Grandezas Elétricas e Leis Fundamentais de Circuitos CC e CA parte 2

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ELETROTÉCNICA 
Unidade 1: Grandezas Elétricas e Leis 
Fundamentais de Circuitos CC e CA 
AULA 2 
Indutor 
• Comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados 
a campos magnéticos, ou seja, cargas em movimento (corrente 
elétrica); 
• A tensão nos terminais do indutor varia proporcionalmente a taxa 
de variação da corrente: 
 
 
 
• é a tensão nos terminais do indutor, dada em volts; 
• é a indutância, dada em henrys; 
• é a corrente no indutor, dada em ampères; 
• é o tempo, dado em segundos; 
 
 
 
dt
di
Lv LL 
Lv
L
Li
t
Indutor 
• Simbologia: 
 
 
 
 
 
• Hipótese 1: Qual a tensão nos terminais de um indutor percorrido 
por corrente contínua? 
 
• Hipótese 2: Qual a tensão nos terminais de um indutor de 1mH 
quando aplicamos uma rampa de corrente variando de 0 a 10 A em 
um intervalo de 1ms? 
 
 
 
Indutor 
• Corrente em função da tensão aplicada: 
 
 
 
 
 
 
 
• Hipótese: Considerando e , o que acontece com a 
corrente no indutor se aplicarmos uma tensão constante? 
 
 
 
LL
L
L
L
L Ldidtvdt
dt
di
Ldtv
dt
di
Lv 
 
 
   oL
t
t
LfL
ti
ti
t
t
L tidv
L
tidxLdv
f
o
fL
oL
f
o
 
1
0ot   0oL ti
Indutor 
• Potência: 
 
 
• Energia armazenada: 
 
 
 
 
 
Liw
LL
L
LL ydyLdxLdiidw
dt
di
Li
dt
dw
p
00
2
2
LiLw


dt
di
Liivp LLLLL 
Capacitor 
• Comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados 
a campos elétricos, ou seja, por separação de cargas (tensão); 
• A corrente em capacitor varia proporcionalmente a taxa de variação 
da tensão em seus terminais: 
 
 
 
• é a corrente no capacitor, dada em ampères; 
• é a capacitância, dada em farads; 
• é a corrente no indutor, dada em volts; 
• é o tempo, dado em segundos; 
 
 
 
 
dt
dv
Ci CC 
t
Ci
C
Cv
Capacitor 
• Simbologia: 
 
 
 
 
 
• Hipótese 1: Qual a corrente em um capacitor quando se aplica uma 
tensão contínua? 
 
• Hipótese 2: Qual a corrente em um capacitor de 100µF quando 
aplicamos uma rampa de tensão variando de 0 a 10 V em um 
intervalo de 1ms? 
 
 
 
 
Capacitor 
• Tensão em função da corrente: 
 
 
 
 
 
 
 
• Hipótese: Considerando e , o que acontece com a 
tensão no capacitor se aplicarmos uma corrente constante? 
 
 
 
 
CC
C
C
C
C Cdvdtidt
dt
dv
Cdti
dt
dv
Ci 
 
 
   oC
t
t
CfC
tv
tv
t
t
C tvdi
C
tvdxCdi
f
o
fC
oC
f
o
 
1
0ot   0oC tv
Capacitor 
• Potência: 
 
 
• Energia armazenada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
dt
dv
Cvivp CCCCC 
 
Cvw
CC
C
CL ydyCdxCdvvdw
dt
dv
Cv
dt
dw
p
00
2
2
CvCw


Números Complexos 
• Existe raiz quadrada de um número negativo? 
 
 
 
• O resultado é um número que pertence ao conjunto dos números 
complexos, e não ao conjunto dos números reais. 
• Números complexos são compostos por uma parte real e uma parte 
imaginária. A parte imaginária é dada pelo produto de um número 
real por j, onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 2  jj
?4
Números Complexos 
• No exemplo anterior: 
 
 
 
 
• A representação é conhecida como retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
2414 j
jYX 
Números Complexos – Soma, 
Subtração e Multiplicação 
 
 
 
 
 
       21212211 BBjAAjBAjBA 
       21212211 BBjAAjBAjBA 
      211221212211 BABAjBBAAjBAjBA 
Números Complexos – Divisão e 
Conjugado 
 
 
  
  
   
2
2
2
2
21122121
2222
2211
22
11
BA
BABAjBBAA
jBAjBA
jBAjBA
jBA
jBA









  jBAjBA * 
Números Complexos 
Representação Polar 
• As vezes torna-se mais conveniente a representação de números 
complexos na forma polar: 
 
 
 
 
 
 
 
 rjyxZ
Números Complexos 
Representação Polar 
• Transformação de retangular para polar : 
 
 
 
 
 
 
 
jBA
r
22 BAr 







A
B
tana
  cosrA   sinrB
Números Complexos 
Representação Polar 
• Para soma e subtração, deve-se converter os valores para forma 
retangular, realizar a operação e converter novamente para polar o 
resultado. 
 
