1 2 3 4 Ti Pi Fi 
1 0 19,12 28,75 29,93 77,80 80 1,03 
2 26,57 0 23,85 18,88 69,30 70 1,01 
3 52,49 37,08 0 12,33 101,09 100 0,98 
4 38,85 33,36 18,79 0 8,00 90 0,99 
Tj 117,91 89,56 71,39 61,14 
Aj 120 90 70 60 
Fj 1,02 1,00 0,98 0,98 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR – SOLUÇÃO EX.2 
 
 
O 
D 
Aproximação obtida nesta iteração foi 2,82%. 
Matriz O/D na 
iteração 2. 
Viagens futuras (tij): segunda aproximação 
Aproximação 
de 3%  ok! 
Método do fator médio = 5 iterações para o mesmo exemplo. 
Vantagens: 
 Método simples de ser aplicado; 
 Método útil para atualizar dados de pesquisas O/D. 
 Pode ser aplicado para direcionar fluxos de horários de pico, para 
tráfego médio diário em áreas urbanas, bem como para diferentes 
objetivos de viagem; 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
Desvantagens: 
 Exigem uma pesquisa de O/D completa para fornecer os dados 
inicias de entrada; 
 Não é aplicado um apropriado fator de correção nos casos de 
pequenos volumes interzonais; 
 Possíveis mudanças no uso do solo da área urbana estudada não 
serão consideradas; 
FATOR DE CRESCIMENTO: FRATAR 
 
 
 Os resultados não são independentes do procedimento arbitrário da 
distribuição e estão sujeitos a imprecisões nos cálculos das iterações. 
MODELOS GRAVITACIONAIS: 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
 A futura distribuição de movimentos deve ser determinada como 
resultado de um perfeito entendimento das causas desses movimentos. 
 Sua premissa básica no uso em estudos de transportes resideno fato 
de que as viagens emanadas de uma determinada zona i se distribuem a 
todas as outras zonas, conforme as oportunidades de atração oferecidas 
aos passageiros. 
 Oferecem uma relação entre as viagens e as medidas de atração, 
geração e resistência (tempo, distância, custo, congestionamento, etc.). 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
OS MOVIMENTOS INTERZONAIS SÃO: 
 Diretamente proporcionais ao poder de geração e atração das zonas e; 
 Inversamente proporcionais a alguma medida de resistência ao 
deslocamento entre elas. 
FORMA GERAL: 
2
1 2
21
1 2
d
MM
kF


Em que, F é a força de iteração existente entre as massas; Mi é a massa 
representativa do ponto i; d12 é a distância entre 1 e 2 e; k é a constante de 
proporcionalidade. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
DEFINIÇÃO DOS TERMOS: 
(a) Massa: Sendo i e j duas localidades, a massa deverá ser uma 
grandeza que as represente. Por exemplo: população, número de carros, 
frota, volume de vendas, etc.; 
(a) Distância: Força de oposição ao deslocamento entre as massas. Por 
exemplo: distância, custo de transporte, tempo de viagem, ou qualquer 
outra medida que indique as forças que são contrárias aos 
deslocamentos de pessoas e cargas. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
c
ij
j
ij
W
AP
kt


1
Na distribuição de viagens o modelo tem a seguinte forma: 
Em que, tij é o volume interzonal (variável dependente); Pi 
é o volume de viagens produzidas pela zona i; Aj é o 
volume de viagens atraídas pela zona j; Wij é a medida de 
resistência ao deslocamento entre as zonas i e j; k e c são 
parâmetros a serem estimados através de calibração com 
base nos dados automáticos. 
tij 
Aj 
Pi 
 Equação (1) 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 

x
ixi tP
Considerando que: 
Substituindo tix na Equação 1, tem-se que: 

x
c
ix
x
ii
W
A
PkP
Portanto k é igual: 


x
c
ix
x
W
A
k
1
Equação (2) 
Equação (3) 
Equação (4) 
Substituindo k, encontrado na Equação (4), na Equação 1, tem-se que: 


























x
c
ix
x
c
ij
j
iij
W
A
W
A
Pt
O termo em colchetes representa a 
proporção de viagens da zona i que 
será atraída pela zona j, em 
competição com todas as demais 
zonas x. 
Equação (5) 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 

x
xjj tA
Considerando que: 
ix
n
x
x
ijj
iij
FA
FA
Pt




1
, o modelo gravitacional pode ser escrito: 
Equação (6) 
Em que, 
c
ij
ij
W
F
1

