1a Lista de Eletromagnetismo 2014 2

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1ª Lista de Exercícios de Eletromagnetismo – 2º Semestre de 2014
Álgebra Vetorial e Sistemas de Coordenadas.
1- Dado A = 4 ay + 10 az e B = 2 ax + 3 ay, calcular o que se pede e verificar que o produto vetorial 
entre vetores não é comutativo.
a) A . B ; b) B . A ; c) A x B ; d) B x A
2- Calcular o vetor unitário que vai de um ponto genérico da reta x = 0 ; y = 3 m até a origem.
3- Obter a expressão do vetor unitário que liga um ponto arbitrário do plano z = - 2 ao ponto (0,0,h).
4- Calcular o vetor unitário que liga os pontos (2m, -5m, -2m) a (14m, -5m, 3m).
5- Dados A = (y – 1) ax + 2x ay, calcular o valor desse vetor aplicado ao ponto (2m, 2m, 1m), bem 
como sua projeção sobre o vetor B, dado por B = 5 ax – ay + 2 az.
6- Calcular a distância entre os pontos A e B dados em:
a) A (2m, 3m, 5m) B (1m, -2m, 3m)
b) A (2m, π /6 , 0) B (1m, π , 2m) 
7- Calcular ∫ A . dl em torno da borda L da fatia definida por 0 ≤ r ≤ 2m; 0 ≤ Φ ≤ 60º; z = 1m 
como mostrado na figura abaixo.
8- Sabendo que fluxo é calculado através de ∫ A . ds, determinar o fluxo Φ do campo vetorial A, dado 
abaixo, para fora de toda superfície de um cilindro: 0 ≤ r ≤ 1m; 0 ≤ Φ ≤ 2π; 0 ≤ z ≤ 1m.
9- Considere o objeto mostrado na figura abaixo. Determine: (a) A distância CD; (b) A superfície 
ABCD; (c) A superfície ABO; (d) O volume ABCDFO.
10 - A região r ≤ a, em coordenadas esféricas, tem uma intensidade de campo elétrico dada pela 
expressão abaixo. Calcular ∫ E . ds
Expressão do campo elétrico: E = ( ρ r ) / ( 2 ε ) ar.
onde ρ : densidade volumétrica de cargas 
 r : raio da esfera
 ε : permissividade elétrica do meio
11- Se A = ( r cos φ ) a r + ( sen φ ) a φ determinar ∫ A . d l ao longo do caminho mostrado na figura 
abaixo.
12- Utilizar o comprimento diferencial dl para determinar o comprimento de cada uma das seguintes 
curvas:
 a ) r = 4 m; π / 4 ≤ φ ≤ π / 2 ; z = constante.
 b ) r = 6 m ; θ = π / 4 ; 0 ≤ φ ≤ π / 3 .
 c ) r = 2 m ; π / 6 ≤ θ ≤ π / 2 ; φ = constante.
 d ) x = 5 m ; 0 ≤ y ≤ 6 m ; z = constante .
 e ) 1 m ≤ x ≤ 3 m ; y = constante ; z = 3 m .
13- Calcular as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área da superfície diferencial ds.
 a ) r = 3 m ; 0 ≤ z ≤ 4 m ; π / 4 ≤ φ ≤ π / 2 .
 b ) z = 2 m ; 2 m ≤ r ≤ 5 m ; 0 ≤ φ ≤ 2 π .
 c ) r = 4 m ; π / 4 ≤ θ ≤ 2 π / 3 ; 0 ≤ φ ≤ 2 π .
 d ) 0 ≤ r ≤ 5 m ; π / 6 ≤ θ ≤ π / 3 ; φ = constante .
 e ) 0 ≤ x ≤ 4 m ; 1 m ≤ y ≤ 4 m ; z = constante .
14- Utilizar o volume diferencial dv para determinar os volumes das seguintes regiões:
 a ) 0 ≤ x ≤ 2 m ; 1 m ≤ y ≤ 3 m ; - 2 m ≤ z ≤ 2 m .
 b) 3 m ≤ r ≤ 4 m ; π / 4 ≤ φ ≤ π ; - 3 m ≤ z ≤ 2 m .
 c ) 1 m ≤ r ≤ 3 m ; π / 2 ≤ θ ≤ 2 π / 3 ; π / 6 ≤ φ ≤ π / 2 .
 
15- Calcular a área da superfície curva de um cilindro circular reto de raio a e altura h usando 
coordenadas cilíndricas.
16- Usar coordenadas esféricas para obter as áreas diferenciais, ds1 e ds2, integrando-as depois para 
calcular as áreas superficiais da figura, marcadas com 1 e 2, respectivamente.
 
17- Usar o sistema esférico para calcular a área da região α ≤ θ ≤ β , sobre a casca esférica de raio a 
Qual o resultado quando α = 0 e β = π ? 
18- Calcular a área da região 0 ≤ Φ ≤ α , de uma casca esférica de raio a, usando coordenadas 
esféricas, efetuando o cálculo integral. O que ocorre para o caso de α = 2 π ? 
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