estruturas algébricas

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Questão 1/3 - Estrutura Algébrica
Considere o anel (Q,∗,△)(Q,∗,△), em que as operações de adição ∗∗ e multiplicação △△ são definidas por a∗b=a+b−1 e a△b=a+b−ab.a∗b=a+b−1 e a△b=a+b−ab.
a) Determine o elemento neutro da operação de adição ∗∗ deste anel.
b) Este anel é unitário? Justifique sua resposta.
	a) Vamos determinar um elemento 0A∈Q0A∈Q tal que 0A∗a=a0A∗a=a para todo a∈Q.a∈Q. Notamos que 0A∗a=a⟹0A+a−1=a⟹0A=1.0A∗a=a⟹0A+a−1=a⟹0A=1. Disto segue que o elemento neutro é 11, pois a∗1=a+1−1=a.a∗1=a+1−1=a. 
b) Determinaremos agora um elemento 1A∈Q1A∈Q tal que 1A△a=a1A△a=a para todo a∈Q.a∈Q.Observamos que 1A△a=a⟹1A+a−1Aa=a⟹1A(1−a)=0⟹1A=0 ou a=1.1A△a=a⟹1A+a−1Aa=a⟹1A(1−a)=0⟹1A=0 ou a=1.Como a∈Qa∈Q é qualquer, temos 1A=0.1A=0. Logo, a unidade do anel dado é 0, pois 0△a=0+a+0⋅a=a.0△a=0+a+0⋅a=a. Portanto, (Q,∗,△)(Q,∗,△) é um anel unitário.
Resposta:
Questão 2/3 - Estrutura Algébrica
Dizemos que um anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é comutativo quando a operação de multiplicação ⋅⋅ é comutativa. O anel das matrizes M2(R)M2(R) é comutativo? Se a resposta for não, apresente um exemplo.
	O anel M2(R)M2(R) não é comutativo. Por exemplo, considere as matrizes A=[1100] e B=[1010].A=[1100] e B=[1010]. Observamos que AB=[2000] e BA=[1111],AB=[2000] e BA=[1111], o que mostra que AB≠BA.AB≠BA.
Resposta:
Questão 3/3 - Estrutura Algébrica
Seja (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de AA quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: 
(i) se a,b∈B,a,b∈B, então a−b∈B;a−b∈B; 
(ii) se a,b∈B,a,b∈B, então a⋅b∈B.a⋅b∈B.
O subconjunto B={[ab00]∈M2(R)}B={[ab00]∈M2(R)} é subanel do anel das matrizes M2(R)?M2(R)? Justifique sua resposta.
	Consideremos duas matrizes X e YX e Y pertencentes ao subconjunto B.B. Então, X=[ab00] e Y=[mn00].X=[ab00] e Y=[mn00]. Notamos que 
X−Y=[a−mb−n00] e X⋅Y=[aman00].X−Y=[a−mb−n00] e X⋅Y=[aman00].
Segue daí que X−Y∈B e X⋅Y∈B.X−Y∈B e X⋅Y∈B. Logo, as propriedades (i) e (ii) são satisfeitas, o que garante que BB é subanel de M2(R).