, conhecido como fator tempo de viagem ou atrito. 
Por fim, um conjunto de fatores sócio-econômicos (kij) são introduzidos 
para incorporar efeitos que não são computados pelas variáveis 
independentes selecionadas. 
ijin
j
ijijj
ijijj
iij pP
KFA
KFA
Pt 




1
Em que, pij é a probabilidade de viagem gerada em i ser atraída para j. 
A matriz que contém as impedâncias interzonais (Wij) é chamada de 
matriz de resistência. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Ex.1: A produção e atração de viagens no ano horizonte de quatro zonas de uma 
cidade foram estimadas como mostra o quadro 1 a seguir: 
Zona Produção (Pi) Atração (Aj) 
1 1500 0 
2 0 3 
3 2600 2 
4 0 5 
A calibração do modelo gravitacionais para a 
cidade estimou c = 2,0 e todos os fatores de 
ajustes sócio-econômicos foram iguais a um (kij 
= 1,0). 
Quadro 1 
Zona 1 2 3 4 
1 5 10 15 20 
2 10 5 10 15 
3 15 10 5 10 
4 20 15 10 5 
Quadro 2 
Utilize o modelo gravitacional para estimar as 
viagens interzonais (tij) para o ano horizonte e 
o total de viagens atraídas por cada zona. As 
impedâncias interzonais (Wij) encontram-se no 
quadro 2. 
1 
2 
3 
4 
Zona 1: residencial 
Zona 2 e 3: Não residencial 
Zona 4: Mista 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Solução: 
Para i = 1, temos que Pi = P1 = 1500 
j Aj Fij Kij Aj.Fij.Kij ij tij 
1 0 0,040 1,0 0,0000 0,000 0 
2 3 0,010 1,0 0,0300 0,584 875 
3 2 0,0044 1,0 0,0089 0,173 260 
4 5 0,0025 1,0 0,0125 0,243 365 
Total 0,0514 1,000 1500 

c
ij
ij
W
F
1






n
j
ijijj
ijijj
ij
KFA
KFA
1

iji
ix
n
x
x
ijj
iij P
FA
FA
Pt 




1
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Para i = 3, temos que Pi = P3 = 2600 
j Aj Fij Kij Aj.Fij.Kij ij tij 
1 0 0,0044 1,0 0,0000 0,000 0 
2 3 0,0100 1,0 0,0300 0,188 488 
3 2 0,0400 1,0 0,0800 0,500 1300 
4 5 0,0100 1,0 0,0500 0,312 812 
Total 0,0514 1,000 2600 

DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 

Matriz O/D futura: 
O/D 1 2 3 4 Pi 
1 0 875 260 365 1500 
2 0 0 0 0 0 
3 0 488 1300 812 2600 
4 0 0 0 0 0 
Aj 0 1363 1560 1177 
Total de viagens atraídas pelas áreas não residenciais 
CALIBRAÇÃO 
 
Calibração é a determinação do parâmetro c que ajusta o modelo 
gravitacional aos resultados obtidos a partir de dados observados (reais) , 
envolvendo um processo iterativo. 
Admite-se um valor inicial para c e aplica o mesmo no cálculo de tij 
utilizando os dados atuais de produção e atração de viagens e 
impedâncias (medida de resistência ao deslocamento): 



















n
j
c
ij
j
c
ij
j
iij
W
A
W
A
Pt
1
CALIBRAÇÃO 
 
Os valores calculados de tij são comparados com os observados. 
Modifica-se o valor de c e repete o cálculo até que os valores calculados 
convirjam para os valores observados. 
2
2)(
n
tT
e
ijij 

