AD2 metdet ii 2016 2 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2016
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 2 - AD2
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x
3
x2+1
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Determine - caso haja - as ass´ıntotas;
(c) Verifique que f(x) = x− x
x2+1
e calcule lim
x→±∞ f(x)− x
(d) Verifique se f(x) e´ par ou ı´mpar ou nenhuma das duas;
(e) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(f) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(g) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: ( (a) vale 0, 2+ (b) vale 0, 2+ (c) vale 0, 5 + (d) vale 0, 2+ (e) vale 0, 6+ (f) vale 0, 8+
(g) vale 0, 5 )
(a) O domı´nio sa˜o todos os Reais, visto que o denominador x2+1 na˜o se anula para nenhum valor de
x ∈ R.
(b) Ao calcularmos os limites: x → +∞, x → −∞ vemos que em ambos os casos a func¸a˜o vai para
∞, desta forma na˜o existe assintotas horizontais.
(c) (0, 3 pela verificac¸a˜o +0, 2 pelos limites) Observe que x− x
x2+1
= x(x
2+1)−x
x2+1
= x
3+x−x
x2+1
= f(x), para
todo x e
x− f(x) = x− x
3
x2 + 1
=
x
x2 + 1
=
1
x
1 + 1x
→ 0 quando x→ ±∞.
Logo a reta y = x e´ uma espe´cie de assintota inclinada.
(d) f(−x) = (−x)3
(−x)2+1 = − x
3
x2+1
= −f(x), portanto a func¸a˜o f e´ ı´mpar.
(e) (0, 4 pela calculo de f ′ + 0, 2 pela estudo do sinal)
f ′(x) =
3x2(x2 + 1)− x2 · 2x
(x2 + 1)2
=
x2(x2 + 3)
(x2 + 1)2
Veja que f ′(x) > 0 para todo x, logo f e´ sempre crescente.
(f) (0, 4 pela calculo de f ′ + 0, 4 pela estudo do sinal)
f ′′(x) =
(4x3 + 6x)(x2 + 1)2 − (x4 + 3x2) · 2(x2 + 1)2x
(x2 + 1)4
=
2x(3− x2)
(x2 + 1)3
e´ fa´cil de ver que f ′′(x) = 0 apenas quando x = 0 ou x = ±√3, veja o estudo do sinal de f ′′ abaixo
1
(g) Trace a reta y = x para nos ajudar a fazer o gra´fico. Recorde que a func¸a˜o e´ crescente para todos
os valores de x e tambe´m que e´ ı´mpar. Veja que se x < −√3, enta˜o f ′′(x) > 0. Portanto tem a boca
voltada para cima, e para x ∈ (−√3, 0) temos f ′′(x) < 0 portanto, f tem a boca voltada para cima.
Veja tambe´m que quando x→ −∞, x− f(x) se aproxima de zero com valores negativos. Portanto, a
func¸a˜o deve se aproximar de y = x com valores superiores. O resto do gra´fico fazemos pelas simetrias
apontadas.
Questa˜o 2 [2,0 pts] Um bem tem seu valor depreciado apo´s a compra, a uma taxa de 10% ao ano.
Sabendo que o valor pode ser expresso por uma func¸a˜o exponencial, que o valor da compra e´ de
R$45.000 , log(2) ∼= 0, 301 e log(3) ∼= 0, 477, determine:
a) Determine o valor V como func¸a˜o dos anos t apo´s a compra do bem.
b) O valor do bem apo´s 1, 2 e 5 anos apo´s a compra.
c) Apo´s quanto tempo o valor do bem tera´ seu valor reduzido a` metade do valor de compra.
Soluc¸a˜o: ( a) vale 0, 7+ b) vale 0, 4+ c) vale 0, 9 )
a) Apo´s o primeiro ano, o bem passara´ a valer 45 000−45 000×0, 1 = 45 000×(1−0, 1) = 45 000×0, 9.
Apo´s o segundo ano, ele valera´ 45 000×0, 9−45 000×0, 9×0, 1 = 45 000×0, 9(1−0, 1) = 45 000×0, 92.
Seguindo este racioc´ınio, apo´s t anos, o valor do bem sera´ V = 45 000× 0, 9t.
b) Apo´s 1 ano, o valor do bem sera´ 45 000× 0, 9 = 40 500. Apo´s 2 anos, sera´ 45 000× 0, 81 = 36 450.
Apo´s 5 anos sera´ 45 000× 0, 95 = 26 572, 05.
c) Devemos substituir o valor de V por 45 0002 na expressa˜o acima e teremos:
45 000
2 = 45 000 × 0, 9t.
Para calcular o valor de t temos que 12 =
(
9
10
)t
. Como log ab = log a log b e log c
d = d log c, logo,
2
t =
log 1
2
log( 910)
e teremos que t ∼= 6, 6 anos. Ou seja, o valor do bem foi reduzido a` metade seis anos e
meio depois, aproximadamente.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x2e
√
x b) g(x) =
4x+ 5
2− 3x
c) h(t) =
et
1 + t2
d) l(x) = ex
(
x2 − x+ 1)3
Soluc¸a˜o: a) (vale 0, 8)
f ′(x) =
1
2
e
√
xx3/2 + 2e
√
xx.
b) (vale 0, 7)
g′(x) =
23
(2− 3x)2 .
c) (vale 0, 8)
h′(x) =
et(t− 1)2
(t2 + 1)2
.
d) (vale 0, 7)
l′(x) = ex
(
x2 − x+ 1)2 (x2 + 5x− 2) .
Questa˜o 4: [2,0 pts] Encontre os pontos P e Q sobre a
para´bola y = 1 − x2 de tal forma que o triaˆngulo ABC for-
mado pelos eixos x e pelas retas tangentes em P e Q seja
equila´tero.
Soluc¸a˜o: Devido a simetria da para´bola com respeito ao eixo y, visto que se avaliarmos em x, ou
−x temos mesmo valor de y. Logo e´ razoa´vel esperar que o segmento PQ seja paralelo ao eixo do
x. Portanto, o aˆngulo formado pelo segmento PQ e a reta tangente a` para´bola no ponto P deve ser
o mesmo aˆngulo formado pela tangente e o eixo do x. Podemos impor que o aˆngulo deve ser de pi/3
visto que o triaˆngulo deve ser equilatero.
Da´ı precisamos encontrar x tal que y′(x) = Tg(pi/3) =
√
3 ⇒ −2x = √3 ⇒ x = −
√
3
2 e y =
1−
(
−
√
3
2
)2
= 14 .
3
O ponto P = (−
√
3
2 ,
1
4) e Q = (
√
3
2 ,
1
4). A reta tangente a` para´bola em P tem equac¸a˜o
y − 1
4
= (−2)×
(
−
√
3
2
)(
x−
(
−
√
3
2
))
Fazendo x = 0 obtemos que y = 74 . E o ponto A = (0,
7
4). O lado do Triaˆngulo deve medir 3.
4