 
 
 
 
 
 21212211  rrrr
 21
2
1
22
11 


r
r
r
r
 rr*
Fontes Senoidais 
• Fonte de tensão senoidal: produz uma tensão que varia 
senoidalmente com o tempo; 
 
 
 
 
 
• é a tensão, em volts; 
• é a amplitude da tensão, em volts; 
• é a frequência angular, dada em radianos por segundo; 
• é o tempo, dado em segundos; 
• é o ângulo de fase, em graus ou radianos; 
 
 
 
 
 
 
 
 
  tcosVv m
t
v
mV


Fontes Senoidais 
• A frequência angular é diretamente proporcional a frequência f (em 
Hz): 
 
 
 
• Para converter um ângulo de 
radianos para graus: 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
f


2
2
       grausradradgraus 




180
180
Fasores 
• Se consideramos a frequência “f” fixa, podemos representar sinais 
de tensão e de corrente através de números complexos: 
 
 
 
 
 
 
• O conhecimento da frequência da fonte de alimentação será 
importante na determinação do comportamento de indutores e 
capacitores no circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
   mm VvtcosVv
   mm IitcosIi
Resistor no Domínio da Freqüência 
• Se consideramos a frequência “f” fixa, podemos representar sinais 
de tensão e de corrente através de números complexos: 
 
 
 
 
 
 
• O conhecimento da frequência da fonte de alimentação será 
importante na determinação do comportamento de indutores e 
capacitores no circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
   mm VvtcosVv
   mm IitcosIi
Resistor no Domínio da Frequência 
 
 
 
 
 
 
 
• Um resistor não introduz nenhuma diferença de fase entre corrente 
e tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
   tcosIRVRIV m
 mm RIV
Indutor no Domínio da Frequência 
 
 
 
 
 
• Um indutor acarreta em um sinal de tensão adiantado em 90º da 
corrente (ou sinal de corrente atrasado 90º da tensão); 
• é conhecido como reatância indutiva; 
• é a impedância do indutor; 
• Para f=60Hz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
   tcosIjXVIjXV mLL
o
mLm IXV 90
fLLX L  2
LX
LX L  377
LjX
Capacitor no Domínio da 
Frequência 
 
 
 
 
 
• Um capacitor acarreta em um sinal de tensão atrasado em 90º da 
corrente (ou sinal de corrente adiantado de 90º da tensão); 
• é conhecido como reatância capacitiva; 
• é a impedância do capacitor; 
• Para f=60Hz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
   omCmmCC IXVtcosIjXVIjXV 90
fCC
XC




2
11
CX
C
XC


377
1
CjX
Análise de Circuitos CA 
• As técnicas de análise de circuitos já estudadas também são válidas 
para circuitos com fontes senoidais, indutores ecapacitores; 
 
• O único cuidado a ser tomado é que os cálculos serão realizados 
com números complexos! 
 
• Geralmente, as correntes e tensões são expressas nas forma polar; 
 
• Geralmente, as impedâncias são expressas na forma retangular. É 
comum converter as impedâncias para a forma polar somente para 
realização de cálculos de divisão e multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
• Dado o circuito abaixo, onde: 
 
 
 
 
a) Qual a frequência (em Hz) da fonte de alimentação? 
b) Qual a representação da tensão na forma fasorial? 
c) Redesenhe o circuito para análise na frequência? 
d) Qual a impedância equivalente do circuito? 
e) Qual o valor da corrente i? 
f) O circuito tem característica indutiva ou capacitiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vtcos,v os 03776179 
Exemplo 1 
a) Qual a frequência (em Hz) da fonte de alimentação? 
 
 
 
b) Qual a representação da tensão na forma fasorial? 
 
 
c) Redesenhe o circuito para análise na frequência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hzfs/rad 60
2
377
377 


V,v os 06179 
 112377 ,LX L


 5530
377
1
,
C
XC
Exemplo 1 
d) Qual a impedância equivalente do circuito? 
 
 Como todos os elementos estão em série: 
 
 
 
e) Qual o valor da corrente i? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 451890553011290 ,j,j,jjXjXRZ CL
     2526451890 2222 ,,XRZ
o,
,
tana
R
X
tana 280
90
4518





 







 oeq ,,Z 2802526
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
f) O circuito tem característica indutiva ou capacitiva? 
 
Como a corrente está adiantada de 80,2 graus, o circuito possui 
característica capacitiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A,,
,,
V,
Z
v
i o
o
o
eq
s 280340
2802526
06179




Exemplo 2 
• Dado o circuito abaixo, onde: 
 
 
 
 
 
a) Qual a representação da tensão na forma fasorial? 
b) Redesenhe o circuito para análise na frequência? 
c) Qual a impedância equivalente do circuito? 
d) Qual o valor da corrente i? 
e) O circuito tem característica indutiva ou capacitiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vtcos,v os 03771311 
Exemplo 2 
a) Qual a representação da tensão na forma fasorial? 
 
 
 
b) Redesenhe o circuito para análise na frequência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V,v os 01311 
 891377 ,LX L


 652
377
1
,
C
XC
Exemplo 2 
c) Qual a impedância equivalente do circuito? 
 
 Como os elementos estão em paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  





 596
760
015
891652
891652
8916521 ,j
,j
,
,j,j
,j,j
,j//,jZ
  




 594033
59610
965
59610
59610
59610 ,j,
,j
,j
,j
,j
,j//Zeq
Exemplo 2 
d) Qual o valor da corrente i? 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) O circuito tem característica indutiva ou capacitiva? 
 Como a corrente está atrasada de 56,6 graus, o circuito possui 
 característica indutiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     505594033 2222 ,,,XRZ
o,
,
,
tana
R
X
tana 656
033
594













 oeq ,,Z 656505
A,,
,,
V,
Z
v
i o
o
o
eq
s 6565656
656505
01311




Exercício 
• Dado o circuito abaixo, onde: 
 
 
 
 
 
a) Qual a representação da tensão na forma fasorial? 
b) Redesenhe o circuito para análise na frequência? 
c) Qual a impedância equivalente do circuito? 
d) Qual o valor da corrente i? 
e) O circuito tem característica indutiva ou capacitiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vtcos,v os 03771311 