A comparação é realizada utilizando-se o erro padrão da estimativa (e): 
Em que, Tij são as viagens observadas entre i e j; tij são as viagens 
calculadas entre i e j e; n é o número de observações. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Ex.2: Determine a matriz de viagens futuras a partir do modelo gravitacional 
para os dados observados e projeções de geração de viagens dados abaixo: 
Zona Pi Aj 
1 80 120 
2 70 90 
3 100 70 
4 90 60 
Quadro 3: Geração de viagens futuras 
O/D 1 2 3 4 Pi 
1 0 10 15 12 37 
2 13 0 23 14 50 
3 31 43 0 11 85 
4 19 32 18 0 69 
Aj 63 85 56 37 
Quadro 1: Viagens atuais (Tij) 
O/D 1 2 3 4 
1 0 3 2 4 
2 4 0 5 6 
3 3 6 0 3 
4 3 5 4 0 
Quadro 2: Matriz de impedância (Wij) 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Solução: Inicia-se o processo iterativo utilizando a matriz de valores atuais e 
admitindo c=1. 
cccc
c
W
A
W
A
W
A
W
A
W
A
PT
1 4
4
1 3
3
1 2
2
1 1
1
1 2
2
11 2















n
j
c
ij
j
c
ij
j
iij
W
A
W
A
PT
1
1
1
Portanto, 
1111
1
1 2
4
37
2
56
3
85
0
63
3
85
37

T
Indeterminação: 
considerado zero!! 
98,151 2 T
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
O/D 1 2 3 4 Ti 
1 0 15,98 15,80 5,22 37 
2 23,78 0 16,91 9,31 50 
3 37,58 25,35 0 22,07 85 
4 127,86 22,56 18,58 0 69 
Tj 89,22 63,89 51,29 36,60 241 
1111
1
1 3
4
37
2
56
3
85
0
63
2
56
37

T
80,151 3 T
1111
1
1 4
4
37
2
56
3
85
0
63
4
37
37

T
22,51 4 T
Matriz de viagens para c=1:2
222
4
)1858,18(...)1580,15()1098,15( 
e
2
2)(
n
tT
e
ijij 

51,71 e
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
O/D 1 2 3 4 Ti 
1 0 13,57 20,11 3,32 37 
2 23,32 0 15,54 7,13 50 
3 44,16 14,40 0 25,94 85 
4 34,75 16,88 17,37 0 69 
Tj 106,23 44,85 53,02 36,39 241 
Para c=2: 
42,112 e
Como valor absoluto, este número não traz um significado preciso da 
aproximação entre as duas matrizes. Para uma melhor averiguação, deve-se 
arbitrar outros valores para c e repetir todo o procedimento. 
Como e2>e1, para c2>c1, deve-se então variar c para baixo, por exemplo zero, e 
calcular outra matriz. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
O/D 1 2 3 4 Ti 
1 0 17,67 11,64 7,69 37 
2 20,19 0 17,94 11,86 50 
3 28,95 39,05 0 17,00 85 
4 21,31 28,75 18,94 0 69 
Tj 70,45 85,47 48,52 36,55 241 
Para c=0: 
90,30 e
Como e0>e1, deve-se prosseguir 
baixando ainda mais o valor de c e 
calcular uma nova matriz. 
O/D 1 2 3 4 Ti 
1 0 18,32 8,05 10,63 37 
2 16,71 0 18,57 14,72 50 
3 19,83 53,52 0 11,65 85 
4 15,56 34,99 18,44 0 69 
Tj 52,10 106,83 45,06 37,00 241 
Para c=-1: 
06,51 e
-1 < c < 0 
Repetir o processo variando o 
valor de c em 0,10. 
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Para efeito deste exercício, conclui-se que o valor de c, que produz o menor erro, 
é zero. Logo, a matriz futura será calculada com este valor. 
Cálculo da matriz futura de viagens para c=0: 
0000
0
1 2
4
60
2
70
3
90
0
120
3
90
80

T
331 2 T
0000
0
1 3
4
60
2
70
3
90
0
120
2
70
80

T
251 2 T
0000
0
1 4
4
60
2
70
3
90
0
120
4
60
80

T
221 2 T
DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS: MÉTODOS SINTÉTICOS 
 
Matriz de Viagens futuras para c=0: 
O/D 1 2 3 4 Ti 
1 0 33 25 22 80 
2 34 0 20 17 71 
3 44 33 0 22 99 
4 39 29 22 0 90 
Tj 117 95 67 61 241 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 
DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DOS TRANSPORTES / 
 ANÁLISE DE SISTEMAS DE TRANSPORTES 
PROFESSORA: ISABELLE YRUSKA DE LUCENA G. BRAGA, MSc 
 
 
AULA 07 – Distribuição de Viagens